一元二次方程根的分布情况小结
一元二次方程根的分布
一．知识要点
二次方程02=++c bx ax 的根从几何意义上来说就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究方程02
=++c bx ax 的实根的情况，可从c bx ax y ++=2的图象上进行
研究．
若在),(+∞-∞内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考察函数c bx ax y ++=2与x 轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由
c bx ax y ++=2
的系数可判断出2121,,x x x x +?的符号，从而判断出实根的情况．
若在区间),(n m 内研究二次方程02
=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定．
0?>?
表二：（两根与k的大小比较）
k k k
表三：（根在区间上的分布）
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧
12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是
（1）0a >时，()()00f m f n
f m f n >???>??
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：
1? 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了
方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2
220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所
以()()()2
2212mx m x x mx -++=--，另一根为
2m
，由213m <<得223m <<即为所
求；
2?方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0?=，此时由0?=可以求出参数的
值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，
舍去相应的参数。如方程2
4260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范
围。分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15
314
m -<<-；②由0?=即()2
164260m m -+=得出1m =-或3
2
m =
，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =?-，故3
2
m =
不满足题意；综上分析，得
出15
314
m -<<-
或1m =- 二．例题选讲
（1）两个根在实数k 的同一侧
例1．已知方程)(0)32()1(242
R m m x m x ∈=++-+有两个负根，求m 的取值范围．
变式1：已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
变式2：已知二次方程02)12(2=+--+m x m mx 的两个根都小于1，求m 的取值范围．
（2）两个根在实数k 的异侧
例2：已知二次方程()()2
21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范
围。
变式1：已知二次函数()()()2
22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于
1，一个小于1，求实数m 的取值范围。
变式2：求实数m 的范围，使关于x 的方程062)1(22
=++-+m x m x ． （１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小． （２）有两个实根βα,，且满足410<<<<βα．
（３）至少有一个正根．
变式3：如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.
（3）在区间),(n m 有且只有一个实根
例3．已知二次方程()2
2340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的
取值范围。
变式：已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围.
（4）在区间),(n m 有两个实根
例4： 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.
变式1：已知方程2x 2 – 2(2a -1)x + a +2=0的两个根在-3与3之间，求a 的取值范围．
变式2：已知方程x 2 + (3m -1)x + (3m -2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m 的取值范围． （5）在区间],[n m 有实根
例5．已知a 是实数，函数2
()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有
零点，求a 的取值范围．
（6）二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用．
例6.1．求函数y = x +1
x 2-3x +2 (1 例6.2．已知抛物线y = 2x 2-mx +m 与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m 的取值范围． 例6.3．设关于x 的方程∈=--+b b x x (02 41 R ）， （1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围； （2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。 变式：已知方程02)12(22=+?-+?m m m x x 在)1,(-∞上有两个根，求m 的取值范围． 三．巩固练习 1．已知二次方程04)32()13(2=+-++-m x m x m 有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m 的取值范围． 2．已知二次方程0)1(2)12(2=-+-+m mx x m 有且只有一个实根属于（1，2），且2,1==x x 都不是方程的根，求m 的取值范围． 3．已知二次方程0)1()43()1(2=++++-m x m x m 的两个根都属于（–1，1），求m 的取值范围． 4．若关于x 的方程x 2+(a -1)x +1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2]上，求实数a 的取值范围． 答案： 二．例题选讲 （1）两个根在实数k 的同一侧 例1．已知方程)(0)32()1(242 R m m x m x ∈=++-+有两个负根，求m 的取值范围． 解：依题意有 ?? ? ? ?>+<--≥+?--=?0320)1(0)32(44)1(42m m m m 11≥∴m ． 