湖北省武汉市武昌区2020学年高二数学九月调研测试试题(含解析)

湖北省武汉市武昌区2019-2020学年高二数学九月调研测试试题（含

解析）

一、选择题：

1.已知集合{}

12A x x =-<<，{}

1B x x =>则A B =I A. ()1,1-

B. ()1,2-

C. ()1,2

D.

()1,-+∞

【答案】C 【解析】 【分析】

本题首先可以根据题意明确集合A 与集合B 所包含的元素，然后根据交集的定义即可得出结果。

【详解】因为集合{}

12A x x =-<<，集合{}

1B x x =>， 所以()1,2A B ?=，故选C 。

【点睛】本题考查了交集的相关性质，交集是取两个集合中共同包含的元素，考查推理能力，是简单题。

2.不等式2320x x +-<的解集为（ ） A. 21,

3??- ???

B. ()21,,3??-+ ??∞?∞-

U C. 2,13??- ???

D.

()2,3,1??

-+∞∞

??-?

U 【答案】A 【解析】 【分析】

本题首先可通过因式分解将不等式2320x x +-<转化为()()3210x x -+<，然后通过计算即可得出结果。

【详解】不等式2320x x +-<，即()()3210x x -+<， 即32010x x ->??

+

x x -?，解得21,3x ?

?∈- ???，故选A 。

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，能否熟练使用一元二次不等式的解法是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题。

3.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若23S =，11n n a S +=+，则6S = A. 31 B. 63

C. 105

D. 127

【答案】B 【解析】 【分析】

本题首先根据11n n a S +=+可判断出数列{}n a 是公比为2的等比数列，然后根据23S =计算得出11a =，最后根据等比数列前n 项和公式即可得出结果。 【详解】因为11n n a S +=+，所以11n n a S -=+， 所以11n n n n n a a S S a +--=-=，

1

2n n

a a +=，数列{}n a 是公比为2的等比数列， 因为23S =，所以2121223S a a a a =+=+=，11a =，

所以(

)6

6

16112

63112

a q S q

--=

==--，故选B 。

【点睛】本题考查等比数列的相关性质，考查等比数列的定义以及等比数列的前n 项和公式，考查计算能力以及推理能力，是中档题。

4.已知向量,a b r r 的夹角为2

π

，且()2,1a =r ，2b =r ，则2a b +=r r

A. 3

B.

【答案】C 【解析】 【分析】

本题首先可根据向量()2,1a =r 计算出向量a r

的模长，然后通过向量的数量积公式以及向量计

算的相关性质对2

2a b +r r 进行化简，得出2221a b +=r r ，即可得出结果。

【详解】因为()2,1a =r ，所以a ==r ，

所以()

2

222224+4a b a b

a b a b +=+=+?r r r r r r r r

224+4cos 516212

a b a b π

=+?=+=r r r r ，

故2a b +=r r

C 。

【点睛】本题考查向量的计算、向量的模长公式以及向量的数量积公式，若向量,a b r r

的夹角为

θ，则向量,a b r r

的数量积cos a b a b θ?=?r r r r ，考查计算能力，是简单题。

5.已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为 A. c b a << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<

【答案】A 【解析】 【分析】

利用利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小。 【详解】0.200.30.31c =<=；

22log 7log 42>=； 331log 8log 92<<=。

故c b a <<。 故选A 。

【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待。

6.求值：4cos 50°－tan 40°＝( )

C.

1 【答案】C

【解析】

【分析】

原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．

【详解】4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=

4404040

40

sin cos sin

cos

??-?

?

=

()

2803010

40

sin sin

cos

?-?+?

?

=

1

2101010

22

40

cos cos

cos

?-?-?

?

=

3

1010

22

40

cos

cos

??

?

=

()

3010

40

cos

?+?

?

故选：C．

【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．

7.在ABC

?中，120

B=?

，AB=A

的角平分线AD=AC=（）

【答案】D

【解析】

【分析】

本题首先可根据正弦定理以及120

B=?

、AB=

、AD=计算出45

ADB

∠=o，然后根据AD是角A的角平分线计算得出30

BAC

∠=o以及30

C

∠=o，最后利用正弦定理即可得出结果。

【详解】

如图所示，因为120B =?，2AB =，3AD =，

所以

sin sin AD AB B ADB =∠，解得2

sin ADB ∠=，45ADB ∠=o , 因为AD 是角A 的角平分线，1801204515BAD ?--=o o o o , 所以30BAC ∠=o ,π1203030C ?--=o o o ，

所以

sin sin AC AB

B C

=D，解得6AC =，故选D 。 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查正弦定理公式的灵活使用，正弦定理公式为

2sin sin sin a b c

R A B C

===，考查计算能力，是简单题。

8.若函数()21

()2x x f x a a

+=∈-R 是奇函数，则使得()4f x >成立的x 的取值范围是（ ）

A. 2

5,log 3??-∞ ???

