概率统计实验指导书

《概率论与数理统计实验指导书》

目录

前言 (3)

实验一 MATLAB的基本使用方法 (5)

实验二概率分布(概率密度)、分布函数和上分位点的数值计算 (16)

实验三随机数的生成 (27)

实验四统计图及概率密度与分布函数作图的综合性实验 (32)

实验五逆累积分布函数——求概率表达式{X≤C}中待定参数 (44)

实验六随机变量的数字特征 (48)

实验七正态分布的综合性实验 (55)

实验八参数估计 (66)

实验九假设检验的综合性实验 (73)

附录 1 MATLAB的固有常数与常用数学函数 (82)

附录 2 MATLAB数理统计工具箱简介 (84)

附录 3 MATLAB常见问题及其解决方法………………………………………… .89

前言

概率论与数理统计是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科, 它广泛应用于社会、经济、科学等各个领域. 随着社会生产力与科学技术的发展, 这门学科的理论和应用也得到了迅速发展, 特别是计算机技术及数学软件的发展使得我们不需要过多担心统计分析, 即参数估计、假设检验、方差分析和回归分析等问题中的复杂的计算；也不需要过多担心大量的统计数据带来的计算量等问题.

当今社会是一个信息高度发达、人们的社会经济活动日益频繁的社会, 大量的信息、数据需要人们处理. 如何从这些海量的信息中提取有用的信息, 用来指导人们的社会实践活动, 越发显得必要而迫切, 从而为数理统计提供了日益广阔的舞台. 社会实践对数理统计的日益广泛而迫切的需求, 对我们的教学活动提出了这样的要求：加强数理统计的教学, 充实其内容, 为社会实践提供更好的服务. 但要将这一要求体现到数理统计的教学中颇为困难. 这是因为, 目前一般工科院校均将概率论与数理统计列为一门课程. 这样做的优越性自不待言, 它能让学生清楚地体会二者的密切关系, 将两者的思想方法融会贯通. 但弊端也由此而来, 由于将二者列为一门课, 分配给它们的课时就相对较少, 这使得教与学双方均感到这门课教学困难, 学完之后也是感到没有完全理解和掌握, 应用起来自然也感到较为困难. 如何解决这一问题, 增加课时固然是一个选择, 但在目前各门学科的课时均在压缩的大趋势下不太现实, 剩下的选择只能是向先进的教学方式要效益.

掌握数学软件的一些基础的操作, 无疑会给每一个概率统计工作者提供了极大的方便. 目前的一些概率统计新编教材也都或多或少地增加了部分数学软件内容. 在概率统计课程教学中介绍数学软件的一些相关用法已成为教学改革发展的趋势. 考虑到概率统计这门课的学时较紧, 学生的数学软件基础不尽相同, 如何在较短的时间内让学生能使用某一数学软件处理相关的概率统计问题已成为一个教改研究问题.

概率论与数理统计这门课的课时一般安排46学时, 其中概率论与数理统计部分的学时分配大致是：概率论30学时, 数理统计16学时. 现在我们要加强数理统计统计的教学, 虽然可以适当地压缩一下概率论的学时, 但概率论重要而且难学, 因而压缩的空间有限. 如何在此基础上较大幅度地充实数理统计的教学内容而又不致使教学效果受到影响甚或是提高? 引入数学工具软件MATLAB, 将大量繁重的计算任务交由MATLAB处理, 应当是一个出路.

将MA TLAB引入概率统计的教学后, 概率统计中的数据处理数值计算变得轻而易举, 使得我们可以将精力集中于讲清处理问题的思想方法, 极大地提高教学效率. 用MA TLAB 软件辅助《概率论与数理统计》课程的教学《概率统计》是研究随机现象统计规律的一门数学学科, 该课程在处理问题的思想方法上跟学生已学过的其他数学课程有着很大的差异, 学生学习时感到难以掌握, 根据多年的教学实践, 在教学过程中要注意这门课程的特殊性, 即把培养学生掌握概率统计的基本思想方法, 以及解决实际问题的能力放在首位, 而解决实际问题需要进行大量的数值计算. 为解决以上问题, 我们可以利用MA TLAB辅助教学, 在MATLAB 7．x版本中, 仅统计工具箱(Statistic Toolbox)中的函数就达200多个, 功能已足以赶超任何其他专用的统计软件. 在应用上, MA TLAB具有其它软件不可比拟的操作简单、接口方便、扩充能力强等优势.

MATLAB特点

目前的数学软件有很多, 但常用的有MA TLAB、Mathematica、Maple、Mathcad、SAS、SPSS等. 它们的功能都很强大, 但各有侧重. 其中Mathematica 的符号计算能力较强,

MATLAB的矩阵处理能力突出, 而SAS、SPSS主要侧重于数据处理与分析. 很重要的一点是它们都具有很强的统计分析能力, 并且随着软件版本的提高, 各项功能日趋完善, 操作使用也更简便.