变式1：已知方程()2 210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。 解：由 ()()0102200m f ?>? ? -+?->??>?? ?( )21801 m m m m ?+->?>-??>?? 330m m m ?<-> +?? >??? 03m <<-3m >+即为所求的范围。 变式2：已知二次方程02)12(2=+--+m x m mx 的两个根都小于1，求m 的取值范围． 解一：二次方程两个根都小于1，其充要条件为 ??? ? ??? <-->+--+≥-+-) 3(1 212)2(0]2)12([)1(0)2(4)12(2m m m m m m m m m （1）即为011282≥+-m m ，它的解集是),4 7 3[]473, (+∞+--∞ ． （2）即为0)12(>+m m ，它的解集是),0()2 1,(+∞--∞ ． （3）的解集是),4 1()0,(+∞-∞ ． 所以，m 的取值范围是),4 7 3[)21,(+∞+--∞ ． 解二：二次方程02)12(2=+--+m x m mx 有两个根的充要条件是0≥?． 设两根为21,x x ，由于21,x x 都小于1，即01,0121<-<-x x ，其充要条件为： ?? ?>--<-+-0)1)(1(0 )1()1(21 21x x x x 即 ?? ?>++-<-+01)(0 2212 121x x x x x x 因此，方程两个根都小于1的充要条件是： ??? ??? ??? >+-++-<--≥-+-011 22021 20)2(4)12(2m m m m m m m m m 以下同解法一（略）． 解三：令1-=x y ，原方程转化为02)1)(12()1(2=+-+-++m y m y m ，即 012)14(2=++-+m y m my （*） 因为原方程两根都小于1，所以方程（*）的两个实根都小于0，其充要条件是： ??? ??? ??? >+<--≥?01 201 40m m m m 同样可求出m 的取值范围（略）． （2）两个根在实数k 的异侧 例2：已知二次方程()()2 21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范 围。 解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得1 12 m - <<即为所求的范围。 变式1：已知二次函数()()()2 22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。 解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++ 22 m -<< 即为所求的范围。 变式2：求实数m 的范围，使关于x 的方程062)1(22 =++-+m x m x ． （１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小． （２）有两个实根βα,，且满足410<<<<βα． （３）至少有一个正根． 解：设62)1(2)(2 ++-+==m x m x x f y ． （１） 依题意有0)2( （２） 依题意有 ?? ? ??>+=<+=>+=0 1410)4(054)1(0 62)0(m f m f m f 解得：4557-<<-m ． （３）方程至少有一个正根，则有三种可能： ①有两个正根，此时可得???? ??? >-->≥?02 )1(20)0(0 m f ，即?????<->≥-≤1351m m m m 或13-≤<-∴m ． ②有一个正根，一个负根，此时可得0)0( ③有一个正根，另一根为０，此时可得?? ?<-=+0 )1(20 26m m 3-=∴m ． 综上所述，得1-≤m ． 变式3：如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围. 解：∵f (0)=1>0 (1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意. (2）当m >0时，则??? ??>-≥?030m m 解得0＜m ≤1 综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0}. （3）在区间),(n m 有且只有一个实根 例3．已知二次方程()2 2340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的 取值范围。 解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f 1 3 m <-即为所求范围。 变式：已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. 解：条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，则 ????? ? ?? ?? ?->-<∈-+=<+=>=-<+=65,21,210 56)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ?2165-<<-m ， ∴实数m 的范围是)2 1,65 (--. （4）在区间),(n m 有两个实根 例4： 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围. 解：据抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴交点落在区间 (0，1) 内，列不等式组???? ?? ?<-<≥?>>10,0,0)1(,0)0(m f f ? ?? ??? ??? <<--≤+≥->->?. 01,2121, 21,21m m m m m 或? - 12 ∴ 实数m 的范围是]21,2 1(--. 变式1：已知方程2x 2 – 2(2a -1)x + a +2=0的两个根在-3与3之间，求a 的取值范围． 解：设f (x ) = 2x 2 – 2(2a -1)x + a +2，则原方程两根都属于 (-3, 3)的充要条件为 ? ???? △≥0 f (-3)>0 f (3)>0 -3<2a -12 <3 ?? ??? ? 4(2a -1)2 – 8(a +2)≥0 18+6(2a -1)+a +2>0 18-6(2a -1)+a +2>0 -3<2a -12 <3 ? - 1413 11 . 故a 的取值范围是 (- 1413 , 3-21 4 ] ∪[ 3+21 4 , 26 11 )． 变式2：已知方程x 2 + (3m -1)x + (3m -2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m 的取值范围． 解：原方程即为 (x + 1)(x + 3m -2)=0，所以方程两根分别为-1, 2-3m ，而-1在(-3,1)上，则由题意，另一根满足 -3<2-3m <3 ? - 13 3 . （6）在区间],[n m 有实根 例5．已知a 是实数，函数2 ()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有 零点，求a 的取值范围． 解析1：函数()y f x =在区间[-1，1]上有零点，即方程2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解， a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>(1)(1)0f f -?