B. 2

5log ,03??- ???

C. 250,log 3?

? ??

?

D. 2

5log ,3??

+∞ ???

【答案】C 【解析】

()f x 的定义域为{}|20x x a -≠，它应该关于原点对称，所以1a =，又1a =时，

()2121x x f x +=-，()()2121

2121

x x x x f x f x --++-==-=---，()f x 为奇函数.又原不等式可以化为(

)521203x

x

??--

< ??

?，所以5123x

<<，所以250log 3

x <<，选C. 点睛：如果一个函数为奇函数或偶函数，那么它的定义域必须关于原点对称，我们可以利用这个性质去求奇函数或偶函数中的参数的值.

9.已知l m ，是平面α外的两条不同直线，给出以下三个命题：①若,l m m α⊥P ，则l α⊥；②若l m ⊥，l α⊥，则m αP ；③若m αP ，l α⊥，则l m ⊥.其中正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C 【解析】 【分析】

本题可结合题目所给出的条件以及空间线面的位置关系的判定定理及性质进行判断，依次判断正误后即可得出结果。

【详解】①根据l m m P 、α⊥无法判断出直线l 与平面α的关系，故①错；

②因为l m ⊥，l α⊥，l m 、是平面α外的两条不同直线，所以m αP ，故②正确； ③因为m αP ，l α⊥，所以根据线面垂直的相关性质可知l m ⊥，故③正确， 综上所述，故选C 。

【点睛】本题主要考查直线与平面以及直线与直线位置关系的判定，考查推理能力，考查空间想象能力，考查对线面位置关系的理解，是中档题。

10.已知函数()sin()0,||2f x x πω?ω???

=+><

??

?

，其相邻两条对称轴之间的距离为

2

π

，将()y f x =的图像向右平移6

π个单位后，所得函数的图像关于y 轴对称，则（ ）

A. ()f x 的图像关于点,06π??

???

对称

B. ()f x 的图像关于直线7x =π对称

C. ()f x 在区间,63ππ??

- ???单调递增 D. ()f x 在区间5,1212ππ??

-

???

单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】

本题首先可根据相邻两条对称轴之间的距离为

2

π得出2ω=，然后根据右平移6π

个单位得出

函数()sin(2)3g x x π

?=+-，再然后根据函数()sin(2)3

g x x π

?=+-的图像关于y 轴对称以及||2?π<

得出6

π

?=-，最后根据正弦函数的单调性即可得出结果。 【详解】因为函数()sin()f x x ω?=+的相邻两条对称轴之间的距离为

2

π

， 所以

22

T π=，T π=，22T πω==，()sin(2)f x x ?=+，

将函数()sin(2)f x x ?=+向右平移6π

个单位后得到函数()sin(2)3

g x x π?=+-， 因为函数()sin(2)

3

g x x π

?=+-的

图像关于y 轴对称，

所以(0)sin()13g π

?=-

=±，()56

k k Z π

?π=

+∈，

因为||2?π<，所以6

π?=-，()sin(2)6f x x π=-，

当()2222

62k x k k Z π

π

π

ππ-

+<-

<

+∈即()6

3

k x k k Z π

π

ππ-

+<<

+∈时，

函数()sin(2)6

f x x π=-是增函数，故C 正确。

【点睛】本题主要考查了三角函数解析式的求法、三角函数的周期性、三角函数图像变换以及三角函数的单调性，考查对三角函数相关性质的理解，考查推理能力，体现了综合性，是中档题。

11.已知三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，若PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，

2PA =，4AB BC ==，则球O 的表面积为（ ）

A. 9π

B. 12π

C. 24π

D. 36π

【答案】D 【解析】 分析】

本题首先可根据题意确定三棱锥P ABC -的形状以及三棱锥P ABC -可看做长方体的一部分，然后根据长方体的外接球的相关性质以及2PA =、4AB BC ==即可得出结果。

【详解】

如图所示，因为PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥， 所以三棱锥P ABC -可看做长方体的一部分， 因为三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，

所以球O 是三棱锥P ABC -的外接球，也是长方体的外接球， 因为2PA =，4AB BC ==，

所以22226R PA AB BC =++=，3R =， 所以球O 的表面积2436S R ππ==，故选D 。

【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积求法，考查长方体的外接球的相关性质，考查球的表面积公式，考查推理能力，是中档题。

12.已知函数()()2

2,2

2,2

x x f x x x ?-≤?=?->??，函数()()2g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）

A. 7,4??

+∞ ???

