高考中二面角大小的求法
高考中二面角大小的求法
二面角的大小，是高中数学的重点与难点，同时也是高考的热点，常考常新，其求法各式各样，尤其是向量法出现之前的高考，得凭借某些技巧，根据定义构造平面角，有时难度还是很大的，但通过现象看本质，我们也可以引申出一些求二面角大小的模式——定义法、三垂线法、垂面法等，另外还有求二面角大小的通法——向量法。本文结合高考题，来谈谈这几种方法的应用，希望大家在考试过程中迅速识别模式，快速求出二面角的大小。
一、定义法
二面角平面角的定义有三个条件：1、顶点在棱上；2、边分别在两个半平面内。3、边与棱垂直。因为空间的两条垂直不直观，难以识别，且顶点在棱上没有固定位置，具有开放性，这就造成了平面角位置的变化多端，不易作出，但高考中的易作出的平面角顶点往往在特殊的位置，比如等腰三角形底边的中点；以棱为全等三角形公共边的垂足等。只举两例说明：例1（2004年全国理）如右图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。
(1)求点P到平面ABCD的距离。
（2)求面APB与面CPB所成二面角的大小
解：我们只求二面角的大小（以下例题同），
即第2问。取PB的中点G，PC的中点F，
连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG∥BC，
FG= BC，∵AD⊥⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，∴∠AGF是所求二面角的平面角。∵AD⊥面POB，
∴AD⊥EG，又PE=BE= ，∴EG⊥PB，且PEG=60°。
在Rt△PEG中，EG=PE?cos60°= ，在Rt△GAE中，
AE= AD=1，于是tan∠GAE= = ，又∠AGF=π—∠GAE，所以所求二面角的大小为π—arctan= .
本题就是利用等腰三角形底边上的中点与顶点的连线垂直于底边，以及平移垂直于棱的射线到中点构造二面角的平面角，利用平面角的定义使问题得以解决的。
例2 （2005年全国理）已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，
PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC= AB=1，M是PB的中点，
（1）证明：面PAD面PCD；
（2）求AC与PB所成的角；
（3）求面AMC与面BMC所成的二面角的大小。
解：我们看第3问。作AN⊥CM，垂足为N，
连结BN，在Rt△PAB中，
AM=MB，又AC=CB，
∴△AMC≌△BMC，BN⊥CM，
故∠ANB为所求二面角的平面角。
∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，
所以CM=AM，在等腰△AMC中，AN?MC= ?AC，∴AN= = 。
AB=2，∴cosANB= = ,故所求的二面角为arccos( ).
这个二面角象一个三角形绕着它的一条边（棱）旋转而得到的，分别过顶点作旋转边的高，垂足正好重合于一点，以垂足为顶点，在二面角内的高所在的射线就构成了平面角。求正棱锥相邻的面组成的二面角的大小了可用此方法。
二、三垂线法
顾名思义，就是运用三垂线定理来构造二面角的平面角。它的要害是发现一条直线垂直于二面角的一个半平面，垂足为B，与另一个半平面面的交点为A，过B作与棱垂直的直线，垂足为O，连结AO，根据三垂线定理，AO也垂直于棱，所以∠AOB就是这两个半平面组成的平面角。运用三垂线定理作二面角，是高考的热点，有许多这样的例子，仅举一例。
例3（2007年全国理）如右图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点。
（1）证明：EF∥平面SAD；
（2）设SD=2DC，求二面角A—EF—D的大小。
解：看第二问。不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，
△ADG为等腰Rt△,取AG的中点H，连结DH，
则DH⊥AG。又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH
，而AB∩AG=A，所以DH⊥面AEF，取EF的中点M，
连结MH，则HM⊥EF，连结DM，则DM⊥ EF，故∠DMH为二面角A—EF—D的平面角。
tanDMH= 。所以二面角A—EF—D的大小为arctan 。
本题构造关键是作出直线DH垂直于二面角的一个半平面AEF，并且是倒置的三垂线的模式。
三、垂面法
垂面法就是作棱的垂面，垂面与两个半平面的交线所形成的角就是二面角的平面角。
例4（2008年全国理）四棱锥A—BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，BC=2，CD= ，AB=AC。
证明：（1）AD⊥CE；
（2）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C—AD—E的大小。
解：由题意，BE⊥BC，所以BE⊥侧面ABC，
又BC 侧面ABE，所以侧面ABE⊥侧面QBC，
作CF⊥A B，垂足为F，连结FE，
则CF⊥平面ABE，故∠CFE为CE与平面ABE所成的角，
∠CFE=45°。CE= ，得CF= ，又BC=2，因而∠ABC=60°，
所以△ABC为等腰△。作CG⊥AD，垂足为G，连结GE，由（1）知，
CE⊥AD，又CE CG=C，故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，
∠CGE是二面角C—AD—E的平面角。CG= ，GE= ，GE= ，cos∠CGE= ，
所以二面角C—AD—E为arccos( ).
