1.3.1二项式定理

1．3．1二项式定理

教学目标：

知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用授课类型：新授课

教具：多媒体、实物投影仪

第一课时

一、复习引入：

⑴22202122

222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；

⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++

⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：4

a ，3

a b ，22

a b ，3

ab ，4

b ，

展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4

a 的系数是0

4C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3

a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有2

4C 种，22

a b 的系

数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4

b 的系数是4

4C ，

∴4

44444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++．二、讲解新课：

二项式定理：01()()n n n r n r r n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈

⑴()n

a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：

n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，

⑵展开式各项的系数：

每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n

a 的系数是0

n C ；恰有1个取b 的情况有1n C 种，n

a b 的系数是1n C ，……，

恰有r 个取b 的情况有r

n C 种，n r

r a

b -的系数是r

n C ，……，

有n 都取b 的情况有n n C 种，n

b 的系数是n

n C ，

∴01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的二项展开式，⑶它有1

n +项，各项的系数(0,1,)r n C r n = 叫二项式系数，

⑷r n r r n C a b -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r r r n T C a b -+=． ⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r r n n x C x C x x +=+++++

三、讲解范例：

例1．展开4

1(1)x

+．

解一： 4112334

44411111(1)1()()()()C C C x x x x x +=++++23446411x x x x

+++．解二：4444413123

444111

(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x

??+=+=++++?? 2344641

1x x x x

+++．

例2．展开6

．

解：66

(21)x x =-

6152433221

6666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x

-+-+-+ 322360121

64192240160x x x x x x

=-+-+-+．

例3．求12()x a +的展开式中的倒数第4项

解：12()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

91299339

39911212220T C x a C x a x a -+===．

例4．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．

解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==，（2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．

点评：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同

例5．（1）求9

(

的展开式常数项；（2）求9

(

3x +

的展开式的中间两项解：∵39929

9()33r r r r r r r x T C C x ---+==?，

∴（1）当390,62

r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =?=；（2）9

(

3x +

的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

489

912

3423

T C x

--=?=，1595109

2693T C x --=?=

例6．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；

（2）求9

1()x x

-的展开式中3

x 的系数及二项式系数

解：7(12)x +的展开式的第四项是3

33317(2)280T C x x +==，

∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280．（2）∵9

1()x x

-的展开式的通项是9921991

()(1)r r

r r r r r T C x

C x x

--+=-=-， ∴923r -=，3r =，

∴3

x 的系数339(1)84C -=-，3

x 的二项式系数3

984C =．

例7．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数

分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开

解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x

02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+?22224(3)4C x x ++?3234444(3)44C x x C -+?+?，

显然，上式中只有第四项中含x 的项，

∴展开式中含x 的项的系数是768433

4-=??-C

（法二）：4

)43(-+x x 4

)]4)(1[(+-=x x 4

)4()1(+-=x x

)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +?+?+?+? ∴展开式中含x 的项的系数是34C -3

34444C +768-=．

例8．已知()()n

x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，

求展开式中含2

x 项的系数最小值

分析：展开式中含2

x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得3642=+n m ，从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解：()()1214m n

x x +++展开式中含x 的项为

1124m n C x C x ?+?=11(24)m n C C x +

∴11

(24)36m n C C +=，即218m n +=，

()

()1214m

x x +++展开式中含2x 的项的系数为

t =2222

24m

n C C +222288m m n n =-+-， ∵218m n +=， ∴182m n =-，

∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-2

16148612n n =-+

23715316()44n n =-

+，∴当378

n =时，t 取最小值，但*

n N ∈， ∴ 5n =时，t 即2

x 项的系数最小，最小值为272，此时5,8n m ==．

第四课时

例9．已知

n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，

（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项解：由题意：1

221121()22

n n C C ?=+?，即0892=+-n n ，∴8(1n n ==舍去）

∴8

r T C

-+=?82481()2r r r r C x x --=-??()1638

12r r

r r C x -=-?08r r Z ≤≤??

?∈??

