【整理】解一元二次方程组

一元二次方程的解法详细解析

一元二次方程的解法详细解析【一元二次方程要点综述】：【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。先化为一般形式再用公式。因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。【举例解析】例1：已知，解关于的方程。分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。解：由得：或，当时，原方程为，即，解得.当时，原方程为，即，解得，.说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才

是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。若本题不给出条件，就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。例2：用开平方法解下面的一元二次方程。（1）；（2）（3）；（4）分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，其解为。通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；第（3）题因方程左边可变为完全平方式，右边的121＞0，所以此方程也可用直接开平方法解；第（4）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平方法进行解答了。解：（1）∴（注意不要丢解）由得，由得，∴原方程的解为：，（2）由得，由得∴原方程的解为：，（3）∴∴∴，∴原方程的解为：，（4）∴，即∴，∴，∴原方程的解为：，说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。例3：用配方法解下列一元二次方程。（1）；（2）分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为1，变为的形式。第（1）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，即：，接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。解：（1）二

一元二次方程定义及其解法

班级姓名课题一元二次方程定义及其解法（配方法）一、目标导航 1.掌握一元二次方程的定义及a,b,c的含义； 2.掌握配方法解一元二次方程的方法. 二、教学重难点重点：1.掌握一元二次方程的定义及a,b,c的含义； 2.掌握配方法解一元二次方程的方法. 难点：配方法解一元二次方程. 三、走进教材知识点一：一元二次方程的定义 1.一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最

高次数为2的方程叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。举例：2230x x +-= 3. 一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。自主练习：下列方程中，是一元二次方程的有。（填序号） ①2 5x =； ②30x y +-=； ③253302x x +-=； ④2(5)2x x x x +=-； ⑤23580x x -+=； ⑥2 04y y -=。知识点二：配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程的思路：降次，即把二次降为一次，把一元二次方程转化为一元一次方程，化未知为已知，化繁为简，这是转化思想的体现。

2. 配方法：利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完全平方形式，而右边是一个非负数，即把一个方程转化成()2 x n p +=（p≥0）的形式，这样解方程的方法叫做配方法。 3. 配方法具体操作：（1）对于一个二次三项式，当二次项系数为1时，配上一次项系数一半的平方就可以将其配成一个完全平方式，举例：解方程2230 +-=， x x （2）当二次项系数不为1时，首先把二次项系数化为1，方程两边除以二次项系数，然后再利用（1）的步骤完成配方。举例：解方程22230 +-=。 x x 4. ()2 += x n p x n p +=（p≥0）的解法：对于方程()2

二元二次方程组-解法-例题

二元二次方程的解法二次方程组的基本思想和方法方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因法和技巧是解二元二次方程组的关键。型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。程组的解法元法（即代入法）二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；元二次方程，求得一个未知数的值；的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。与系数的关系二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。注意二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。

程组的解法中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二型方程组，所得的解都是原方程组的解。中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。析：例1．解方程组观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 1)得y=8-x..............(3) 把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. (3)，得y1=6. 把x2=6代入(3)，得y2=2. 所以原方程组的解是。

(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题

一元二次方程解法及其经典练习题方法一：直接开平方法（依据平方根的定义）平方根的定义：如果一个数的平方等于a （），那么这个数叫做a 的平方根即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22 =--x 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个，右边为一个，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1）（2）（3） 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x

方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）解：二次项系数化为1，得，移项，得，配方, 得，方程左边写成平方式， ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况：（1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。（3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为。 3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因（1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的，通常用字母 “△” 表示。当△ 0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根；当△ 0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根；当△ 0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。（2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当ac b 42-≥0时，?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 4.公式法解一元二次方程的步骤：（1）（2）（3）（4）（5）二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+