本题先证明了AD⊥C E，作CG⊥AD，则棱AD⊥面CGE，且面GCE与二面角的交线分别为CG，GE，从而∠CGE是二面角C—AD—E的平面角。
(完整版)二面角求解方法
二面角的作与求 求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下： 1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。 3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。 4、投影法：利用s 投影面 =s 被投影面 θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立， 是求二面角的好方法。尤其对无棱问题 5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos 例1：若p 是ABC ?所在平面外一点，而PBC ?和ABC ?都是边长为2的正三角形， PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。 分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法 解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE Θ AC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC ∴PEA ∠为二面角 P-BC-A 的平面角 在PAE ?中AE=PE=3，PA=6 P C B A E
∴PEA ∠=900 ∴二面角P-BC-A 的平面角为900。 例2：已知ABC ?是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。 解1：（三垂线定理法） 取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF Θ⊥PA 平面ABC ，PA ?平面PAC ∴平面 PAC ⊥平面ABC, 平面PAC I 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面 PAC 由三垂线定理知BF ⊥PC ∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角 设PA=1,E 为AC 的中点，BE= 23,EF=4 2 ∴tan BFE ∠= 6=EF BE ∴BFE ∠=arctan 6 解2：（三垂线定理法） 取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FM ΘAB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC,PE ⊥BC ∴ BC ⊥平面PAE,BC ?平面PBC ∴ 平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE I 平面PBC=PE 由三垂线定理知AM ⊥PC P C B A E F M E P C B A F 图1 图2
用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定
用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定 我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。 向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。一． 规定法向量的指向方向 1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指， 如：图1中的1n 向量。 2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指，如：图1中的2n 向量。 二． 法向量的夹角和二面角大小的关系 1.设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα--l 的大小为θ，向量 21,n n 的夹角为?，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有π?θ=+（图 2）； 2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时?θ=（图3）
1.已知二面角βα--l ，若平面α的法向量)3,4,4(=，由向量的相等条件知，坐标是（4，4，3）的向量有无数多个，根据向量的自由性，我们只需做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面α法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。 2.若平面α法向量)1,3,4(--=，同理可做出从原点出发的法向量，如图5所示，显然，方向是指向二面角的外面。四．应用举例 例题1. 如图6，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B !C 1D 1中G 、E 、F 分别为AA 1、AB 、BC 的中点，求作二面角G —EF —D 半平面GEF 的法向量并判断其方向。
用向量法求二面角的平面角教案
用向量法求二面角的平面 角教案 Prepared on 24 November 2020
第三讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量；
求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈） 角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ， 2 1 = AD ，求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值. 分析 分别以,,BA AD AS 所在直线为,,x y z 轴，