①若1+r T 是常数项，则

316=-r

，即0316=-r ， ∵r Z ∈，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若1+r T 是有理项，当且仅当

316r

-为整数， ∴08,r r Z ≤≤∈，∴ 0,4,8r =，

即展开式中有三项有理项，分别是：4

1x T =，x T 8355=

，2

9256

1-=x T 例10．求6

0.998的近似值，使误差小于0.001．

解：660116

66660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++- ，

展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽

略不计，

∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=，

一般地当a 较小时(1)1n

a na +≈+

四、课堂练习：

1.求()6

23a b +的展开式的第3项. 2.求()632b a +的展开式的第3项. 3.写出n 33)x

21x (-

的展开式的第r+1项.

4.求(

)

2x x

+的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.

5.用二项式定理展开：

（1）5(a ；（2）5

6.化简：（1）55)x 1()x 1(-++；（2）421

212

)

x 3x 2()x 3x 2(-

--+

7．()5

lg x

x x +展开式中的第3项为6

10，求x ．

8．求n

x x 21??? ?

-展开式的中间项

答案：1. 2

62242216(2)(3)2160T C a b a b -+==

2. 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+==

11(2r

n r

r n r

r r n

n T C C x

--+??==- ???

4.展开式的第4项的二项式系数3735C =，第4项的系数33

72280C = 5. （1

）552(510105a a a a a b =++；（2

）52315(

2040322328x x x x =+-. 6. （1

）552(1(122010x x +=++；（2）11114

2432

(23)(23)192x x x x x x

--+--=+ 7. ()5

lg x

x x +展开式中的第3项为232lg 632lg 55

1010x x C x

x ++=?=

22lg 3lg 50x x ?+-=5lg 1,lg 2x x ?==

10,1000

x x ?== 8. n

x x 21??? ?

?-展开式的中间项为2(1)n n

n C -

五、小结：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点

六、课后作业： P36 习题1.3A 组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）

八、教学反思：

(a+b) ｎ

这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ

的，其中r

n C （r=0,1,2,……,n ）叫做，叫做二项展开式的通项，它是展开式的第项，展开式共有个项.

掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

二项式定理是指 +++++=+---r

r n r n n n n n n n

b a

b a b a a b a C C C )

(22211 n

n n b

C +这样一个展开式的公式.它是(a +b )2=a 2+2ab +b 2，(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3…等等展开式的一般形式，在初等数学中它各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公

式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得y =x n 的导数公式y ′=nx n －

1，同时

n n n

1(lim +∞→=e ≈2.718281…也正是由二项式定理的展开规律所确定，而e 在高等数学中的地位更是举足轻重，概率中的正态分布，复变函数中的欧拉公式e i θ

=cos θ+i sin θ，微分方程中二阶变系数方程及高阶常系数方程的解由e 的指数形式来表达.且直接由e 的定义建立

的y =ln x 的导数公式y =

x 1与积分公式?x

=d x ln x +c 是分析学中用的最多的公式之一.而由y =x n

的各阶导数为基础建立的泰勒公式；f (x )=f (x 0)+!1)(0x f '(x －x 0)2

+…!

)(0n x f n (x －

x 0)n +1000)

1()()!

1()]([++-+-?+n n x x n x x x f θ(θ∈(0，1))以及由此建立的幂级数理论，更是广

泛深入到高等数学的各个分支中.

怎样使二项式定理的教学生动有趣

正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个(a +b )4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？

怎样才能使得在这节课上学生获得主动？采用课前预习；自学辅导；还是学生讨论，或读，议、讲，练，或目标教学，还是设置发现情境？看来这些办法遇到真正困难时都会无能为力，因为这些方法都无法改变算式的冗长，证法的呆板，课堂上的新情境与学生的认知结构中的图式不协调的事实.

而MM 教育方式即数学方法论的教育方式却能根据习题理论注意到充分利用数学方法与数学技术把所要证明或计算的形式变换得十分简洁，心理学家皮亚杰一再强调“认识起因

于主各体之间的相互作用”［1］

只有客体的形式与学生主体认知结构中的图式取得某种一致的时候，才能完成认识的主动建构，也就是学生获得真正的理解.

MM 教育方式遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教，学，研互相促进的规律”［2］

在教学中追求简易，重视直观，并巧妙地在应用抽象使问题变得十分有趣，学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用.

