多目标优化问题(over)

第七章多目标优化问题的求解

优化问题按照目标函数的数量，可以分为单目标优化问题和多目标优化问题，前面我们讲过的线性优化就是一个单目标优化问题，对单目标优化问题进一步突破，将目标函数扩展为向量函数后，问题就转化为多目标优化问题。本节将简要介绍多目标最优化问题的建模与求解方法。

1、多目标优化模型

多目标优化问题一般表示为

..()min ()

s t J ≤=

x G x 0

x F 其中121()[(),(),,()]T f f f =F x x x x ，下面将通过例子演示多目标优化问题的建模。

例1

设某商店有123,,A A A 三种糖果，单价分别为4,2.8和2.4元/kg ，现在

要举办一次茶话会，要求买糖果的钱不超过20元，但糖果的总重量不少于6kg ，

1A 和2A 两种糖果的总重量不低于3kg ，应该如何确定最好的买糖方案。

分析：首先应该确定目标函数如何选择的问题，本例中，好的方案意味着少花钱多办事，这应该是对应两个目标函数，一个是花钱最少，一个是买的糖果最重，其他的可以认为是约束条件。当然，这两个目标函数有些矛盾，下面考虑如何将这个问题用数学描述。

设123,,A A A 三种糖果的购买重量分别为123,,x x x kg ，这时两个目标函数分别为花钱：1123min ()4 2.8 2.4f x x x =++x ，糖果总重量：2123max ()f x x x =++x ，如果统一用最小值问题表示，则有约束的多目标优化问题可以表示为

123123123123121234 2.8 2.4min

-4 2.8 2.4206..

+3,,0

x x x x x x x x x x x x s t x x x x x ++??

??++??++≤??++≥??

≥??≥?（）模型建立以后，可以考虑用后面的方法进行求解。

2、无约束目标函数的最小二乘求解

假设多目标优化问题的目标函数为121()[(),(),,()]T f f f =F x x x x ，则可以按照下面的方式将其转化为单目标问题

22212..min

()()++()

L m M

n s t f f f ≤≤+x x x x x x x 这样就可以用以前的单目标优化的方法直接求解该问题了。此外，Matlab 还提供了lsqnonlin()函数直接求解这类问题，该函数的调用格式为

f 0[,,,flag,c]lsqnonlin(F,,,)

m M n f =opt x x x x 其中，F 为目标函数写的M 函数、匿名函数或inline()函数，该函数为向量函数。

0x 为初始搜索点。最优化运算完成后，结果将在变量x 中返回，最优化的目标函

数向量将在f opt 中返回，其范数由f n 返回，和其他优化函数一样，选项OPT 有时候很重要。

例2试求解下面无约束非线性多目标优化问题的最小二乘解。

2

2

1323

22

123123412(23)sin()5min cos(4)03005x x x x x x x x x e x e x x π----??

++++????+??????????≤≤????????????

x s.t.x 求解写出向量型的目标函数，则可以调用下面的语句直接求解原问题。

Program 1

f=@(x)[(x(1)+2*x(2)+3*x(3))*sin(x(1)+x(2))*exp(-x(1)^2-x(3)^2)+5*x(3);

exp(-x(2)^2-4*x(2)^3)*cos(4*x(1)+x(2))];

xm=[0;0;0];xM=[3;pi;5];

x=lsqnonlin(f,xM,xm,xM)

得到x=[3.0000 3.14160.0000]，如果最后输出语句修改为

[x,nf,fopt,flag,c]=lsqnonlin(f,xM,xm,xM)

则可以得到更为详细的输出。事实上，如果采用fmincon()函数，则可以重新定

义目标函数，调用该函数求解可以直接得到所需结果x x=[3.0000 3.1416

0.0000]，值得注意的是，用后者（fmincon()）可以求取含有约束条件的多目标优化最小二乘问题。

3、多目标问题转化为单目标问题求解

多目标最优问题可以转化为单目标的优化问题，例如对多目标函数进行加权或最小二乘处理等。接下来对其简单介绍。

3.1线性加权变换及求解

显然，将多目标优化问题转化为单目标的优化问题的最简单的方法是根据指标的侧重侧重不同引入加权，使得目标函数改写为标量形式

1122()()()()

n n f w f w f w f =+++ x x x x 其中121n w w w +++= ，且120,,,1n w w w ≤≤ 。

例3试在不同的加权的系数下，求出例1的解。解原问题可以重新修改为下面的线性优化问题

1212312312123min ((4,2.8,2.4)(1,1,1))4 2.8 2.420

6..