≤或 (1)0(1)048(3)01[ 1.1]af af a a a -≥??≥?? ?=++≥?? ?-∈-??15a ?≤≤ 或a 或5a ≥ ?a ≤或a≥1. 所以实数a 的取值范围是a ≤ 或a≥1. 解析2：a=0时，不符合题意，所以a≠0,又 ∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解，2(21)32x a x ?-=-在[-1，1]上有解212132x a x -?= -在[-1，1]上有解，问题转化为求函数221 32x y x -=-[-1，1]上的值域；设t=3-2x ，x ∈[-1，1]，则23x t =-，t ∈[1,5],21(3)217(6)22t y t t t --=?=+-， 设2277 ().'()t g t t g t t t -=+= ，t ∈时，'()0g t <，此函数g(t) 单调递减，t ∈时，'()g t >0, 此函数g(t)单调递增，∴y 的取值范围是3,1]，∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解 1 a ∈3,1]1a ?≥ 或a ≤。 （6）二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用． 例6.1．求函数y = x +1 x 2-3x +2 (1 解：原函数即为 y (x 2-3x +2)=x +1, yx 2-(3y +1)x +2y -1=0, ① 由题意，关于x 的方程①在(1,2)上有实根． 易知y <0, 令f (x )= yx 2-(3y +1)x +2y -1，则f (1)= -2<0, f (2)= -3<0，所以方程①在(1,2)上有实 根当且仅当 ? ???? △≥0 1<3y +12y <2 ，解得y ≤-5-2 6 . ∴ 原函数的值域为 (-∞, -5-2 6 ]. 例6.2．已知抛物线y = 2x 2-mx +m 与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m 的取值范围． 解：以(0,0), (1,1)为端点的线段所在直线为y =x ，代入抛物线方程得： x = 2x 2-mx +m 即 2x 2-(m +1)x +m =0, ① 由题意，方程①在区间(0, 1)上有实根，令f (x ) = 2x 2-(m +1)x +m ，则当且仅当 f (0)·f (1)<0或 ? ?? ? ? △≥0 0 f (0)>0 f (1)>0 ?m <0或 ??? m 2-6m +1≥0 -1 故m 的取值范围为 (-∞, 0)∪(0, 3-2 2 ]. 例6.3．设关于x 的方程∈=--+b b x x (02 41 R ）， （1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围； （2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。 分析：可用换元法，设t x =2，原方程化为二次方程022=--b t t ，但要注意0>t ，故原方程有解并不等价于方程022=--b t t 有解，而等价于方程022=--b t t 在),0(+∞内有解．另外，方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于x 的方程)(x f a =有解，则)(x f a ∈的值域． 解：（1）原方程为124+-=x x b ， 11)12(22)2(24221-≥--=?-=-+x x x x x ， ),1[+∞-∈∴b 当时方程有实数解； （2）①当1-=b 时，12=x ，∴方程有唯一解0=x ； ②当1->b 时，b b x x +±=?+=-1121)12(2 . b b x x ++=∴>++>112,011,02 的解为)11(log 2b x ++=； 令,0111011<<-?<+?>+-b b b b b x +-=<<-∴112,01时当的解为)11(log 2b x +-=； 综合①、②，得 1）当01<<-b 时原方程有两解：)11(log 2b x +±=； 2）当10-=≥b b 或时，原方程有唯一解)11(log 2b x ++=； 3）当1- 变式：已知方程02)12(22=+?-+?m m m x x 在)1,(-∞上有两个根，求m 的取值范围． 解：令x t 2=，当)1,(-∞∈x 时，)2,0(∈t ． 由于x t 2=是一一映射的函数，所以x 在)1,(-∞上有两个值，则t 在)2,0(上有两个对应的值．因而方程0)12(2=+-+m t m mt 在（0，2）上有两个不等实根，其充要条件为 ??? ? ? ????<--<>->>--) 4(22120)3(0)29()2(0)1(04)12(2 22m m m m m m m 由（1）得： 4 1 由（3）得： 0 2>m ， 由（4）得： 2 161< 192<<∴ m ，即m 的取值范围为)41 ,92(． 三．巩固练习 1．已知二次方程04)32()13(2=+-++-m x m x m 有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m 的取值范围． 解：易知x 1 = -1是方程的一个根，则另一根为x 2 = m -4 3m -1 ，所以原方程有且仅有一个实 根属于( -1, 1)当且仅当 -1 3m -1 >0 2m +33m -1 >0 ?m < - 32 或m >5 4 ，∴ m 的取值范围为 (-∞,- 32 )∪( 5 4 , +∞). 2．已知二次方程0)1(2)12(2=-+-+m mx x m 有且只有一个实根属于（1，2），且2,1==x x 都不是方程的根，求m 的取值范围． 解：设f (x ) = )1(2)12(2 -+-+m mx x m ，由于f (x )是二次函数，所以2m +1 ≠ 0，即m ≠ - 12 . f (x ) =0在（1，2）上有且仅有一个实根当且仅当f (1)·f (2)<0 ? (5m +3)(m -2)<0 ? - 3 5 2 , 2)． 3．已知二次方程0)1()43()1(2=++++-m x m x m 的两个根都属于（–1，1），求m 的取值 范围． 解：令二次函数f (x ) = (m -1)x 2+(3m +4)x +m +1，则m -1 ≠ 0，即m ≠ 1． f (x )=0的两个实根均在(-1,1)上，当且仅当 ??????? ? ?>->--<-+- <-≥+--+=?.0)1()1(,0)1()1(,122431,0)1)(1(4)43(2f m f m m m m m m ? 5 4 5112125112124-<<+---< <-m m 或 ∴ m 的取值范围为}5 4 511212|{}5112124|{-<<+---<<-m m m m ． 4．若关于x 的方程x 2+(a -1)x +1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2]上，求实数a 的取值范围． 解：令f (x ) = x 2+(a -1)x +1，则满足题意当且仅当 ? ???? △= (a -1)2-4>0 0< - a -1 2 <2 f (0)≥0 f (2)≥0 解得 - 32 ≤a <-1. ∴ a 的取值范围是 [ - 3 2 , -1)． 