资源与环境系统分析作业(2)

资源与环境系统分析（第二篇）

1．酵母菌在某一时段的增长符合N r dt dN m =。N 为酵母菌生物量；t 为时间；m r 为内禀增长率。实验测定的酵母菌与时间（h ）的关系数据如下表所示。

（1）根据实验数据，估算m r 的大小。

（2）用解析方法和差分方法分别求出N(0),N(1),…..,N(7).作图并与实验值进行比较分析。 解：（1）根据题意，N r dt dN m =/ ，解出C t r N m +=ln ，令lnN=y ’，经过线性拟合得到方程3957.24636.0'+=x y ，9956.02=R ，相关性极好。即m r 的值约为0.4636。 （2）由第一问可知，3957.24636.0ln +=t N ，由此推出x e N 4636.0976.10=（该方程并未把初始值设为表中给的9.6，因为当t=0时的9.6也是观测值并非理论值或真正实际值）由方程t e N 4636.0

976.10=求出当t=0,1,2,…,7的解析解。 将N r dt dN m =/改写成

N r t

m =?形式的差分方程，当1=?t 时，得到

)()()1(n N r n N n N m +=+)()1(n N r m +=，从而逐个得出差分解。

由图可知，在本题中解析解的值相较于差分解的值更贴近实际观测值，解析解更准确一些。 2.酵母菌的生物量增长符合dN/dt=m m m N N N N r /)(-。N 为t 时刻生物量；m r 为内禀增长率；m N 为酵母菌生物量的最大值，设为665。试验测定数据如下表所示

（1）根据实验数据，估算m r 值。

（2）用解析方法和差分方法分别求出N(0),N(1),…..,N(20).作图并与实验值进行比较分析。 解：（1）输入表格中的数据，绘制出散点图可知该曲线符合logistic 生长模型。 由题意生物量增长符合m m m N N N N r dt dN /)(/-=该方程解为：

0ln

ln

)(N N N N N N t t r m m ---=-等式右边与时间T 呈线性关系，但由于00=t ，所以设直线

截距为零。令等式右边等于Y ’，得到线性方程x y 5355.0'=，9995.02=R ,所以，m r 的值约等于0.5355。

（2）由第一问结果可以推出酵母菌生物量方程t

e

y 5355.0)16

.9665(

1665--+=

，由该式可以分别

得出当t=0，1，……,20的解析解。

将logistic 曲线模型写为

)1(m

m N N Nr dt

dN -=，推出差分模型)1(1m

n n m n n N N N r N N -

+=+，

代入数值，差分方程为)665

1(5355.01n n n n N N N N -+=+，可由此逐个求出当t=0,1,2,……,20

时的差分解。

由图可知，在本题中解析解的值相较于差分解的值更贴近实际观测值，解析解更准确一些。 3．设某一污染物的自净过程符合一级动力学方程，即：KA dt dA -=/。A 为污染物浓度；

（1）试求K ，污染物的半衰期1t 。

（2）用解析方法和差分方法分别求出A(0),A(1),……,A(80).作图并与实验值进行比较分析。 解：（1）由题目中所给出的一级动力学方程，C Kt A KA dt dA +-=?-=ln ,/令A ’=lnA ，进行线性拟合得到方程2535.30144.0'--=t A 此时0144.0,0144.0=-=-K K 即。因为

,040.00=A 推出污染物自净过程方程t

e

A 0144.004.0-=，当02

1A A =

时，即

02.004.00144.0=-t

e

；解得min 135.482

1=T 。

（2）由方程t e A 0144.004.0-=可以求出当t=0,1,2,……80的解析解。

由方程)()1()1(t A K t A -=+可以逐个求出当t=0,1,2,……80的差分解。

上图可以将解析解与差分解做出比较，结果发现对于这道题来讲解析解与差分解的差异并不明显，无法判断孰优孰劣。

4.logistic 过程的差分方程，可写为)1(1n n n x x x -=+μ，请对其进行如下的数值实验。 （1）求

5.0=μ，=0x 0.1，0.11，0.101，0.1001时60321,...,,,x x x x 的值，并作出n x n -的关系图。

（2）求2=μ，=0x 0.1，0.11，0.101，0.1001时60321,...,,,x x x x 的值，并作出n x n -的关系图。

（3）求2.3=μ， =0x 0.1，0.11，0.101，0.1001时60321,...,,,x x x x 的值，并作出n x n -的关系图。

（4）求5.3=μ，=0x 0.1，0.11，0.101，0.1001时60321,...,,,x x x x 的值，并作出n x n -的关系图。

（5）求0.4=μ，=0x 0.1，0.11，0.101，0.1001时60321,...,,,x x x x 的值，并作出n x n -的关系图。 解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

由图比较可知，当}4,5.3,2.3,2,5.0{],1,0[∈∈μx ，参数μ变化时，长时间n x 演化的形态可以分成很多种：

无趋向值。

混沌吸引子，系统混沌时，，即在四个值上跳动；周期时，，即在两个值上跳动；周期时，时，时，→∞∈→∈→∈-

→∈→∈n n n n n x x x x x ),57.3(4]545.3,449.3(2]449.3,3(;

1

1]3,1(;0]1,0(μμμμ

μμ

结论：随着参数μ的不断增大，变量X 的取值由定态到周期加倍再进入混沌状态。