+3,,0

w w x x x x x x s t x x x x x -++≤??++≥??

≥??≥?x 程序如下：

Program 2

f1=[4,2.8,2.4];f2=[-1,-1,-1];Aeq=[];beq=[];xm=[0;0;0];c=[];

A=[4,2.8,2.4;-1,-1,-1;-1,-1,0];B=[20;-6;-3];ww1=[0:0.1:1];for w1=ww1,w2=1-w1;

x=linprog(w1*f1+w2*f2,A,B,Aeq,beq,xm);c=[c;w1,w2,x',f1*x,-f2*x]end

求解结果如下表1.

表1不同加权系数下的最优方案

w1

w2

x1

x2

x3

总花费

总重量

01 6.3E-133 4.8207.80.10.98.7E-133 4.8207.80.20.8 1.2E-113 4.8207.80.30.7 3.7E-153315.660.40.6 1.2E-093315.660.50.5 2.5E-093315.660.60.4 1.0E-123315.660.70.3 2.3E-113315.660.80.2 1.3E-113315.660.90.1 1.0E-123315.661

2.7E-11

3

3

15.6

6

3.2线性优化问题的最佳妥协解

考虑一类特殊的线性优化问题

max eq eq

m

M J =

≤??

=??≤≤?Cx Ax B x s.t.A x B x x x

和传统的线性优化问题不同，这里的目标函数不是一个向量，而是一个矩阵。每一个目标函数(),1,2,,i i f c i n == x x ，可以理解成第i 个利益分配，所以这样的最优问题可以认为是各方面利益的最大化分配，当然，在约束条件的限制和相互

制约下，不可能每一方的利益均能真正地最大化，这就需要各方面做出适当的妥协，得出唯一的最佳妥协解，最佳妥协解的求解步骤如下：

(1)单独求解每一个单目标函数的最优化问题，得出最优解,i f 1,,i n = 。

(2)通过规范化构造单独的目标函数

1212111()n n

f c c f f f =-

--- x x x x (3)最佳妥协解可以变换成下面的单目标线性优化问题的直接解

min ()

eq eq

m

M J f =

≤??

≤??≤≤?x Ax B

x s.t.A x B x x x

根据上述算法，可以编写出一个最佳妥协解的求解程序。注意，该函数求解

的是最大值问题的妥协解。

Program 3

function [x,f,flag,cc]=linprog_c(C,A,B,Aeq,Beq,xm,xM)[n,m]=size(C);c=0;for i=1:n

[x,f]=linprog(C(i,:),A,B,Aeq,Beq,xm,xM);c=c-C(i,:)/f;end

[x,f,flag,cc]=linprog (c,A,B,Aeq,Beq,xm,xM);

例4试求出例1中的最佳妥协解。解由下面的语句可以立即得到最佳妥协解

Program 4

clc

C=[-4-2.8-2.4;111];A=[42.82.4;-1-1-1;-1,-1,0];B=[20;-6;-3];Aeq=[];Beq=[];xm=[0;0;0];xM=[];

[x,f,flag,cc]=linprog_c(C,A,B,Aeq,Beq,xm,xM)C*x

最后的结果为x=[0;3;4.833]，总花费为20元，购买的糖果的总重量为7.833kg,

例5试求下面多目标优化问题的最佳妥协解。

1242412312341243

4

1234123436107min

2832241005318065250,,,0

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++????

+????++??+++??++≤??+≥??+++≤??≥?x s.t.