一元二次方程及根的定 义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及 的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式 的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以. . 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由， 得， ， ， 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以， 所以. (3)将原方程展开并整理得， 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或， 故 (2)直接提取公因式，得 所以或，(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得 一元二次方程的解法小结 【学习目标】 1.会选择利用适当的方法解一元二次方程； 2.体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法． 【前置学习】 一、自主学习（自主探究）： 1.独立思考·解决问题 解下列方程： （1）02)3(212=-+x ； （2）x 2＋2x ＝0； （3）3x （x －2）＝2（x －2） （4）（x ＋3）2＝（2x －5）2； （5）x 2－x ＋1＝0； （6）（x －2）（x ＋3）＝66． 2.合作探究·解决问题 通过对以上方程的解法，你能说出解一元二次方程的基本思路，总结出对于不同特点的一元二次方程选择什么样的方法去解了吗？ 知识汇总 （1）.解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为 ，即 ． （3）.一般考虑选择方法的顺序是： 法、 法、 法或 法 二、疑难摘要： 【学习探究】 一、合作交流，解决困惑： 1.小组交流：（在小组内说说通过自主学习，你学会了什么？你的疑难与困惑是什么？请同伴帮你解决.） 2.班级展示与教师点拨： 展示1：用直接开方法解方程：（1）01362=-x ； （2）4122=+-x x ． 展示2：用因式分解法解方程：（1）02=+x x ； （2）0)25()4(22=---x x ． 展示3：用配方法解方程：（1） 016102=++x x ； （2）05632=-+x x ． 展示4：用公式法解方程：（1）0122=-+x x ； （2）04122=- -x x ． 二、反思与总结：本节课你学会了什么？你有哪些收获与体会？ 【自我检测】 选择适当的方法解下列方程: 1.x 2－3x ＝0； 2.x 2＋2x －8＝0； 3.3x 2＝4x －1； 4.（x －2）（x －3）＝6； 5.（2x －1）2＝4x －2； 6.（3x －1）2＝（x ＋5）2； 7.x 2-7x ＝0； 8.x 2＋12x ＝27； 9.x （x －2）－x ＋2＝0； 10.224x x +-=； 11.43 2412522+-=--x x x x ． 12.(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1) 一元二次方程根的情况练习题（含答案） 一．选择题 1．一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 2．一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根 3．一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 4．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．无实数根D．无法确定 5．a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．无实数根D．有一根为0 6．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 7．一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（） C．只有一个实数根D．没有实数根 8．y=x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根 9．一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（） A．有一个实数根B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根D．没有实数根 10．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 11．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 12．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根 13．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 14．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（） 一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 第二十二章《一元二次方程》小结 一、本章知识结构框图 二、本章知识点概括 1、相关概念 （1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 （2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)， 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围． 一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程 整式方程二次方程：一元二次方程，二元二次方程 *（4）有理方程高次方程： 分式方程 2、降次——解一元二次方程 （1）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是: ①方程化为一般形式； ②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③化二次项系数为1； ④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式， 从而原方程化为（mx+n）2=p的形式； ⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当⊿＝b2－4ac≥0时，? 将a、b、c代入求根公式x= a2 ac 4 b b2- ± - （b2-4ac≥0）就得到方程的根． （3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是： ①通过移项将方程右边化为0； ②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积； ③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。 