二项式定理(通项公式)

六、二项式定理一、指数函数运算知识点：1．整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a a n n ∈??= 个 )0(10≠=a a ,0(1 N n a a a n n ∈≠=- 2．运算性质： ),(Z n m a a a n m n m ∈=?+ ，),()(Z n m a a mn n m ∈=，)()(Z n b a ab n n n ∈?= 3．注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -? ∴n m a a ÷=n m a a -?=m a -② n b a )(可看作n n b a -? ∴n b a )(=n n b a -?n n b 4、n m n m a a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1) 例题：例1求值：43 32 13 2)81 16(,)41(,100,8---. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式： 1） a a a a a a ,,32 32?? (式中a ＞0) 2)43a a ? 3）a a a 例3计算下列各式（式中字母都是正数）);3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a -÷- .))(2(88 341n m 例4计算下列各式： );0() 1(3 2 2>a a a a 435)12525)(2(÷- 例5化简：)()(4 14 12 12 1y x y x -÷- 例6 已知x+x -1 =3,求下列各式的值：.)2(,)1(2 32 32 12 1- - ++x x x x 二、二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ , 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++- ，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++ 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②

高中数学2二项式定理(带答案)

二项式定理一．二项式定理 1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式 2.各项的系数r n C 叫做二项式系数 3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即 1(0,1,2,,).r n r r r n T C a b r n -+==L 4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到 n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n 二．二项式系数的性质性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C +++=L （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释）性质4 ()n a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 02213211 2.r r n n n n n n n C C C C C C +-++++=++++=L L L L （令1,1a b ==-即得）性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数1 2,n n C -1 2n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）

【X2305】二项式定理2

高二同步之每日一题【X2305】二项式定理【2】 X2-3051.9()a b c ++的展开式有项. 解:由于在9()a b c ++的展开式中,每一项均由x y z a b c 的形式构成,其中,,x y z 均为自然数,且满足9x y z ++=, 因此9 ()a b c ++的展开式的项数等价于方程9x y z ++=的自然数解的组数. 方程9x y z ++=的自然数解的组数等价于方程'''12x y z ++=的正整数解的组数,其中'1,'1,'1x x y y z z =+=+=+. 方程'''12x y z ++=的正整数解的组数等价于将12个相同的小球分割成3堆,即是在这些小球的11个间隙中插入2个档板即可. 总上所知,答案为21155C =. X2-3052.在9()a b c ++的展开式中,项234a b c 的系数为 . 解:由于在9()()()()a b c a b c a b c a b c ++=++?++? ?++的展开式中,因此项234a b c 的构成是从9个()a b c ++中选取了2个a ,再从余下的7个()a b c ++中选取了3个b ,最后从余下的4个()a b c ++中都选取c .所以,项234a b c 的系数为2349741260C C C ??=. X2-3053.在9()a b c -+的展开式中,项333a b c 的系数为 . 解:由于在9()()()()a b c a b c a b c a b c ++=++?++? ?++的展开式中,因此项333a b c 的构成是从9个()a b c ++中选取了3个a ,再从余下的6个()a b c ++中选取了3个b -,最后从余下的3个()a b c ++中都选取c .所以,项333a b c 的系数为3333963(1)1680C C C ???-=-.

高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二

二项式定理（第1课时）一、内容和内容解析内容：二项式定理的发现与证明．内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视．二、目标和目标解析目标：（1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理．（2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用．（3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养．目标解析：（1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法．（2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利

高中数学完整讲义——二项式定理6.二项式定理的应用3近似计算或估计

高中数学讲义 1 思维的发掘能力的飞跃 1．二项式定理 ⑴二项式定理 () ()011222...n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项 011222...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()n a b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ． ②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意 ①通项1r n r r r n T C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()n b a +的展开式的第1r +项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的． ③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负． ④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项公式是 ()11r r n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1r r n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系知识内容近似计算或者估计

杨辉三角与二项式定理导学案

§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质主讲：泉州中远学校高二数学组朱坤城【三维目标】 1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律； 2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质； 3. 理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。 4. 引导学生发现、欣赏数学中的美，弘扬民族文化。【教学重难点】教学重点：二项式系数的性质及其应用；教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。【教学过程】【问题探究1】。杨辉三角的来历及规律早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右. 认识杨辉三角： 1 1 1 12 1 133 1