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二面角求法之面面观 求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题. 总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事. 1 定义法 即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！. 例1 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角A-BD-C 1的正切值为 . 分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为 二面角C-BD-C 1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角” 这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉 思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知∠COC 1 是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1=2。 将题目略作变化，二面角A 1-BD-C 1的余弦值为 . 在图1中，∠A 1OC 1是二面角A 1-BD-C 1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得 cos ∠A 1OC 1= 3 1 例2(20XX 年江苏试题)如图2(1)，在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 上的点，满足AE ： EB=CF ：FA=CP ：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF 折起 到△A 1EF 的位置，使二面角A 1-EF-B 成直二面角，连 接A 1B 、A 1P. (Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A 1P-F 的余弦值。 分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP 的中点Q ，连接EQ ，则在正三角形ABC 中，很容易证得△BEQ ≌△ PEQ ≌△PEF ≌△AEF ，那么在图2(2)中，有A 1Q=A 1F.作FM ⊥A 1P 于M ，连接QH 、QF ，则易得△A 1QP ≌△A 1FP ，△QMP ≌△FMP ，所以∠PMQ=∠PMF=90o ，∠QMF 为二面角B-A 1P-F 的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A 1P=5，QM=FM=5 5 2，在△QMF 中，由余弦定理得cos ∠QMF=8 7- 。 练习：20XX 广东高考理18.(本小题满分13分) 如图5.在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形， 且∠DAB=60?，2PA PD == ,PB=2, E,F 分别是BC,PC 的中点. D B 1 图1 A O A 1 C B D 1 C 1 O 1 M A F A 1 Q P B C E C B P E F 图2(2) 图2(1) Q
二面角的求法(教师版)
五法求二面角 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，2 6= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)3 6arccos(- F G
高中数学二面角求法及经典题型归纳
αβa O A B 立体几何二面角求法 一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？ 二：二面角的基本求法及练习 1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直， 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）； 在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求 （1）二面角11A B C A --的大小； （2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1
立体几何二面角5种常见解法
立体几何二面角大小的求法 二面角的类型和求法可用框图展现如下： 一、定义法： 直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。 A P H
二、三垂线定理法： 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角； 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。 例、(2003北京春)如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. p A B L H A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E O
例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小 例、(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的大小. 图4 B1 A α β A1 B L E F
二面角的几种求法
二 面 角 的 几 种 求 法 河北省武安市第一中学 李春杰056300 摘要：在立体几何学习中，求二面角的大小是一个重点，更是一个难点。在每年的高考中，求二面角的大小，几乎成了必考的知识点，但学生却对这个知识点不太熟练，不知从何入手，更不能站在一个高度去求二面角。因而我们将一些求角的方法加以归纳、总结，从而更好更准确地解决问题。 关键词：二面角 平面角 三垂线定理 空间向量 在高考中，立体几何占的分值比较大，学生觉得在学习的过程中有一定的难度，他们觉得，立几中要记的定义，定理，方法和基本图形比较多，再加上还要运用空间想象和空间思维能力，因此，空间立体几何对他们来说，真的有一定的难度。我们将有关二面角大小的方法加以归纳，为的是在以往有关解答此类问题时能有一定的解题技巧、方法，以便得心应手地面对各种有关的题型。 一：二面角定义的回顾： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥, 1.利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。 例1、 如图,空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=a ，对角线AC=a ,BD=.求二面角 A-BD-C 的大小。 解: 取BD 的中点为O ，分别连接AO 、CO
