数学建模论文(房地产)(同名14586)

数学建模论文(房地产)(同名14586)

关于房地产投资盈利问题

摘要：

问题：为了更好地反映房地产的运作过程，本文在房价形成的基础上进一步讨论了影响房价的因素，并对演化机理作了细致深入的分析，然后建立数学模型，总结出影响房价的主要因素：市场供求关系、贷款数额。从而就房地产投资、开发建设行为，金融监管力度、土地资源管理等方面给出相关建议。

通过模型，对其后房地产市场进行预测，相信房地产市场在政策落实的基础上形式将会一片大好----杜绝房价的泡沫问题，解除不符合市场的正常形态，使购房者，开发商，政府机构之间达到一种动态的利益平衡。

对于第一问，我们选取了房地产开发投资，商品房销售价格与全市生产总值有着密切关系的指标进行研究。我们采用多元线性回归模型利用SPSS统计软件分别对两个指标与全市生产总值进行线性回归，得到线性回归方程和相关系数。

场经济的不断完善，他们之间的互动越来越强。

对于问题二，我们运用灰色关联分析模型和相关分析方法，得出影响房地产发

下:

X1(k+1)=[X0(1)-u/a]*e-ak–u/a;X0(k+1)=X1(k+1)-X1(k)

X1(k+1)=1557.4*e-0.0155*K-1557.4;

X0(k+1)=1557.4*(1557.4* e-0.0155*K-1557.4* e-0.0155*(K-1)

);k=1,2,....n

X0(k+1)表示第K年的人均住房面积。X0(1)=19.4;

对2015年该市人均住房面积进行了预测并得出，2015年该市人均住房面积达到28.85平方米。

关键词：多元先行回归 SPSS 灰色关联分析相关分析灰色预测综合评价方法

一、问题重述

长久以来，房地产问题都得到了国人很大的关注关于对房地产问题的分析和预测一直没有停止过。住房问题是关系民生的大问题。自2001 年以来中国经济进入了以住房、汽车、电子通讯、能源和基础原材料业较快发展的新一轮增

长周期。2004 年1-2 月份固定资产投资完成额增长53％，经济运行中出现了新的不平衡，能源、运输供应紧张，居民消费品价格指数(CPI)开始走高（6 月同比上涨5％），中国经济运行出现偏热的迹象。从2003 年下半年开始，房地产业在发展过程中出现了部分地区房地产投资过热、房价上涨过高的现象，各项指标表明中国房地产存在一定程度的泡沫。为保持经济健康稳定的发展，近年来，中央政府综合运用经济、法律和必要的行政手段，以区别对待和循序渐进的方式，对房地产业连续出台了一系列宏观调控政策。但房地产市场仍然存在住房供给结构不合理、部分城市房价上涨太快、中低收入居民住房难以满足等问题。2008 年，在世界金融危机和国内经济下行的双重外部压力下，在行业自身调整的内部推动下，全国房地产市场出现了周期性变化，由增长期转变为衰退期，2009 年世界经济形势非常严峻，这场百年一遇的金融危机，目前尚看不出何时会到底，最坏的时间或许还没有到来，世界经济步入衰退，已没有什么悬念，这必将对我国房地产业产生巨大影响。

09 年刚刚开始，房地产业陷入了低靡期，房价会不会继续下跌呢？自己辛辛苦苦赚的

钱，会不会买了房就贬值呢？那么，在经济形势不容乐观的今天，购房者是该出手时就出手，还是持币待购，继续观望呢？政府究竟是否应该救市？中国房地产究竟是否存在泡沫？当房价已经超过居民消费能力时，既要维持房价上涨、又要拉动交易量上升，是很困难

的。房地产业要健康发展，需要在房价和交易量的合理平衡上做文章。

在本次数学建模的A 题中我们有以下问题需要解决：

问题一：试建立数学模型阐述房地产市场发展与经济发展的关系。2009 年该市的房地产市场发展形势如何？

问题二：试建立数学模型分析影响房地产业发展的因素，该模型对于政府调控房地产市场有何指导作用？

问题三：作为建设小康社会的一项重要指标，在房地产业健康稳定发展的前提下（可参照附件一中的部分指标），欲使该市人均住房面积在2015 年达到30 平方米，政府应采取哪些措施？

二、模型的基本假设

1、不考虑自然因素对房价成本的影响；

2、各城市影响房产价因素基本一致；

3、假设每个投资者所掌握的信息和对市场的预期都是给定不变的；

4、房地产市场的基准价格也是给定不变的；

5、假设一定时间内房地产市场供给是固定的；

6、假设所有投资者同质、所拥有的资源也是一样；

.

