#等差数列与等比数列解答题综合训练

等差等比数列的综合问题(第1课时)

1．设等比数列}{n a 的公比为q , 前n 项和为n S ，若12n n n S S S ++，，成等差数列，求q 的值． 2. 已知数列}{n a 是等比数列，e a =4，如果72,a a 是关于x 的方程：

)2(,012e k kx ex >=++两个实根，（e 是自然对数的底数） ⑴ 求}{n a 的通项公式；

⑵ 设n n a ln b =，n S 是数列}{n b 的前n 项的和，当n S n =时，求n 的值；

⑶ 对于⑵中的}{n b ，设21++=n n n n b b b c ，而 n T 是数列}{n c 的前n 项和，求n T 的最大值及相应的n 的值．

3. 设数列{}n a 的前n 项和n n S n 2

1

232-=

，

数列{}n b 为等比数列，且,11b a =1122)(b a a b =- ⑴ 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； ⑵ 设n n n b a C =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．

4. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，点??

?

??n S n n ，在直线21121+=

x y 上．数列{}n b 满足()*n n n N n b b b ∈=+-++0212，且113=b ，前9项和为153．

⑴ 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； ⑵ 设()()121123--=

n n n b a c ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57

k

T n >对一切

*N n ∈都成立的最大正整数k 的值；

⑶ 设()()

(

)

???∈=∈-==*

n *n N

l ,l n b N l ,l n a n f 2 12 ，问是否存在*

N m ∈，使得()()m f m f 515=+成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．

5. 对于函数)(x f ，若存在000)(,x x f R x =∈使成立，则称)(0x f x 为的不动点.如果函数

),()(2N c b c bx a x x f ∈-+=有且只有两个不动点0，2，且,2

1)2(-<-f

（1）求函数)(x f 的解析式；

（2）已知各项不为零的数列1)1

(4}{=?n

n n a f S a 满足，求数列通项n a ；

（3）如果数列}{n a 满足)(,411n n a f a a ==+，求证：当2≥n 时，恒有3

6. 已知数列{}a n 的前n 项和为n S 且满足2

1

),2(0211=≥=?+-a n S S a n n n ．

(Ⅰ)判断}1

{

n

S 是否是等差数列，并说明理由； (Ⅱ)求数列{}a n 的通项n a ；

(Ⅲ)若n n a n b )1(2-=，求1

2

)5()(+++=

n n b n b n f 的最大值及取得最大值时n 的值

等差等比数列的综合问题(第2课时)

5. 已知正项数列}{n a ，其前n 项和S n 满足10S n =2

n a ＋5a n ＋6，且a 1，a 3，a 15成等比数列，求数列}{n a 的通项a n .

6. 设数列{}n a 满足a 1+3a 2+32a 3+…+3n -1a n =

N*,3

∈n n

. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设b n =

n

a n

，求数列{}n b 的前n 项和S n . 7. 已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈

（I ）证明：数列

{}1n n a a +-是等比数列；

（II ）求数列

{}n a 的通项公式；

（Ⅲ）若数列{}n b 满足1

2

111*44...4(1)(),n

n

b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列。

8. 已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且1111

3114413144n n n n n n a a b b a b ----?

=++???

?=++??（2n ≥）

（I ）令

n n n

c a b =+，求数列

{}

n c 的通项公式；（II ）求数列

{}

n a 的通项公式及前n 项和公式

n

S ．

9. 已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,

),1n n S a n a +=+==，

⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2

==

n a c n n

n ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

11. 已知数列{}n a 的前n 项为{}n n b N n n n A 数列),(1522

∈++=的前n 项和满足

)(2

3

23N n b B n n ∈-=

（I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）将数列{}n a 与{}n b 的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列{}n c 的通项公式；

12. 已知各项均为正数的数列}{n a 前n 项和为n S ，

*,)1(2N n a p S p n n ∈-=-，0>p 且1≠p ，数列{}n b 满足n p n a b log 2=．

（I ）求n a 和n b ； （II ）若2

1

=p ，设数列}{n n a b 的前n 项和为n T ，求n T ．

答案

1. 解：若1q =, 则111(1)(2)2n a n a na +++=， 10,232a n n ≠∴+=, 不合要求；

若1q ≠， 则12111(1)(1)2(1)111n n n a a a

q q q q q q

++-+-=?----． 1

22n n n q

q q ++∴+= 220, 2.q q q ∴+-=∴=- 综上, 2q =-.

