心理统计学重要知识点

《心理统计学》重要知识点

第二章 统计图表

简单次数分布表的编制：Excel 数据透视表

列联表（交叉表）：两个类别变量或等级变量的交叉次数分布，Excel 数据透视表

直方图（histogram ）：直观描述连续变量分组次数分布情况，可用Excel 图表向导的柱形图来绘制

散点图（Scatter plot ）：主要用于直观描述两个连续性变量的关系状况和变化趋向。 条形图（Bar chart ）：用于直观描述称名数据、类别数据、等级数据的次数分布情况。 简单条形图：用于描述一个样组的类别（或等级）数据变量次数分布。

复式条形图：用于描述和比较两个或多个样组的类别(或等级)数据的次数分布。

圆形图（circle graph ）、饼图（pie graph ）：用于直观描述类别数据或等级数据的分布情况。 线形图（line graph ）：用于直观描述不同时期的发展成就的变化趋势；

第三章 集中量数

集中趋势和离中趋势是数据分布的两个基本特征。

集中趋势：就是数据分布中大量数据向某个数据点集中的趋势。 集中量数：描述数据分布集中趋势的统计量数。 离中趋势：是指数据分布中数据分散的程度。

差异量数：描述数据分布离中趋势（离散程度）的统计量数 常用的集中量数有：算术平均数、众数（M O ）、中位数（M d ） 1．算术平均数（简称平均数，M 、X 、Y ）：n

x X i

∑= Excel 统计函数AVERAGE

算术平均数的重要特性：

（1）一组数据的离均差（离差）总和为0，即0)(=-∑x x i

（2）如果变量X 的平均数为X ，将变量X 按照公式bx a y +=转换为Y 变量后，

那么，变量Y 的平均数X b a Y +=

2．中位数（median ，M d ）：在一组有序排列的数据中，处于中间位置的数值。中位数上下的数据出

现次数各占50%。

3．众数（mode ，M O ）：一组数据中出现次数最多的数据。 4．算术平均数、中数、众数之间的关系。

5．加权平均数：i

i

i n n n w w w x w w w w x w x w x M ∑∑=++++++=

ΛΛ212211

6．调和平均数（harmonic mean ，M H ）：一组数值倒数的平均数的倒数。

∑=

+???++=

i

n

H x

n

n x x x M 1)1

11(

1

21 Excel 统计函数HARMEAN （1）用于描述同一个体(或一组个体)不同时间段的平均学习速度、平均工作效率。 （2）用于描述不同能力水平个体的平均学习速度、平均工作效率。 7．几何平均数（geometric mean ，Mg ）是指n 个观察值连乘积的n 次方根.

（1）一组数据中少部分偏大(或偏小)，数据分布呈偏态时，几何平均数比算术平均数更能反映

数据的集中趋势。

n n g x x x M ??=Λ21 Excel 统计函数GEOMEAN

（2）用于计算平均学习进步速度、平均发展速度（平均发展倍数），即环比的几何平均数。

11

1

134

2312---=???=n n n n n g x x x x x x x x x x M Λ （n x x x 、、

、Λ21为各个时间段的成果数据） 平均增长率：1-g M

第四章 差异量数

差异量数：描述一组数据离散程度（离中趋势）的统计量数。差异量数较大，说明数据分布得比较分散，数据之间的差异较大；差异量数较小，说明数据分布的比较集中，数据间的差异较小。 差异量数还能反映平均数对一组数据的代表性。差异量数越小，平均数的代表性越好；差异量数越大，平均数的代表性越差。

常用的差异量数是标准差、方差、差异系数 标准差s ：n X X s i 2

)(∑-=

Excel 统计函数STDEVP （给定样本总体的标准偏差）

标准差s n-1：1

)(2

1--=∑-n X X s i n Excel 统计函数STDEV （给定样本的标准偏差）

方差2s ：n

X X s i 22

)(∑-=

Excel 统计函数VARP （给定样本总体的方差）

方差2

1

-n s

：1

)(22

1

--=

∑-n X X s i n Excel 统计函数VAR （给定样本的方差） 差异系数（又称变异系数、离散系数、相对标准差）：X

S

CV =

（1）用于比较不同观测工具测量结果（数据单位不同）的离散程度，例如，身高离散程度大，还

是体重离散程度大

（2）用于比较用同一观测工具测得的、均数差异较大的不同样本数据的离散程度。例如：7岁组

儿童和13组岁儿童的体重离散程度，哪个较大

标准差的重要特性：如果变量X 的标准差为X S ，将变量X 按照公式bx a y +=转换为Y 变量后，

那么，变量Y 的标准差X Y bS S =

相对位置量数：反映个体（数据）在团体中相对位置的统计量数。

主要有标准分数及其线性转换分数（Z 分数、T 分数）、百分等级(PR)、正态化标准分数等。 1．标准分数的计算与应用：S X X Z i -=

或：σ

μ

-=i X Z ， 5010+=Z T ，500100+=Z CEEB

Z 分数的特点：Z 分数的平均数为0，即0=Z μ，标准差为1，即1Z =σ T 分数的平均数50T =μ，标准差为10T =σ

CEEB 分数的平均数=___________，标准差=__________

（1）可用于比较个体各方面水平高低（横向比较，个体内差异评价）。

（2）对被试多方面的测量结果进行综合，如对高考各科成绩的综合，各分测验分数的综合。 （3）可用于对个体或样组某方面水平进行前后比较（纵向比较），判断其水平是提高了，退