2220 0,,,,2 ,,, 9090AB AD BC CD AO BD CO BD AOC A BD C AB AD a BD AO BC CD a BD OC OA AC a OA OC AC AOC A BD C ==∴⊥⊥∴∠--===∴====∴===+=∴∠=-- 为二面角的平面角在AOC 中，即二面角为的二面角 2.三垂线定理（逆定理）法 由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。 例2．如图,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中//AD BC ，,90?=∠ABC 平面⊥PA ABC ， 32,2,4===AB AD PA ,BC =6。 (Ⅰ)求证：BD PAC ⊥平面；(Ⅱ)求二面角D BD P --的大小； 解：（Ⅰ）PA ⊥平面A B C D ，BD ?平面A B C D ．BD PA ∴⊥． 又tan AD ABD AB = = tan BC BAC AB == 30ABD ∴= ∠，60BAC = ∠，90AEB ∴= ∠，即BD AC ⊥． 又PA AC A = ．BD ∴⊥平面PAC ． （Ⅱ）过E 作EF PC ⊥，垂足为F ，连接DF ． DE ⊥平面PAC ，EF 是DF 在平面PAC 上的射影，由三垂线定理知PC DF ⊥， EFD ∴∠为二面角A PC D --的平面角． 又9030DAC BAC =-= ∠∠， sin 1DE AD DAC ∴==， sin AE AB ABE == 又AC = EC ∴=8PC =． A E D P C B F
用向量法求二面角的平面角教案
第三讲：立体几何中的向量方法 利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形” 的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数 方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课 程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1使学生会求平面的法向量； 2?使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 4. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高 教学重点 求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法 教学难点 求解二面角的平面角的向量法 教学过程 I、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：[0,]）
2、 法向量的方向： 一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面 角等于法向量夹角的补角 . 3、 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” ： （1） 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2） 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行 向量运算） （3） 把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形） n 、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形， ABC 90 , SA 求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值? 分析 分别以BA, AD,AS 所在直线为x,y,z 轴， 建立空间直角坐标系，求出平面 SCD 的法向量 仁, 平面SBA 法向量n 2，利用n i , n 2夹角 cos cos n 1, n 2 结论： 或 ——■ cos cos 门1,门2 cos cos n j , n 2 统一为： n 1 n 2 |n 1 n 2 1 面 ABCD , SA AB BC 1, AD -, 2
线面角及二面角的求法
第9节线面角及二面角的求法 【基础知识】 求线面角、二面角的常用方法: (1) 线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解. (2) 二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量. :] 【规律技巧】 平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法?注意利用等腰、等边三角形的性质. 【典例讲解】 【例1】如图，在四棱锥 P-ABCD中，FA丄底面ABCD , AB⊥ AD , AC⊥ CD, ∠ ABC =60 ° , PA = AB = BC, E 是 PC 的中点. P (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； ⑵证明：AE丄平面PCD ; ⑶求二面角 A — PD — C的正弦值. (1)解在四棱锥P — ABCD中， 因FA丄底面 ABCD , AB?平面 ABCD , 故PA⊥ AB.又AB⊥ AD , FA ∩ AD = A, 从而AB丄平面PAD, 故PB在平面PAD内的射影为FA, 从而∠ APB为PB和平面PAD所成的角. 在Rt△ PAB 中,AB= FA,故∠ APB = 45° 所以PB和平面PAD所成的角的大小为 45 ⑵证明在四棱锥P— ABCD中， 因FA丄底面 ABCD, CD?平面ABCD, 故CD丄FA.由条件 CD丄AC , PA ∩ AC= A , ??? CD丄平面PAC. 又 AE?平面 FAC,??? AE丄CD.
由FA= AB = BC,∠ ABC = 60° ,可得 AC = PA. ??? E 是 PC 的中点，???AE⊥ PC. 又PC∩ CD = C,综上得AE⊥平面PCD. 【变式探究】如图所示，在四棱锥P — ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD丄底 面ABCD , PD = DC.E是PC的中点，作 EF丄PB交PB于点F. ⑴证明PA//平面EDB ; ⑵证明PB⊥平面EFD ; (3) 求二面角 C — PB— D的大小. ⑴证明如图所示，连接 AC, AC交BD于0,连接EO. ???底面ABCD是正方形， ?点0是AC的中点. 在厶PAC中，EO是中位线， ? PA // E0. 而E0?平面EDB且PA?平面EDB , ? PA //平面 EDB. 【针对训练】 1.如图，四棱锥 P — ABCD中，底面 ABCD为菱形，PA丄底面ABCD , AC = 2,2, FA =2, E 是PC 上的一点，PE= 2EC. (1)证明：PC⊥平面BED ; ⑵设二面角A — PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.