MATLAB是MathWorks公司开发的一款以数值计算为主要特色的数学工具软件, 它所带的统计工具箱几乎囊括了诸如参数估计、假设检验、方差分析、回归分析等数理统计的所有领域, 并且统计工具箱中的命令调用格式极为简单方便, 对财务会计院系的同学来说, 掌握起来无需费多大力气. 而对机械工程院、信号与电子技术院系、计算机科学工程院系等理工科系部的同学, 通过统计工具箱初步了解MA TLAB后还可以进一步挖掘其强大的功能, 对学习其它理工类课程也极有帮助.

利用MATLAB软件辅助《概率与数理统计》教学是基于MATLAB有如下特点：

1. 操作简单易学

MATLAB的基本数据结构是矩阵, 它的表达式与数学计算中使用的形式十分相似, 便于学习和使用. 一般学生即使没有学过MATLAB, 在老师的引导下, 也可以在几个小时内就学会操作MATLAB. 另外, 计算机进入课堂的目的是辅助教学, 帮助“教师教好, 学生学好”该课程, 不应该把大量的课时花费在掌握计算机软件的使用与编程上, 应要求计算机软件是配角, 决不能让它成为课程中的主角, MA TLLAB可以达到该目的.

2. 功能强大实用

MATLAB提供了统计工具箱, 有大量的概率统计函数可直接进行计算. 每当教学中增加《概率论与数理统计》新的方法和公式时, 教师和学生无需编程就可以在该软件上实现, 简化计算过程的繁杂与查表工作. 例如：各种概率密度函数, 分布函数的计算, 求数学期望、方差和相关系数等, 直接调用这些函数即可方便地得到结果.

3. 画图方便迅速

MATLAB可方便迅速地用绘图命令plot、plot3画各种二维、三维图形, 也有专用的绘制各种统计图形的函数, 可以节省大量的时间与精力. 用MATLAB画图比教师在黑板上画图要准确, 比事先制作的多媒体课件更灵活、生动, 达到化抽象为直观的效果, 大大帮助学生理解和学习概率统计的各种方法.

4. 加快实际应用

《概率论与数理统计》的产生和发展都与实际紧密相联, 离开了实际, 这门学科就失去了意义与活力. 在教学过程中, 教师应尽可能以最新的实际例子来教学, 使堂上教学效果更加生动有趣. 而堂上教师能如此方便、快速地应用MATLAB软件就得到统计分析的结果, 会进一步增加学生学习的兴趣以及用《概率与数理统计》知识和MA TLAB软件解决实际问题的信心, 使学生达到学以致用的目的.

实验一 MATLAB的基本使用方法

一、实验问题

1. 问题背景

概率论与数理统计是研究大量随机现象统计规律的一门数学学科. 如何对现实中的随机现象进行模拟和处理数据, 成为概率论与数理统计实验课程的重要内容. 在各种数据处理软件中, MA TLAB以其功能强大、操作方便著称, 赢得了广大用户的青睐. 本实验学习MATLAB 的经常使用的操作, 掌握这些基本操作将大大提高进行实验的效率.

2. 实验目的与要求

(1) 熟练掌握MA TLAB软件的基本操作;

(2) 熟练掌握MA TLAB中数据输入的基本方法;

(3) 熟练掌握数据加、减、乘和除四则运算的基本方法;

(4) 熟练掌握函数求导数、求微分和积分运算的基本方法;

(5) 熟悉与排列、组合有关的操作命令．

二、实验操作过程

1. MATLAB 的基本操作

(1) 启动与退出

通常安装MATLAB的计算机, 在其桌面上都有MA TLAB的图标. 双击MA TLAB 图标, 就可以启动MA TLAB.也可以从“开始”菜单中启动.

启动MATLAB后, 在MA TLAB的主窗口中有几个小窗口. 最常用的窗口是：命令窗口(Command Window); 命令历史窗口(Command History); 工作空间窗口(Workspace). 见图1-1.

图1-1 MATLAB启动画面

在MATLA中, 主要的操作都在命令窗口中进行. 在命令窗口中运行过的命令存储在命令历史窗口中. 运行命令产生的结果存储在工作空间窗口中. 命令窗口是MATLAB中最重要的窗口. 命令窗口中有命令提示符“>>”, 所有的命令都在命令提示符后面输入.

对命令历史窗口中存储的命令, 可以用三种方式重新使用: ①在命令历史窗口中双击该命令; ②在命令历史窗口中, 选定命令后, 再回车, 就会重新运行该命令; ③把命令从命令历史窗口中拖拉到命令窗口中, 经过修改, 再回车.

退出MATLAB也有多种方法. 方法一, 最简单的是单击MA TLAB主窗口右上角的关闭

按钮退出MATLAB. 方法二, 也可以在命令窗口中输入：exit, 再回车. 方法三, 在命令窗口中输入：quit, 回车后就可以退出MA TLAB. 方法四, 从MATLAB主窗口左上角的File菜单中的Exit项, 也能退出MATLAB. 方法五, 单击左上角的MA TLAB图标, 选中其中的退出项, 退出MATLAB. 方法六, 用快捷键, 同时按下Alt和F4两键.

(2) MATLAB的常用命令

在MA TLAB中, 最常用的命令有：help, clc, clear.

(a) 命令help

这是MATLAB中使用最多的一个命令. 用它可以查寻命令或函数的使用方法. 比如, 要知道正弦函数sin的使用方法, 只要在命令窗口中输入：help sin, 回车即可显示出正弦函数的使用方式.