(完整版)解一元二次方程配方法练习题

- 1 - 解一元二次方程练习题(配方法) 步骤：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 1．用适当的数填空： ①x 2+6x+ =（x+ ）2；② x 2－5x+ =（x －）2； ③x 2 + x+ =（x+ ）2 ；④ x 2 －9x+ =（x －）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若 x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则 m 的值是（） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（） A ．2 B ．-2 C ． D ． 9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2．（2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2-x-4=0 （5）6x 2-7x+1=0 （6）4x 2-3x=52 11.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。 12．将二次三项式4x 2－4x+1配方后得（） A ．（2x －2）2+3 B ．（2x －2）2－3 C ．（2x+2）2 D ．（x+2）2－3 13．已知x 2－8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（） A ．x 2－8x+（－4）2=31 B ．x 2－8x+（－4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2－4x+4=－11 14．已知一元二次方程x 2－4x+1+m=5请你选取一个适当的m 的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程。（1）你选的m 的值是；（2）解这个方程． 15．如果x 2－4x+y 2 ，求（xy ）z 的值

一元二次方程解法讲义

龙文教育学科教师辅导讲义课题一元二次方程的解法教学目标 1. 理解一元二次方程及其有关概念 2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解重点、难点 1. 一元二次方程的判定，求根公式 2. 一元二次方程的解法与应用考点及考试要求 1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式 2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去 3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用教学内容考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③ 整式方程．．．．就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式 (3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式： 2 =++c bx ax 时，应满足（a≠0） (4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（） A ()()12132 +=+x x B 02112 =-+ x x C 0 2 =++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。

一元二次方程组教案

5.1.认识二元一次方程组教学目标： 1.知识与技能：通过实例了解一元二次方程，一元二次方程组及其解的概念，会判断一组数是不是一个二元一次方程组的解。 2教学思考：通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。. 3解决问题：培养学生能够使用数学知识解决生活实际问题的能力，同时发展学生的观察、归纳、概括的能力。 4.情感态度与价值观：激发学生的求知欲，培养他们勇于探索的精神。教学重难点：重点：对二元一次方程，二元一次方程组及其解的理解。难点：二元一次方程，二元一次方程组及其解的个数。课时安排：一课时教学设计教学准备幻灯片教学流程（一）复习： 1.一元一次方程的定义. 例：下例哪些方程式一元一次方程？ 2(1)35(2)16(3) 32(4)6(5) 3x x y x x xy x π=+==+==+ 注：一元：一个未知数一次：含有未知数的项的次数都是1次整式：分母中不含字母 2.方程的解：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解例：x=5是方程3x+5=20的解吗？为什么？ 3.方程2x+y=8是一元一次方程吗？若不是，那又什么呢？（二）新课讲授 1、老牛与小马分析：审题 A ：数量问题 B ： 2= -小马老牛 C ：设老牛驮了x 个包裹，小马驮了 y 个包裹。）（小马老牛121-=+

想一想 2x y -= 12(1)x y +=- 上面所列方程各含有几个未知数? 2个未知数含有未知数的项的次数是多少? 次数是1 二元一次方程定义：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程. 判断点：1、未知数几个？ 2个判断点：2、含未知数项的次数是几次？ 1次判断点：3、整式分母中不含未知数练一练： 1.请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是？并说明理由. ()()()()21390; 232120; (3)20 1(4)315347; 62100. x y x y xy y x y a b x +-=-+=+=-=-=+= 2.如果方程12231m m n x y -+-=是二元一次方程，那么m ＝___________，n ＝______________ . 做一做 6,2x y ==适合方程 8x y +=吗?5,3x y ==呢? 4,4x y ==呢?你还能找到其他 x,y 的值适合方程8x y += 吗? 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解例如: 6,2x y ==是方程8x y +=的一个解,记作6,2.x y =??=? 练一练： 1.在下列四组数值中，哪些是二元一次方程 31x y -=的解？（A ） 2,3.x y =??=? （B ） 4,1.x y =??=? （C ）10,3.x y =??=? （D ）5,2.x y =-??=-?