求二面角的基本方法
求二面角的基本方法 ——定义法与法向量法 一、 在所给立体图形中直接寻找：看是否有二面角的平面角；寻找平面角的主要依据是根据二面角的平面角的主要特征——顶点在棱上，角的两边分别在两个半平面内且都与棱垂直（或角所在平面垂直于棱）。 例1 如图1,在三棱锥S —ABC 中,SA ⊥底面ABC,AB ⊥BC ．DE 垂直平分SC,且分别交AC 、SC 于D 、E.又SA ＝AB,SB ＝BC.求以BD 为棱,以BDE 与BDC 为面的二面角的度数. 解析 由于SB ＝BC,且E 是SC 的中点,因此BE 是等腰三角形 SBC 底边SC 的中线,所以SC ⊥BE. 又已知SC ⊥DE,BE ∩DE ＝E, ∴SC ⊥面BDE,∴SC ⊥BD. 又∵SA ⊥底面ABC,BD 在底面ABC 上,∴SA ⊥BD. 而SC ∩SA ＝S,∴BD ⊥面SAC. ∵DE ＝面SAC ∩面BDE,DC ＝面SAC ∩面BDC, ∴BD ⊥DE,BD ⊥DC. ∴∠EDC 是所求的二面角的平面角. ∵SA ⊥底面ABC,∴SA ⊥AB,SA ⊥AC.设SA ＝a, 又因为AB ⊥ BC, ∴∠ACS ＝30.又DE ⊥SC, 所以∠EDC ＝60°即所求的二面角等于60°. 二．根据定义作出平面角：主要有两种作法，一是对于具有某种对称性立体图形，可以考虑利用定义，在棱上选择一点作棱的垂面，与两个半平面的交线所构成的角即为平面角；二是在其中一个半平面内选择一点M 向另一个半平面引 1 图
垂线（垂足为H ），过H 向棱l 引垂线（垂足为N ），由三垂线定理可知l PN ⊥，则PNH ∠即为平面角（或其补角）。 例2 如图2，正三角形ABC 的边长为3，过其中心G 作BC 边的平行线，分别交AB 、AC 于1B 、1C ．将11C AB ?沿11C B 折起到111C B A ?的位置，使点1A 在平面C C BB 11上的射影恰是线段BC 的中点M ．求：二面角M C B A --111 的大小。 解析 连接AM ，A 1G ，∵G 是正三角形ABC 的中心， 且M 为BC 的中点， ∴A ，G ，M 三点共线，AM ⊥BC(图3) ． ∵B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1⊥AM 于G ，即GM ⊥B 1C 1， GA 1⊥B 1C 1，∴∠A 1GM 是二面角A 1—B 1C 1—M 的平面角． ∵点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影为M ， ∴A 1M ⊥MG ，∠A 1MG=90°。在Rt △A 1GM 中，由 A 1G=AG=2GM 得∠A 1GM=60°，即二面角A 1— B 1 C 1—M 的大小是60°。 对于“无棱”二面角（即棱未明显给出）的常规求法是： 先找（或作）出棱，再找（或作）出平面角后求解，还可考 虑使用射影面积公式S S 射影 =θcos ，这里给出下述两例： 例3 如图4，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD 中， ∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD ， SA ＝AB ＝ＢＣ＝１， ＡＤ＝21．求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． 解析 延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所 2图3图4 图
浅谈如何解决向量法求二面角大小的不足
浅谈如何解决向量法求二面角大小的不足 上海市扬子中学数学组 郑根火 【摘 要】:在二期课改的新教材中，向量是一个非常重要的解题工具。无论在求角，求距离问题中都有着广泛的用处。法向量法求二面角的平面角是其应用之一。用向量法求二面角的大小时，常因为无法判断是锐角还是钝角而使得这种方法缺泛严密性，确定法向量的方向是解决这一问题的根本方法。 【关键字】：向量，向量夹角，二面角，二面角的平面角 作为新课程改革，高中数学教材的一个显著变化就是“向量”的引入。其目的也很明确：为空间图形，提供新的研究手段，充分体现它们的工具性。 求二面角的大小时，用平面的法向量法与其他方法相比，思想清晰而且推理简易，是一个较好的方法，是很多初学者乐于使用的方法。 但教材中对向量法求二面角大小的解释是模糊不清的，对于初学者来说，很难掌握。以下摘取了上海教育出版社发行的《高中三年级（试验本）理科》P 55中关于二面角求法的一段描述，供参考。 对于二面角来说，设它的两个半平面现所在的平面21,αα的法向量分别为 21,n n ，两个法向量的夹角为?，二面角的大小为()πθθ≤≤0。由图1，图2可以看出?θ=或?πθ-= 以上我们可以看出：一个二面角的平面角与这个二面角的两个半平面的法向 图1 图2