(b) 命令clc

命令clc用来清空命令窗口. 在命令窗口中输入: clc, 再回车, 即可清空命令窗口.

(c) 命令clear

命令clear用来清空工作空间窗口. 在命令窗口中输入: clear, 再回车, 就可以清空工作空间窗口.

2. 数据的输入

在MATLAB 中, 所有的数据都是按矩阵的形式处理的, 即便是一个标量, 也看作是一行一列的矩阵.

(1) 标量的输入

对于标量数据, 只要在命令窗口中直接输入即可.

例1-1 在命令窗口中输入:

a=4 % 将数值 4 赋给变量 a.

回车后显示:

a =

4

在工作空间窗口中, 可以看到变量a的图标, 在命令历史窗口可以看到已经输入的命令: a=4.

(2) 行向量的输入

(a) 直接输入: 数据放在方括号“[ ]”内，其间加逗号“,”或空格分开.

例1-2 在命令窗口中输入:

a1=[1,3,6,8] % 将行向量(1 3 6 8)赋给变量 a1.

回车后显示:

a1 =

1 3 6 8

(b) 等差数列:以确定的步长等分区间, 得到等差数列. 如果向量中的数据构成等差数列, 则可以用冒号算符来创建.

例1-3在命令窗口中输入:

a2=1:0.5:3 % 将区间[1,3]以 0.5 为步长等分, 赋给变量 a2.

回车后显示:

a2 =

1.0000 1.5000

2.0000 2.5000

3.0000

当步长为1时, 还可以省略步长.

(3) 列向量的输入

(a) 直接输入:数据放在方括号“[ ]”内，其间加分号“;”分行.

例1-4在命令窗口中输入:

b1=[1;3;6;8] % 将列向量(1 3 6 8) '赋给变量 b1.

回车后显示:

b1 =

1

3

6

8

(b) 把行向量转置成列向量: 加转置运算符号“'”.

例1-5在命令窗口中输入:

b2=[1,3,6,8]' %将行向量(1 3 6 8)转置后赋给变量 b2.

回车后显示:

b2 =

1

3

6

8

(4) 矩阵的直接输入

简单的矩阵可以直接输入. 其行间数据用逗号“,”或空格分隔，用分号“；”分行.

例1-6在命令窗口中输入:

A=[1,2,3;4,5,7]

回车后显示:

A =

1 2 3

4 5 7

注意:在MATLAB 中, 无论是向量, 还是矩阵, 直接输入的时候都是用方括号“[ ]”括了进来. 在方括号中的数据, 如果是用逗号“,”分隔的, 则数据在同一行中; 如果是用分号“；”分隔的, 则数据在不同行中.

(5) 生成矩阵的函数

在MA TLAB中, 有许多的函数可以生成矩阵, 常用的有ones, zeros, eye. 这三个函数的调用方式类似.

(a) 全1阵函数

用函数ones(n,m), 可以生成n 行m 列元素全是1 的矩阵.

例1-7在命令窗口中输入:

A1=ones(3) %生成3 行 3 列的元素都是1的矩阵.

回车后显示:

A1 = 1 1 1

1 1 1

1 1 1

(b) 全0阵函数

用函数zeros(n,m), 可以生成n 行m 列元素全是0的矩阵.

例1-8在命令窗口中输入:

A2=zeros(2,3) %生成 2行 3 列的元素都是0的矩阵.

回车后显示:

A2 = 0 0 0

0 0 0

(c) 单位阵函数

用函数eye(n, m), 可以生成n行m列单位矩阵. 它和线性代数中讲的单位矩阵(要求方阵)含义不同.

例1-9在命令窗口中输入:

A3=eye(2,3) %生成 2 行 3列的单位矩阵.

回车后显示:

A3 = 1 0 0

0 1 0

注意: MA TLAB 中的单位阵的意义更广泛, 不一定是方阵.

3. 数组加、减、乘、除四则运算及其幂、开方、指数与对数运算

(1) 数组运算

①数组与标量的四则运算

数组与标量之间的四则运算是指数组中的每个元素与标量进行加、减、乘、除运算.

例1-10对数组进行乘、除与加、减一个数的运算.

在命令窗口中输入:

x = [1 3 4; 2 6 5; 3 2 4];

a = 2*x-2

c = x/2

回车后显示:

a =

0 4 6

2 10 8

4 2 6

c =

0.5000 1.5000 2.0000

1.0000 3.0000

2.5000

1.5000 1.0000

2.0000

②数组间的四则运算

在MATLAB 中, 数组间进行四则运算时, 参与运算的数组必须具有相同的维数, 加、减、乘、除运算是按元素的方式进行的. 其中, 数组间的乘、除运算符号为“.*”, “./”或“.\”. 注意, 运算中的小点号不能少, 否则将不会按数组运算规则进行. 若没有小点号,将按矩阵的乘和求逆矩阵运算, 关于矩阵间的四则运算将在下面讨论.

例1- 11进行数组间的加、减法、乘法与除法运算.