利用上面的linprog_c()函数，可以编写M 文件

Program 5

clc

C=-[3106;01007;2180;1132];A=[2401;00-5-3;1165];B=[110;-180;250];Aeq=[];Beq=[];xm=zeros(4,1);xM=[];

[x,f,flag,cc]=linprog_c(C,A,B,Aeq,Beq,xm,xM)C*x

求得的最佳妥协解为x =[0.0000,26.0870,32.6087,5.6522]，各方妥协的目标函数值为[60.0000,300.4348,286.9565,135.2174]。3.3线性优化的最小二乘解

考虑下面多目标优化问题的的最小二乘表示

21

min

||2

eq eq

m

M ≤??

=??≤≤?Cx -d ||Ax B x s.t.A x B x x x

则最小二乘解可以由函数直接给出。

例6

考虑例5中的多目标优化问题，试求出最小二乘解。

由于很容易得到C 矩阵，并且写出其他约束条件，这样调用lsqlin()函数，就可以求解类似的问题。调用程序如下。

Program 6

clc

C=[3106;01007;2180;1132];d=zeros(4,1);

A=[2401;00-5-3;1165];B=[110;-180;250];

Aeq=[];Beq=[];xm=zeros(4,1);xM=[];x=lsqlin(C,d,A,B,Aeq,Beq,xm,xM)C*x

求得结果为：x =[0.0000,0.0000,28.4456,12.5907]，各方的目标函数为[75.5440，88.1347，227.5648，110.5181]，从结果中，我们可以看得，同是一个问题，利用线性优化的最小二乘解求得的结果与妥协解的不同，主要是由于求解方法和目标函数发生了变换，即求解方法的设计的不同，目标函数也在不同的方法下发生了改变。

4、极小极大问题的求解

多目标优化的一类重要的问题是极小极大问题，假设某一组p 个目标函数

(),1,2,,i f i p = x ，它们中的每一个均可以提取出一个最大值..()max

()i s t ≤x x 0

x G f ，而

这样得出的一组最大值仍然是关于x 的函数，现在想对这些最大值进行最小化搜索，即

..()min max ()i s t J ≤??

=????

x x 0x G f 则这类问题成为极小极大问题，话句话说，极小极大问题是在最不利的条件下寻求最有利决策方案的一种方法。

考虑各类约束条件，极小极大问题可以更一般地写为

min max ()..()()i eq eq m M eq J f A B A B s t

C C =

≤??≤??

≤≤??≤?=??00

x x x x x x x x x Matlab 最优工具箱中的fminimax()函数，可以直接求解极小极大问题，该函数的调用格式为

012[,,flag,c]fminimax(F,,,,,,,,CF,OPT,,,)

eq eq m M f p p =opt x x A B A B x x 在调用的时候，目标函数为向量形式，当然，用匿名函数、inline()函数、M-函数都是可以的。

例7求解下面的极小极大问题。

212122121221

2121222121212

2212121212sin 3cos cos min max

2cos 4.3 3.8 4.9..3

x x x x x x x x x e x e x x x x x x x x x x x x x x x x s t

x x --??+-??--+????+-++??--????+≤??

+≤?x 解上述的最优化问题可以通过下面的语句直接求解，并选择随机数作为初始值，程序为

Program 7

f=@(x)[x(1)^2*sin(x(2))+x(2)-3*x(1)*x(2)*cos(x(1));

-x(1)^2*exp(-x(2))+x(2)^2*exp(-x(1))+x(1)*x(2)*cos(x(1)*x(2));x(1)^2+x(2)^2-2*x(1)*x(2)+x(1)-x(2);-x(1)^2-x(2)^2*cos(x(1)*x(2))];A=[4.33.8;11];B=[4.9;3];

x=fminimax(f,rand(2,1),A,B)

运行得到结果为x =[0.30940.2578]。

其实，有了fminimax()函数，还可以求解相应的变形问题，如极小极小问题

..()min min ()i s t J ≤??

=????

x x 0x G f 该问题可以直接转化成下面的极小极大问题

()..()min max ()i s t J ≤??=--????

x x 0x G f