3、一元二次方程根的判别式 （1）⊿＝b 2－4ac 叫一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式。 （2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况： ①⊿=b 2－4ac ＞0 方程有两个不相等实数根； ②⊿=b 2－4ac =0 方程有两个相等实数根； ③⊿=b 2－4ac ＜0 方程没有实数根； ④⊿=b 2－4ac ≥0 方程有两个实数根。 （3）应用： ①不解方程，判别方程根的情况； ②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围； ③应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法）； 注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a ≠0。 *4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容） （1）如果一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的两个实数根是21,x x ， 那么a c x x a b x x =-=+2121, （2）应用： ①验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； ②已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值； ③已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围； ④不解方程可以求某些关于21,x x 的对称式的值，通常利用到： 2122122212)(x x x x x x -+=+ 212212214)()(x x x x x x -+=- ()| a |x x 4x x ||2122121?=-+=-x x 当21x x +=0且21x x ≤0，两根互为相反数； 一元二次方程根的分布教学设计 大庆一中高中部孙庆夺 一、教学分析 （一）教学内容分析 本节课所讲的内容是高中数学必修一第三章第一节《函数与方程》之后的一个专题内容，是中学数学的重要内容之一。这段内容与一元二次不等式，二次函数等内容有着紧密的联系。它是在前面学习了函数与方程，二次方程，二次不等式基础上对函数与方程内容的深化和拓展，通过根的分布的不同情况，充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。从而提升学生对数学知识的应用能力。通过学习一元二次方程根的分布，有助于学生进一步理解二次方程，二次函数，加深函数与方程思想，数形结合思想在数学学习中的应用的认识，同时也为以后数学的学习打下扎实的基础。 （二）教学对象分析 高中一年级的学生已经有了一定的观察识图能力及分析判断能力，有利用已有知识解决新问题的愿望。学生学习了函数与方程，二次方程，二次函数的知识， 已经具有用数学知识解决实际问题的能力。学生抽象逻辑思维很大程度上还属于经验型，需要感性经验的直接支持。通过学习，抽象逻辑思维逐步成熟，能够用理论作为指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。 （三）教学环境分析 由于本节课涉及到根的分布情况较多，对老师的的作图提出了很高的要求。采用传统的板式教学，根本就无法向学生演示动态过程，很难满足学生的求知欲，达不到教学的最佳效果。多媒体网络教学，是现代高中数学教学全新的教育技术， 使传统的教学方式得到补充。在计算机的帮助下，利用制作好的几何画板课件，操作演示，感受根的分布的不同情况，加深学生的认识和理解，同时也符合学生认识事物从感性认识到理想认识的认知过程。 （四）教学手段 采用多媒体网络教学。《普通高中数学课程标准》指出：“现代信息技术的广泛应用真正对数学教学、数学学习方面产生深刻的影响，数学课程的设计应重视运用现代信息技术，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，提倡实现信息技术与课程内容的有机结合。”本节课涉及到的图象信息较多，利用多媒体网络教学可以实现最大容量地向学生提供图象信息，并让学生整理归纳信息，增强学生的动手能力、思考能力和自主学习能力，也能实现数学课堂中学生的高参与度，从而实现资源、时间、效率的最优化。 （五）教学方式 自主式探究，学案式导学。自主探究，学案导学的教学方式，能够激发学生的学习兴趣、突出学生的主题地位，培养学生的数学应用意识、合作精神，这与《新课标》的要求是吻合的。 二、教学目标 １.知识与能力 加深对一元二次方程，二次函数图象与性质的认识；会利用函数知识，方法重新审视一元二次方程． ２.过程与方法 体验“观察-猜想-验证”探究问题的方法，领会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，加深对函数与方程，数形结合思想的理解。 4 13=+x x 一元二次方程单元检测 姓名 ___ 一、精心选一选（每题3分，共30分）： 1、下列方程是一元二次方程的是（ ） A 、12=+y x B 、()32122 +=-x x x C 、 D 、022=-x 2、关于x 的一元二次方程02 =+k x 有实数根，则（ ） A 、k ＜0 B 、k ＞0 C 、k ≥0 D 、k ≤0 3、把方程2 830x x -+=化成()2 x m n +=的形式，则m 、n 的值是（ ） A 、4，13 B 、-4，19 C 、-4，13 D 、4，19 4、已知直角三角形的两条边长分别是方程2 14480x x -+=的两个根，则此三角形的第三边是（ ） 108 A B C D 、6或8 、 10或、 或、 5、若关于x 的一元二次方程 ()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（ ） A 、 1 B 、 -1 C 、 1或-1 D 、1 2 6．方程x 2 =3x 的根是（ ） A 、x = 3 B 、x = 0 C 、x 1 =-3, x 2 =0 D 、x 1 =3, x 2 = 0 7、若方程02 =++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ ） A 、1，0 B 、-1，0 C 、1，-1 D 、无法确定 8、已知0652 2=+-y xy x ，则x y :等于 （ ） A 、2131或 B 、32或 C 、16 1 或 D 、16或 9、方程x 2 -4│x │+3=0的解是（ ） A 、x=±1或x=±3 B 、x=1和x=3 C 、x=-1或x=-3 D 、无实数根 10、使用墙的一边，再用13m 的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m 2 的长方形，求这个长 一元二次方程归纳总结 1、一元二次方程的一般式：2 0 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。 