在命令窗口中输入:

a = [1 3 4; 2 6 5; 3 2 4];

b = [2 3 1; 4 1 2; 4 5 3];

c = a+b

d= a./b %注意比较没有小点号时的 d=a/b 矩阵运算.

回车后显示:

c =

3 6 5

6 7 7

7 7 7

d=

0.5000 1.0000 4.0000

0.5000 6.0000 2.5000

0.7500 0.4000 1.3333

由于数组的除法运算有点特殊, 为了便于读者使用, 我们对数组的除法运算规则总结如下:

(a) 数组间的除法运算为参与运算的数组中对应元素相除, 结果数组与参与运算的数组大小相同.

(b) 数组与标量的除法运算为数组中的每个元素与标量相除, 结果数组与参与运算的数组大小相同.

(c) 数组的除法运算符号有两个, 即左除号“./”与右除号“.\”, 它们的关系是: a./b =

b.\a .

③数组的幂运算

在MA TLAB 中, 数组的幂运算与矩阵的幂运算完全不同. 数组的幂运算符号为“.^”(注意运算符中的小点号), 用来表示元素对元素的幂运算. 而矩阵的幂运算符号为“^”.

例1-12进行数组与数的幂运算.

在命令窗口中输入:

a = [1 3 4; 2 6 5; 3 2 4];

c = a.^2

回车后显示:

c =

1 9 16

4 36 25

9 4 16

为了便于比较, 下面列出矩阵的幂运算.

例1-13与数组幂运算比较, 进行矩阵的幂运算.

a = [1 3 4; 2 6 5; 3 2 4];

c = a^2

c =

19 29 35

29 52 58

19 29 38

例1-14进行数组与数组的幂运算.

在命令窗口中输入:

a = [1 3 4; 2, 6, 5; 3 2, 4];

b = [2 3 1; 4 1 2; 4 5 3];

c = a.^b

回车后显示:

c =

1 27 4

16 6 25

81 32 64

上面两数组的幂运算为数组中各对元素间的运算.

④数组的开方运算、指数运算与对数运算

由于在MATLAB 中, 数组的运算实质上是数组内部每个元素的运算, 因此数组的开方运算、指数运算与对数运算与标量运算完全一样, 运算函数分别为“sqrt”,“exp”,“log”等.

例1-15进行数组的开方运算.

在命令窗口中输入:

a = [1 9 4; 25 16 36];

c = sqrt(a)

回车后显示:

c =

1 3 2

5 4 6

数组的对数运算、指数运算与数组的开方运算形式完全一样.

4. 矩阵的基本运算

矩阵的基本运算包括矩阵的四则运算、矩阵与标量的运算、矩阵的幂运算、指数运算、对数运算、开方运算以及矩阵的逆运算、行列式运算等. 下面仅对矩阵的四则运算、矩阵与标量的运算进行说明.

(1) 矩阵的四则运算

矩阵的四则运算与前面讲的数组运算基本相同, 但也有一些差别. 其中, 矩阵的加、减运算与数组的加、减运算完全相同, 要求进行运算的两个矩阵的大小完全相同, 使用的运算符号也是“+”与“-”.

例1-16进行矩阵加减运算.

在命令窗口中输入:

a = [1 2; 3 5; 2 6];

b = [2 4; 1 8; 9 0];

c = a+b

回车后显示:

c =

3 6

4 13

11 6

设矩阵A是一个i×j大小的矩阵, 则要求与之相乘的矩阵B必须是一个j×k 大小的矩阵, 此时A与B矩阵才能进行相乘. 矩阵的乘法运算使用的运算符号是“*”.

例1-17进行矩阵乘法运算.

在命令窗口中输入:

a = [1 2; 3 5; 2 6];

b = [2 4 1; 8 9 0];

c = a*b %注意比较 d= b*a, 可见 a*b≠b*a.

d = b*a

回车后显示:

c =

18 22 1

46 57 3

52 62 2

d =

16 30

35 61

当然, 矩阵乘法也可以像数组乘法那样, 进行矩阵元素的相乘, 此时要求进行相乘的两矩阵大小完全相同, 用的运算符号为“.*”.

例1-18进行矩阵乘法“*”运算, 比较矩阵元素间乘法“.*”运算.

在命令窗口中输入:

a = [1 2 0; 2 5-1; 4 10 -1];

c= [1 2 4; 2 5 10; 0 -1-1];

d = c.*a %注意比较 e= a.*c, 可见 a.*c = c.*a.

e = a.*c

回车后显示:

d =

1 4 0

4 2

5 -10

0 -10 1

e=

1 4 0

4 2

5 -10

0 -10 1

在MATLAB 中, 矩阵的除法运算有两个运算符号, 分别为左除“\”与右除“/”. 矩阵的右除运算速度要慢一点, 而左除运算可以避免奇异矩阵的影响. 对于方程Ax = b, 若此方程为超定方程, 则使用除法运算符“\”与“/”可以自动找到使误差Ax-b 的平方和最小的解. 若此方程为不定方程, 则使用除法运算符“\”与“/”求得的解至多有Rank(A)(矩阵

A 的秩)个非零元素, 而且求得的解是这种类型的解中范数最小的一个.

例1-19进行矩阵除法运算: 解矩阵方程Ax= b.

