第八讲 动态规划与最短路径(1)_901303623
用动态规划法实现有向图的最短路径问题。
动态规划法实现有向图的最短路径实验 实验题目： 设计一个求解有向图，单源最短路径的算法 实验目的： 1）了解，并掌握分支限界算法思想 2）会编写常见算法。 实验要求： 1.编写实验代码 2.分析算法时间和空间复杂度 实验主要步骤： 1 算法代码 package suanfa; publicclass ShortPath{ privatestatic Integer M = Integer.MAX_VALUE; publicstaticvoid main(String[]args){ int[][]c={{M,4,2,3,M,M,M,M,M,M}, {M,M,M,M,9,8,M,M,M,M}, {M,M,M,M,6,7,8,M,M,M}, {M,M,M,M,M,4,7,M,M,M}, {M,M,M,M,M,M,M,5,6,M}, {M,M,M,M,M,M,M,8,6,M}, {M,M,M,M,M,M,M,6,5,M}, {M,M,M,M,M,M,M,M,M,7}, {M,M,M,M,M,M,M,M,M,3}, {M,M,M,M,M,M,M,M,M,M}}; shortPath(10,c); } publicstaticvoid shortPath(int n,int[][]c){ int[] cost=newint[n];//cost[i]存储i到n-1的子问题的最短路径值 int[] path=newint[n];//path[i]存储状态，使cij+cost[i]最小的j值 //对数组cost[n]和path[n]进行初始化 for(int i=0;i
最短路径规划实验报告
电子科技大学计算机学院标准实验报告 （实验）课程名称最短路径规划 电子科技大学教务处制表
实验报告 学生姓名：李彦博学号：2902107035 指导教师：陈昆 一、实验项目名称：最短路径规划 二、实验学时：32学时 三、实验原理：Dijkstra算法思想。 四、实验目的：实现最短路径的寻找。 五、实验内容： 1、图的基本概念及实现。 一、图的定义和术语 图是一种数据结构。 ADT Graph{ 数据对象V ：V是据有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集。 数据关系R ： R={VR} VR={
最短路径规划
习题课内容 同学主导 ? 例2-09（信计101两个同学：常现杰陈少华） 211两个同学付乾乾? 例2-11（信计101两个同学：付乾乾桂大龙） ? 例2-12（信计102两个同学：蔡中华陈恒）214两个同学邓金勇?例2-14（信计102两个同学：邓金勇邓小龙） ?看得见的数学 有趣的小实验 系统最短路径规划专题
系统最短路径规划专题 1有趣的小试验、有趣的小试验An interesting experiment 2、物理可视化原理Visualization Principle 3、最短路径可视化仪及应用 Visualization instrument for system shortest path programming 4、社会评价Social evaluation 5、发明与机遇并存案例、发遇 Case studies for Invention and Chance
系统最短路径规划专题 1、有趣的小试验 测试板放入溶液 取出测试板得到薄膜轨迹系统全局最短路径
系统最短路径规划专题 1有趣的小试验、有趣的小试验An interesting experiment 2、物理可视化原理Visualization Principle 3、最短路径可视化仪及应用 Visualization instrument for system shortest path programming 4、社会评价Social evaluation 5、发明与机遇并存案例、发遇 Case studies for Invention and Chance
运用动态规划模型解决最短路径问题
运用动态规划模型解决物流配送中的最短路径问题 王嘉俊 （盐城师范学院数学科学学院09（1）班） 摘要：随着现代社会的高速发展，物流配送成为了连接各个生产基地的枢纽，运输的成本问题也成为了企业发展的关键。运费不但与运量有关，而且与运输行走的线路相关。传统的运输问题没有考虑交通网络，在已知运价的条件下仅求出最优调运方案，没有求出最优行走路径。文中提出“网络上的物流配送问题“，在未知运价，运量确定的情况下，将运输过程在每阶段中选取最优策略，最后找到整个过程的总体最优目标，节省企业开支。 关键词：动态规划，数学模型，物流配送,最优路径 1 引言 物流配送是现代化物流系统的一个重要环节。它是指按用户的订货要求, 在配送中心进行分货、配货, 并将配好的货物及时送交收货人的活动。在物流配送业务中, 合理选择配送径路, 对加快配送速度、提高服务质量、降低配送成本及增加经济效益都有较大影响。物流配送最短径路是指物品由供给地向需求地的移动过程中, 所经过的距离最短(或运输的时间最少, 或运输费用最低) , 因此, 选定最短径路是提高物品时空价值的重要环节。