圆的证明与计算(精编版)

《圆的证明与计算》专题讲解

圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。

圆的有关证明

一、圆中的重要定理:

(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.

(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.

(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.

(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.

(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.

(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.

(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.

2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.

二、考题形式分析：

主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。

知识点一：判定切线的方法：

（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。

常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；

总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：

方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.

例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B

为切点的切线交OD延长线于F.

求证：EF与⊙O相切.

例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.

求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E

∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA.

∴PA 与⊙O 相切.

证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ，

∴OE ⊥BC.

∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即OA ⊥PA.

∴PA 与⊙O 相切

说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用

.

⌒ ⌒

例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M

求证：DM与⊙O相切.

例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.

求证：DC是⊙O的切线

例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.

求证：PC是⊙O的切线.

例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.

求证：CE与△CFG的外接圆相切.

分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.

证明：取FG中点O，连结OC.

∵ABCD是正方形，

∴BC⊥CD，△CFG是Rt△

∵O是FG的中点，

∴O是Rt△CFG的外心.

∵OC=OG，

∴∠3=∠G，

∵AD∥BC，

∴∠G=∠4.

∵AD=CD，DE=DE，

∠ADE=∠CDE=450，

∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.

∵∠2+∠3=900,

∴∠1+∠2=900. 即CE⊥OC.

∴CE与△CFG的外接圆相切

方法二：若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题）

例1：如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.

求证：AC与⊙D相切.

分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二

是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有

关.

例2： 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.

证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足. ∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.

∵AC ∥BD ，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900， ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.

∴Rt △AOC ∽Rt △BDO. ∴

OD OC

OB AC =. ∵OA=OB ，

∴

OD

OC

OA AC =. 又∵∠CAO=∠COD=900， ∴△AOC ∽△ODC ， ∴∠1=∠2.

又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD, ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.

∴CD 是⊙O 的切线.

证明二：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD 于E ，延长DO 交CA 延长线于F. ∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB. ∵AC ∥BD ， ∴∠F=∠BDO. 又∵OA=OB ，

∴△AOF ≌△BOD （AAS ）

O

∴OF=OD. ∵∠COD=900， ∴CF=CD ，∠1=∠2. 又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ， ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.

∴CD 是⊙O 的切线.

证明三：连结AO 并延长，作OE ⊥CD 于E ，取CD 中点F ，连结OF. ∵AC 与⊙O 相切， ∴AC ⊥AO.

∵AC ∥BD ， ∴AO ⊥BD.

∵BD 与⊙O 相切于B ， ∴AO 的延长线必经过点B. ∴AB 是⊙O 的直径.

∵AC ∥BD ，OA=OB ，CF=DF ， ∴OF ∥AC ， ∴∠1=∠COF.

∵∠COD=900，CF=DF ， ∴CF CD OF ==

2

1

. ∴∠2=∠COF. ∴∠1=∠2.

∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ， ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.

∴CD 是⊙O 的切线

说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.

A

课后练习：

（1）如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，AD ∥OC 交⊙O 于D 点，求证：CD 为⊙O

的切线；

（2）如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O ，交斜边AC 于D ，点E 为BC 的中点，连结DE ，求证：DE 是⊙O 的切线.

（3）如图，以等腰△ABC 的一腰为直径作⊙O ，交底边BC 于D ，交另一腰于F ，若DE ⊥AC 于E （或E 为CF 中点），求证：DE 是⊙O 的切线.

（4）如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF ，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C ，求证：CD 是⊙O 的切线.