1464 1 1510105 1 161520156 1 你能发现这个三角数阵的几个规律：从以上的数阵，想想我们学过的哪些知识和它有联系？【问题探究2】二项式定理与杨辉三角的联系。问题1：二项式展开式是：试把( a+b) n（n=0，1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P32的表格。问题2：为了方便，我们将上表改写成如下形式. (a+b)0 (1) (a+b)1 …………………………………………………1 1 (a+b)2…………………………………………………12 1 (a+b)3………………………………………………133 1 (a+b)4……………………………………………1464 1 (a+b)5…………………………………………1510105 1 (a+b)6………………………………………161520156 1 …………………………… 【问题探究3】、从函数角度分析二项式系数：

二项式定理专题复习教学内容

二项式定理知识点、题型与方法归纳一．知识梳理 1．二项式定理：)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+++++=+--ΛΛ．其中) ,,2,1,0(n r C r n Λ=叫二项式系数．式中的r r n r n b a C -叫二项展开式的通项，用1+r T 表示，即通项r r n r n r b a C T -+=1. 2．二项展开式形式上的特点: (1)项数为n ＋1； (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n . (3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n . (4)二项式的系数从C 0n ，C 1 n ，一直到C n － 1n ，C n n . 3．二项式系数的性质： (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即r n r n n C C -= (2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋1 2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1122n n n n C C -+=取得最大值． (3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5 n ＋…＝2 n － 1. 一个防范运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n a n －r b r ，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．两种应用 (1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等． (2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质 (1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二．题型示例【题型一】求()n x y +展开特定项例1：(1＋3x )n (其中n ∈N *且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( ) B A.6 B.7 C.8 D.9

第50讲二项式定理-新高考数学一轮专题复习(新高考专版)

第50讲二项式定理一、考情分析 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理； 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 二、知识梳理 1.二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N+)； (2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n. 2.二项式系数的性质 3.各二项式系数和 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n. (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n ＋…＝2n－1. [微点提醒] (a＋b)n的展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n . 三、经典例题考点一通项公式及其应用多维探究角度1 求二项展开式中的特定项【例1－1】 (1)(x 2 ＋1)? ????1x －25 的展开式的常数项是( ) A.5 B.－10 C.－32 D.－42 (2)? ?????3x －123x 10 的展开式中所有的有理项为________. 解析 (1)由于? ????1x －25 的通项为C r 5·? ?? ??1x 5－r ·(－2) r ＝C r 5·(－2)r ·x r －5 2，故(x 2＋1)·? ????1x －25 的展开式的常数项是C 15·(－2)＋C 55(－2)5 ＝－42. (2)二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10? ????－12k x 10－2k 3 . 由题意 10－2k 3∈Z ，且0≤k ≤10，k ∈N . 令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数. ∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为45 4x 2，－ 638，45256 x －2. 答案 (1)D (2)454x 2，－638，45 256x －2 规律方法求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可. 角度2 求二项展开式中特定项的系数

