一元二次方程解法讲义

龙文教育学科教师辅导讲义

课 题 一元二次方程的解法

教学目标

1. 理解一元二次方程及其有关概念

2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解

重点、难点

1. 一元二次方程的判定，求根公式

2. 一元二次方程的解法与应用

考点及考试要求

1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式

2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去

3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用

教学内容

考点一、概念

(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③

整式方程．．．．

就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax

注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式

(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：

2

=++c bx ax

时，应满足（a≠0）

(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：

①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题：

例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）

A ()()12132

+=+x x B

02112

=-+

x

x

C 0

2

=++c bx ax

D 1222+=+x x x

变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x

m m

是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

考点二、方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：

例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.

例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为 。

例5、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a 变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则

a

b b a +的值为 。

6、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）

A 1-

B 1

C c b -

D a -

7、若=?=-+y x 则y x 324,0352 。 考点三、方程解法

（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。 （2）方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法

类型一、直接开方法： 就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。 用直接开平方法解形如()m x m m x ±=≥=其解为：,02 ※对于()m a x =+2

，()()2

2

n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法

典型例题：

例1、解方程：();08212=-x （2）7)132

=+x （ ()();09132

=--x

（4）()()2

2

21619+=-x x （5）11162492=+-x x

例2、解关于x 的方程：02=-b ax

3. 下列方程无解的是（ ）

A.12322-=+x x

B.()022

=-x C.x x -=+132 D.092=+x

类型二、配方法

基本步骤 :1.先将常数c 移到方程右边 2.将二次项系数化为1

3.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方

4.方程左边成为一个完全平方式： ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。 典型例题：

例1、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0，47102-+-x x 的值恒小于0。 例2、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

变式：若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。 例3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。

变式1：已知04112

2=--

-+

x

x x

x ，则=+

x

x 1 .

变式2：如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为 。

例4、分解因式：31242++x x

类型三、因式分解法: 把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法

()()021=--x x x x 21,x x x x ==?或

※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，

※方程形式：如()()2

2

n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ，0222=++a ax x

※分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法

针对练习：

例1、()()3532-=-x x x 的根为（ ）

A 2

5=

x B 3=x C 3,2

521==

x x D 5

2=

x

例2. （1）2

2

1694b a -(平方差) (2) y x y x y x 3234268-+-(提公因式) （3）22)(4)(n m n m --+（平方差) （4）962

++a a (完全平方式)

(5）223612y x xy ++- (完全平方式) （6）4)(5)(2++++b a b a （十字相乘法） （7）22127q pq p +-（十字相乘法） （8）32)2(2)2(5m n n m n ---(提公因式)

例3、若()()044342

=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。

例4、方程062=-+x x 的解为（ ） A.232

1=-=，x

x B.232

1-==，x

x C.332

1-==，x

x D.222

1-==，x

x

例5、解方程： ()04321322=++++x x 例6、已知023222=--y xy x ,则

y

x y x -+的值为 。

变式：已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则y

x y x -+的值为 。

例7、解下列方程

(1) (2x – 3)2 = (3x – 2)2 (2)

4x+145 -x-52 = 2

3

x+2

(4) 5m 2 – 17m + 14=0 (5) (x 2 +x+1)(x 2 +x + 12)=42 (6) 2x 2 + (3a-b)x –2a 2+3ab-

b 2 =0

例8、解关于x 的方程x 2+x – 2+k(x 2+2x)=0 （对k 要讨论）

类型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当判别式大于等于零时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式,就可得到方程的根。 ⑴条件：()04,02

≥-≠ac b a 且⑵公式： a

ac b b x 242

-±-=

,()04,02≥-≠ac b a 且

典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：

⑴().6132

=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x

⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x

说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。

例2、在实数范围内分解因式：

（1）3222--x x ； （2）1842-+-x x . ⑶22542y xy x --

说明：①对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这

种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成c bx ax ++2=))((21x x x x a --. ②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.

类型五、 “降次思想”的应用

主要内容：⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。 典型例题：

例1、已知0232

=+-x x ，求代数式

()1

1

12

3

-+--x x x 的值。

例2、如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。 例3、已知a 是一元二次方程0132

=+-x x 的一根，求

1

1

522

2

3++--a a a a 的值。

说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：①能对已知式进行灵活的变形；②能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂，最后求解。 例4、用两种不同的方法解方程组??

?=+-=-)

2(.

065)1(,622

2

y xy x y x

说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。 但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.

考点四、根与系数的关系

⑴前提：对于02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥?时，才能用韦达定理。 ⑵主要内容：a

c x x a b x x =

-

=+2121,

⑶应用：整体代入求值。

典型例题：

例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根，则这个直角三

角形的斜边是（ ）

A.3

B.3

C.6

D.6

说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握b a +、b a -、ab 、

22b a +之间的运算关系.

例2、解方程组：

?

??=+=+??

?==+.2,10)2(;

24,10)1(22y x y x xy y x

说明：一些含有y x +、22y x +、xy 的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利

用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便. 例3、已知关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，

（1）求k 的取值范围；

（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

例4、当k 取何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根与m 均为有理数？

例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？

例6、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a

变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则

a

b b a +的值为 。

例7、已知βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 .

测试题目：

一、选择题

1．解方程：3x2+27=0得（）.

(A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个2．方程（2-3x）+（3x-2）2=0的解是（）.

(A),x

2

=-1 (B) ,

(C)x

1=x

2

= (D) ,x

2

=1

3.方程(x-1)2=4的根是( ).

(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-2

4.用配方法解方程:正确的是( ).

(A) (B)

(C),原方程无实数解 (D) 原方程无实数解

5.一元二次方程用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的是( ).

(A) a=1,b= (B)a=1,b=-,c=2

(C)a=-1,b=- ,c=-2 (D)a=-1,b=,c=2

6．用公式法解方程：3x2-5x+1=0，正确的结果是（）.

（A）（B）（C）（D）都不对

二、填空

7．方程9x2=25的根是___________...

8.已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=________,另一个根是_________.

9.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为__________.

10.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.

11.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个相同的解,则a=________.

三、用适当的方法解下列关于x和y的方程

12．（x+2）（x-2）=1. 13.(3x-4)2=(4x-3)2

14.3x2-4x-4=0. 15.x2+x-1=0.

16.x2+2x-1=0. 17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0. 18.2x2- 19.x2-bx-2b2=0.

20.a2x2+2abx+b2-4=0(a≠0). 21．（b-c）x2-（c-a）x+（a-b）=0（a≠c）

22．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.

（A）因式分解法（B）配方法（C）公式法

23．解方程：

（1）（2）

24．解关于x的方程：x2-2x+1-k（x2-1）=0

25．已知|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx（x+1）-5（x+1）（x-1）=x2

26、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：

（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。

（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

27、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。

（3）两个正方形的面积之和最小为多少?