知识点二：与圆有关的计算

计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有： （1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；

射影定理： 所谓射影，就是正投影。 其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。

由三角形相似的性质：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边BC 上的高,则有射影定理如下:：(1)(AD)2;=BD·DC, (2)(AB)2;=BD·BC , (3)(AC)2;=CD·BC 。 等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)

③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径； ④构造勾股定理模型（已知线段长度）； ⑤构造三角函数(已知有角度的情况）; ○

6找不到，找相似 （2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。

（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

典型基本图型：

图形1：如图1：AB 是⊙O 的直径，点E 、C 是⊙O 上的两点，基本结论有：

（1）在“AC 平分∠BAE ”；“AD ⊥CD ”；“DC 是⊙O 的切线”三个论断中，知二推一。 （2）如图2、3，DE 等于弓形BCE 的高；DC =AE 的弦心距OF （或弓形BCE 的半弦EF ）。

图1

A

图2A

图3A

图4

A

（3）如图（4）：若CK ⊥AB 于K ，则：

①CK=CD ；BK=DE ；CK=

2

1

BE=DC ；AE+AB=2BK=2AD ; ②⊿ADC ∽⊿ACB ?AC 2=AD?AB

（4）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG ⊥CD

于E 时（如图5），则：

①DE=GB ；②DC=CG ；③AD+BG=AB ；④AD?BG=

24

1

DG =DC 2 图形2：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ACB =90°。点O 是AC 上一点，以OC 为半径作⊙O 交AC

于点E ，基本结论有：

（1）在“BO 平分∠CBA ”;“BO ∥DE ”;“AB 是⊙O 的切线”;“BD=BC ”。四个论断中，

知一推三。

（2）①G 是⊿BCD 的内心；②

；③⊿BCO ∽⊿CDE ?BO?DE=CO?CE=2

1CE 2

； （3）在图（1）中的线段BC 、CE 、AE 、AD 中，知二求四。 （4）如图（3），若①BC=CE ，则：②

AD AE =2

1

=tan ∠ADE ；③BC ：AC ：AB =3：4：5 ；（在①、②、③中知一推二）④设BE 、CD 交于点H ，,则BH=2EH

图形3：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ABC =90°,以AB 为直径作⊙O 交AC 于D ，基本结论有：

如右图：（1）DE 切⊙O ?E 是BC 的中点； （2）若DE 切⊙O ，则：①DE=BE=CE ；

②D 、O 、B 、E 四点共圆?∠CED =2∠A

③CD·CA=4BE 2, BA

BC BD

CD R

DE ==

图形特殊化：在（1）的条件下 如图1：DE ∥AB ?⊿ABC 、⊿CDE 是等腰直角三角形；

如图2：若DE 的延长线交AB 的延长线于点F ，若AB=BF ，则：

① 31

=EF DE ;②2

1=R BE 图2C 图1

图2

图5

A

CG=GD

图形4：如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，基本结论有：

（1）DE⊥AC DE切⊙O；

（2）在DE⊥AC或DE

切⊙O下，有：①⊿DFC是等腰三角形；

②EF=EC；③D是

的中点。④与基本图形1的结论重合。

⑤连AD，产生母子三角形。

图形5：：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ，

基本结论有：

（1）如图1：①AD+BC＝CD；②∠

COD=∠AEB=90°；③OD平分∠ADC（或OC平分∠BCD）；（注：在①、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中，知一推三）

④AD·BC＝AB

4

1

2=R2；

（2）如图2，连AE、CO，则有：CO∥AE，CO?AE=2R2(与基本图形2重合)

（3）如图3，若EF⊥AB于F，交AC于G，则：EG=FG.

图形6：如图：直线PR⊥⊙O的半径OB于E，PQ切⊙O于Q，BQ交直线PQ于R。

基本结论有：

（1）PQ=PR (⊿PQR是等腰三角形)；

（2）在“PR⊥OB”、“PQ切⊙O”、“PQ=PR”中，知二推一

（3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB2

图形7：如图，⊿ABC内接于⊙O，I为△ABC的内心。基本结论有：

（1）如图1，①BD=CD=ID；②DI2＝DE·DA；

③∠AIB=90°+

2

1

∠ACB;

（2）如图2，若∠BAC=60°，则：BD+CE=BC.

图1图2

BF

图1图2图3

图形8：已知，AB 是⊙O 的直径，C 是 中点，CD ⊥AB 于D 。BG 交CD 、AC

于E 、F 。基本结论有：

（1）CD =2

1

BG ；BE=EF=CE ；GF=2DE

(反之，由CD =21

BG 或BE=EF 可得：C

是

中点)

（2）OE=2

1

AF ，OE ∥AC ；⊿

ODE ∽⊿AGF

（3）BE·BG=BD·BA

（4）若D 是OB 的中点，则：①⊿CEF 是等边三角形；②

范例讲解：

例题1：△ABP 中，∠ABP =90°，以AB 为直径作⊙O 交AP 于C 点，弧?