2、一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2 (0)x a a =≥ 解为：x = ②2 ()(0)x a b b +=≥ 解为：x a += ③2 ()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b += ④2 2() ()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+ （2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法 （3）公式法：一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：222 4()24b b ac x a a -+= ①当2 40b ac ?=-> 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a -=② 当2 40b ac ?=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =- ③ 当2 40b ac ?=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。 注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 备注：公式法解方程的步骤： ①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：2 0 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c ②求出2 4b ac ?=-，并判断方程解的情况。 ③代公式：1,2x = 3、一元二次方程的根与系数的关系 法1：一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为： 1222b b x x a a -+-== 所以：12b x x a += +=-， 221222()422(2)4b b b ac c x x a a a a a -+----?=?=== 第二章 一元二次方程单元综合测试题 一、填空题（每题2分，共20分） 1．方程1 2x （x －3）=5（x －3）的根是_______． 2．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有________． （1）2y 2+y －1=0；（2）x （2x －1）=2x 2；（3）21 x －2x=1；（4）ax 2+bx+c=0；（5） 12 x 2 =0． 3．把方程（1－2x ）（1+2x ）=2x 2－1化为一元二次方程的一般形式为________． 4．如果 2 1 x －2x －8=0，则1x 的值是________． 5．关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m －1）x+2m －1=0是一元二次方程的条件是________． 6．关于x 的一元二次方程x 2－x －3m=0?有两个不相等的实数根，则m?的取值范围是定______________． 7．x 2－5│x │+4=0的所有实数根的和是________． 8．方程x 4－5x 2+6=0，设y=x 2，则原方程变形_________ 原方程的根为________． 9．以－1为一根的一元二次方程可为_____________（写一个即可）． 10．代数式1 2x 2+8x+5的最小值是_________． 二、选择题（每题3分，共18分） 11．若方程（a －b ）x 2+（b －c ）x+（c －a ）=0是关于x 的一元二次方程，则 必有（）． A．a=b=c B．一根为1 C．一根为－1 D．以上都不对 12．若分式 2 2 6 32 x x x x -- -+ 的值为0，则x的值为（）． A．3或－2 B．3 C．－2 D．－3或2 13．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值为（）． A．－5或1 B．1 C．5 D．5或－1 14．已知方程x2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x2－px+q可分解为（）．A．（x+2）（x+3）B．（x－2）（x－3） C．（x－2）（x+3）D．（x+2）（x－3） 15已知α，β是方程x2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（）． A．1 B．2 C．3 D．4 16．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－6x+8=0的解，?则这个三角形的周长是（）． A．8 B．8或10 C．10 D．8和10 三、用适当的方法解方程（每小题4分，共16分） 17．（1）2（x+2）2－8=0；（2）x（x－3）=x； 一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式 法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算， 《一元二次方程》单元教材分析 一. 教学内容： 复习目标：（辅导时各位老师要学生掌握的点，每节课可以视情况巩固两点） ⑴了解一元二次方程的有关概念． ⑵能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、?因式分解法解一元二次方程． ⑶会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况． ⑷知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有关问题． ⑸能运用一元二次方程解决简单的实际问题． ⑹了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想． 二. 基础知识回顾 1. 方程中只含有_______?个未知数，?并且未知数的最高次数是_______，?这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_____ __（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________． 例如：一元二次方程7x－3＝2x2化成一般形式是________?其中二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是________． 2. 解一元二次方程的一般解法有 ⑴_________；⑵________；⑶?_________；?⑷?求根公式法，?求根公式是______________． 3. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，?它没有实数根．例如：不解方程，判断下列方程根的情况： ⑴x（5x＋21）＝20 ⑵x2＋9＝6x ⑶x2－3x＝－5 4. 设一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝_______，x1·x2＝______． 例如：方程x2＋3x－11＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝________；x1·x2＝_______． 5. 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝?_______，?x1·x2＝________． 三. 重点讲解 1. 了解一元二次方程的概念，对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个（强调是三个）特点，即①是整式方程（重点强调）；②化简后只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2． 2. 解一元二次方程时，应根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法． （通过教材课后习题的演练，可以很明显的发现利用十字相乘法解方程时二次项系数时常不是一，而有些学生十字相乘法中对于二次项系数不为一的题目会无所适从，不妨多加练习，但厦门近三年的中考中没有出现过类似的题目） 3 .一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=≠的根的判别式正反都成立．利用其可以 ⑴不解方程判定方程根的情况（有根，有两个根，有两个不同的根分别代表⊿的取值范围）； ⑵根据参系数的性质确定根的范围（有两正根，两负根，一根正一根负，只有一个根大于某常数）； 针对只有一个根大于某一常数的题型举例如下： ⑶解与根有关的证明题（判断三角形的形状，某一恒等式证明）． 举例如下： 4. 一元二次方程根与系数的应用很多：⑴已知方程的一根，不解方程求另一根及参系数；⑵已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；⑶已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 5. 能够列出一元二次方程解应用题．能够发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程． 典型例题一 例 求证：如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根，那么，关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根. 分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之. 证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1?，方程 0522=+-+m my y 的根的判别式为2?，则 . 36)4( 208)25(4. 440)9(42222221-+=-+=--=?+=++=?m m m m m m m ∵方程922+=+m x x 无实数根， 01+∴m ，即036)4(2>-+m . 故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根. 说明：上述证明中，判定02>?用到了01 分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“?”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“?”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键. 解：（1）),1(4,2,1-=-==k c k b a )1(414)2(422-??--=-=?∴k k ac b )2(4)44(416 16422 2≥-=+-=+-=k k k k k ∴方程有两个实数根. （2）0≠a ， ∴方程02=+bx ax 是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零. ∴2204b a b =?-=?. ∴不论b 取任何实数，2b 均为非负数， 02≥=?b 恒成立. ∴方程有两个实数根. （3）0≠a ， ∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数0=b . ac a 40402-=?-=?， ∴需要讨论a 、c 的符号，才能确定?的符号. 当0=c 时，0=?，方程有两个相等的实数根； 当a 、c 异号时，0>?，方程有两个不相等的实数根； 当a 、c 同号时，0 21章 一元二次方程知识点 一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未 知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。 注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。 （3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。 二、 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2 =x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等） 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 直接开平方法理论依据：平方根的定义。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=； （2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=； （3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是m n c x -±= 。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 （一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： （1） 把一元二次方程化成一般形式 （2） 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这 个数； （3） 把原方程变为()n m x =+2的形式。 （4） 若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。 （二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把一元二次方程化成一般形式 (2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数； （3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为()n m x =+2的形式； （4）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： 一元二次方程的根的判别式 1、方程2x 2+3x －k=0根的判别式是 ；当k 时，方程有实根。 2、关于x 的方程kx 2+(2k+1)x －k+1=0的实根的情况是 。 3、方程x 2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。 4、关于x 的方程(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0的根的情况是 。 5、当m 时，关于x 的方程3x 2－2(3m+1)x+3m 2－1=0有两个不相等的实数根。 