勾股定理综合难题 附答案(超好 打印版)
C
B
A D E
F
练习题
1 如图，圆柱的高为10 cm ，底面半径为
2 cm.，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少?
2 如图，长方体的高为
3 cm ，底面是边长为2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点A 出发，沿长方
体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5
A
B
3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。
4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，?长BC ?为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？?
5．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，
使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3
B ．4 C
D ．5
6．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的
垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，D=4cm ． 求AC 的长．
7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8， 现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且 与AE 重合，则CD 的长为
8、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使
点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折 痕EF 的长为 。
9、如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________．
B
C
A
F
E
D
C
B
A
B ’
C ’
B ′
A ′
C ′
D
C
B
A D
10、如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C′的位置，若BC ＝2，则BC′＝_________．
11．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
12、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？
13、如图，在△ABC 中，∠B=
90，AB=BC=6，把
△ABC 进行折叠，使点A 与点D 重合，BD:DC=1:2，折痕为EF ， 点E 在AB 上，点F 在AC 上，求EC 的长。
14．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，
使点
B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）
A 、6cm 2
B 、8cm 2
C 、10cm 2
D 、12cm 2
15．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长．
16、如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD 的面积。
E
题5图
F
B
C ′
B
A
C
D A
C
D
图1
D A
E
A
D
B C
E F
第11题图
17、如图，已知：在ABC ?中，?=∠90ACB ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．
18．如图8，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为10cm ，宽为4cm ，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P 落在AD 边上(不与A 、D 重合)，在AD 上适当移动三角板顶点P ：
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能， 请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由．
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在AD 上移动， 直角边PH 始终通过点B ，另一直角边PF 与DC 的延长 线交于点Q ，与BC 交于点E ，能否使CE ＝2cm ？若能， 请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由．
21．①能.设AP ＝x 米，由于BP 2＝16+x 2，CP 2＝16+(10－x)2，而在Rt △PBC 中，有BP 2+ CP 2＝
BC 2，即16+x 2+16+(10－x)2＝100，所以x 2－10x+16＝0，即(x －5)2＝9，所以x －5＝±3，所以x ＝8，x ＝2，即AP ＝8或2，②能.仿照①可求得AP ＝4.
19.如图△ABC 中，BC BM AC AN BC AC ACB ====?=∠,,5,12,90则MN= 4
20、※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）
（A
）2d （B
d - （C
）2d （D
）d
解:设两直角边分别为,a b ,斜边为c ,则2c d =,
12S ab
=
. 由勾股定理,得222a b c +=.
所以
()2
22222444a b a ab b c S d S
+=++=+=+.
所以a b +=所以a b c ++
=2d .故选（C ）
21※．在ABC ?中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点
122006
,,P P P ,
记
()
2
1
,2,2006i i i i m AP BP PC i =+?=,则
122006
m m m ++
=_____.
图
8
22※．如图所示，在Rt ABC ?中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=?=∠=?,且3BD =,
4CE =,求DE 的长
.
.
23、如图，在△ABC 中，AB=AC=6，P 为BC 上任意一点，请用学过的知识试求PC ·PB+PA 2的值。
24、※如图在Rt △ABC 中,3,4,90==?=∠BC AC C ，在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：
要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）
25．如图，A 、B 两个村子在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC=1km ，BD=3km ，CD=3km ，现在河边CD 上建一水厂向A 、B 两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD 选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F 。
A
B
C
26．已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 cm
27．（8分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为BC 上任意一点，请说明：AB 2－AP 2=PB ×PC 。
28、如图，已知：?=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P ．求证： 2
22BC AP BP +=．
P
M
B
C
A
29．（本题满分6分）如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西
8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
30. （本题满分6分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是
长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米， 请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.
31．在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?
C O
A B D
E
F 第26题图
A
B C 第28题图 小河
32．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?
33．长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m．
34．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．
35．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝
CB
4
1
，求
证：AF⊥FE．
36．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．37．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．
38．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个侧面缠绕n 圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?