量21,n n 所成的角相等（?? ? arccos ）或互补（? ? ?-arccos π）。但到底是相等还是互补，在具体解题时，很多学生感到无从下手，往往任凭感觉来判断，缺乏严格的推理、证明，不严谨的求学风格也自然形成，各位同行也一定深有体会。 解决这一问题的关键在于确定法向量的确切方向。 引理：设点A 是平面α内一点，点B 是平面α外一点，n 是平面α的法向量 当0>?时，的方向指向点B 所在的一侧（如图3）； 当0?>?时，得,的方向如图5所示， 则=θ 2） 当0,0
用向量法求二面角的平面角教案
第三讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点
求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈） 向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，
二面角的计算方法精讲
图1 二面角的计算方法精讲 二面角是高中数学的主要内容之一，是每年高考数学的一个必考内容，本文主要通过一些典型的例子说明二面角的三种基本计算方法，供同学们学习参考。 一 、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知识求解之。通常作二面角 的平面角的途径有： ⑴定义法：在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发 在二面角的两个面内分别作棱的垂线； ⑵三垂线法：如图1，C 是二面角βα--AB 的面β内 的一个点，CO ⊥平面α于O ，只需作OD ⊥AB 于D ，连接CD ，用三垂线定理可证明∠CDO 就是 所求二面角的平面角。 ⑶垂面法：即在二面角的棱上取一点，过此点作平面γ，使γ垂直于二面角的棱，则γ 与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角。 例1 如图2，在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形, 平面V AD ⊥底面ABCD ． （1）证明AB ⊥平面V AD ； （2）求面V AD 与面VDB 所成的二面角的大小． 解：（1）证明： V A D A B C D A B A D A B V A D A B A B C D A D V A D A B C D ⊥? ?⊥??⊥????=? 平面平面平面平面平面平面 （2）解：取VD 的中点E ，连结AF ，BE ， ∵△V AD 是正三形，四边形ABCD 为正方形， ∴由勾股定理可知， BD VB,= == ∴AE ⊥VD ，BE ⊥VD ， ∴∠AEB 就是所求二面角的平面角. 又在Rt △ABE 中，∠BAE=90°， AB ，
因此，tan ∠AEB= .3 3 2=AE AB 即得所求二面角的大小为.33 2arctan 例2 如图3，AB ⊥平面BCD ，DC ⊥CB ，AD 与平面 BCD 成30°的角，且AB=BC. （1）求AD 与平面ABC 所成的角的大小； （2）求二面角C-AD-B 的大小； （3）若AB=2，求点B 到平面ACD 的距离。 解：(1) ∵AB ⊥平面BCD ， ∴∠ADB 就是AD 与平面BCD 所成的角,即∠ADB=300,且CD ⊥AB ， 又∵DC ⊥BC ，AB BC B = , ∴ CD ⊥平面ABC ， ∴ AD 与平面ABC 所成的角为∠DAC ， 设AB=BC=a,则AC=a 2， BD=acot300=a 3,AD=2a, a BC BD CD 222=-=, ∴ tan ∠DAC=122== a a CD AC , ∴ 0 45=∠DAC , 即，AD 与平面ABC 所成的角为450. (2)作CE ⊥BD 于E ，取AD 的中点F ，连CF ， ∵ AB ⊥面BCD ，ABD AB ?面， ∴ 面ABD ⊥面BCD ， 又∵ 面ABD 面BCD=BD ，BCD CE ?面，CE ⊥BD ， ∴ CE ⊥面ABD ， 又∵AC=BC=a 2，AF=FD ，∴AD ⊥EF ， 有三垂线定理的逆定理可知，∠CFE 就是所求二面角的平面角. 计算可知, BC CD CE BD ?=，2AD a,==1 2 CF AD a ==， ∴ CE sin CFE CF ∠= =，∴∠. 故，所求的二面角为
二面角大小的几种求法(归类总结分析)复习过程
二面角大小的几种求法 二面角大小的求法中知识的综合性较强， 方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化 为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小， 在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体 几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是， 根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选 择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。 I.