6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值是 。 7、关于x 的一元二次方程mx 2+(2m －1)x －2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。 8、设方程(x －a)(x －b)－cx=0的两根是α、β，试求方程(x －α)(x －β)+cx=0的根。 9、不解方程，判断下列关于x 的方程根的情况： (1)(a+1)x 2－2a 2x+a 3=0(a>0) (2)(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0 10、m 、n 为何值时，方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2+2=0有实根? 11、求证：关于x 的方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。 12、已知关于x 的方程(m 2－1)x 2+2(m+1)x+1=0，试问：m 为何实数值时，方程有实数根? 13、 已知关于x 的方程x 2－2x －m=0无实根(m 为实数)，证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2－1)(x 2+1)=0 也无实根。 14、已知：a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况。 15、m 为何值时，方程2(m+1)x 2+4mx+2m －1=0。 (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个实数根； (3)有两个相等的实数根； (4)无实数根。 16、当一元二次方程(2k －1)x 2－4x －6=0无实根时，k 应取何值? 17、已知：关于x 的方程x 2+bx+4b=0有两个相等实根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2－b)y+4=0的两实根，求以1y 、2y 为根的一元二次方程。 18、若x 1、x 2是方程x 2+ p x+q=0的两个实根，且23x x x x 222121=++，25x 1x 12221=+求p 和q 的值。 19、设x 1、x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0(q ≠0)的两个根，且x 2 1+3x 1x 2+x 2 2=1， 0)x 1(x )x 1(x 2211=+++，求p 和q 的值。 20、已知x 1、x 2是关于x 的方程4x 2－(3m －5)x －6m 2=0的两个实数根，且23x x 21=，求常数m 的值。 21、已知α、β是关于x 的方程x 2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α3－α2β－αβ2+ β3=0，求证：p=0,q<0 22、已知方程(x －1)(x －2)=m 2(m 为已知实数，且m ≠0)，不解方程证明： (1)这个方程有两个不相等的实数根； 《一元二次方程》单元测检测试题 班级 姓名 一、选择题 (每题3分) 1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) +bx+c=0 C.(x+3)(x-2)=x+5 23 2057 x +-= 2下列方程中,常数项为零的是( ) +x=1 =12； (x 2-1)=3(x-1) (x 2+1)=x+2 3.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) { A. 23162x ??-= ???; B.2 312416x ? ?-= ???; C. 2 31416x ? ?-= ?? ?; D.以上都不对 4.关于x 的一元二次方程()2 2 110a x x a -++-=的一个根是0，则 a 值为（ ） A 1 B 1- C 1或1- D 1/2 5.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A. 11 B. 17 C. 17或19 D. 19 6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A B 、3 C 、6 D 、9 7.使分式256 1 x x x --+ 的值等于零的x 是( ) 或6 - 8.若关于y 的一元二次方程ky 2-4y-3=3y+4有实根,则k 的取值范围是( ) >-7/4 ≥-7/4 且k ≠0 ≥-7/4 >7/4 且k ≠0 9.已知方程22=+x x ，则下列说中，正确的是（ ） A 方程两根和是1 B 方程两根积是2 C 方程两根和是1- D 方程两根积比两根和大2 10.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) (1+x)2=1000 +200×2x=1000 +200×3x=1000 [1+(1+x)+(1+x)2]=1000 二、填空题:(每小题4分) （ 11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便. 12.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为____ ____. 13.22____)(_____3-=+-x x x 14.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______. 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） a 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧 12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n 一元二次方程知识点总结 考点一、一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次 多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 5、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于- a b ，二根之积等于a c ，也可以表示为x 1+x 2=-a b ，x 1 x 2=a c 。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用。一元二次方程及根的定义
一元二次方程的解法小结
一元二次方程根的情况试题练习题
一元二次方程根的分布情况归纳总结
一元二次方程小结
一元二次方程根的分布教学设计
第二章 一元二次方程单元测试题及答案
(完整版)一元二次方程归纳总结
一元二次方程单元综合测试题(含答案)
一元二次方程求根公式
《一元二次方程》单元教材分析
一元二次方程根的差别式
人教版 21章 一元二次方程知识点总结
一元二次方程的根的判别式练习题
《一元二次方程》单元测试题及答案
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
一元二次方程知识点总结与易错题及答案