39、a 、b 为任意正数，且a>b ，求证：边长为2ab 、 a 2－b 2、a 2+b 2的三角形是直角三角形
40. 三角形的三边长为ab c b a 2)(2
2+=+,则这个三角形是( )
（A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形. 41.（12分）如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方
向100km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以20km/h 的速度向D 移动，
已知城市A 到BC 的距
离AD=60km ，那么台风中心经过多长时间从B
点移到D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
42.（14分）△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则
222c b a =+，若△ABC 不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想2
2b
a +与2
c 的关系，并证明你的结论.
. 解：若△ABC 是锐角三角形，则有a 2+b 2>c 2 若△ABC 是钝角三角形，∠C 为钝角，则有a 2+b 2 证明：过点A 作AD ⊥CB ，垂足为D 。设CD 为x ，则有DB=a －x 根据勾股定理得 b 2－x 2＝c 2―(a―x) 2 即 b 2－x 2＝c 2―a 2＋2ax―x 2 ∴a 2＋b 2＝c 2＋2ax ∵a>0，x>0 ∴2ax>0 ∴a 2+b 2>c 2 当△ABC 是钝角三角形时， 43．（10分）如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以 千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200?千米范围内是受台风影响的区域． （1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ A B C D 第24题图 44、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）． A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 45如图，已知：，，于P. 求证：. 46【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四 边形ABCD的面积。 47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? （一）转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决． 49、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。 50 如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°。 求证：DE2=AD2+BE2。 E D 51 如图，在△A BC中，AB=13,BC=14,A C=15，则BC边上的高A D= 。 52 如图，长方形ABCD 中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，则重叠部分△AFC 的面积是 。 E 53 在△ABC 中，AB=15 ,AC=20,BC 边上的高A D=12，试求BC 边的长. 54 在△A BC 中，D 是BC 所在直线上一点，若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求△ABC 的面积。 55. 若△ABC 三边a 、b 、c 满足 a 2＋b 2＋c 2＋338=10a+24b+26c ，△ABC 是直角三角形吗？为什么？ 56. 在△ABC 中，BC=1997，AC=1998，AB 2=1997+1998，则△ABC 是否为直角三角形？为什么？ 注意BC 、AC 、AB 的大小关系。AB ＜BC ＜AC 。 AB2+BC2=1997+19972+1998=1997×（1+1997）+1998=1997×1998+1998=19982= AC2。 57. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点A 处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点 C1处，如图，已知长方形长6cm ，宽5 cm ，高3 cm 。蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形 的表面向上爬，它要从A 点爬到C1点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着 怎样的路线爬上去，所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？ B A D A D 58.木箱的长、宽、高分别为40dm 、30dm 和50dm ，有一70dm 的木棒，能放进去吗？请说明理由。 59. 已知△ABC 的三边a 、b 、c ，且a+b=17，ab=60，c=13, △ABC 是否是直角三角形？你能说明理由吗？ 60. 如图，E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，延长AB 到F ，使BF=41 AB ，那么FE 与FA 相等吗？为什么？ 61. 如图，∠A=60°, ∠B=∠D=90°。若BC=4，CD=6，求AB 的长。 62．如图，∠xoy=60°，M 是∠xoy 内的一点，它到ox 的距离MA 为2。它到oy 的距离为11。求OM 的长。 带答案版的 用面积证明勾股定理 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 图（1）中，所以。 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。 图（2）中，所以。 方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。 在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）, 在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）, 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：. 方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。 ，所以。 C B A D E F 练习题 1 如图，圆柱的高为10 cm ，底面半径为 2 cm.，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少? 2 如图，长方体的高为 3 cm ，底面是边长为2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点A 出发，沿长方 体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5 A B 3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。 4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，?长BC ?为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？? 5．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠， 使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C D ．5 6．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的 垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，D=4cm ． 求AC 的长． 7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8， 现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且 与AE 重合，则CD 的长为 8、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使 点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折 痕EF 的长为 。 B C A F E D C B A B ’ C ’ B ′ A ′ C ′ D C B A D 9、如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________． 