在命令窗口中输入:

a =[21 34 20; 5 78 20; 21 14 17; 34 31 38];

b = [10 20 30 40] ';

x = b\a %方程 x=A -1 b, A 存在逆矩阵.

回车后显示:

x =

0.7667

1.1867

0.8767

上例的方程Ax =b 为超定情况. 注意, 结果矩阵X 是列向量形式.

例1-20进行矩阵除法运算: 解矩阵方程Ax= b.

在命令窗口中输入:

a =[21 34 20 5; 78 20 21 14; 17 34 31 38]; %A 为 3 行 4 列矩阵.

b = [10 20 30] ';

x = b\a %对于方程 Ax = b, A 不存在逆矩阵.

回车后显示:

x =

1.6286

1.1071

1.0500

上例的方程Ax =b 为不定情况. 它有三个方程、四个未知量, 理论上有无穷多解. 这里的解是使解中范数最小的一个.

(2) 矩阵与标量的四则运算

矩阵与标量间的四则运算和数组与标量间的四则运算完全相同, 即矩阵中的每个元素与标量进行加、减、乘、除四则运算. 需要说明的是, 当进行除法运算时, 标量只能做除数.

例1-21进行矩阵与标量的四则运算.

在命令窗口中输入:

b =[21 34 20; 78 20 21; 17 34 31];

c = b+2

d= b/2

回车后显示:

c =

23 36 22

80 22 23

19 36 33

d=

10.5000 17.0000 10.0000

39.0000 10.0000 10.5000

8.5000 17.0000 15.5000

5. 函数求导数、微分和积分

(1) 数值微分与符号微分

微分是高等数学中最基础的内容之一. 在MA TLAB 中, 符号微分由函数“diff”来实现. diff 函数可同时计算数值微分和符号微分. 当输入的参数是数值时, MA TLAB 能非常巧妙地对其进行数值微分; 当输入的参数是符号字符串时, MATLAB 同样能非常巧妙地对其进行符号微分. diff 函数的调用格式如下:

·diff(f) % 对findsym函数返回的独立变量求微分, f为符号表达式;

·diff(f,'a ') % 对 a 变量求微分, f为符号表达式;

·diff(f, n) % 对findsym函数返回的独立变量求n次微分, f为符号表达式;

·diff(f, 'a ',n) 或diff(f,n, 'a ') % 对变量a求n 次微分, f 为符号表达式.

例1-22对函数求一阶导数和.

在命令窗口中输入:

syms x; % syms 创建变量x.

f = sym(' (x-1)^3/(x-1) '); % sym和单引号创建变量符号表达式.

b = diff(f);

c= diff(f, '2')

回车后显示:

b=

2*x-2

c=

同样地, 函数diff也可对符号矩阵进行运算. 此时, 它是对符号矩阵中的每个元素进行微分.

例1-23对符号矩阵进行微分运算: 求矩阵函数的导数.

在命令窗口中输入:

f= sym(' [cos(x), sin(x); x^2+x+1 tan(x)] ');

b= diff(f)

回车后显示:

b =

[ -sin(x), cos(x) ]

[ 2*x+1, 1+tan(x)^2]

(2) 数值积分与符号积分

由高等数学可知, 积分比微分复杂得多, 很多情况下, 积分不一定能成功. 当在MATLAB 中进行符号积分找不到原函数时, 它将返回未经计算的命令.符号积分由函数“int”来实现. int 函数的调用格式如下表示:

·int(f) %对findsym函数返回的独立变量求不定积分, f为符号表达式;

·int(f, v) %对v 变量求不定积分, f 为符号表达式;

·int(f, a, b) %对findsym函数返回的独立变量求从a到b的定积分, f为符号表达式;

·int(f, v, a, b) %对v变量求从a到b的定积分, f为符号表达式.

例1-24计算含参变量的不定积分.

在命令窗口中输入:

syms u alpha; %syms 创建变量 u alpha.

int(sin(alpha*u), alpha) ；

回车后显示:

ans =

-1/u*cos(alpha*u)

例1-25计算不定积分.

在命令窗口中输入:

syms x

int(1/(1+x^2))

回车后显示:

ans =

actan(x)

例1-26计算不定积分.

在命令窗口中输入:

int('log(x)/exp(x^2) ')

回车后显示:

Warning: Explicit integral could not be found.

In C:\MATLAB6p5\toolbox\symbolic\@sym\int.m at line 58

ans =

int(log(x)/ exp(x^2), x)

上例中, 当找不到原函数时, 返回未经计算的函数. 与函数diff一样, 函数int也可对符号矩阵进行运算. 此时, 它是对符号矩阵中的每个元素进行积分.

例1-27对符号矩阵进行积分运算.

在命令窗口中输入:

syms t alpha;

int([exp(t), exp(alpha*t)],t)

回车后显示:

ans =

[exp(t), 1/alpha*exp(alpha*t)]

5. 概率计算中常用的函数

在古典概型中, 计算概率时, 经常要用到阶乘、组合数等, 在MATLAB中, 有相应的函数可以计算阶乘、组合.