[1] 经典的Dijkstra 算法和Floyd 算法思路清楚,方法简便,但随着配送点数的增加,计算的复杂性以配送点数的平方增加,并具有一定的主观性。我国学者用模糊偏好解试图改善经典方法[]5,取得了较好的效果。遗憾的是,模糊偏好解本身就不完全是客观的。文献[]6详细分析了经典方法的利弊之后,提出将邻接矩阵上三角和下三角复制从而使每条边成为双通路径,既适用于有向图也适用于无向图, 但复杂性增加了。为了避免上述方法存在的不足,本文以动态规划为理论,选择合理的最优值函数,用于解决物流配送最短路径问题。 动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。1951年美国数学家Bellman（贝尔曼）等人根据一类多阶段决策问题的特性，提出了解决这类问题的“最优性原理”，并研究了许多实际问题，从而创建了最优化问题的一种新方法——动态规划。 动态规划在工程技术、管理、经济、工业生产、军事及现代控制工程等方面都有广泛的应用，而且由于动态规划方法有其独特之处，在解决某些实际问题时，显得更加方便有效。由于决策过程的时间参数有离散的和连续的情况，故决
线性规划问题求解
高中线性规划问题简析 何江南 数学与信息学院学科教学专业 2014级 摘要：线性规划问题是高中阶段一个比较重要的知识点，它是在学习了不等式的基础上，对不等式的应用及延伸。解决线性规划问题是沟通几何知识和代数知 识的桥梁是，数形结合思想的集中体现。高中线性规划一般考的比较简单，但类 型比较多，比较繁琐。因而高中阶段很多学生线性规划这个知识点掌握的不够好， 在考试中经常失分。本文主要针对高中阶段学生作图难的情况，总结了可行域的 画法、简单的线性规划问题的分类、以及解决一些简单线性规划问题的简便方法。 关键词：线性规划问题;作图;分类;简便方法 一、线性规划问题在中学的作用和地位 线性规划这节课是在学习了直线方程和不等式的基础上，介绍直线方程的一 个简单应用，反映了对数学知识在实际应用方面的重视．在实际生活中，经常会 遇到在一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何精打细算巧安排的问题.用 最少的资源取得最大的效益就是线性规划研究的基本内容．中学所学的线性规划 体现了数学的工具性、应用性，同时渗透了化归、数形结合的数学思想。因此， 本节内容的学习，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是提高学生解决实际问 题能力的一种途径，更是加强学生应用意识的良好素材；其次就是为高等数学的 学习打下基础；而且线性规划问题也经常在高考中出现。 二、线性规划问题的求解步骤 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解；有的是以应用题的形式给出，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解。 在解此类题目时要注意，在实际问题中有些隐含的约束条件，因此在寻找约束条件的时候一定要把所有的约束条件全，还有的题目直接给出约束条件，要求求出目标函数的最优解，相对于第一类问题来说，此类问题相对简单，因为不必去找约束条件。 可行域的画法： 准确的画出可行域是求解线性规划问题的前提，画出可行域最根本的问题是确定二元一次不等式所表示的区域，确定二元一次不等式所表示的平面区域有
最短路径问题的0-1规划模型,lingo直接求解
解：对于无向图的最短路问题，可以这样理解，从点到点和点到点的边看成有向弧，其他各条边均看成有不同方向的双弧，因此，可以按照前面介绍有向图的最短路问题来编程序，但按照这种方法编写LINGO程序相当于边（弧）增加了一倍.这里选择邻接矩阵和赋权矩阵的方法编写LINGO程序. MODEL: 1] sets: 2] cities/1..11/; 3] roads(cities, cities): p, w, x; 4] endsets 5] data: 6] p = 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 7] 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 8] 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 9] 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 10] 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 11] 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 12] 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 13] 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 14] 