2. 解⑴：由于 72,a a 是已知方程的两根，所以，有：,172e a a =

即： e q qa a 1

611=， 又e a =4，得 e q a =3

1 两式联立得：,3-=e q ∴n n n e q

a a 31344--== 故 }{n a 的通项公式为： n

n e a 313-=

⑵n e

ln a ln b n

n n 313313-===-，所以，数列}{n b 是等差数列，由前n 项和公式得： n n

n S n =-+=

2

)31310(，得 2323=-n ，所以有： 7=n

⑶由于 n b n 313-= 得： >>>>>>>6543210b b b b b b

又因为21++=n n n n b b b c ，所以0,043223211>=>=b b b c b b b c ， 而05433<=b b b c

0076556544<=>=b b b c b b b c ，且 当5>n 时，都有 0

104=c 即：43c c < 所以，只有当4=n 时，n T 的值最大，

此时()31010828280=+-+=max n T 3. 解⑴：由12

123112==-=

S a n n S n 得

1,2--=≥n n n S S a n 时=??

?

???-----)1(21)1(23212322n n n n =23-n 对于1=n 也成立，故{}23-=n a a n n 的通项

13

141112===-=-a b a a 由1122b )a a (b =-

{}3

112==

b b q b n 的公比得 故{}1)31

(-=n n n b b 的通项

解⑵：()1

1323n n n n c a b n -??

==- ?

??

n n C C C C T ++++= 321

故 1232)3

1

)(23()31()53()31(10)31(73141---+?-++?+?+?

+=n n n n n T 得31n n n n n T )3

1

)(23()31()53()31(7)31(431132-+?-++?+?+=-

两式相减得 n n n n T )31)(23()31()31()31(313132132--??

?

???+++++=-

()()111591156513313323213223322313

n

n n n n

n n n ??- ?+??????

????=+?--=---=- ? ? ? ?????????-

1

)3

1(456415-+-=

∴n n n T 4. ．解⑴：由已知得：

21121+=n n S n ， ∴n n S n 2

11

212+= 当2≥n 时，()()512

11121211212

21+=----+=-=-n n n n n S S a n n n

当1=n 时，611==S a 也符合上式． ∴5+=n a n

由()

*

n n n N n b b b ∈=+-++0212知{}n b 是等差数列

由{}n b 的前9项和为153，可得：()1532

991=+b b ，求得175=b ，又113=b

∴{}n b 的公差323

5=-=

b b d ∴23+=n b n ⑵ ()()???

??+--=+-=1211212136123n n n n c n ，

∴??

?

??+-=??? ??+--++-+-=121121121121513131121n n n T n

∵n 增大，n T 增大 ∴ {}n T 是递增数列，∴3

1

1=≥T T n

57k T n >对一切*

N n ∈都成立，只要57

311k T >= ∴19

则有()()552153+=++m m ，解得：11=m

当m 是偶数时，()201515+==++m a m f m ，()23+==m b m f m 则有()23520+=+m m ，解得：*N m ?=

7

5

．所以11=m ． 5. 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6, ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6,解之得a 1=2或a 1=3. 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2),②

由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1),即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 , ∴a n －a n －1=5 (n ≥2).

当a 1=3时,a 3=13,a 15=73. a 1, a 3,a 15不成等比数列∴a 1≠3;

当a 1=2时,a 3=12, a 15=72, 有a 32=a 1a 15 , ∴a 1=2, ∴a n =5n －3. 6. 解: (I)2

1

12333 (3)

,3n n n a a a a -+++=

2212311

33...3(2),3

n n n a a a a n ---+++=≥

1113(2).333

n n n n a n --=-=≥ 1

(2).3

n n a n =

≥ 验证1n =时也满足上式，*

1().3

n n a n N =

∈ (II) 3n

n b n =?，

23132333...3n n S n =?+?+?+?

231

233333n n n S n +-=+++-?

1

1332313

n n n S n ++--=-?-，

111333244

n n n n S ++=

?-?+? 7. （I ）证明：

2132,

n n n a a a ++=-

21112*21

12(),1,3,2().

n n n n n n n n

a a a a a a a a n N a a ++++++∴-=-==-∴

=∈-

{}

1n n a a +∴-是以

21a a -2

=为首项，2为公比的等比数列。

（II ）解：由（I ）得

*12(),

n n n a a n N +-=∈

112211

()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+

12*22 (21)

21().n n n n N --=++++=-∈

（III ）证明：

1211144...4(1),

n n b b b b n a ---=+

12(...)42,n n b b b nb +++∴=

122[(...)],

n n b b b n nb ∴+++-= ①

12112[(...)(1)](1).

n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②

②－①，得

112(1)(1),

n n n b n b nb ++-=+-

23413132333...3n n S n +==?+?+?+?