房地产开发投资M5

居民消费价格指数M6

居民居住消费价格指数M7

房地产业生产总值增加值Y2

残差

系数

常数

随机变量εi

第k年的人均住房面积X0(k+1)

X0前k+1项累加和X1(k+1)

第一问中结合模型准备阶段做的工作，首先多元线性回归，刻画了房地产

市场发展与宏观经济之间的关系。并且建立多元线性回归模型

y1= ;

通过对附件二可知：在近几年房地产市场发展与经济发展两者之间互动关系有一个机构性变化，由于利率缺乏弹性，通过利率来调整房地产市场，成效不大，但是信贷规模的变化对房地产投资有较大的影响。

y1=0.5819x1+0.4181x2-0.07+ε函数的结果表明：房地产投资的冲击对经济增长有长期影响，个别企业对相关行业的拉动作用也比较大。

解决第二问时，我们利用关联度分析的方法得到房地产市场发展与经济发展的定量关系。并结合相关分析加以检验。

对于第三问，我们利用主成分分析法建模量化得到影响房地产业发展的因素。基于房地产业健康稳定发展的前提，我们针对GM(1,1)模型（灰色预测模

型）的应用做了详细分析，提出了在本题中的不足，采用了的改进的GM(1,1)模型[2]，效果良好。预测出2015年该市人均住房面积将达到28.85平方米，欲使该市人均住房面积在2015 年达到30 平方米，在模型的进一步讨论中，我们针对在我国现阶段发展中较为突出的房产泡沫与用户需求的矛盾问题采用综合评价法。最后，我们根据对结果的分析提出了一些有价值的建议。

五、模型建立与求解

5.1问题一模型的求解

5.1.1模型的准备

房地产业作为新的经济增长点，其投资规模的快速发展会促使固定资产投资和钢铁、水泥等行业的持续增长，并对煤电油运鞥行业产生巨大压力，影响国民经济的协调发展。而作为一般投资品，像其他金融产品一样，其价格的极不稳定性对经济的影响也是人们关注的热点问题。因此，本模型从房地产投资和房地产价格的冲击入手，来分析房地产业的波动对国民经济的影响。

5.1.2 模型的建立

首先，对房地产业的发展进行分析可知，它主要由房地产开发投资和商品房销售价格两个因素决定。因次以房地产开发投资和商品房销售价格两个指标作为自变量，以全市生产总值作为因变量进行回归分析，建立多元线性回归模型如下：

Y1=β0+β1*X1+β2*X2+ ε ;

将房地产开发投资和商品房销售价格以及全市生产总值这三个变量进行标准化处理，并用SPSS软件解得如下：

系数

置信区间[-1.888,0.079] [0.283,0.903] [0.129,0.722] 统计检验量 R=0.918 R^2=0.843 F=51.060 p=0.05

残差分析

Model

Sum of

Squares df Mean Square F Sig.

1 Regression 1.656

2 .828 51.060 .000a

Residual .308 19 .016

Total 1.965 21

a. Predictors: (Constant), 标准化房地产开发投资, 标准化商品房销售价格

b. Dependent Variable: 标准化全市生产总值

Coefficientsa

Model Unstandardized

Coefficients

Standardize

d

Coefficient

s

t Sig.

B Std. Error Beta

1 (Constant

)

-.070 .057 -1.227 .235

标准化价

格

.5819 .148 .558 4.004 .001

标准化投

资

.4181 .142 .419 3.007 .007

a. Dependent Variable: 标准化全市生产总值

得出多元线性回归方程，如下

Y1=0.5819x1+0.4181x2-0.07+

对所得模型进行检验：做出残差图形如下

残差的正态分布检验：

经残差检验以及R^2=0.843可以看出该模型基本成立。

对房地产开发投资和商品房销售价格以及全市生产总值做出随时间变化的趋势

图如下：

图1

由多元线性回归模型及图1可以看出房地产开发投资和商品房销售价格与全市生产总值呈正相关，即房地产发展与经济发展，他们之间相互拉动，又相互牵制。随着市场经济的不断完善，他们之间的互动越来越强。

2008年，在世界金融危机和国内经济下行的双重外部压力下，在行业自身调整的内部推动下，全国房地产市场出现了周期性变化，由增长期转变为衰退期，

在2009 年，该市的房地产产业将进入一个新的发展阶段。由于经济危机的影响，城镇

居民的人均收入呈现下降趋势，由此引发中国的房地产市场的急剧下滑。由图可以看出，

呈现了下降的趋势，长期看来，该市的房地产市场发展前景仍然是看好的。5.2 问题二模型的求解

5.2.1 问题二模型的建立

由第一问可知房地产业的发展与经济的发展，他们之间相互拉动，又相互牵制 因此分析影响房地产业发展的因素对经济的发展起至关作用。由此，我们运用了灰色关联分析模型。

5.2.2 模型的求解

关联分析方法是根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，亦即“灰色关联度”，作为衡量因素间关联程度的一种方法。灰色系统理论提出了对各子系统进行灰色关联度分析的概念，意图透过一定的方法，去寻求系统中各子系统（或因素）之间的数值关系。因此，灰色

关联度分析对于一个系统发展变化态势提供了量化的度量，非常适合动态历程分析。确定分析序列。在对所研究问题定性分析基础上，确定一个因变量因素和多个自变量因素。设因变量数据构成参考序列X0，各自变量数据构成比较序列Xi ( i=1，2，_ ，n)构成如下矩阵： X0(1) X1(1)………Xn(1) X0(2) X1(2)………Xn(2)

. . .