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 15] 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 16] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 17] w = 0 2 8 1 0 0 0 0 0 0 0 18] 2 0 6 0 1 0 0 0 0 0 0 19] 8 6 0 7 5 1 2 0 0 0 0 20] 1 0 7 0 0 0 9 0 0 0 0 21] 0 1 5 0 0 3 0 2 9 0 0 22] 0 0 1 0 3 0 4 0 6 0 0 23] 0 0 2 9 0 4 0 0 3 1 0 24] 0 0 0 0 2 0 0 0 7 0 9 25] 0 0 0 0 9 6 3 7 0 1 2 26] 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 4 27] 0 0 0 0 0 0 0 9 2 4 0; 28] enddata 29]n=@size(cities); 30]min=@sum(roads:w*x); 31]@for(cities(i) | i #ne# 1 #and# i #ne# n: 32] @sum(cities(j): p(i,j)*x(i,j)) 33] =@sum(cities(j): p(j,i)*x(j,i))); 34]@sum(cities(j): p(1,j)*x(1,j))=1; END 在上述程序中，第6]行到第16]行给出了图的邻接矩阵，到和到的边按单向计算，其余边双向计算.第17]行到第27]行给出了图的赋权矩阵, 注意：由于有了邻接矩阵，两点无道路连接时，权值可以定义为0. 其它的处理方法基本上与有向图相同. 用LINGO软件求解，得到（仅保留非零变量）
例：动态规划解最短路径问题：
● 例：动态规划解最短路径问题： 步骤(1)、(2)已实现。 最优子结构：从起点到终点的最短路径包含了该路径 上各点到终点的最短路径。 递归公式：设v 为图中一个顶点，v 1, v 2,…, v m 为v 的 直接后继，cost(v)表示v 到终点的最短路径 长度，c[u, w]表示边
设有向网G含n个顶点，用邻接矩阵c[1..n, 1..n]表示，起点为s，终点为t 。 有关信息的保存： 数组cost[1..n]: 存储子问题的解。 （cost[i]表示从顶点i到终点t的最短路径长 度。） 数组succ[1..n]: 存储最短路径的有关信息。 （succ[i]表示顶点i到终点t的最短路径上顶 点i的直接后继。） 原问题的最优值为cost[s]。 (1) 自底向上的迭代算法 关键：根据递归公式确定迭代顺序（即子问题的求解顺序）。 原则：计算cost[i]时，顶点i的所有后继的cost值应先计算。 计算顺序：按图G的逆拓扑排序顺序。 算法SHORTEST_ROUTE_LEN1 输入：有向网G的顶点数n, 邻接矩阵c[1..n, 1..n], 起点s和终点t , 1<=s, t<=n。
输出：G的从起点s到终点t的最短路径长度cost[s]和最短路径有关信息的数组succ[1..n]。 //对图G拓扑排序，结果存于数组a[1..n] 中。 toposort(c, n, a) j=n while a[j]< >t j=j-1 //找出j使得a[j]=t 。 for i=j+1 to n cost[a[j]]=∞//排除无关的顶 点。 cost[t]=0 //从终点开始迭代。 while a[j]< >s j=j-1; k=a[j]; i0=0 ; min=∞ for i=1 to n if c[k, i]+cost[i] 算法综合实验报告 学号： 1004111107 姓名：黄琼莹 一、实验内容： 分别用动态规划、贪心及分支限界法实现对TSP问题（无向图）的求解，并至少用两个测试用例对所完成的代码进行正确性及效率关系上的验证。 二、程序设计的基本思想、原理和算法描述： （包括程序的数据结构、函数组成、输入/输出设计、符号名说明等） 1、动态规划法 (1)数据结构： 利用二进制来表示集合，则集合S可由一个十进制数x相对应，此x所 对应的二进制数为y，如果y的第k位为1，则表示k存在集合S中。 例如： 集合S={0，1}（其子集合为{}{0}{1}{01}），我们用二进制数11（所对应 十进制数为3）表示S，11中右手边第1个数为1表示0在集合S中， 右手边第二个数为1表示1在集合S中，其他位为0表示其它数字不在 集合S中；同理, 集合S={0,2}（其子集合为{}{0}{2}{02}可用二进制数101（所对应十进制 数为5）表示（右手边第1个数为1表示0在集合S中，右手边第二个 数为0表示1不在集合S中，右手边第3个数为1表示2在集合S中， 则说明0，2在集合中，1不在集合中。 (2)函数组成 getmin():获得该数组的最小值； getJ()：根据2进制j和j中1的个数找下一个j getnextj():返回下一个j的十进制数 (3)输入/输出设计 本题通过键盘进行输入，通过屏幕进行输出 由于题目的输入要求是：第一行输入一个整数n（2<=n<=10），接下来的n行，每行输入n-1个整数，表示i与除了自己之外的所有点之间的距离，按点的编号从小到大顺序输入 可以设计两个for循环来实现数据的输入，外层for循环实现一行一行地输入，内层for循环实现某一行中数据的输入 5 3 1 5 8 3 6 7 9 1 6 4 2 5 7 4 3 8 9 2 3 (4)符号名说明 N：节点数，即城市的数目 matr[20][20]：存邻接矩阵 d[20][40000]={0}：存动态填表数据 min：花费的最小值，即答案 jlist[20]：存放j的二进制数组 V[20]：标记节点是不是被访问过 tmpres[20]:存放结果的数组 (5)算法描述 假设从顶点i出发，令d(i,V’)表示从顶点i出发经过V’中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点i的最短路径的长度，开始时，V’=V-{i}，于是，旅行商问题的动态规划函数为： d(i,V’) = min{c ik + d(k,V’-{k})} (k∈V’) 1) d(k,{}) = c ki (k ≠ i) 2) 简单来说,就是用递归表达:从出发点0到1号点,假设1是第一个,则剩下的路程就是从1经过剩下的点最后回到0点的最短路径. 所以当V’为空的时候, d(k,{}) = c ki (k ≠ i), 找的是最后一个点到0点的距离.递归求解1之后,再继续求V’之中剩下的点,最后找出min. 如果按照这个思想直接做,对于每一个i都要递归剩下的V中所有的点,所以这样的时间复杂度就近似于N!,其中有很多重复的工作. 可以从小的集合到大的集合算,并存入一个二维数组,这样当加入一个节点时,就可以用到之前的结果,如四个点的情况: 邻接矩阵: node 0 1 2 3 0 5 3 2 动态规划算法实现多段图的最短路径问题算法设计与分析实验报告 算法设计与分析实验报告 实验名称 动态规划算法实现多段图的最短路径问题 评分 实验日期 年 月 日 指导教师 姓名 专业班级 学号 一.实验要求 1. 理解最优子结构的问题。 有一类问题的活动过程可以分成若干个阶段，而且在任一阶段后的行为依赖于该阶段的状态，与该阶段之前的过程如何达到这种状态的方式无关。这类问题的解决是多阶段的决策过程。在50年代，贝尔曼（Richard Bellman ）等人提出了解决这类问题的“最优化原理”，从而创建了最优化问题的一种新的算法设计方法－动态规划。 对于一个多阶段过程问题，是否可以分段实现最优决策，依赖于该问题是否有最优子结构性质，能否采用动态规划的方法，还要看该问题的子问题是否具有重叠性质。 最优子结构性质：原问题的最优解包含了其子问题的最优解。 子问题重叠性质：每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。问题的最优子结构性质和子问题重叠性质是采用动态规划算法的两个基本要素。 2.理解分段决策Bellman 方程。 每一点最优都是上一点最优加上这段长度。即当前最优只与上一步有关。 U s 初始值，u j 第j 段的最优值。 ? ????+==≠}.{min , 0ij i j i j s w u u u 3.一般方法 1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征；2）递归地定义最优值（写出动态规划方程）；3）以自底向上的方式计算出最优值； 4）根据计算最优值时得到的信息，构造一个 最优解。 步骤1-3是动态规划算法的基本步骤。在只需要求出最优值的情形，步骤4可以省略，步骤3中记录的信息也较少；若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤4，步骤3中记录的信息必须足够多以便构造最优解。 二.实验内容 1.编程实现多段图的最短路径问题的动态规 划算法。 2.图的数据结构采用邻接表。 3.要求用文件装入5个多段图数据，编写从文件到邻接表的函数。 4.验证算法的时间复杂性。 三.程序算法 多段图算法： Procedure FGRAPH（E,k,n,P） //输入是按段的顺序给结点编号的，有n个结点的k段图。E是边集，c（i，j）是边 最短路径问题 下图给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路长度。 现在，我们想从城市a到达城市E。怎样走才能使得路径最短，最短路径的长度是多少？