B. 7,4?

?-∞ ???

C. 70,4??

???

D. 7,24?? ???

【答案】D 【解析】 【详解】函数恰有4个零点，即方程

，

即有4个不同的实数根，

即直线

与函数

的图象有四个不同的交点．

又

做出该函数的图象如图所示，

由图得，当时，直线与函数的图象有4个不同的交点，

故函数

恰有4个零点时，

b 的取值范围是故选D ．

考点：1、分段函数；2、函数的零点．

【方法点晴】本题主要考查的是分段函数和函数的零点，属于难题．已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数的图像的交点个数问题，作图时一定要保证图形准确， 否则很容易出现错误．

二、填空题： 13.已知5cos 4πα?

?

+= ??

?0,2πα??∈ ???，则tan α=______. 【答案】

1

3

【解析】 【分析】

本题首先可根据5

cos 4πα??

+

= ??

?计算出sin 4πα??+ ???的值，然后通过cos 4πα??+ ???以及sin 4πα??+ ???计算出tan 4πα?

?+ ??

?的值，最后通过两角差的正切公式即可得出结果。

【详解】因为cos 4πα??

+

= ??

?，0,2πα??∈ ???，

所以sin 4πα??+== ???，()()44sin tan 24cos π

π

απαα+??+== ?+??， 所以()()44

44

tan tan 1tan tan 441tan tan 3ππ

ππ

αππααα+-??=+-== ?++??。 【点睛】本题考查三角恒等变换，主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式，考查的公式有22sin cos 1αα+=、sin tan cos α

αα

=以及()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+，考查计算能

力，是中档题。

14.某商品进货单价为30元，按40元一个销售，能卖40 个；若销售单价每涨1元，销售量减少一个，要获得最大利润时，此商品的售价应该为每个____________元． 【答案】625 【解析】

设涨价 x 元，利润 y =(40+x )(40-x )-30(40-x )= -x 2

+30x +400，

15?,2b

x a

=-

=当时y 最大=625(元)． 故答案为625

15.在边长为2

的

菱形ABCD 中，已知E 为CD 的中点，60ABC ∠=?，

则AE BD ?=u u u r u u u r

______. 【答案】3 【解析】 【分析】

本题首先可借助菱形的性质构建平面直角坐标系，然后根据菱形ABCD 的边长为2以及

60ABC ∠=?写出点A 、D 、C 、B 的坐标，再然后写出向量(

)

BD =u u u r

以及根据E 为

CD 的中点写出向量3

2AE =-桫

u u u r ，最后根据向量的数量积的坐标公式即可得出结果。

【详解】

因为四边形ABCD 是菱形，

所以以直线BD 为x 轴、以直线AC 为y 轴构建平面直角坐标系，如图所示， 因为菱形ABCD 边长为2，60ABC ∠=?， 所以()0,1A ，(

)3,0D

，()0,1C -

，()3,0B -，()

23,0BD =u u u r

因为E 为CD 的中点，所以31,22E 骣琪-琪桫，33,22AE 骣琪=-琪桫

u u u r ， 所以32332

AE BD

??

u u u r u u u r

，故答案为3。

【点睛】本题考查向量的数量积的求法，可根据向量的数量积的坐标公式求得结果，能否合理构建平面直角坐标系是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题。

16.如图，在四面体ABCD 中，2AB CD ==，3AC BD ==

，5AD BC ==，,E F 分

别是,AD BC 的中点若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为______.

【答案】62

【解析】 【分析】

本题首先可以将四面体补成长宽高分别为3、2、1的长方体，然后根据EF ⊥平面α得出截面为平行四边形，再然后根据三角形相似的相关性质得出两相邻边的和为5，再然后求出异面直线BC 与AD 所成角的正弦值，最后通过解三角形面积公式以及基本不等式即可得出结果。

【详解】

32、1的长方体，

由于EF ⊥平面α，故截面为平行四边形MNKL ，由平面几何的平行线段成比例可得

5KL NK +，

设异面直线BC 与AD 所成角为θ， 则sin θsin sin HFB

LKN =??，解得26

sin θ=

所以平行四边形MNKL 的面积2

266sin 2

NK KL

S NK KL NKL

+琪=鬃校=

琪桫， 当且仅当KL NK =时取“=”号，故答案

62

【点睛】本题考查四面体截面面积的求法，考查解三角形面积公式以及基本不等式的使用，能否根据四面体构建出长方体以及确定四面体截面的位置是解决本题的关键，考查推理能力，是难题。

三、解答题：共70分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤17.（本题满分10分） 17.设{}n a 是等差数列，14a =-，且2345,3,1a a a +++成等比数列.