10、如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C′的位置，若BC ＝2，则BC′＝_________． 11．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 12、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？ 13、如图，在△ABC 中，∠B= 90，AB=BC=6，把 △ABC 进行折叠，使点A 与点D 重合，BD:DC=1:2，折痕为EF ， 点E 在AB 上，点F 在AC 上，求EC 的长。 14．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠， 使点 B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、6cm 2 B 、8cm 2 C 、10cm 2 D 、12cm 2 15．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长． E 题5图 F B C ′ B A C D A C D 图1 D A E A D C E F 第11题图 16、如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD 的面积。 17、如图，已知：在ABC ?中，?=∠90ACB ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等． 18．如图8，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为10cm ，宽为4cm ，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P 落在AD 边上(不与A 、D 重合)，在AD 上适当移动三角板顶点P ： ①能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能， 请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由． ②再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在AD 上移动， 直角边PH 始终通过点B ，另一直角边PF 与DC 的延长 线交于点Q ，与BC 交于点E ，能否使CE ＝2cm ？若能， 请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由． 21．①能.设AP ＝x 米，由于BP 2＝16+x 2，CP 2＝16+(10－x)2，而在Rt △PBC 中，有BP 2+ CP 2＝ BC 2，即16+x 2+16+(10－x)2＝100，所以x 2－10x+16＝0，即(x －5)2＝9，所以x －5＝±3，所以x ＝8，x ＝2，即AP ＝8或2，②能.仿照①可求得AP ＝4. 19.如图△ABC 中，BC BM AC AN BC AC ACB ====?=∠,,5,12,90则MN= 4 20、※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ） （A ）2d （B d - （C ）2d （D ）d 解:设两直角边分别为,a b ,斜边为c ,则2c d =, 12S ab = . 由勾股定理,得222a b c +=. 所以 ()2 22222444a b a ab b c S d S +=++=+=+. 所以a b +=所以a b c ++ =2d .故选（C ） 21※．在ABC ?中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点 122006 ,,P P P , 图 8 记() 2 1,2,2006i i i i m AP BP PC i =+?=,则 122006 m m m ++=_____. 解:如图,作AD BC ⊥于D ,因为1AB AC ==,则BD CD =. 由勾股定理,得222222 ,AB AD BD AP AD PD =+=+.所以 ()()2222 AB AP BD PD BD PD BD PD BP PC -=-=-+=? 所以222 1AP BP PC AB +?==. 因此 2122006120062006 m m m ++ =?=. 22※．如图所示，在Rt ABC ?中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=?=∠=?,且3BD =, 4CE =,求DE 的长 . 解:如右图：因为ABC ?为等腰直角三角形,所以45ABD C ∠=∠=?. 所以把AEC ?绕点A 旋转到AFB ?,则AFB AEC ???. 所以4,,45BF EC AF AE ABF C ===∠=∠=?.连结DF . 所以DBF ?为直角三角形. 由勾股定理,得222222 435DF BF BD =+=+=.所以5DF =. 因为45,DAE ∠=?所以45DAF DAB EAC ∠=∠+∠=?. 所以 () ADE ADF SAS ???. 所以5DE DF ==. 23、如图，在△ABC 中，AB=AC=6，P 为BC 上任意一点，请用学过的知识试求PC ·PB+PA 2的值。 A 24、※如图在Rt △ABC 中,3,4,90==?=∠BC AC C ，在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示： 要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形） 解：要在Rt △ABC 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。 25 、B 两个村子在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC=1km ，BD=3km ，CD=3km ，现在河边CD 上建一水厂向A 、B 两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD 选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F 。 26．已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 cm C O A B D E F 第26题图 A B P C 第28题图 27．（8分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为BC 上任意一点，请说明：AB 2－AP 2=PB ×PC 。 28、如图，已知：?=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P ．求证： 2 22BC AP BP +=． P M B C A 29．（本题满分6分）如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西 8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 30. （本题满分6分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是 长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4 米，宽2.8米， 请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道. 31．在一棵树的10米高 B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米? 32．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面， 已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米? 小河 33．长为4 m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m ． 34．已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且DE ⊥ DF ．求证：AE 2＋BF 2＝EF 2． 35．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求 证：AF ⊥FE ． 36．已知△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由． 37．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状． 38．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要多长?如果从点A 开始经过四个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要多长 ? 39、a 、b 为任意正数，且a>b ，求证：边长为2ab 、 a 2－b 2、a 2+b 2的三角形是直角三角形 40. 