设DiS［x］为城市x到城市E的最短路径长度（x表示任意一个城市）； map[i，j]表示i，j两个城市间的距离，若map[i，j]=0，则两个城市不通； 我们可以使用回溯法来计算DiS［x］： var S：未访问的城市集合； function search(who{x})：integer； {求城市who与城市E的最短距离} begin if Who＝E Then Search←0 {找到目标城市} Else begin min←maxint；{初始化最短路径为最大} for i 取遍所有城市 Do if（map[Who，i]＞0{有路}）and（i S{未访问}） then begin S←S－[i]；{置访问标志} j←map[Who，i]+ search(i)； {累加城市E至城市Who的路径长度} S←S＋[i]； {回溯后，恢复城市i未访问状态} if j＜min Then min←j； {如果最短则记下} end；{then} search←min；{返回最短路径长度} End；{else} End；{search} begin S←除E外的所有城市； Dis[a]←search（a）；{计算最短路径长度} 输出Dis[a]； end．{main} 这个程序的效率如何呢？我们可以看到，每次除了已经访问过的城市外，其他城市都要访问，所以时间复杂度为O（n！），这是一个“指数级”的算法。那么，还有没有效率更高的解题方法呢？ 最短路径动态规划问题及其程序设计 林旭东 (深圳大学管理学院,广东深圳518060) [摘要]本文以最短路径问题为例,在给出佛洛伊德算法的基础上,设计了求解该算法的计算程序,这样可大大提高最短路径计算的效率。 [关键词]最短路径; 动态规划; 程序设计 1 佛洛伊德算法 已知有n个顶点的有向图,佛洛伊德算法能够求解出每一对顶点之间的最短路径。假设使用邻接矩阵d ( i, j)来对图进行存储, d ( i, j)表示υi 到υj 之间的距离,可是该距离不一定是最短距离。佛洛伊德算法的基本思想是:为求顶点υi→υj 之间的最短距离,需要进行n次试探。首先将υ0 加入路[收稿日期] - 12 - 22[作者简介]林旭东(1972 - ) ,男, 湖北武汉人,深圳大学管理学院副教授,博士后,主要研究方向:数量模型与决策分析。径,考虑路径υi →υ0 →υj 是否存在,如果存在,则比较υi →υj和υi →υ0 →υj 的路径长度,取长度短的路径作为υi →υj 的路径,记作(υi ,υj ) 。接着在路径上再增加一个顶点υ1 ,比较υi→υ1 →υj 和(υi ,υj )的路径长度, 取长度短的路径作为(υi ,υj) 。不断将顶点υ2 ,υ3 , .,υn - 1加入进行试探, 最后得到的(υi ,υj )必定为υi →υj 的最短路径。若使用数组dk ( i, j)表示加入顶点k后,最短路径长度的变化情况,使用数组pk ( i, j)表示加入顶点k后,最短路径上顶点的变化情况,这样佛洛伊德算法就会产生一组d 0 ( i, j) ,d1 ( i, j) , ., dn - 1 ( i, j)和一组p0 ( i, j) , p1 ( i, j) , ., pn - 1 ( i, j) 。 R2 = 01314 014 01286 0 01197 01263 01394 01146 GIS 环境下的最短路径规划算法 ―――此处最短路理解为路径长度最小的路径 02计算机1班刘继忠 学号：2002374117 1.整体算法说明： 将图的信息用一个邻接矩阵来表达，通过对邻接矩阵的操作来查找最短路进，最短路径的查找采用迪杰斯特拉算法，根据用户给出的必经结点序列、起点、终点进行分段查找。 2.各函数功能及函数调用说明。 1).void Welcome() 程序初始化界面，介绍程序的功能、特点及相关提示 2) void CreatGraph(MGraph *G,char buf[]) 把图用邻接矩阵的形式表示,并进行 初始化。 3).int ShortestPath(MGraph *G,int jump,int end,int avoid[],int P[MAXSIZE][MAXSIZE],int Dist[],int ShPath[])根据用户给出的起点、终点、必经结点、避开结点进行最短路径的分段查找。 4).void Print(int jump,int end,int Dist[],int ShPath[]) 输出找到的最短路径所经的 结点和路径长度。 函数调用图： 3.各函数传入参数及返回值说明： 1).void Welcome() 无传入和返回值 2) void CreatGraph(MGraph *G,char buf[ ]) MGraph *G为主函数中定义的指向存放图的信息的指针变量。 char buf[ ]为主函数中定义的用来存放在图的相关信息录入时的界面信息的数组，以便以后调用查看各结点的信息。 无返回值。 3).int ShortestPath(MGraph *G,int jump,int end,int avoid[],int P[MAXSIZE][MAXSIZE],int Dist[ ],int ShPath[ ]) MGraph *G指向存放图的信息的指针变量。 int jump起点，int end终点，int avoid[ ] 避开结点序列。 int P[MAXSIZE][MAXSIZE]用来记录各点当前找到的最短路径所经过 的结点。 int Dist[ ] 记录各结点的当前找到的最短路径的长度。 int ShPath[ ]用来存放用户需要的最短路径所经的各结点。 返回最短路径查找是否成功的信息。