二项式定理2

1.3.1 二项式定理(第一课时) 教学设计一、教学内容解析 “二项式定理”是人教A版《普通高中课程标准试验教科书数学（选修2-3）》第一章第三节知识内容，它是初中多项式乘法的继续和高中计数原理的应用，同时也是高中学习数学期望等内容的基础，因此二项式定理起着承上启下的作用。另外，二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理又可以进一步加深对组合数的认识。总之，二项式定理是综合性比较强的，具有联系不同知识内容的作用。教学重点：利用计数原理分析二项展开式，归纳得到二项式定理。本节课为概念教学课，可以使学生探究问题的过程中体验从特殊到一般、类比归纳、化归与转化等数学思想方法，也自然关注了学生数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。二、教学目标设置 1，学生在情境问题的解决过程中和情境问题下的一系列思考问题和追问问题的探究中体会到学习二项式定理的必要性和合理性。 2，学生经历了二项式定理的观察、分析、归纳、类比、猜想及证明的全部探究过程，提升了数学抽象、逻辑推理和数学建模等数学核心素养，并且学生在二项式定理的发现、推导过程中，掌握了二项式定理及其推导方法。三、学情分析学生初中学习过多项式乘法法则，并且刚刚学习了计数原理和排列组合知识，对本节课分析n ( 展开式结构以及利用计数原理分析项的系数提供了帮助，同时授课学生为高二学生，有着a) b 一定的归纳推理能力，分析转化问题的能力。但是，本节课思维含量比较大，对思维的严谨性和逻辑推导能力以及分类讨论，归纳推理能力等有着很高的要求，需要学生利用多项式乘法法则归纳乘积项的结构，并能利用计数原理分析项的系数，学生学习起来有一定难度。而且学生在学数学过程中，往往只习惯于重视定理、公式的结论，而不重视推导过程，这都为本节课的教学带来了难度。根据以上学情，制定如下教学难点：教学难点：如何让学生想到利用计数原理去分析二项展开过程；如何发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。四、数学情境与学习问题的设置根据本节课内容特征及学生特点,设计中强调创设出不仅能紧扣教学目标，又能靠近学生的最近发展区，同时又具有较丰富的数学信息的数学情境，以便于在此情境中提出数学问题和解决数学问题,使学生在获取数学知识的同时体验数学知识的形成过程。这样才能更有利于解决本节课数学

(完整版)二项式定理学生讲义

二项式定理【2013年高考会这样考】 1.二项式定理是高考重点考查内容之一．分值一般为5～9分．考查比较稳定，试题难度起伏不大；题目一般为选择、填空题. 2.高考主要考查二项展开式和通项的应用，具体会涉及到求特定的项或系数，以及二项式系数等问题，是高考的必考点之一。【复习指导】二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用．基础梳理 1．二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0 n a n ＋C 1 n a n －1 b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N * )这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的．其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫系数．式中的C r n a n －r b r 叫二项展开式的，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n a n －r b r . 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为 . (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为 _______ (3)字母a 按排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n . (4)二项式的系数从C 0 n ，C 1 n ，一直到C n －1n ，C n n . 3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数．即C r n ＝C n －r n . (2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜ n ＋1 2 时，二项式系数逐渐．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项T 12 +n 二项式系数取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1 2 1 2 1n ,+++n T T 的二项式系数相等且最大。 (3)各二项式系数和：C 0 n ＋C 1 n ＋C 2 n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝_____； C 0 n ＋C 2 n ＋C 4 n ＋…＝C 1 n ＋C 3 n ＋C 5 n ＋…＝________.

高考《排列组合二项式定理概率统计》试题全集

2004年高考《排列组合二项式定理概率统计》试题全集 1、【全国Ⅰ(河南、河北、山东、山西、安徽江西文科（11）5分】从1，2， (9) 九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（C ） A ．95 B ．94 C ．2111 D ．21 10 2、【全国Ⅰ(河南、河北、山东、山西、安徽江西)理科（11）5分】从数字1，2，3，4， 5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（D ） A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．125 19 3、【全国Ⅰ(河南、河北、山东、山西、安徽江西)文科（20）12分】从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为 54，每位男同学能通过测验的概率均为5 3.试求：（I ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（II ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率. 【（Ⅰ）65；（Ⅱ）125 4】 4、【全国Ⅰ(河南、河北、山东、山西、安徽江西)理科（18）12分】一接待中心有A 、B 、 C 、 D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 【P(ξ=0)=0.09，P(ξ=1)＝0.3，P(ξ=2)=0.37，P(ξ=3)=0.2，P(ξ=4)=0.04； E ξ=1.8】 5、【全国Ⅱ卷文12理12四川等】在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5 位数中，大于23145且小于43521的数共有（C ） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个 6、【全国Ⅱ卷理13四川等】从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2 个球，设其中有 ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布列为 7、【全国Ⅱ卷文19理18四川等】已知8支球队中有3支弱队，以抽签的方式将这8 支球队分为A 、B 两组，每组4支，Ⅰ.A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；Ⅱ.A 组中至少有两支弱队的概率。【Ⅰ. 76，Ⅱ.2 1 】 8、【上海文9理9】从二项式(x+1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 (11 4).(用分数表示) 9、【天津文13理13】某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：

高中数学二项式定理全章复习

第十一讲二项式定理课程类型：□复习 □预习 □习题针对学员基础：□基础 □中等 □优秀 1.二项式定理的定义； 2.二项式定理的通项公式； 3.二项式定理的应用. 1.能用计数原理证明二项式定理(重点)； 2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式(重点)； 3.能解决与二项式定理有关的简单问题(重点、难点). 【知识与方法】一．二项式定理的定义在44443 444421个 n n b a b a b a b a )())(()(+???++=+中，每个括号都能拿出a 或b ，所以每个括号有2种选择，n 个括号就是n 2种情况.22-n b a 这一项，表达的意思是_________________________；所以，22-n b a 共有________个.