三角形的三边长为 ab c b a 2)(2 2+=+,则这个三角形是( ) （A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形. 41.（12分）如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方 向100km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以20km/h 的速度向D 移 动，已知城市A 到BC 的距离AD=60km ，那么台风中心经过多长时 A B C D 第24题图 间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 42.（14分）△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则 222c b a =+，若△ABC 不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想22b a + 与2 c 的关系，并证明你的结论. . 解：若△ABC 是锐角三角形，则有a 2+b 2>c 2 若△ABC 是钝角三角形，∠C 为钝角，则有a 2+b 2 证明：过点A 作AD ⊥CB ，垂足为D 。设CD 为x ，则有DB=a －x 根据勾股定理得 b 2－x 2＝c 2―(a―x) 2 即 b 2－x 2＝c 2―a 2＋2ax―x 2 ∴a 2＋b 2＝c 2＋2ax ∵a>0，x>0 ∴2ax>0 ∴a 2+b 2>c 2 当△ABC 是钝角三角形时， 43．（10分）如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以 千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200?千米范围内是受台风影响的区域． （1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 44、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm 45如图，已知： ， ， 于P. 求证： . 思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP 为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP 为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系. 解析：连结BM ，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵ （已知）， ∴ . 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 46【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD 的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC ，或延长AB 、DC 交于F ，或延长AD 、BC 交于点E ，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD 、BC 交于E 。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE 2=AE 2-AB 2=82-42=48，BE==。 ∵DE 2= CE 2-CD 2=42-22=12，∴DE= =。 ∴S 四边形ABCD =S △ABE -S △CDE =AB ·BE-CD ·DE= 47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH ．如图所示，点D 在离厂门中线0.8米处，且CD ⊥ＡＢ， 与地面交于H ． 解：OC ＝1米 (大门宽度一半)， OD ＝0.8米 （卡车宽度一半） 在 Rt △OCD 中，由勾股定理得： CD ＝＝＝０.６米， C Ｈ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）． 因 此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门． 48、如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP ＝160m 。假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？ 如图：圆柱的高为10 cm，底面半径为 2 cm.在下底面的A点处有一只蚂蚁，1 它想吃到上底面上与A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少? 如图：长方体的高为 3 cm，底面是边长为 2 cm的正方形.现有一小虫从顶点2 出发，沿长方体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米? A 、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D点，那么它所行3 的最短路线的长是 _____________。 、如图：小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为4 长BC为10cm，当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处，折8cm， 痕为AE，想一想，此时EC有多长？ 5、如图：将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使点C 与A 点重合，则EB 的长是（ ） A 。3 B 。4 C 。√5 D 。5 6、已知：如图，在△ABC 中，∠C=90° ，∠B=30°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，BD=4cm ，求AC 的长。 7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，现将直角边 AC 沿直 线 AD 折叠，使其落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 的长为。 8、如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，将矩形ABCD 折叠，使点 B 与点 D 重合， C 落在C ’处，若AE:BE=1：2，则折痕EF 的长为。 9、如图，已知，点 E 是正方形 ABCD 的 BC 边上的点，现将△ DCE 沿折痕 DE 向上翻折，使 DC 落在对角线DB 上，则 EB ：CE 是多少？ 10、如图，AD 是△ ABC 的中线，角ADC=45o，把△ ADC 沿 AD 对折，点 C 落在 C’的位置，若 BC=2，则 BC’=_________。 ′ 勾股定理练习题 1、如图，已知：在ABC ?中，?=∠90ACB ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等． 2、直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ） （A 2d （B d （C ）2d （D ）d 3、如图所示，在Rt ABC ?中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=?=∠=?,且3BD =, 4CE =,求DE 的长. 4、如图在Rt △ABC 中,3,4,90==?=∠BC AC C ，在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示： 要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形） 5．已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 cm 6．如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为BC 上任意一点，请说明：AB 2－AP 2=PB ×PC 。 7．在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处；另 一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米 ? 8．长为4 m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m ． 9．已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且DE ⊥DF ．求证：AE 2＋BF 2＝EF 2． C O A B D E F 第5题图 A B C 第6题图 专题：勾股定理与面积问题 ——全方位求面积，一网搜罗 ◆类型一三角形中利用面积法求高 1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边上的高线的长为() A. 80 13cm B．13cm C. 13 2cm D. 60 13 cm 2．