（1）求{}n a 的通项公式 （2）求数列{}n a 的前n 项和n S

【答案】（1）26n a n =-（2）2

5n S n n =-

【解析】 【分析】

(1)首先可以根据2345,

3,1a a a +++成等比数列以及14a =-列出算式并通过计算得出

公差2d =，然后根据等差数列的通项公式即可得出结果；

(2)本题可结合(1)中结论以及等差数列的前n 和公式即可得出结果。 【详解】(1)因为14a =-，且2345,

3,1a a a +++成等比例，

所以2

(423)(45)(431)d d d -++=-++-++，解得2d =. 所以42(1)26n a n n =-+-=-. (2)因为14,

26n a a n =-=-，所以()242652

n n n S n n -+-=

=-.

【点睛】本题考查等比中项、等差数列的通项公式以及等差数列的前n 和公式，等差数列的通项公式为1(1)n a a n d =+-，等差数列的前n 和公式为()12

n n a a n S +=，考查计算能力，是

中档题。

18.已知函数2()cos sin f x x x x =

-.

（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若()2f x m <+在0,

2x π??

∈????

上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）πT =（2）32

m >- 【解析】 【分析】

(1)本题首先可以通过三角恒等变换的相关公式将函数2()cos sin f x x x x =

-化简为

1()sin 262f x x π?

?=+- ??

?，然后根据2πT ω=即可得出结果；

(2)本题首先可以根据题意得出在π0,

2x ??

∈???

?

上满足max ()2f x m <+，然后求出函数()f x 在区间0,

2π??

????

的最大值，即可得出结果。 【详解】(1)

因为

1cos 2111()22cos 2sin 22222262x f x x x x x π-??=

-=+-=+- ???， 所以2π

π2

T =

=. (2)()2f x m <+在π0,2x ??

∈????上恒成立，等价于max π()2,0,2f x m x ??<+∈????

， 因为0,

2x π??

∈????，所以π72,666x ππ??+∈????， 当26

2

x π

π

+

=

，即6

x π

=

时，()max 11

122

f x =-

=， 所以

122

m <+，即32m >-。

【点睛】本题考查三角恒等变换以及三角函数最大值的求法，考查二倍角公式以及两角和的正弦公式，考查化简与转化思想，考查计算能力，是中档题。

19.设函数2()log ()x x

f x a b =-，且(1)1f =，2(2)lo

g 12f =.

（1）求a ，b 的值；

（2）当[1,2]x ∈时，求()f x 最大值.

【答案】(1) 4

2

a b =??=?；(2) 2log 12.

【解析】 【分析】

（1）由(1)1f =，2(2)log 12f =可得关于,a b 的二元一次方程组，从而可解得,a b ．（2）由

（1）可知2()log (42)x x

f x =-,令2x t =,根据]2[1

x ∈，及指数函数2x 的单调性可得t 的范围,

再用配方法求真数2t t -即42x x -的范围．根据真数的范围及对数函数的单调性可求的()f x 的最大值． 【详解】（1）222

2

2log ()124

log ()log 1262a b a b a a b a b b -=-==??????

??-=+==???； （2）2()log (42)x

x

f x =- ,

设2,[2,4]x

t t =∈，2

2

11()2

4

y t t t =-=--

， 当4t =时，即2x =时，max 12y =，max 2()log 12f x =. 考点：1指数函数,对数函数的单调性;2配方法求值域．

20.ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos cos cos 2

c a B C b A C +=. （1）求角C ； （2

）若5c a b =

+=，求ABC ?的面积.

【答案】(1)3

C π

= ；

【解析】 【分析】

（1）首先利用正弦定理的边角互化，可将等式化简为()1

sin cos sin 2

A B C C +=

，再利用A B C π++=，可知()sin sin A B C +=，最后化简求值；

（2）利用余弦定理可求得ab ，代入求面积.

【详解】（1）由已知以及余弦定理得：1

sin cos cos sin cos cos sin 2

A B C B A C C += 所以1

sin()cos sin 2

A B C C +=

sin()sin 0A B C +=≠Q ,1cos 2

C ∴=

(0,),3

C C π

π∈∴=

Q

（2）由题知227

5a b ab a b ?+-=?+=?