CF =?

CB ，过C 作AF 的垂线，垂足为M ，MC 的延长线交BP 于D. （1）求证：CD 为⊙O 的切线；

（2）连BF 交AP 于E ，若BE =6，EF =2，求

AF

EF

的值。

例题2：直角梯形ABCD 中，∠BCD =90°，AB=AD+BC ，AB 为直径的圆交BC 于E ，连OC 、BD 交于F.

⑴求证：CD 为⊙O 的切线 ⑵若

5

3

=AB BE ，求DF BF 的值

例题3：如图，AB 为直径，PB 为切线，点C 在⊙O 上，AC ∥OP 。 （1）求证：PC 为⊙O 的切线。

（2）过D 点作DE ⊥AB ，E 为垂足，连AD 交BC 于G ，CG =3，DE =4，求DB

DG

的值。

A

BC=CG=AG BG D

A 例题4（2009调考）：如图，已知△ABC 中，以边BC 为直径的⊙O 与边A

B 交于点D ，点E 为

的中点，AF 为△ABC 的角平分线，且AF ⊥EC 。

（1）求证：AC 与⊙O 相切； （2）若AC ＝6，BC ＝8，求EC 的长

家庭练习：

1．如图，Rt △ABC ，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，

过D 作AE 的垂线，F 为垂足.

（1）求证：DF 为⊙O 的切线；

（2）若DF =3，⊙O 的半径为5，求tan BAC 的值.

2．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两点， ，过D 作直线BC 的垂线交直线AB 于点E ，F 为垂足.

（1）求证：EF 为⊙O 的切线；

（2）若AC =6，BD =5，求sin E 的值.

B

AD=DC

A

C

3．如图，AB 为⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，D 为AB 延长线上一点，过D 作⊙O 的切线，E 为切点，连结CE 交AB 于点F .

（1）求证：DE=DF ；

（2）连结AE ，若OF =1，BF =3，求tan A ∠的值.

4．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠ABC ，以AB 上一点O 为圆心过B 、D 两点作⊙O ，⊙O 交AB 于点一点E ，EF ⊥AC 于点F .

（1）求证：⊙O 与AC 相切； （2）若EF =3，BC =4，求tan A ∠的值.

5．如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，DE ⊥AC 于E. （1）求证：DE 为⊙O 的切线；

（2）若BC =，AE =1，求cos AEO ∠的值.

6．如图，BD 为⊙O 的直径，A 为

的中点，AD 交BC 于点E ，F 为BC

延长线上一点，且FD=FE.

（1）求证：DF 为⊙O 的切线；

（2）若AE =2，DE =4，△

BDF 的面积为tan EDF ∠的值.

7、如图，AB 是⊙O 的直径，M 是线段OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF =∠E ．

（1）求证：CF 是⊙O 的切线；

（2）设⊙O 的半径为1，且AC =CE =AM 的长．

8、如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，过点C 作⊙O 的切线CE ，点D 是CE 延长线上一点，连结AD ，且AD+BC=CD .

（1）求证：AD 是⊙O 的切线；

（2）设OE 交AC 于F ，若OF =3，EF =2，求线段BC 的长.

BC

A F B

9、如图，△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且CD=BD.

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）已知点M、N分别是AD、CD的中点，BM延长线交⊙O于E，EF∥AC，分别交BD、BN的延长线于H、F，若DH=2，求EF的长.

10、如图，AB是半⊙O上的直径，E是⌒

BC的中点，OE交弦BC于点D，过点C作交AD的平行线交OE的延长线于点F. ∠ADO=∠B.

（1）求证：CF为⊙O的⊙O切线；

（2）求sin∠BAD的值.

11、如图，⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．

（1）求证：DF是⊙O的切线．

（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长

B