(2017·乐山中考)点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是________． ◆类型二结合乘法公式巧求面积或长度 3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是() A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm2 4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是() A．7cm B．10cm C．(5＋37)cm D．12cm 5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为() A．3 B．4 C．5 D．6 ◆类型三巧妙利用割补法求面积 6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积． 7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠ A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】 ◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积 8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方 形的边长为9cm，则正方形A ，B，C，D的面积之和为________cm2. 9．在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是将图①放入长方形内得到的，∠BAC ＝90°，AB＝3，AC＝4，则D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，那么长方形KLMJ 的面积为________． 八年级上册勾股定理难题Prepared on 21 November 2021 勾股定理专题 1、已知直角三角形的两分别为4和5,则第三条边是____________. 2.若等腰三角形的两边长为4和6,则底边上的高等于__________________. 3.△ABC 中,AB=13,AC=15,高AD=12,则△ABC 的周长为________________. 4．已知△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2 ＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由． 5.已知a 、b 、c 为?ABC 的三边，且满足a c b c a b 222244-=-，试判断?ABC 的形状． 6.在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=_____________。 7.长方体的长为15,宽10,高20,点B 与点C 的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B,那么它需要爬行的最短距离是___________. 8.高分别是5cm ，4cm ，3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A 处沿长方体的表面爬到长方体上和A 相对的顶点B 处，则需要爬行的最短路径长为 9.图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3．在Rt△ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示．要求：在答题卡的两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长． 10.△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，若∠C=90°，如图9（1），根据勾股定理，则a b c 222+=。若△ABC 不是直角三角形，如图9（2）和9（3），请你类比勾股定理，试猜想a b 22+与c 2的关系，并证明你的结论。 11．已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且DE ⊥DF ．求证：AE 2＋ BF 2＝EF 2． 精心整理 A D 1、已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时， 点P 的坐标为____________． 2.宽AB 3 顶点 A 4A 、25.在△． 6.为5和 7.如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，已知点P 是三角形内任 意一点，则点P 到三角形的三边距离之和PD+PE+PF 等于多少？ 8.如图Rt △ABC 中，AB=BC=4，D 为BC 的中点，在AC 边上存在一点E ， 连接ED ，EB ，则△BDE 周长的最小值为多少？ 9、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发 ，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏 西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 10.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门 11. 13、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 14.直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 15.若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。 16、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN ＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机 行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？ 18、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、 F 20沿折痕21.点C 22.顶点23.且BD 24. 25.如图，E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，延长AB 到F ， 使BF=41 AB ，那么FE 与FA 相等吗？为什么？ E C 勾股定理 一、勾股定理及证明 1. 勾股定理基础 2. 简单的计算 3. 几何图形中的计算 4. 勾股定理的几何证明 二、勾股定理的逆定理 三、勾股定理的应用 勾股定理及证明 1. 勾股定理基础 1. 【易】（初二数学下期末复习）在Rt△ ABC 中， C 90 ，a 、b 、c 分别表示A、 B、C 的对边，则下列各式中，不正确的是（ A．b2c2B．c2 a2 b2C．a c2b2D．a2 b2 答案】D 2. 【易】（2010 实验初二上期中）下列说法正确的是（） A．若a、b、c是△ABC 的三边，则a2 b2 c2 B．若a、b、c是Rt△ABC 的三边，则a2b2c2 C．若 a 、b 、c是Rt△ ABC的三边，C 90 ，则a2 b2 c2 D．若 a 、b 、c是Rt△ ABC的三边，A 90 ，则a2b2c2 【答案】C 3. 【易】（沈阳）在下列说法中正确的是（） A．在Rt△ ABC中，AB2 BC 2 AC2 B．在Rt△ ABC中，若a 3，b 4，则c 5 C．在Rt△ABC 中，两直角边长都为15，则斜边长为15 2 D．在直角三角形中，若斜边长为10 ，则可求出两直角边的长【答案】C 4. 【易】（2010 年北京西城外期中）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角 形是（） A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形 【答案】B 5. 【易】（深圳中学初二上期中）把直角三角形的两直角边同时扩大到原来4 倍，则其斜边扩大到 原来的（）倍，所得的三角形仍为直角三角形 A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 6. 【易】直角三角形的两直角边同时扩大为原来的2 倍，其斜边扩大到原来的（）A．2倍 B．3倍C．4倍D．5倍【答案】A 7. 【易】（人大附中2013 年第二学期期中初二年级数学练习）某校办工厂要制作一些等腰三角形 的模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照底长、腰长和底边上高的顺序进行了记录，其中记录有错误的是（） A．10，26，24 B．16，10，6 C．30，17，8 D．24，13，5 【答案】A 8. 【易】（2013 年理工分校第二学期初二数学期中练习）在Rt△ABC中，C 90 ，周长 为60，斜边与一条直角边之比为13:5 ，则这个三角形三边长分别是（）A．