步了，还是没有变化。

2．原始分数X 的百分等级的含义与计算

根据简单次数分布表计算：1005.0?+=

N

F f PR b

X 根据分组次数分布表计算：100?+?-=N

F f i L X PR b b

X

第五章 相关关系

相关关系的描述方法

（1）相关散点图：适用于直观描述两个连续性数值变量（等距数据、比率数据）之间的关系。

可用Excel 图表向导中的“XY 散点图”绘制。

（2）双向次数分布表（交叉表、列联表）：适用于描述两个等级变量(或称名变量、类别变量)

之间的关系。可用Excel 数据透视表编制列联表）。 （3）相关系数（相关关系的特征值）。

相关系数：描述两个变量相关关系的统计量数，在~之间取值，绝对值越大，越接近1，说明两个变量之间的关系程度越密切；绝对值越小，越接近0，说明两个变量的关系程度越低。 常用的相关系数： 1．积差相关：y

x i i s ns y y x x r ∑--=

))(( Excel 统计函数CORREL

适用条件：（1）X 、Y 两个变量都是连续性变量（等距数据或比率数据）；

（2）X 、Y 两个变量总体上为正态分布或接近正态分布。

2．斯皮尔曼等级相关：是一对（两列）名次变量的积差相关。对数据变量的分布形态没有要求。

（1）等级积差相关法（名次积差相关法）。

Y

X R R Y Y X X R S NS R R R R r )

)((--∑=

Excel 统计函数CORREL

公式中的R X 和R Y 是分别代表两变量中每个数据在变量中的名次。

（2）等级差数法（名次差数法）。

如果每个等级(即名次)变量中没有相同的等级名次，可用下面公式计算：

等级差数法简化公式：)

1(612

2

-∑-=N N D r R 如果等级(即名次)变量中有相同的等级名次，需用下面校正公式计算： 等级差数法校正公式：)

)((222222y x D y x r RC ∑∑?∑-∑+∑=

，2x ∑、2y ∑计算方法参见教材125页

3．肯德尔W 系数（肯德尔和谐系数）：描述多个名次变量一致性程度的统计量数。

适用于描述和分析不同评价者（如主考、阅卷者）对同一组个体（考生或答卷）评价结果（名次）的一致性程度，在心理测量与教育评价中称为评分信度。例如，5位阅卷老师对10篇论文评分排名的一致性。如果评价者给出的不是个体的水平名次，而是分数(或等第、符号），可先将其转换成名次，然后再计算W 系数。

)(121)(3222

N N K N R R W i i --=

∑∑ 校正公式：∑∑∑---=T N N K N R R W i i )(12

1)(3222

∑∑-=12)

1(2n n T 公式中：n 为每个名次变量中相同名次的数目。 4．点二列相关（point-biserial correlation ）：

用于描述一列续性变量和一列真正二分变量(或非正态二分变量)之间的相关。

真正二变量：指按某种性质或标准将个体划分为两种结果的变量，如对、错，男、女等。

pq s X X r t

q

p pb ?-=

Excel 统计函数CORREL

5．二列相关(biserial correlation)：用于描述由一个正态连续变量人为划分成的二分变量与另

外一个正态连续变量之间的相关。或者说，用于描述一正态二分变量与一正态连续变量之间的相关。

人为二分变量是指由连续变量转换而来的二分变量，例如，将测验或考试分数区分为及格和不及

格，80分以上和80分以下；按中考(或高考)成绩，将考生区分为录取、未录取。

正态二分变量如果二分变量是根据正态连续变量转换而来，那么，可称之为正态二分变量。

y

pq

s X X r t

q

p b ?

-=

y 为将正态分布面积画分为p 、q 两部分的纵线的高度。 y 的计算方法：利用Excel 统计函数计算

标准正态分布区间点函数NORMSINV(p 值) →区间点Z 值 正态分布函数NORMDIST(区间点Z 值,0,1,0) →Z 值的概率密度y 6．Φ相关（Φ系数）：)

)()()((|

|d b c a d c b a bc ad r ++++-=

Φ

用于描述两个真正二分变量的相关程度，也用于描述一个人为二分变量和真正二分变量的相关。 注意：Φ相关计算公式是由皮尔逊积差相关计算公式转换来的。因此，如果两列二分变量转换

为0、1（或1、2）的数值变量时，可以用Excel 统计函数CORREL 计算Φ系数。

第六章 概率分布

1．正态分布的特征（见教材）

2．Excel 软件中正态分布函数和正态分布区间点函数的应用

◆标准正态分布函数NORMSDIST 的应用： （1）P(Z ＜= =NORMSDIST= （2）P(Z ＞= =1-NORMSDIST= （3）P ＜X ＜= =NORMSDIST-NORMSDIST= ◆正态分布函数NORMDIST 的应用