寻找有棱二面角的平面角的方法 （定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法 ） 一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点） ，过该点在两个半 平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角， 这是一种最基本的方法。要注意用 二面角的平面角定义的三个 主要特征”来找出平面角。 例空间三条射线 CA 、CP 、CB ，/ PCA 二/ PCB=60。，/ ACB=90。，求二面角 B-PC-A 的大小。 解：过PC 上的点D 分别作DE 丄AC 于E , DF 丄BC 于F ,连EF. ???/ EDF 为二面角 B-PC-A 的平面角，设 CD=a ,vZ PCA= / PCB=60°, ??? CE=CF=2a , DE=DF= 3a ，又ACB=90°，二 EF=2 2a , 2 2 2 ? / EDF= 3a 3a __8^ 1 2 3a 2 3 APB= BPC= CPA=60°，求二面角 A-PB-C 的余弦值。 2.如图，已知二面角 a ap 等于120° PA 丄a A € a, PB 丄B, B €伏 求/ APB 的大小 1.在三棱锥P-ABC 中, P A
二面角大小的几种求法归类总结分析汇编
好资料学习----- 二面角大小的几种求法二面角的大小往往转化一般而言，二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，主要是利用平面几何、立体在其求解过程中，为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。) 寻找有棱二面角的平面角的方法( 定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法I. ，过该点在两个半一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点）要注意用这是一种最基本的方法。两射线所成的角就是二面角的平面角，平面内作垂直于棱的射线，来找出平面角。二面角的平面角定义的三个“主要特征”oo ACB=90的大小。，求二面角CB、CP、，∠PCA=∠PCB=60B-PC-A，∠例空间三条射线CA P D A E C αB F EF. 上的点D分别作，连BCDF⊥于FDE⊥AC于E，PC解：过0 PCB=60，B-PC-AEDF为二面角的平面角，设CD=a，∵∠PCA=∠∴∠0 DE=DF=，∴，，又∵∠ACB=90，∴CE=CF=2aEF=a22a32221a3a3?a8?EDF=∴∠?23a?32
0 A-PB-C，求二面角的余弦值。CPA=60APB=1. 在三棱锥P-ABC中， BPC= P Q M N A B C 更多精品文档． -----好资料学习的大小。β，求∠APBPB⊥β，B∈α-β等于120°， PA⊥，A∈α，а2. 如图，已知二面角α- P A
O B 的PA=AB=a，求二面角B-PC-DPA3. 在四棱锥P-ABCD中，ABCD 是正方形，⊥平面ABCD，大小。P HDAj BC 用三垂线定理或逆定理作出二面已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，二、三垂线法：角的平面角。，，∠ABC=30°⊥平面ABCD，PA=AB=a 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA 例P-BC-A的大小。求二面角BC ⊥PH，则PHAH作⊥BC于H，连结解：如图，PA⊥平面BD，过A 的平面角。是二面角P-BC-ABC
二面角的基本求法例题
C1 C1 B 二面角的基本求法例题 一、平面与平面的垂直关系 1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 例1．在空间四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，E、F、G分别是AD、DC、CA的中点。 求证：BEF BDG ^ 平面平面。 例2．AB BCD BC CD ^= 平面，，90 BCD° ?，E、F分别是AC、AD的中点。 求证：BEF ABC ^ 平面平面。 2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面。 例3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.。 二、二面角的基本求法 1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。 例4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中， 求（1）二面角 11 A B C A --的大小； （2）平面 11 A DC与平面 11 ADD A所成角的正切值。 练习：过正方形ABCD的顶点A作PA ABCD ^平面，设PA=AB=a， 求二面角B PC D --的大小。 2．三垂线法 例5．ABCD ABEF ABCD ^ 平面平面，是正方形，ABEF是矩 AF= 1 2 AD=a，G是EF的中点， （1）求证：AGC BGC ^ 平面平面； （2）求GB与平面AGC所成角的正弦值； C