. . .

（X0’,X1’,…..,Xn’）= . . .

. . .

. . .

. . .

X0(n) X1(n)……… Xn(n)

对变量序列进行无量纲化。原始变量序列具有不同量纲或数量级，需进行无量纲化，常

用无量纲化方法有均值化法和初值化法等。求差序列，最大值和最小值，形成下列矩阵

X1(1)-X0(1) X2(1)-X0(1)………..Xn(1)-X0(1)

X1(2)-X0(2) X2(2)-X0(2)………..Xn(2)-X0(2)

. . .

. . .

. . .

. . .

.. .

. . .

X1(n)-X0(n) X2(n)-X0(n)………..Xn(n)-X0(n)

根据公式计算关联系数

()()()()()()()()

()()()()()()()()k X k X k X k X k X k X k X k X k r 00000000?max max ??max max ?min min )(-+--+-=ρρ

()()()()k X k X 00?min min -为两级最小差

()()()()k X k X 00?max max -为两级最大差

ρ称为分辨率，0<ρ<1,一般取ρ=0.5

R(i)表示第X(i)个因素和因变量X0关联度。()∑==n

k k R n i R 11

)(关联度矩阵中每列的平均数

代入数值求的：

关联度矩阵如下： R=

R R R

R1=0.69 R2=0.67 R3=0.65 R4=0.81R5=0.70R6=0.60R7=0.61;

计算结果表明，居民居住房均价,房地产开发投资与房地产发展的的关联程度较大，城市居民可支配收入，房屋租赁价格指数 次之，居民消费价格指数影响最小。由上可知政府应该主要通过适度控制房地产开发投资并有效控制房价过分增长。

5.3 问题三模型的求解

5.3.1问题三模型的建立

灰色系统理论中的灰色预测GM(1,1)模型[1]因其所需信息少、运算方便、建模精度较高

而被广泛应用于各种预测领域。所以我们在房地产业健康稳定发展的前提下，并根据2003至2008年的数据使用灰色预测模型来预测2015年人均住房面积。

5.3.2 问题三模型的求解

Step1:设时间序列X0(k)={X0(1),X0(2),……,X0(n)},共有n 个观察值，其中X0(k)≥0

(K=1,2,……,n)

对X0作一次累加生成列X1,即X1(k)=

=X1(k-1)+X0(k); Step2:定义矩阵B 与Yn,其中

X0(2) B= Yn=

X0(3)

X0(n) a ?=(a,u)T =(B T B)-1B T Yn;

求解微分方程： 0.785929 0.569365 0.54815 0.436208 0.415473 0.454724 0.508644 0.557513 0.40204 0.382671 0.946963 0.633606 0.333333 0.351447 0.469755 0.418805 0.351743 0.736082 0.971176 0.36067 0.346492 0.57803 0.657746 0.656918 0.982134 0.570298 0.641388 0.643958 0.760189 0.99571 0.940144 0.772274 0.588119 0.778316 0.952576 1 1 1 0.982596 1 1 0.833267

dX1

+aX1=u

dt

可的预测模型：

X1(k+1)=[X0(1)-u/a]*e-ak –u/a；k=0,1,2…..n

可的预测值：

X0(k+1)=X1(k+1)-X1(k);k=1,2 …..n

当1n时，上式为预测值。模型求解:

X0=[19.4 24.22 25.01 25.75 23.7 26.8 ]

做一次累加后的序列

X1(K)=[19.4 43.62 68.63 94.38 118.08 144.88]

Setp3:由矩阵B的值计算得：

B=[-31.51 -56.125 -81.505 -106.23 -131.48

1 1 1 1 1]T

Yn=[24.22 25.01 25.75 23.7 26.8 ]

代入数据求的：

X1(k+1)=[X0(1)-u/a]*e-ak –u/a

=[19.4+1538]*e0.0155*k -1538 ; k=0,1,2……..n

Step4:进一步可求的：

X0(k+1)=1557.4* (e^0.0155*k - e^(0.0155*(k-1))); k=1,2……n 代入数据k=12求的2015年人均住房面积为28.85平方米。