即1(1)20.

n n n b nb +--+= ③

21(1)20.

n n nb n b ++-++= ④

④－③，得2120,

n n n nb nb nb ++-+=

即

2120,

n n n b b b ++-+=

*211(),

n n n n b b b b n N +++∴-=-∈

{}

n b ∴是等差数列。

8. （Ⅰ）解：由题设得)

2(2)(11≥++=+--n b a b a n n n n ，即2c c 1n n +=-，

所以数列

{}

n c 是公差为2的等差数列，又c1=3,

其通项公式为12n )1n (23c n +=-+= （Ⅱ）解：由题设得

)2)((21

11≥-=

---n b a b a n n n n ，令n n n b a d -=，则

)

2(21

1≥=-n d d n n 。

易知{d n }是首项1=-n n b a ，公比为21

的等比数列，通项公式为

d n ＝1

2

1

-n

由于??

?

?

?=-+=+-121,12n n n

n n b a n b a 解得 a n ＝212

1+

+n n

。

求和得1

221

2

+++=n n S n n 。

9. (1)由S

1

n +=4a 2n +，S

2

n +=4a

1

n ++2，两式相减，得S

2

n +-S

1

n +=4(a

1

n +-a

n

)，即

a 2n +=4a 1n +-4a n ．(根据

b n 的构造，如何把该式表示成b 1n +与b n 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)

a 2n +-2a 1n +=2(a 1n +-2a n )，又

b n =a 1n +-2a n ，所以b 1n +=2b n ①

已知S 2=4a 1+2，a 1=1，a 1+a 2=4a 1+2，解得a 2=5，b 1=a 2-2a 1=3 ② 由①和②得，数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，故b n =3·2

1

n -．

1

当n ≥2时，S n =4a 1n -+2=2

1

n -(3n-4)+2；当n=1时，S 1=a 1=1也适合上式．

综上可知，所求的求和公式为S n =21n -(3n-4)+2．

10. 解：(Ⅰ)数列{

n

S 1

}是等差数列． ∵n ≥2时，a n = S n – S n – 1 ∴S n – S n – 1 + 2S n S n – 1 = 0，

若S n = 0，则a n = 0，∴a 1 = 0与a 1 =

2

1

矛盾！ ∴S n ≠0，S n – 1≠0． ∴02111=+--n n S S 即2111=--n n S S 又2111

2=-S S ． ∴{

n S 1}是首项为2，公差为2的等差数列且n S 1= 2 + 2(n – 1) = 2n ，∴S n =n

21． (Ⅱ)n ≥2时，a n = S n – S n – 1 =

)

1(21

)1(2121n n n n -=

-- ???

???

?≥-==∴)2 ()1(21),1(2

1

n n n n a n

(Ⅲ)∵n + 1≥2，b n + 1 = 2(1 – n – 1)·a n + 1 = – 2n

11))(1(21+=

-+n n n ，∴b n + 2 =2

1

+n ． 2

∴5

1

4)1(14)1(5)1(11

1)

5(21)(2++++=+++++=

+++=n n n n n n n n n f ． ∵01

4

,01>+>+n n ， ∴f (n )≤

91∴当且仅当n = 1时取等号，∴当n = 1时，f (n )有最大值是9

1． 11. （I ）)2n (2n 21)1n (5)1n (2A 2

21n ≥-=+-+-=- ，3n 4A A a 1n n n +=-=∴-

∴??

?∈≥+==)

N n ,2n (3n 4)

1n (8a n

(II)由11,2,31,2323--=≥==-=

n n n n n B B b n b n b B 时当得令,即)b b (2

3

b 1n n n --= 3b b 1

n n

=∴

-,故{}n b 的通项公式为)(.3331N n b n n n ∈=?=-

设数列{}n a 中的第γ项与数列{}n b 中的第n 项相同，则有n

334=+γ

由此N n ∈-=4

3

3γ ∴必有n 为奇数2k+1)(N k ∈，故{}n c 的通项公式为123+=n n c 12. （I ）由(p-1)S n =p 2-a n (n ∈N *)①，得(p-1)S 12

1---=n n a p ②

①-②，得

n p

a a n n (1

1=-≥2), 又(p-1)S 1=p 2-a 1,p ＞0且p ≠1,∴a 1=p. {a n }是以p 为首项，

为公比的等比数列p 1

，n n n p p

p a --==21)1( b n =2log ,24log 22n p a n

p n p -==-∴b n =4-2n.