（return SUCCEED；return ERROR）4).void Print(int jump,int end,int Dist[],int ShPath[]) int jump起点，int end终点。 int Dist[ ] 记录各结点的当前找到的最短路径的长度。 int ShPath[ ]用来存放用户需要的最短路径所经的各结点。 无返回值。 4．用户说明： ①源程序经编译连接后运行，出现程序的初始化界面，其内容为介绍程序的 功能、特点及相关提示。如下： Welcome to shortest path searching system. Instructions Function: 1. Personal travelling route choosing. 2. Assistan helper in city's traffic design. 3. Shortes path choose in the comlicated traffic net of the city. Characteristic: It is convient,you could set vital point you must travel,and the point you must avoid. Prompt: If the condition is too secret ,maybe there will have no path available. Designer: Liu jizhong. Complate-data: 2004. 3. 21 CopyRight: Shared program,welcome to improve it. Press anykey to enter the program... ②按任意键进入图的信息录入界面根据提示即可完成图的信息的录入。 简单的线性规划问题 [学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一 线性规划中的基本概念 知识点二 1．目标函数的最值 线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z b ，当z 变化时，方程表 示一组互相平行的直线． 当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域． (2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案． 知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题 例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ 目录 第1章绪论 (1) 1.1 问题描述 (1) 1.2 问题分析 (1) 1.3 相关标识（名词定义） (1) 1.4 本文主要研究内容 (2) 第2章算法设计与实现 (3) 2.1 穷举法 (3) 2.1.1穷举法描述 (3) 2.1.2穷举法设计 (3) 2.1.3 穷举法分析 (6) 2.2 回溯法 (6) 2.2.1 回溯法描述 (6) 2.2.2 回溯法设计 (6) 2.2.3 回溯法分析 (9) 2.3 贪心法 (10) 2.3.1 贪心法描述 (10) 2.3.2 贪心法设计 (10) 2.3.3 贪心法分析 (12) 2.4 动态规划法 (12) 2.4.1 动态规划法描述 (12) 2.4.2 动态规划法设计 (12) 2.4.3 动态规划法分析 (14) 第3章实验结果分析与算法对比 (15) 3.1 输入数据 (15) 3.2 实验结果与分析 (15) 3.3 算法分析与对比 (17) 第4章总结与展望 (18) 参考文献 (19) 第1章 绪论 1.1 问题描述 最短路径问题是图论理论的一个经典问题。寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短，还可以引申到其它的度量，如时间、费用、线路容量等。 最短路径算法的选择与实现是通道路线设计的基础，最短路径算法是计算机科学与地理信息科学等领域的研究热点，很多网络相关问题均可纳入最短路径问题的范畴之中。经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。 本文主要解决的问题是：给定带权有向图G ＝(V , E)，对任意顶点i v ,j v ∈V （i ≠j ），求顶点i v 到顶点j v 的最短路径。即给定一个有向图，再给出任意2个不相邻的顶点，求2个顶点之间的最短距离。 1.2 问题分析 给定一个带权有向图G ＝(V , E )中的各个顶点之间的权值，对任意输入2个顶点 i v ,j v ∈V （i ≠j ），求出从i v 到j v 的最短路径。 输入：节点数目N ，邻接矩阵VR[N][N] 约束条件：i k m j v v v v --… 其中，,,,(i k m )i k m j v v v v V j ∈≠≠≠ 输出（目标函数）：min{ Dist(i v ,j v ) } 1.3 相关标识（名词定义） （1）时间复杂度 算法的时间复杂性是指执行算法所需要的时间。