，6ab ∴=

133

sin 2ABC S ab C ?∴=

=

【点睛】本题第一问考查了正弦定理，第二问考查了余弦定理和面积公式，当一个式子有边也有角时，一般可通过正弦定理边角互化转化为三角函数恒等变形问题，而对于余弦定理与三角形面积的关系时，需重视()2

222a b a b ab +=++的变形使用.

21.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为a ，E 为AB 的中点

（1）若1a =，证明：1B E ⊥平面1A EC ；

（2）若2a =，求直线1B E 与平面1A EC 所成角的正弦值. 【答案】（1）详见解析（2）45

【解析】 【分析】

(1)本题首先可通过E 为AB 的中点得出CE AB ⊥，然后根据三棱柱111ABC A B C -是直棱柱

得出CE ⊥平面11A ABB 以及1CE B E ⊥，再然后由222

1111A E B E A B +=得出11A E B E ⊥，最

后根据1CE A E E ?=即可证得1B E ⊥平面1A EC ；

(2)首先可以过点1B 作1B H ⊥平面1A EC ，然后根据线面角的相关性质可知1B EH ∠为直线

1B E 与平面1A EC 所成的角，最后通过等体积法即可求得15

B H =

以及线面角的正弦值。 【详解】(1)因为△ABC 是正三角形，E 为AB 的中点，所以CE AB ⊥. 因为三棱柱111ABC A B C -是直棱柱，所以CE ⊥平面11A ABB ，从而1CE B E ⊥

因为四边形11A ABB 是矩形，且11AA =，2AB =，

所以2222222

111111A E B E AE AA EB BB A B +=+++=,11A E B E ⊥，

因为1CE B E ⊥，11A E B E ⊥，1CE A E E ?=，所以1B E ⊥平面1A EC 。

(2)如图所示，过点1B 作1B H ⊥平面1A EC ，垂足为H ，连结EH ，则1B EH ∠为直线1B E 与平面1A EC 所成的角，

在11A B E ?中，11112,5A B A E B E ===112A B E S ?=. 在1A CE ?中，1

122,3,5AC CE A E ==1152

A CE S ?=. 因为1111

B A CE

C A B E V V --=，所以11111

1

3

3

A B E A CE S CE S B H ???=

?. 所以11115

233

32

B H ?=

?，解得15B H =所以1114

sin 5

B H B EH B E ∠=

=。 【点睛】本题考查线面垂直的证明以及线面角的正弦值的求法，能否熟练使用线面垂直的证明方法以及通过线面角的定义找出线面角是解决本题的关键，考查等体积法的使用，考查推理能力，是难题。

22.设平行四边形()ABCD AB CD >的周长为12，60BAD ∠=?，把它关于AC 折起来，AB 折过去后，交DC 于点P .设AB x =，△ADP 的面积为S .

（1）用x 表示ADP ?的面积S ； （2）求S 的最大值及相应x 的值. 【答案】（1）33(6)(3)

x x S --=

（2）当36x =时，ADP ?的面积有最大值

633108

【解析】 【分析】

(1)本题首先可设AB x =，然后根据题意可得出6AD x =-以及ADP CB P '???，再然后根据DP PB '=得出AP x DP =-，并根据余弦定理得出1236

6

x DP x -=+，最后根据解三角形面

积公式即可得出结果； (2)首先可将)

2339186

x x S x -+-=

+转化为1086333366S x x ?

=++

?+?

，

然后根据基本不等式即可求出结果。

【详解】(1)记AB 折过去成为AB '。 因为AB x =，所以6AD x =-. 易证ADP CB P '???，所以DP PB '= 所以AP AB PB AB DP x DP '''=-=-=-.

在ADP ?中，1206ADP AD x AP x DP ，，∠=?=-=-，

由余弦定理，待2

2

2

()(6)2(6)cos120x DP x DP x DP ?

-=-+-?-?， 整理得12366x DP x -=

+，133(6)(3)

sin1202x x S DA DP ?--=?=。

(2)由（1）知)

22

3391833(6)21(6)1086

6

x x x x S x x ?-+--+++-??=

=

++，

108108

(6)21666x x x x ??=-+-+=++??++??，

因为6x x >-，所以3x >，所以108

66

x x ++

≥=+

当且仅当108

66

x x +=

+，即6x =时取等号，

所以108S ≤=，

综上所述，当6x =时，ADP ?的面积有最大值108。

【点睛】本题考查余弦定理、解三角形面积公式以及基本不等式的使用，考查如何利用基本不等式求最值，考查的公式有2222cos a b c bc A =+-以及in 1

2

s S ab C =，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题。