6

（II ）由（1）知,b n =4-2n,a n =p

n

-2.又由条件得p=

2

1得a n =22

-n . ∴T n =20124222022-+-++-+2322426--+?+-n n

①

n T 21=43202624222022-+-+-+++12

24--+?n n

② ①-②得n T 21=4321022222222224-+-+-+-+++122

2422-----+?n n n

=4-2×（1+ 122224)212121----+?++n n n =4-2×----2

11)21(12

n 1224--n n

＝111244222222n n n n n n n ------==， ∴T n =32

-n n 13. 解：设x c bx a x =-+2得：,0)1(2=++-a cx x b 由违达定理得：???

????

-=?--=+,

102,102b a b

c

解得,210

???

??+==c b a 代入表达式c x c x x f -+=)2

1()(2，由,2112)2(-<+-=-c f 得x x f b c N b N c c ===∈∈<)(,1,0,,,3则若又不止有两个不动点，

).1(,)

1(2)(,2,22

≠-===∴x x x x f b c 于是………………………………………5分

（2）由题设得,2:1)11(2)1(

42

2n n n n

n n a a S a a S -==-?得 （A ）

且2

1

112:1,1----=-≠n n n n a a S n n a 得代以 （B ）

由（A ）-（B ）得：,0)1)(()()(2112

121=+-+---=----n n n n n n n n n a a a a a a a a a 即

,2:)(1,1211111a a a A n a a a a n n n n -==-=--=∴--得代入以或

解得01=a （舍去）或11-=a ；由11-=a ，若,121=-=-a a a n n 得这与1≠n a 矛盾，

11-=-∴-n n a a ，即{}n a 是以-1为首项，-1为公差的等差数列，

n a n -=∴； ………………………………………………………………10分

（3）证法（一）：运用反证法，假设),2(3≥>n a n 则由（1）知2

2)(2

1

-=

=+n n

n n a a a f a ),2(,14

3

)211(21)111(21)1(211N n n a a a a a a a n n n n n n n ∈≥<<=+<-+?=-=∴

++即 ∴21a a a n n <<<- ，而当,3;33

8281622,21212<∴<=-=-==n a a a a n 时

这与假设矛盾，故假设不成立，∴3n a <.………………………………………14分

证法（二）：由2

1

21)211(21,22)(21211≤+--=-==+++n n n n n n n a a a a a a f a 得

得1+n a <0或,30,0,2111<<<≥+++n n n a a a 则若结论成立；

8

若1+n a 2≥，此时,2≥n 从而,0)1(2)

2(1≤---=

-+n n n n n a a a a a

即数列{n a }在2≥n 时单调递减，由3222=a ，可知2,33

2

22≥<=≤n a a n 在上成

立.………………………………………………………………………………………14分

一列火车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站（包括起点站A 和终点站B ），车上有一邮政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站的邮袋一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个．设从第k 站出发时，邮政车厢内共有k a （k ＝1，2，…，n ）个邮袋．试求： （1）数列{}k a 的通项公式；

（2）k 为何值时，k a 最大？求出k a 的最大值．

14． [解析]由题设知11a n =-，()()2121a n n =-+--， ()()

()

312312a n n n =-+-+---，…

在第k 站出发时，前面放上的邮袋共有()()()12n n n k -+-+???+-个，而从第二

站起，每站放下的邮袋为12(1)k ++???+-个．

5

故

a

k

=（n-1）+(n-2)+…+(n -k)-[1+2+…(k -1)]

()[]1212(1)

k n k k =-++???+-++???+- 2(1)(1)

22

k k k k kn kn k +-=-

-=- （k ＝1，2，3，…，n ） （2）由（1）知2

224k n n a k ?

?=--+ ???

若n 为偶数，则当2n

k =时，k a 的最大值为24n

若n 为奇数，则当12n k -=或1

2

n k +=，k a 的最大值为214n -．