5、4、3 B．13、12、5 C．10、8、6 D．26、24、10 【答案】D 9. 【易】（2013 年理工分校第二学期初二数学期中练习）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上 的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（） A．8m B．10m C．12m D．14m 【答案】C 【解析】解：由题意得，AB为旗杆的高，AC AB 1，BC 5米． 已知AB BC ，根据勾股定理得AB AC2BC2AB 1 225 解得AB 12 米 10. 【易】美丽的人造平面珊瑚礁图案．图中的三角形都是直角三角形，图中的四边形都是正方 形．如果图中所有的正方形的面积之和是980cm2．问：最大的正方形的边长是 【答案】14cm 图中 所有正方形的面积之和 等于 5 倍的最大的正 方形的面积， 980÷5=196cm2 11. 【易】（2013 年第二学期五十七中初二年级数学学科期中试卷） 已知x 2 y 3 0，如果以x ，y的长为直角边作一个直角三角形，那么这个直角三角形的斜边长为（） A．5 B．5 C．7 D．15 勾股定理历年中考难题集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 勾股定理 1.直角三角形的三边为a-b ，a ，a+b 且a 、b 都为正整数，则三角形其中一边长可能为（ ） A 、61 B 、71 C 、81 D 、91 2.在平面直角坐标系中，已知点A （-4，0），B （2，0），若点C 在一次函数y=-2 1x+2的图象上，且△ABC 为直角三角形，则满足条件的点C 有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3.如图，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2是等腰直角三角形，点P 1，P 2在函数x y 4 （x ＞0）的图象上，斜边OA 1，A 1A 2都在x 轴上，则点A 2的坐标是（） 4、已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为____________． 5、如图，EF 为正方形ABCD 的对角线，将∠A 沿DK 折叠，使它的顶点A 落在EF 上的G 点，则∠DKG=_______． 6、以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（ ） A 、2×（2 2）10厘米B 、2×（21）9厘米C 、2×（23）10厘米D 、2×（23）9厘米 7、在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为_____________． 8、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm ，正方形B 的边长为5cm ，正方形C 的边长为5cm ，则正方形D 的面积是_______cm 2. 勾股定理 1. 直角三角形的三边为a-b ，a ，a+b 且a 、b 都为正整数，则三角形其中一边长可能为（ ） A 、61 B 、71 C 、81 D 、91 2.在平面直角坐标系中，已知点A （-4，0），B （2，0），若点C 在一次函数y=-2 1x+2的图象上，且△ABC 为直角三角形，则满足条件的点C 有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3.如图，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2是等腰直角三角形，点P 1，P 2在函数x y 4 （x ＞0）的图象上，斜边OA 1，A 1A 2都在x 轴上，则点A 2的坐标是 （ ） 4、已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 ____________． 5、如图，EF 为正方形ABCD 的对角线，将∠ A 沿DK 折叠，使它的顶点A 落在EF 上的G 点，则∠DKG=_______． 6、以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（ ） A 、2×（22）10厘米 B 、2×（21）9厘米 C 、2×（23）10厘米 D 、2×（2 3）9厘米 7、在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为_____________． 8、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm ，正方形B 的边长为5cm ，正方形C 的边长为5cm ，则正方形D 的面积是_______cm 2. 9、如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为___________. 10、如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，已知点P 是三角形内任意一点，则点P 到三角形的三边距离之和PD+PE+PF 等于（ ） A 、3 B 、23 C 、43 D 、无法确定 11、如图Rt △ABC 中，AB=BC=4，D 为BC 的中点，在AC 边上存在一点E ，连接ED ，EB ，则△BDE 周长的最小值为（ ） A 、25 B 、23 C 、25+2 D 、23+2 精心整理 精心整理 1如图：圆柱的高为10cm ，底面半径为2cm.在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少? 2如图：长方体的高为3cm ，底面是边长为2cm 的正方形.现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是 _____________。 4、如图：小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，长BC 为10cm ，当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处，折痕为AE ，想一想，此时EC 有多长？ 5、如图：将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使点C 与A 点重合，则EB 的长是（） A 。3 B 。4 C 。√5 D 。5 6、已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，BD=4cm ，求AC 的长。 7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为。 8、如图，在矩形ABCD 中，AB=6，将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C ’处，若AE:BE=1：2，则折痕EF 的长为。 9、如图，已知，点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ：CE 是多少？ 10、如图，AD 是△ABC 的中线，角ADC=45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C ’的位置，若BC=2，则BC ’=_________。 ′ 八年级上册勾股定理难 题 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN] 勾股定理专题 1、已知直角三角形的两分别为4和5,则第三条边是____________. 2.若等腰三角形的两边长为4和6,则底边上的高等于__________________. 3.△ABC 中,AB=13,AC=15,高AD=12,则△ABC 的周长为________________. 4．已知△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2 ＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由． 5. 已知a 、b 、c 为?ABC 的三边，且满足a c b c a b 222244-=-，试判断?ABC 的形状． 6.在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=_____________。 7.长方体的长为15,宽10,高20,点B 与点C 的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B,那么它需要爬行的最短距离是___________. 8.高分别是5cm ，4cm ，3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A 处沿长方体的表面爬到长方体上和A 相对的顶点B 处，则需要爬行的最短路径长为 9.图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3．在Rt△ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示．