C （3）求二面角B AC G --的大小。 例6．点P 在平面ABC 外，ABC 是等腰直角三角形，90ABC °?，PAB 是正三角形，PA BC ^。 （1）求证：^平面PA B 平面A BC ； （2）求二面角P AC B --的大小。 练习：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AD 的中点，求二面角1A BD P --的大小。 B1 B A 3．垂面法 例7．SA ABC AB BC SA AB BC ^^==平面，，， （1）求证：SB BC ^； （2）求二面角C SA B --的大小； （3）求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。 4．无棱二面角的处理方法 （1）找棱 例8．过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面，设PA=AB=a ， 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。 （2）射影面积法（cos s S q = 射影） 例9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是棱1AA 的中点， 求平面11PB C 与平面ABCD 所成二面角的大小。
高中立体几何中二面角经典求法
高中立体几何中二面角求法 摘要：在立体几何中，求二面角的大小是历届高考的热点，几乎每年必考，而对于求二面角方面的问题，同学们往往很难正确地找到作平面角的方法，本文对求二面角的方法作了一个总结，希望对学生有帮助。 （一）、二面角定义的回顾： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。 α β (二)、二面角的通常求法 1、由定义作出二面角的平面角； * 2、利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角； 3、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。 4、空间坐标法求二面角的大小 5、平移或延长（展）线（面）法 6、射影公式S 射影=S 斜面cos θ 7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 1、利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。 例1、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. 解: 设平面∩PAB α=OA,平面PAB ∩β=OB 。 ∵PA ⊥α, аα ∴PA ⊥а 同理PB ⊥а ∴а⊥平面PAB 又∵OA 平面PAB ∴а⊥OA 同理а⊥OB. ∴∠AOB 是二面角α-а-β的平面角. 在四边形PAOB 中, ∠AOB=120°,. O A B ) A B l P . B A
∠PAO=∠POB=90°, 所以∠APB=60° 2、 （ 3、 三垂线定理（逆定理）法 由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。 例2：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. 解：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中 由三垂线定理可得： CD CE=1, DE= 5 3、找（作）公垂面法 由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。 例5、如图，已知PA 与正方形ABCD 所在平面垂直，且AB ＝PA ，求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小。 \ 解: ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．P 又CD ⊥AD ，故CD ⊥平面PAD ． A D 而CD 平面PCD ， B C 所以 平面PCD ⊥平面PAD ． A B C D A 1 B 1 C 1 （ E O CO DE O C C ，连结，作过点⊥11DE CO ⊥的平面角 为二面角C DE C OC C --∠∴11的正方形 是边长为又2ABCD CO DE CE CD S CDE Rt CDE ?=?=??2 1 21中，在1 1=CC 又5 52tan 1= ∠∴OC C 5 52tan arg 1=∠∴OC C 5 5 2= ∴CO