一元二次方程及解法归类

寒假培训八年级下数学资料一、一元二次方程及其相关概念 1、只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a,b,c 是已知数且0≠a )，其中ax 2叫做 ________, bx 叫做_______, a 叫做___________系数，b 叫做___________系数，c 叫做_________. 典型例题： 1. 下列方程是一元二次方程的有___________ (1) 215)25(3x x x =-.(2) 035)12(22=---x x ; (3) 2 33432-+x x =0; 【变式练习】下列方程不是一元二次方程的是( ) A. x 2+2x+1=0 B. x 2=1-3x C. +1=0 D. x 2+x=(x+1)(x-2) 2. 方程4x 2=13-2x 化为一般形式为_____________，它的二次项系数是______, 一次项系数是 ________，常数项是______. 【变式练习】把一元二次方程（1-3x ）(x+3)=2x 2+1化成一般形式是:______________; 它的二次项系数是_______;一次项系数是_________; 常数项是_________. 3. ; 4. 当m=______时，关于x 的方程(m-2)x 2+mx=5是一元一次方程；当m______时，关于x 的方程 (m-2)x 2+mx=5是一元二次方程。【变式练习】已知m 是方程012=--x x 的一个根，则m m -2=（） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 关于x 的方程01)1(1=+++-kx x k k 是一元二次方程，则k 的值为________ 【变式练习】已知关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-k x x k 的一个根是0，则k=_______ 二、直接开平方法若x 2 =25,由平方根定义可以知：5±=x , 即x 1=5, x 2=-5；若（2x-1）2=5,那么2x-1=±______, 即2x-1=______, 2x-1=_____; 从而可以得到方程两根为：x 1=______, x 2=_______ 、解下列方程：（1）1) 3(2=+x （2）18)54(22=-x 三、配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤： ① 化二次项系数为1； ② 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

解一元二次方程练习题汇编

一元二次方程练习题 1. 用直接开平方法解下列方程：（1）2225x =；（2）2 1440y -=． 2. 解下列方程：（1）2 (1)9x -=；（2）2 (21)3x +=；（3）2 (61)250x --=．（4）2 81(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程：（1）25(21)180y -=；（2）21 (31)644 x +=；（3）2 6(2)1x +=；（4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ 4. 填空（1）28x x ++（）=（x + ）2 ．（2）22 3x x - +（）＝（x - ）2．（3）2b y y a -+（）＝（y - ）2 ． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)； 2x px -+ ＝(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程

1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21 (1)2(1)02 x x ---+= 7. 方程22 103 x x - +=左边配成一个完全平方式，所得的方程是． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程（1）210x x --=；（2）23920x x -+=． 12. 用适当的方法解方程（1）2 3(1)12x +=；（2）2 410y y ++=；（3）2884x x -=；（4）2 310y y ++=． 13. 已知关于x 的一元二次方程2 2 (21)10m x m x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．

一元二次方程及一元二次方程的解法测试题(绝对经典)