(1) 计算阶乘

在MA TLAB中, 用函数factorial计算阶乘. 基本调用格式:

·N=factorial(n) %计算出n的阶乘, 并赋给N.

例1-28计算阶乘3!.

在命令窗口中输入:

N=factorial(3) % 计算3!, 赋给变量N.

回车后显示:

N =

6

在使用这一函数时, 要注意, 当n不超过170时, 可以正确地计算出n的阶乘; 当n超过170后, 因为超过了计算机中整数的表示范围, 所以显示为Inf(即无穷大).

(2) 双阶乘的计算

在MA TLAB没有直接计算双阶乘的函数, 但可以用连乘积函数prod来计算. 当n是偶数时, 双阶乘n!!=2*4*…*n. 计算双阶乘用N=prod(2:2:n).

例1-29计算偶数双阶乘8!!.

在命令窗口中输入:

N=prod(2:2:8) % 计算偶数双阶乘 8!!.

回车后显示:

N =

384

当n 是奇数时, 双阶乘n!!=1*3*…*n. 计算双阶乘用N=prod(1:2:n).

例1-30计算奇数双阶乘9!!.

在命令窗口中输入:

N=prod(1:2:9) %计算奇数双阶乘 9!!.

回车后显示:

N =

945

也可以用prod函数计算阶乘. 比如计算n的阶乘, 只要在命令窗口中输入: N=prod(1:n), 回车后就得到了n的阶乘. 使用这个函数也要注意n不能过大.

(3) 计算组合数

计算组合数的函数是nchoosek. 其基本调用格式是:

·N=nchoosek(n, k) % 计算从n个元素中取k个的组合数:

例1-31计算组合.

在命令窗口中输入:

N=nchoosek(7,3) % 计算组合.

回车后显示

N =

35

三、实验结论与总结

输入的每一条命令, 可以直接回车; 也可以用逗号“,”结束后, 再回车. 这两种方式回车后, 运行的结果都直接显示在命令窗口中. 如果命令的后面用分号“;”结束, 回车后的结果不会显示在命令窗口中. 在前面的各例中, 由于每一个语句输入后, 都是直接回车, 所以运行的结果显示在命令窗口中. 命令运行后, 无论是否在命令窗口中显示结果, 运行的结果, 都存储在工作空间中.

除了上面所给出的创建向量和矩阵的方法, 还有其它的方法创建向量或矩阵. 例如, 用linspace可以生成等差数列; 用logspace可以生成等比数列; 向量可以连接成更大的向量; 矩阵也可以连接成更大的矩阵, 以及一些生成特殊矩阵的函数. 矩阵通过运算也可以生成新的矩阵, 等等.

注意, 进行数组的四则运算、幂、开方等运算, 与矩阵的四则运算、幂、开方等运算有区别. 求导、微分和积分等运算更显示了MATLAB 工具的优越特点. 如果超出运算的要求范围, 求出的值为NaN, 这是MATLAB中的一个符号, 表示不是一个数(Not-a-Number).

四、实验习题

1．已知矩阵方程，其中,

求矩阵X.

2. 求复合函数和的导数.

3．求不定积分和

4. 计算定积分

实验二概率分布(概率密度)、分布函数和上分位点的数值计算

一、实验问题

1. 问题背景

在MA TLAB 中, 对常见概率分布都有相应的概率密度函数(probability density function,简记为pdf); 分布函数也叫累积分布函数(cumulative distribution function, 简记为cdf); 还有逆累积分布函数. 逆累积分布函数就是分布函数的反函数. 例如, 随机变量X在x处的分布函数值是p=F(x)=P{X≤x}; 反过来, 给定概率值p, 求出x 就是在p 点的逆累积分布函数值. 在MATLAB 中, 所有的概率密度函数都带有后缀pdf; 所有的累积分布函数都带有后缀cdf; 所有的逆累积分布函数都带有后缀inv. 常见的离散型随机变量的概率分布有: 二项分布, 泊松分布,几何分布, 超几何分布. 常见的连续型随机变量的概率分布有: 均匀分布, 指数分布, 正态分布. 还有统计函数(又叫抽样分布): t 分布, χ 2 分布, F分布.

本实验学习一些经常使用的关于概率分布的基本操作, 掌握这些基本操作将大大提高进行实验和实际应用的能力.

2. 实验目的与要求

(1) 会利用MATLAB 软件计算离散型随机变量的概率、连续型随机变量概率密度值, 以及产生离散型随机变量的概率分布(即分布律);

(2) 会利用MATLAB 软件计算分布函数值, 或计算形如事件{X≤x}的概率;

(3) 给出概率p和分布函数, 会求上α分位点, 或求解概率表达式中的待定参数.

二、实验操作过程

1. 二项分布

X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数, 事件A在一次试验中发生的概率是p, 则在n次试验中A恰好发生k次的概率为

, k=0,1, 2, …,n.

则称X 服从参数为n,p 的二项分布, 记作X~B(n, p).

(1) 计算在x处, 参数是n, p的二项分布的概率P{X=x}以及分布律

在MA TLAB中, 二项分布的分布密度函数(分布律)是binopdf, 其调用格式是:

·y=binopdf(x,n,p) %计算在x 处, 参数是n, p 的二项分布的概率.