(a ＋b )n 的二项展开式本来共有_______项，合并之后共有_______项，其中各项的系数______________叫做二项式系数．二．二项展开式的通项 (a ＋b )n 的二项展开式的通项公式为__________.. 注意：1.r n r C T 与1+的关系，例如第5项，应该是4n C ； 2.二项式的展开式是按照前项降幂排列，例如10)1(+x 与10)1(x +中的第4项是不同的； 3.a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n ； 4.注意正确区分二项式系数与项的系数. 三．二项式系数的基本性质四．展开式的二项式系数和 1.(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝_______. 2.偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0 n ＋C 2 n ＋C 4 n ＋…＝C 1 n ＋C 3 n ＋C 5 n ＋…＝_______. 五．展开式的系数和若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a n x n ，则 f (x )展开式中各项系数之和为_______，奇数项系数之和为a 0＋ a 2＋a 4＋…= 2 ) 1()1(-+f f ，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…=________________. 【例题与变式】题型一通项公式及其应用类型一二项式定理的原理应用【例1】(2015·全国卷Ⅰ)(x 2 ＋x ＋y )5 的展开式中，x 5y 2 的系数为（） A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 【例2】（2018?滨州二模）52)32(--x x 的展开式中，x 的系数为________. 【变式1】（2018?濮阳一模）82017 )11(++ x x 的展开式中，x 3 的系数为________. 【变式2】（2018?龙岩模拟）已知二项式4)21 1(x x -+ ，则展开式的常数项为（） A ．-1 B ．1 C ．-47 D ．49 类型二单括号型【例4】（2018?内江三模）4)2 (x x -展开式中的常数项为（）

二项式定理知识点总结

二项式定理知识点总结一、二项式定理：（）等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数。对二项式定理的理解：（1）二项展开式有项（2）字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1到0；字母按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数，等式都成立，通过对取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设，则（）（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式二、二项展开式的通项：二项展开式的通项是二项展开式的第项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项的理解：（1）字母的次数和组合数的上标相同（2）与的次数之和为（3）在通项公式中共含有这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素例 1、等于（） A、 B。C 。D 、例 2、（1）求的展开式的第四项的系数；（2）求的展开式中的系数及二项式系数

三、二项展开式系数的性质：①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即偶数：；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即③二项展开式的各系数的和等于，令，即；④奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令，即例题：写出的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）项的系数绝对值最大的项；（3）项的系数最大的项和系数最小的项；（4）二项式系数的和；（5）各项系数的和 4、多项式的展开式及展开式中的特定项（1）求多项式的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。例题：求多项式的展开式（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。例题：求的展开式中的系数例题：（1）如果在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。（2）求的展开式的常数项。【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定

二项式定理教学设计(何磊)

课题：§1.3.1二项式定理（人教A版高中课标教材数学选修2-3）教学设计河北正定中学何磊

《二项式定理》教学设计一、教学内容解析《二项式定理》是人教A 版选修2-3第一章第三节的知识内容，它是初中学习的多项式乘法的继续．在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面的数学期望等内容的基础知识，二项式定理起着承上启下的作用．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识．二、教学目标设置新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．新课标要求：用计数原理分析2()a b +，3()+a b ，4()+a b 的展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明．掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的方法．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标： 1.学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题． 2.学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力． 3.通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美．结合数学史，激发学生爱国热情和民族自豪感．三、学情分析１．有利因素授课对象是高二的学生，具有一般的归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系的观点分析问题的能力．学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，对本节()+n a b 展开式中各项系数的研究会有很大帮助．２．不利因素本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度．在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程．四、教法策略分析遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”，并利用多媒体辅助教学．本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程．五、教学过程