要求：在答题卡的两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长． 10.△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，若∠C=90°，如图9（1），根据勾股定理，则a b c 222+=。若△ABC 不是直角三角形，如图9（2）和9（3），请你类比勾股定理，试猜想a b 22+与c 2的关系，并证明你的结论。 11．已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且DE ⊥DF ．求证：AE 2 ＋ BF 2＝EF 2． 一、 选择题 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，则下列结论中恒成立的是 ( ) A 、2ab C B A D E F C B A D E F 1、已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ____________． 2.如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，?长BC?为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？? 3、如图，EF为正方形ABCD的对角线，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G 点，则∠DKG=_______． 4、以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的高是（ ）厘米 A 、2×（22）10 B 、2×（21 ）9 C 、2×（23）10 D 、2×（23）9 5.在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为_____________． 6.如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为___________. 7.如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，已知点P 是三角形内任意一点，则点P 到三角形的三边距离之和PD+PE+PF 等于多少？ 8.如图Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为多少？ 9、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发 ，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏 西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 勾股定理难题训练 1、如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE． （1）①依题意补全图2； ②求证：AD=BE，且AD⊥BE； ③作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系； （2）如图3，正方形ABCD边长为，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A 到BP的距离． 2、（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则 ①∠BEC＝＿＿＿＿＿＿°；②线段AD、BE之间的数量关系是＿＿＿＿＿＿． （2）拓展研究： 如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度． （3）探究发现： 如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的长． 3、如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4， （1）试说明△ABC是等腰三角形； （2）已知S△ABC=10cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）， ①若△DMN的边与BC平行，求t的值； ②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由． C B A D E F 练习题 1 如图，圆柱的高为10 cm ，底面半径为 2 cm.，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少? 2 如图，长方体的高为 3 cm ，底面是边长为2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点A 出发，沿长方 体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5 A C B 3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B ’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。 4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，?长BC?为10cm ．当 小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？? 5．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠， 使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C 5 D ．5 6．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的 垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，D=4cm ． 求AC 的长． B C A F E D C B A B ’ C ’ B ′ A ′ C ′ D C D 7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8， 现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且 与AE 重合，则CD 的长为 8、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使 点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折 痕EF 的长为 。 9、如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________． 10、如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C ′的位置，若BC ＝2，则BC ′＝_________． E F C ′ B A A 勾股定理大题难题(超好----打印版) C B A D E F 1、已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 ____________． 2.如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片 宽AB 为8cm ，?长BC?为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？? 3、如图，EF 为正方形ABCD 的对角线，将∠A 沿DK 折叠，使它的顶点A 落在EF 上的G 点，则∠DKG=_______． 4、以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的高是（ ）厘米 A 、2×（22）10 B 、2×（21 ）9 C 、2×（23）10 D 、2×（23）9 5.在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为_____________． 6.如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为___________. 7.如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，已知点P 是三角形内任意一点，则点P 到三角形的三边距离之和PD+PE+PF 等于多少？ 13、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 14.直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 15.若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。 16、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 18、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、 F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长 20、如图，已知：点E是正方形ABCD的BC边上的点，现将△DCE 沿折痕DE向上翻折，使DC落在对角线DB上，则EB∶C E＝_________． 