一般来说，计算机算法是问题规模 最短路径算法及其路径规划中的应用 摘要： 这篇文章把徒步运动的路径规划问题转化为求解图中任意两点间的最短路径问题，进而针对此问题介绍了Floyd算法，对该算法的时间花费进行分析，并介绍了在实际问题中如何灵活运用该算法解决路径决策中遇到的问题。 关键词：路径规划、最短路径、决策、Floyd算法 将实际地图的转化为有向图 在策划一次徒步旅行时，设计正确的旅行的线路特别重要，首先我们必须先要得到那个地区的地图，以便进行后续的线路规划。当我们拿到某一地区的地图时，我们可以把地图上的每一条线路用线段表示，用顶点表示地图上的岔路口，即多条线段的交点，这样就形成了一个由点和线段组成的图。我们可以在每条线段上标上数字，表示两点之间的实际距离，或者表示通过这条路径所需的时间。当然，如果两点之间没有线段相连，我们可以认为距离为无穷大，用∞表示。有时候某些线路是单向的，即只能从一个方向到另一个方向，不能逆行。这种情况在具体的路径设计中非常常见，比如，在繁华的都市内会有一些单行道，在山区景点中，常会出现一些上山索道，这些都是单向线路的常见例子。有时候，沿某条线路的两个方向所需的时间不同，这种例子更为常见，比如上山与下山，顺风与逆风等等。对于这两种情况，我们可以在表示路径的线段上加上箭头表示该路径的方向，形成有向图。 到达v2的距离为8，而从v2到v1的距离为3。 从点v1到v0的距离为5，而从v0到v1的距离 为∞。这种带有箭头的有向图，比不带箭头的无 向图能够表示更一般的情形，可以说无向图只是 有向图的一种特殊情况。 如果我们知道任意两点间的最短路径，这对 我们进行路径规划将会有很大的帮助，但当地图 较为复杂时，凭直觉估计最短路径的方法往往不 可靠，这时就必须借助计算机的强大计算能力，寻找最短路径。下面，我们就以 这种有向图为工具，来探究寻找最短路径的方法。 动态规划之最短路径问题源代码 #include "stdio.h" #include "conio.h" #define n 16 /*图的顶点数*/ #define k 7 /*图的段数*/ #define l 30 #define MAX 100 typedef int NodeNumber;/*节点编号*/ typedef int CostType;/*成本值类型*/ CostType cost[n][n]; NodeNumber path[k]; NodeNumber cur=-1; void creategraph(CostType *cost[n][n]) /*创建图的成本矩阵*/ { int i,j,x,y,value; for(i=0;i 简单线性规划问题的几种简单解法 依不拉音。司马义（吐鲁番市三堡中学，838009） “简单的线性规划问题”属于高中数学新课程必修5，进入了高考试题，并且保持了较大的考察比例，几乎是每年高考的必考内容，也是高中数学教学的一个难点。 简单的线性规划是指目标函数只含两个自变量的线性规划。简单线性规划问题的标准型为： 1112220(0)0(0),(),0(0) m m m A x B y C A x B y C m N z Ax By A x B y C +++≥≤??++≥≤?∈=+???++≥≤?L 约束条件 目标函数 ， 下面介绍简单线性规划问题的几种简单解法。 1. 图解法 第一步、画出约束条件表示的可行区域，这里有两种画可行区域的方法。 ⑴代点法：直线Ax+By+C=0（c 不为0）的某侧任取一点，把它的坐标代入不等式，若不等式成立，则不等式表示的区域在该点的那一侧；若不成立，则在另一侧。 ⑵B 判别法：若Ｂ＞0（＜０），则不等式Ax+By+C ＞0（＜０）表示的区域在直 线Ax+By+C ＝0的上方；若Ｂ＞０（＜０），则不等式Ax+By+C ＜０(＞0)表示的区域在直线Ax+By+C ＝0的下方。（即若B 与0的大小方向跟不等式的方向相同，则可行区域是边界线的上方；若B 与0的大小方向与不等式的方向相反，则可信分区域是边界线的下方） 用上面的两种方法画出可行区域是很简单，所以这里不必举例说明。 第二步、在画出的可行区域内求最优解（使目标函数取最大值或最小值的点），这 个可以用下面的两种办法解决。 ⑴y 轴上的截距法：若b >0，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其y 轴上的截距最大（最小）时，便是z 取得最大值（最小值）的点；若b <0，直线y a b x z b =-+所经过可行域上的点使其y 轴上的截距最大（最小）时，是z 取得最小值（最小值）的点（提醒：截距不是距离，截距可以取正负）。 例1．设x,y 满足约束条件x y y x y +≤≤≥???? ?10,,,求z x y =+2的最大值、最小值。 解：如图1作出可行域，因为y 的系数1大于0，目标函数z x y =+2表示直线 y x z =-+2在y 轴上的截距， 当直线过A （1，0）时，截距值最大z max =?+=2102，当直线过点O （0，0）时，截距值最小min 2000z =?+=。 《吉林建筑工程学院城建学院人文素质课线性规划单纯形法例题》 ? ? ??