. 第二章一元二次方程单元测验一、选择题：(每小题3分,共36分) 1. 下列方程中是一元二次方程的是（）（A ）22)1(2-=-x x （B ）01232=+-x x （C ）042=-x x （D ）02352 =-x x 2. 方程1)14(2 =-x 的根为（）（A ）4121==x x （B ）2121==x x （C ）,01=x 212=x （D ）,2 1 1-=x 02=x 3. 解方程 7(8x + 3)＝6(8x + 3)2 的最佳方法应选择( ）（A ）因式分解法（B ）直接开平方法（C ）配方法（D ）公式法 4. 下列方程中, 有两个不相等的实数根的方程是（）（A ）x 2 –3x + 4＝0 （B ）x 2–x –3＝0 （C ）x 2–12x + 36＝0 （D ）x 2–2x + 3＝0 5、已知ｍ是方程012 =--x x 的一个根，则代数ｍ2 －ｍ的值等于（） A 、１ B 、－１ C 、0 D 、2 6、若方程0152 =--x x 的两根为的值为则、212111,x x x x +（） A 、5 B 、51 C 、5- D 、5 1- 7. 以知三角形的两边长分别是2和9, 第三边的长是一元二次方程x 2 –14x + 48＝0的解, 则这个三角形的周长是（）（A ）11 （B ）17 （C ）17或19 （D ）19 8. 下列说法中正确的是（）（A ）方程2 80x -=有两个相等的实数根; （B ）方程252x x =-没有实数根;（C ）如果一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么0?=; （D ）如果a c 、异号，那么方程2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根. 9. 若一元二次方程(1–2k)x 2 + 12x –10＝0有实数根, 则K 的最大整数值为（）（A ）1 （B ）2 （C ）–1 （D ）0 10.把方程2x 2 -3x+1=0化为(x+a)2 =b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ??- = ???; B.2312416x ??-= ???; C. 2 31416x ? ?-= ? ?? ; D.以上都不对 11、若方程02 =++q px x 的两个实根中只有一个根为0，那么（）（A ）0==q p ; （B ）0,0≠=q p ; （C ）0,0=≠q p ; （D ）0,0≠≠q p . 12、下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（） A ．若x 2=4，则x ＝2 B ．方程x (2x －1)＝2x －1的解为x ＝1 C ．若x 2 +2x +k =0有一根为2，则8＝－k D ．若分式1 2 32－＋－x x x 值为零，则x ＝1，2 二、填空题：(每小题3分,共30分) 1、方程()()-267-x 5x =+，化为一般形式为，其中二次项系数和一次项系数的和为。 2. 当x =________时，分式1 4 32+--x x x 的值为零。 3. 若关于x 的方程02)1(2 =+--m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是______ 4.若方程042 2 =++m x x ，则m= . 5.已知0822 =--x x , 那么=--7632 x x _______________. 6. 若关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax （a ≠0）的两根分别为1，—2，则b a -的值为______. 7. 若2 2 2 (3)25a b +-=，则22 a b +=____ 8.若一元二次方程02 =++c bx ax 中，024=+-c b a ,则此方程必有一根为________. 9、若两个连续整数的积是20，则他们的和是________。 10.某企业前年的销售额为500万元，今年上升到720万元，如果这两年平均每年增长率相同，则去年销售额为 11. 如果x x 12、是方程x x 2 720-+=的两个根，那么x x 12+=____________。 13. 已知一元二次方程x x 2 350--=的两根分别为x x 12、，那么x x 12 22 +的值是____。 14. 若方程x x k 2 20-+=的两根的倒数和是 8 3 ，则k =____________。 15.已知关于x 的方程（2k+1）x 2 －kx+3=0，当k______时，?方程为一元二次方程，? 当k______时，方程为一元一次方程，其根为______．

一元二次方程的解法(消元)

消元一二元一次方程组的解法（四）教案一、教学目标 1、知识与技能:熟练掌握代入消元法和加减消元法。 2、过程与方法：能根据方程组的特点选择合适的消元方法解方程组。 3、情感态度价值观：通过分析实际问题中的数量关系，建立方程组解决问题，进一步认识方程模型的重要性。二、教学重难点重点：能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组。难点：实际问题中的数量关系较复杂是本节课难点。三、教学过程（一）复习、引入课题复习：解二元一次方程有多少种解法？共同点是什么？目的是什么？引入：接下来继续深入探讨二元一次方程组的解法。（二）探索新知（1）解方程组引导学生通过消y 与消x ，尝试不同的解法，培养学生发散思维，然后让学生归纳这样类型的二元一次方程组的解法。小结1：当方程中同一个未知数的系数相等或相反时，用加减消元法较简便。（2）请选择适当的方法解下列方程组： ① ② ③ 2x-2y=60 (2) 2x+2y=100 (1) 3.2x+2.4y=5.2 2x+y=1.5 4x+8y=12 3x-2y=5 5x-4y=2 2x+3y=10