通过分别计算绝对误差与相对误差，进行残差检验：

作图如下：

结果分析：由残差分析可知，本模型的预测误差较小变动均匀预测精度较高，但是经过数据检验预测，我们发现长序列预测的误差通常大于短序列，并且预测的时间越远，误差越大，而预测的时间越近，误差就越小。

而且由本模型预测的2015年城区人均住宅使用面积为28.85平方米未达到题目中要求的30平方米，所以在房地产业健康稳定发展的前提下，政府应采取如下措施：

经附表二中统计分析的：

1998-2008政府为应对房地产市场发展分别针对存款准备金率，存贷款利率，最低首付款，所做的调整如下：

存款准备金率：2004年4月由7%-7.5%,2007年12月调增至14.5%，2008年1月由14.5%调至15%，2008年3月由15%调整至15.5%，2008年4月15.5%调整至16%，2008年10月两次分别下调0.5%和0.27%。

存贷款利率：2002年3月由4.59%调整至4.05%，2006年4月由6.12%调整至6.39%，2008年2月下浮10%，2008年9月下调0.27个百分点，2008年10月两次分别下调0.25和0.27个百分点。

最低首付款：2005年3月最低首付款在20%-30%之间，2007年9月大于40%。2008年9月由调至20%。

有附件数据可知：

2003-2008年住宅用房和其他商用房平均空置率分别为：10.48%和32.10%，2003-2008年年度家庭全部收入与房价之比为1：17.88，国际标准为：1-2.5~5。2003年年度居民个人月收入与每平米房价之比0.30

2003-2008年年度全部贷款中房地产类贷款的比重25.38%，超过20%以上为严重经济泡沫。

综上可知：假设在房地产业健康发展的前提下政府应采取的措施如下：

（1）适度控制房价上涨，

六、模型的优化与改进

6.1模型的优点

对于问题一所建立的多元线性回归模型，能够较准确的反映出房地产市场发展与经济的发展相互拉动，又相互牵制。关于问题二，我们应用灰色关联分析模型，对影响房地产业发展的因素进行深入分析，通过对这些因素的分析，得出一些促进房地产业发展的建议，而且此模型对政府如何提高房地产业的发展，做出了明确的指导。对于问题三，我们建立了灰色预测模型，根据材料中给出的2003年至2008年的数据，我们预测出2015年城市居民人均住房面积为28.85平方米，且此预测模型误差较小，适用于各方面类似的时间序列预测问题，具有很好的普适性。此模型层层替推，之间的逻辑清晰，便于理解。.模型考虑的比较全面，运用此模型可以十分准确地推测各因素对房地产产业的发展影响比重。

6.2模型的缺点

由于材料中所给数据不全，且有许多数据丢失，所以建立的模型有一定的误差。前期准备时所需数据量庞大，不容易收集，而且处理时容易出错。

模型中用到的一些数据会是人的一些经验所得，所以会有一些误差。对于问题三所求的时间序列预测模型是根据时间的变化而变化的，所以受时间影响较大，预测时间越近，误差越小，预测时间越远，误差越大，因此根据所建立的灰色预测模型来求2015年的城市居民人均居住面积，结果有一定的误差。

6.3模型的改进

在建模预测的过程中，我们发现保有量的预测与人口的预测有相似之处，然而我们知道随着政府政策,家庭收入,投资倾向等因数对房地产的发展有着至

关重要的作用,所以在本数学模型的建立过程中，我们一直是假设发地产市场是健康的向前发展的。

换言之，从结果中我们可以看出我们模型在对一定情况下的预测是准确的,但是，由于

上述原因，就不一定能准确地预测长期的房地产发展问题.进而有利于现有政策的调控了。

所以我们可以把这种冲突看成在一定时期内，该地区的增长趋势是一定的。便可以借用

Logistic模型[4]。为了能得到比较准的影响房地产发展的因素,特别是使长期的预报符合实际情况,我们就必须对上述模型做进一步的改善,上面的基础上引入常

数Xn

6.4模型的推广

通常人们可以通过事物外界的一些特征来了解其内部的运行机制，但当人们在对诸如社会系统、农业系统等时，人们无法建立客观的物理原型，其作用原理也就不明确。而且内部因素难以识别或之间的关系隐蔽，所以人们很难准确了解这类系统的行为特征，对其定量描述难度较大，给建模带来极大的不便。在此，我们就可以借助与本题中的灰色预测模型，因为灰色预测模型是将随机量看作是在一定范围内变化的灰色量，所以我就可以通过一定的方法将灰色量变换成生成量，从而利用生成量得到规律性很强的生成函数。这种方法在生活中十分常见，而且我们可以预测其应用前景是很广阔的[6]。例如，我们可以利用它进行天气的预报，对洪涝灾害的预测，对股票的预测等等。同时，主成份分析使我们得出了响房地产业发展的主要因素，以及针对这些因素应该采取的措施。