≥=+ +=+++++=?? ? ??≥≤+≤++=0 ,,,24 261553).(002max ,,0,24 261553).(2max 14.1843214213 214 321432121212 1x x x x x x x x x x t s x x x x z x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。分别用图解法和单纯形）】 （页【为初始基变量， 选择43,x x )1000(00)0010(01 )2050(12)6030(24321=?+?-==?+?-==?+?-==?+?-=σσσσ 为出基变量。为进基变量，所以选择41x x 3 /1)6/122/10(00 )0210(03 /1)3/1240(10)1200(24321-=?+-?-= =?+?-==?+?-==?+?-=σσσσ 为出基变量。 为进基变量，所以选择32x x 24 /724/528/11012/112/124/1100 021110 120124321-=?+-?-=-=-?+?-==?+?-==?+?-=）（）（）（）（σσσσ 4 33 4341522max , )4 3,415(),(2112= +?=+===x x z x x X T T 故有：所以，最优解为 ??? ??? ?≥=+ +=+=+ ++++=?????? ?≥≤+≤≤+=0,,,,18232424).(0002max ,,,0 ,182312212 ).(52max 24.185432152142315 43215432121212 1x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z x x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。分别用图解法和单纯形）】 （页【 )000010(00001000000000100520200052300010254321=?+?+?-==?+?+?-==?+?+?-==?+?+?-==?+?+?-=σσσσσ）（）（）（）（ 为出基变量。为进基变量，所以选择42x x 下面我们通过一个例子来解释怎样用“规划求解”来求解数学规划问题。 例1 公司通常需要确定每月（或每周）生产计划，列出每种产品必须生产的数量。具体来说就是，产品组合问题就是要确定公司每月应该生产的每种产品的数量以使利润最大化。产品组合通常必须满足以下约束： ● 产品组合使用的资源不能超标。 ● 对每种产品的需求都是有限的。我们每月生产的产品不能超过需求的数量，因为生产过剩就是浪费（例如，易变质的药品）。 下面，我们来考虑让某医药公司的最优产品组合问题。该公司有六种可以生产的药品，相关数据如下表所示。 设该公司生产药品1～6的产量分别为126,,,x x x （磅），则最优产品组合的线性规划模型为 123456 123456123456123456max 6 5.3 5.4 4.2 3.8 1.86543 2.5 1.545003.2 2.6 1.50.80.70.316009609281041..977108410550,16j z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x j =++++++++++≤??+++++≤??≤?≤??≤??≤?≤??≤??≥≤≤? 下面用规划求解加载宏来求解这个问题： 首先，如下如所示，在Excel 工作表内输入目标函数的系数、约束方程的系数、右端常数项； 其次，选定目标函数单元、可变单元、约束函数单元，定义目标函数、约束函数 其中，劳动力约束函数的定义公式是“=MMULT(B3:G3, J5:J10)”，原料约束函数的定义公式是“＝MMULT(B4:G4,J5:J10)”，目标函数的定义公式是“MMULT(B5:G5, J5:J10)”。 注：函数MMULT(B3:G3, J5:J10)的意义是：单元区B3:G3表示的行向量与单元区J5:J10表示的列向量的内积。这一要特别注意的是，第一格单元区必须是行，第二格单元区必须是列，并且两个单元区所含的单元格个数必须相等。 最后，打开规划求解参数设定对话框设定模型 （1）（2）目标函数和可边单元的设定很简单，在此就不再赘述 （3）约束条件的设定 (3.1) 约束条件1234561234566543 2.5 1.545003.2 2.6 1.50.80.70.31600x x x x x x x x x x x x +++++≤??+++++≤? 的设定： 系数矩阵 目标函数的系数 系数矩阵右端常数 可变单元 约束函数单元 目标函数单元贪心、分支限界、动态规划解决最短路径问题
动态规划算法实现多段图的最短路径问题算法设计与分析实验报告
动态规划-最短路径问题
最短路径Floyd算法动态规划问题及其程序设计样本
GIS环境下的最短路径规划算法
简单的线性规划问题附答案)
最短路径问题设计
最短路径算法及其在路径规划中的应用
动态规划之最短路径源代码
线性规划化问题的简单解法
线性规划单纯形法(例题)
利用excel软件求解线性规划问题