输入参数x, n, p可以是标量、向量、矩阵. 输出参数与输入参数的形式一致. 其中输入参数中可以有一个或两个是标量, 另外的输入参数是向量或矩阵, 这时, 输出形式是向量或矩阵.

例2-1事件A在每次试验中发生的概率是0.3, 计算在10次试验中A恰好发生6次的概率.

解在命令窗口中输入:

p=binopdf(6, 10, 0.3)

回车后显示:

p =

0.0368

结果表明：参数是n=10,概率是p=0.3的二项分布在X=6处的概率为0.0368.

例2-2事件A在每次试验中发生的概率是0.3, 求在4次试验中A发生次数的概率分布.

解在命令窗口中输入:

p=binopdf(0:4,4,0.3) %0: 4产生步长为 1 的等差数列 0, 1, 2, 3, 4.

回车后显示:

p =

0.2401 0.4116 0.2646 0.0756 0.0081

计算的结果是: 参数是n=4, 概率是p=0.3的二项分布的分布律(当x=0,1,2,3,4 时).

(2) 计算在x处,参数是n,p的二项分布的分布函数值或概率P{X≤x}

二项分布的分布函数是binocdf, 其调用格式是:

·y=binocdf(x,n,p) %计算在x 处,参数是n, p的二项分布的分布函数值.

输入参数x, n, p可以是标量、向量、矩阵.输出参数与输入参数的形式一致. 其中输入参数中可以有一个或两个是标量, 另外的输入参数是向量或矩阵, 这时, 输出形式是向量或矩阵.

例2-3事件A在每次试验中发生的概率是0.3, 计算在10次试验中A至少发生6次的概率.

解在命令窗口中输入:

p=binocdf(6,10,0.3) % 比较例 2-1命令binopdf(6,10,0.3).

回车后显示:

p =

0.9894

结果表明：参数是n=10, 概率是p=0.3 的二项分布在x=6 处的分布函数值F(6)=P{X ≤6}=0.9894.

2. 泊松分布

参数是λ的泊松分布P(λ), 在X=x处的概率是

(1) 计算在x处, 参数是λ的泊松分布的概率P{X=x}以及分布律

在MA TLAB中, 泊松分布的分布密度函数是poisspdf, 其调用格式是:

·y=poisspdf(x, lambda) % 计算在x 处, 参数是lambda 的泊松分布的概率.

输入参数x,lambda 可以是标量、向量、矩阵. 输出参数与输入参数的形式一致. 其中输入参数中可以有一个是标量, 另一个输入参数是向量或矩阵, 这时, 输出形式是向量或矩阵.

例2-4设随机变量X服从参数是3的泊松分布, 求概率P{X=6}.

解在命令窗口中输入:

p=poisspdf(6,3)

回车后显示:

p =

0.0504

结果表明：参数是λ=3 的泊松分布在x=6处的概率为0.0504.

例2-5写出参数为3 的泊松分布的前6项的概率分布.

解在命令窗口中输入:

p=poisspdf(0:5,3) % 0:5 产生步长为 1的等差数列0,1,2,3,4,5.

回车后显示:

p =

0.0498 0.1494 0.2240 0.2240 0.1680 0.1008

计算的结果是, 参数为λ=3的泊松分布的前6项的概率(当x=0,1,2,3,4,5时).

(2) 计算在x处, 参数是λ的泊松分布的分布函数值或概率P{X≤x}

泊松分布的分布函数是poisscdf, 其调用格式是:

·y=poisscdf(x, lambda) %计算在x 处, 参数是lambda 的泊松分布的分布函数值.

输入参数x, lambda可以是标量、向量、矩阵. 输出参数与输入参数的形式一致. 其中输入参数中可以有一个标量, 另外一个输入参数是向量或矩阵, 这时, 输出形式是向量或矩阵.

例2-6设随机变量X服从参数是3的泊松分布, 计算概率P{X≤6}.

解在命令窗口中输入:

p=poisscdf(6,3) % 比较例 2-4命令 poisspdf(6,3).

回车后显示:

p =

0.9665

结果表明：参数是λ=3 的泊松分布在x=6 处的分布函数值F(6)=P{X≤6}=0.9665 .

3. 超几何分布

超几何分布的分布律是

(1) 计算在x处超几何分布的概率P{X=x}以及分布律

在MA TLAB中, 超几何分布的分布密度函数是hygepdf, 其调用格式是:

·y=hygepdf(x, M, K, N) % 计算在x 处超几何分布的概率.

输入参数x, M, K, N 可以是标量、向量、矩阵. 输出参数与输入参数的形式一致. 其中输入参数中可以有一个, 两个或三个是标量, 另外的输入参数是向量或矩阵, 这时, 输出形式是向量或矩阵.

例2-7如果10件产品中有7件次品, 从中任取5 件, 求其中有3 件次品的概率.

解在命令窗口中输入:

p=hygepdf(3,10,5,7)

回车后显示:

p =

0.4167

例2-8如果10件产品中有7件次品, 从中任取5件, 求其中次品数的分布律.