21.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45o，把△ADC沿AD对折，点C落在C′的位置，若BC＝2，则BC′＝_________． F E A D C B B C A C D C B A D E F 1、已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 ____________． 2.如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片 宽AB 为8cm ，?长BC ?为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？? 3、如图，EF 为正方形ABCD 的对角线，将∠A 沿DK 折叠，使它的顶点A 落在EF 上的G 点，则∠DKG=_______． 4、以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的高是（ ）厘米 A 、2×（22）10 B 、2×（21 ）9 C 、2×（23）10 D 、2×（23）9 5.在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为_____________． 6.如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为___________. 7.如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，已知点P 是三角形内任意一点，则点P 到三角形的三边距离之和PD+PE+PF 等于多少？ 8.如图Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E， 连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为多少？ 9、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发 ，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏 西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 10.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门 形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 11.国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线． 勾股定理课时练（1） 1.在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2 2 2AC BC+ +的值是（） A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）. 3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？ 5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米. 6.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米? 7.如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 8.一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求CD的长. 9.如图，在四边形 ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长. 10.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km 北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？ 勾股定理 1．勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a 2＋b 2=c 2），不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系. 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等辅助线构造直角三角形. 2．勾股定理的逆定理是把数的特征（a 2＋b 2=c 2）转化为形的特征（三角形中的一个角是 直角），可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件. △ABC 中 ∠C ＝Rt ∠a 2＋b 2=c 2 ?3．为了计算方便，要熟记几组勾股数：①3、4、5； ②6、8、10； ③5、12、13； ④8、15、17；⑤9、40、41. 4．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一. 一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的. 利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是：（1）确定最大边； （2）算出最大边的平方，另外两边的平方和； （3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形； 5．勾股数的推算公式 ①罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853） 任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。 ②如果k 是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。 212-k 2 1 2+k ③如果k 是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。 122 -??? ??K 122 +?? ? ??K ④如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。 典型例题分析 例1 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则 S 1+S 2+S 3+S 4=____ 小专题(二) 利用勾股定理解决折叠与展开问题 类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题 1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为( ) A.252 cm B.152 cm C. 254 cm D.154 cm 2．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( ) A ．1 cm B ．1.5 cm C ．2 cm D ．3 cm 3．(青岛中考)如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为( ) A ．4 B ．3 2 C ．4.5 D ．5 4．如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( ) A ．3 B.154 C ．5 D.15 2 6．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是( ) A．210－2 B．6 C．213－2 D．4 7．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE 的周长为________． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB 边的C′点，那么△ADC′的面积是________． 9．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为________． 10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________． 11．为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是： ①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD， ②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处， 请你根据①②步骤解答下列问题：计算EC，FC的长．[初二数学]勾股定理综合难题。
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