通过这三个方程组的讨论，归纳出方程系数具有什么特征时选择什么消元法。小结2：当方程组中有一个未知数的系数是1或-1时，用代入消元法较简便。小结3：当两个方程中同一个未知数的系数成整倍数时，用加减消元法较简便。小结4：当方程组中任何未知数的系数不是1或-1，是不成整倍数时，一般经过变形后利用加减消元法较简便。老师小结：解二元一次方程组不管采用哪种方法，都可以获得它的解，但根据题目形式的特点，选择恰当的方法可以减少走弯路，加快解题速度，使解题过程简洁，提高正确率。（三）实际应用例（教材104页）：2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？通过分步提问，引导学生分析问题1：列方程组解应用题的关键是什么？问题2：你能找出本题的等量关系吗？问题3：怎么表示2台大收割机2小时的工作量呢设：如果1台大收割机1小时收割小麦X公顷，1台小收割机1小时收割小麦Y公顷。那么2台大收割机2小时收割小麦（）公顷，5台小收割机2小时收割小麦（）公顷。根据“2台大收割机2小时的工作量+5台小收割机2小时的工作量=3.6公顷”可列方程： 4x+10y=3.6

解一元二次方程(综合)

编号：使用时间：月日班级：小组：姓名：组内评价：教师评价：主备人：石界奇备课组长签字：宋杰教研组长签字：段小聪年级组长签字：课题：解一元二次方程学习目标：1.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。2.了解转化的思想在解方程中的应用。重点：利用不同的方法解一元二次方程。难点：能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。预习案使用说明与学法指导: 1.用15分钟,阅读探究课本的基础知识。 2.完成教材助读设置的问题,然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测及我的疑惑栏目。 3.将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面“我的疑惑”处。一、旧知回顾 1.解一元二次方程的基本思路是什么？ 2.解一元二次方程的方法有哪些？ 3.怎样选择解一元二次方程的方法？二、预习自测 1.把方程2x 2 +8=9x化成一般形式是。 2.一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c确定，当时。将a、b、c代入式子就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做。 3.解方程：4x 2 +12x+9=0 我的疑惑：（请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决）探究案一、质疑探究——质疑解疑、合作探究例1 用不同的方法解方程：（x-2）2=（2x+5）2

例2 选择适当的方法解下列方程：（1）2 1（x+3）2=2 （2）x 2-52x+2=0 （3）2（3x-2）=（2-3x ）（x+1）二、归纳梳理、整合内化三﹑当堂检测——有效训练、反馈矫正 1．在方程2x 2+3x=1中，b 2-4ac 的值为。 2.一元二次方程x 2+3x-4=0的解是。 3.解方程：4（x-3）2-25（x-2）2=0 我的收获（反思静悟﹑体验成功）训练案使用说明：所有学生必须完成基础巩固题；在综合应用题与拓展探究题中，对于前面已标注“★”题，由每组1 ~4号完成；对于前面已标注“★★”题，由每组1 ~2号完成。一﹑基础巩固题选择恰当的方法解下列方程：（1）4x 2-121=0 （2）x 2 +7x+6=0 （3）3x （x-1）=2（x -1）二﹑拓展探究题 ★1．已知y= x 2+x-6，当时，y 的值等于0；当时，y 的值等于24. ★★2.若0是关于x 的方程（m-2）x 2+3x+m 2+2m-8=0的解，求实数m 的值，