(完整版)二项式定理典型例题

1. 在二项式n x x ??? ? ? +4 21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=?? ? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8 141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ，由已知：)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，100 3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有系数和为n 3． 2.（1）求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21 (++ x x 展开式中的常数项．分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5 510C x ；用 3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；

二项式定理常见题型(老师用)

二项式定理 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * +=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ，变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： 00112220120120011222021210 01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L L L 令则①令则024135(1)(1),() 2 (1)(1),() 2 n n n n n n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=L L ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和 ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值。如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n n C -,12n n C +同时取得最大值。 ⑥系数的最大项：求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +???，设第1r +项系数最大，应有112 r r r r A A A A +++≥??≥?，从而解出r 来。

二项式定理

课题：二项式定理讲课人：小邵正阳县育才外国语学校 2018年 3月6日

课题：《二项式定理》课型：一轮复习课课时：1课时讲课人：小邵教学目标：知识与技能：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。过程与方法：培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。教学重点：二项式定理和二项展开式的通项公式. 教学难点：培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力. 理科数学考纲要求：1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题考情分析：二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活但比较基础，高考对二项式定理的考查，多为选择题、填空题，注意二项式在近似值计算中的应用，本节内容中高考热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数n 等．教学过程：知识回顾 ⒈二项展开式(a+b) n = 。 ⒉二项展开式的通项：T r+1= . T r+1表示第r+1项 ⒊二项式系数为0n C ，1n C ，2n C ，…，r n C ，…，n n C .其性质有： ⑴m n n m n C C -=；⑵r n r n C r r n C 1 1+-=+；⑶0n C +1n C +2n C +……+n n C =2 n ；（4） +++=+++531420n n n n n n C C C C C C = 。（5）当n 是偶数时，的二项式系数最大；当n 是奇数时，的二项式系数相等且最大。 ⒋在运用二项式定理解题时，要注意下列问题： ⑴展开式的通项是第r+1项，不是第r 项； ⑵要区分展开式中某一项．与项的系数．．，区分某一项的系数．．．．．．与二项式系数．．．．．；

江西省宜春市高三数学考前最后一卷理(含解析)

2016年江西省宜春市樟树中学高考数学考前最后一卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的） 1．已知集合A={x|log2x≥1}，B={x|x2﹣x﹣6＜0}，则（?R A）∩B等于（） A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|2≤x＜3}D．{x|x＜2} 2．已知复数z=（b∈R）的实部为﹣1，则复数﹣b在复平面上对应的点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 3．执行如图所示的程序框图，输出的结果S的值是（） A．2B．﹣C．﹣3D． 4．若向量，满足||=||=2，与的夹角为60°，在+上的投影等于（）A． B．2C． D．4+2 5．不等式组的解集记为D，，有下面四个命题： p1：?（x，y）∈D，z≥1；p2：?（x，y）∈D，z≥1 p3：?（x，y）∈D，z≤2；p4：?（x，y）∈D，z＜0 其中的真命题是（） A．p1，p2B．p1，p3C．p1，p4D．p2，p3 6．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（） A． cm3B． cm3C． cm3D．7cm3

7．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（） A．10B．20C．30D．40 8．从1，2，3，0这四个数中取三个组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为（） A．2544B．1332C．2532D．1320 9．如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若 f（x1）=f（x2），有，则（） A．f（x）在上是减函数B．f（x）在上是减函数 C．f（x）在上是增函数D．f（x）在上是减函数 10．若（1+x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+…+a7的值是（） A．﹣2B．﹣3C．125D．﹣131 11．设点A、F（c，0）分别是双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点和右焦点，直线交双曲线的一条渐近线于点P．若△PAF是等腰三角形，则此双曲线的离心率为（） A． B．3C． D．2 12．已知函数f（x）=满足条件：对于[0，3]，?唯一的x2∈R，使得f （x1）=f（x2）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（） A． B． C． +3D． +3 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．在区间[﹣1，1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x2﹣1的概率是．14．已知边长为3的正△ABC三个顶点都在球O的表面上，且OA与平面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为． 15．曲线y=x2与y=围成的图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积是．