解在命令窗口中输入:

p=hygepdf(0:5,10,5,7)

回车后显示:

p =

0 0 0.0833 0.4167 0.4167 0.0833

计算的结果是：当x=0, 1,2, 3, 4,5 时次品数的分布律.

(2) 计算在x处超几何分布的分布函数值或概率P{X≤x}

超几何分布的分布函数是hygecdf, 其调用格式是:

·y=hygecdf(x, M, K, N) % 输入参数x,M, K, N 可以是标量、向量、矩阵.

输出参数与输入参数的形式一致. 其中输入参数中可以有一个, 两个或三个是标量, 另外的输入参数是向量或矩阵,这时, 输出形式是向量或矩阵.

例2-9 10 件产品中有7 件次品, 从中任取5 件, 求其中次品数不超过3 的概率.

解在命令窗口中输入:

p=hygecdf(3,10,5,7) % 比较例 2-7命令 hygepdf(3,10,5,7).

回车后显示:

p =

0.5000

结果表明: 从中任取5件, 其中次品数不超过3的概率F(3)=P{X≤3}=0.5.

4. 几何分布

参数是p 的几何分布, 在X=x 处的概率是

(1) 计算在x处, 参数是p的几何分布的概率P{X=x}以及分布律

在MA TLAB 中, 几何分布的分布密度函数是geopdf, 其调用格式是:

·y=geopdf(x, p) % 计算在x 处, 参数是p 的几何分布的概率.

输入参数x, p 可以是标量、向量、矩阵. 输出参数与输入参数的形式一致. 其中输入参数中可以有一个是标量, 另一个输入参数是向量或矩阵, 这时, 输出形式是向量或矩阵.

例2-10设随机变量X服从参数是0.3 的几何分布, 求X=6 时的概率.

解在命令窗口中输入:

y=geopdf(6,0.3)

回车后显示:

y =

0.0353

例2-11设随机变量X 服从参数是0.3 的几何分布, 求X=1,2,…,5 时的概率分布.

解在命令窗口中输入:

p=geopdf(1:5,0.3)

回车后显示:

p =

0.2100 0.1470 0.1029 0.0720 0.0504

计算的结果是: 当x=1,2,3,4,5 时前5项的概率, 或者说概率分布.

(2) 计算在x处,参数是p的几何分布的分布函数值或概率P{X≤x}

几何分布的分布函数是geocdf, 其调用格式是:

·y=geocdf(x, p) % 计算在x 处,参数是p 的几何分布的分布函数值.

输入参数x, p 可以是标量、向量、矩阵. 输出参数与输入参数的形式一致. 其中输入参数中可以有一个标量, 另外一个输入参数是向量或矩阵, 这时, 输出形式是向量或矩阵.

例2-12设随机变量服从参数是0.3 的几何分布, 求概率P{X≤6}.

解在命令窗口中输入:

y=geocdf(6,0.3) % 比较例 2-10 命令 geopdf(6,0.3).

回车后显示:

y =

0.9176

结果表明: 参数p=0.3 的几何分布在x=6 处的分布函数值是F(6)=P{X≤6}=0.9176.

5. 均匀分布

(1) 计算均匀分布的概率密度函数值

若连续型随机变量X的概率密度为

则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b), a, b 为分布参数, 且a

在MA TLAB中, 用函数unifpdf计算均匀分布的概率密度函数值. 其基本调用格式是: ·y=unifpdf(x, a, b) %输入参数可以是标量、向量、矩阵. 一个常数输入参数(参见例2-16), 可以扩展成与其它输入参数相同的常数向量或矩阵.

例2-13设随机变量X服从区间[2, 6]上的均匀分布, 求X=4 时的概率密度值.

解在命令窗口中输入:

y=unifpdf(4,2,6)

回车后显示:

y =

0.2500

(2) 计算均匀分布的分布函数值或概率P{X≤x}

区间(a, b)上的均匀分布的分布函数是

在MA TLAB中, 用函数unifcdf 计算均匀分布的分布函数值. 其基本调用格式是:

·y=unifcdf(x, a, b) % 输入参数可以是标量、向量、矩阵. 一个常数输入参数(参见例2-16), 可以扩展成与其它输入参数相同的常数向量或矩阵.

例2-14设随机变量X服从区间(2, 6)上的均匀分布, 求事件{X≤4}的概率.

解在命令窗口中输入:

y=unifcdf(4,2,6) % 比较例 2-13命令 unifpdf(4,2,6).

回车后显示

y =

0.5000

结果表明: 对于区间(2, 6)上的均匀分布, 在x=4处的分布函数值F(4)=P{X ≤4}=0.5000.

6. 指数分布

(1) 计算指数分布的概率密度函数值

参数为μ的指数分布的概率密度函数是:

注意许多教科书上用概率密度函数

在MA TLAB中, 用函数exppdf 计算指数分布的概率密度函数值. 其基本调用格式是: ·y=exppdf(x, mu) % 输入参数可以是标量、向量或矩阵. 一个常数输入参数,可以扩展成与另一输入参数相同的常数向量或矩阵, 见例2-16.

例2-15设随机变量X 服从参数是6 的指数分布, 求X=6 时的概率密度值.

解在命令窗口中输入:

y=exppdf(3,6)

回车后显示