一元二次方程解法配方法教学设计

八年级数学教学设计课题：一元二次方程的解法（配方法）第1课时设计人审核人执教人教学预设时间一、学习目标 1．正确理解并会运用配方法将形如x2＋px＋q＝0方程变形为（x＋m）2＝n（n≥0）类型． 2.会用配方法解形如ax2＋bx＋c=0（a≠0）一元二次方程． 3．了解新、旧知识的内在联系及彼此的作用．二、学习“三点”：重点：用配方法解一元二次方程．难点：正确理解把x2＋ax型的代数式配成完全平方式易错点：忽视了二次项的系数三、教学准备：多媒体课件四、教学注意事项： 1、温故的针对性要强，梯度不能过大 2、重难点把握准确：二次项系数不能忽视五、课堂流程：第一环：温故导新 (一) 温故 1、直接开平方： 2、完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2．课前修订或操作注意事项 () 20 x a a =≥ x a =±

3、填空： 1）x2-2x+（）＝[x＋（）]2 2）x2＋6x＋（）＝[x-（）]2 （二）导新怎样解方程，方程如何解呢？第二环：自主合作新知初探（三）指导自学自学教材23-24页的内容（8-10分） 1、对于配方法的探索先由自主学习、小组合作、分析、交流、总结。 2、学生自主学习例1完成解题过程第三环：师生对话探究新知（四）点拨拓展 1、将方程x2-2x-3=0化为（x-m）2=n的形式，指出m，n 分别是多少？练习：把下列方程化为（x＋m）2＝n的形式概念点拨：通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。课前修订或操作注意事项 ()2 215 x-= 2692 x x ++=

2、例题板演，生纠错。 3、引导学生观察例题的求解过程，总结出配方法解一元二次方程的一般步骤： 1、化二次项系数为1； 2、移项； 3、配方；（构建完全平方） 4、开方。配方的关键-----方程两边都加上一次项系数一半的平方。 4、对于x 2+ax 型的代数式，只需再加上一次项系数一半的平方即可完成上述转化工作．（五）强化训练教材p25练习1、2题；归一总结： 1．本节课学习用配方法解一元二次方程，其步骤如下：（1）化二次项系数为1．（2）移项，使方程左边为二次项，一次项，右边为常数项．（3）配方．依据等式的基本性质和完全平方公式，在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方．（4）用直接开平方法求解．配方法的关键步骤是配方．配方法是解一元二次方程的通法． 2．配方法的理论依据是完全平方公式： a 2±2a b ＋b 2＝（a ±b ）2，配方法以直接开平方法为基础课前修订或操作注意事项

高一数学二元二次方程组解法

方程 22260x xy y x y +++++= 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项．我们看下面的两个方程组： 224310,210; x y x y x y ?-++-=?--=? 222220,560. x y x xy y ?+=??-+=?? 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．例1 解方程组 22440,220.x y x y ?+-=?--=? 分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．解：由②,得 x ＝2y ＋2， ③ 把③代入①,整理,得 8y 2＋8y ＝0，即 y (y ＋1)＝0． ①

解得 y 1＝0，y 2＝－1．把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2；把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0．所以原方程组的解是 112,0x y =??=?， 22 0,1.x y =??=-? 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解．例2 解方程组 7,12.x y xy +=??=? 解法一：由①，得 7.x y =- ③ 把③代入②，整理，得 27120y y -+= 解这个方程，得 123,4y y ==．把13y =代入③，得14x =；把24y =代入③，得23x =．所以原方程的解是 114,3x y =??=?， 223,4. x y =??=? 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y ．这个方程组的,x y 是一元二次方程 27120z z --= 的两个根，解这个方程，得 3z =，或4z =．所以原方程组的解是 114,3;x y =?? =? 223,4. x y =??=? 练习： ①

一元二次方程及其解法

第2课时一元二次方程及其解法一·基本概念理解 1 一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 2、一元二次方程的解法（1）、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 b a x =+2 )(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。（2）、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2 22)(2b x b bx x ±=+±。配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式（3）、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式：

) 04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c （4）、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式（5）、韦达定理若1x ，2x 是一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，则 a b x x -=+21，a c x x =21。以上的就称为韦达定理（或称为根与系数的关系）利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=a b -，二根之积 =a c 也可以表示为a b x x -=+21,a c x x =21。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 3、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42 -叫做一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?