例如：已知某次测验的分数呈正态分布，平均分为75分，标准差为10分，试计算： （1）低于80分的考生占多大比例，P(X ＜80分)= （2）80分以上的考生占多大比例，P(X ≥80分)=

（3）80分以上，低于90分的考生占多大比例，P(80≤X ＜90)= P(X ＜80分)：“=NORMDIST,75,10,1)”= P(X ≥80分)：“=1-NORMDIST,75,10,1)”=

P(80≤X＜90)：“=NORMDIST,75,10,1)-NORMDIST,75,10,1)”= ◆标准正态分布区间点函数NORMSINV 的应用

根据给定的向上累积概率P(Z

根据正态变量X 的平均数、标准差和向上累积概率P(X

例：已知某次大规模招聘考试分数呈正态分布，平均分为55分，标准差为12分。现准备录取

10%的考生进行面试，录取分数线大致是多少 P(X ＞)=，即P(X ＜)==，=NORMINV,55,12)=，

最低分数线应为70分。

3．测验分数、测评等级的正态化：

根据被试样本原始分或等级的简单次数分布表，计算各个不同分数或等级的正态标准分数 （1）计算每个不同分数X （或等级）以下累计次数F b ；

（2）计算每个不同分数X （或等级）中点以下累积比率CP ：N

F f CP b

X +=5.0 （3）利用Excel 统计函数NORMSINV ，计算CP 对应的正态Z 分数。 （4）根据需要，将正态Z 分数转为其他标准分数形式：

T 分数、CEEB 分数、托福考试分数、离差智商IQ 等，

5010+=Z T ，500100+=Z CEEB ，50070+=Z TOEFL ，10015+=Z IQ

4．偏态系数（SK ）和峰态系数（Kurt ）的计算与应用

偏态系数：Excel 统计函数SKEW ； 峰态系数：Excel 统计函数KURT 。 偏态系数SK ＝0，对称分布；SK ＞0，正偏态分布；SK ＜0，负偏态分布。

峰态系数Kurt ＝0，正态分布的峰态；Kurt ＞0，次数分布的峰度比正态分布峰度低阔；

Kurt ＜0，次数分布峰度比正态分布峰度高狭。

偏态系数和峰态系数都等于0或接近0时，变量的分布为正态分布。

5．二项分布的定义

二项分布是二项试验验结果的概率分布。进行n 次二项试验，各次试验彼此独立，每次试验时某事件出现的概率都是p ，该事件不出现的概率为q （=1-p ），则该事件出现x 次的概率分布为：

x

n x x n q p C p n x b x X P -===),,,()(。

二项分布的Excel 统计函数：BINOMDIST 6．二项分布函数BINOMDIST 的应用

对20道四选一的单项选择题，如果完全凭猜测答题，那么 （1）猜对5道题的概率是多少 （2）猜对5题以下概率是多少 （3）猜对6题以上的概率是多少

n =20，每题猜对的概率为p =

（1）猜对5道题的概率P (X =5) =BINOMDIST （5，20，，0）= （2）猜对5题以下的概率P (X ≤5) =BINOMDIST （5，20，，1）=

（3）猜对6题以上的概率P (X ≥6)=1-P (X ≤5) =1-BINOMDIST （5，20，，1）= 7．二项分布的形态：随n 、p 的变化具有不同的分布形态

（1）当p =q 时，二项分布是对称分布。 （2）当p =q ，np ≥5时，接近正态分布。

（3）当p ≠q ，np ＜5或nq ＜5时，二项分布为偏态分布。 （4）当p ≠q ，np ≥5且nq ≥5时，二项分布接近正态分布。 8．二项分布的平均数和标准差

进行n 次二项试验，每次试验时某事件出现的概率都是p ，则该事件出现次数的理论平均数(μ)、 方差(2σ)和标准差σ分别为：npq npq np ===σσμ，，2。

如果np ≥5且nq ≥5，成功事件出现结果的概率分布接近np =μ、npq =σ的正态分布。 进行投掷100枚硬币试验，如果进行无数次试验，正面向上的硬币数目会在0～100个之间变化。那么，正面向上次数的理论平均数：μ=np =100×=50，标准差为55.05.0100=??==npq σ。

20道四选一的单项选择题，如果完全凭猜测答题，那么， 猜对题数的平均数为μ=np =20×1/4=5

猜对题数的理论标准差为94.14/34/120=??==npq σ。

第七章 总体参数估计

1．常用的点估计：

总体均数μ的点估计：用样本平均数X ，Excel 统计函数为AVERAGE 总体方差σ2

的点估计：用样本标准差21-n S ，或12-?

n n

S 。 总体标准差σ的点估计：用样本标准差1-n S ，或1

-?

n n

S 。

2．总体平均数的区间估计

1．若样本均数的抽样分布为正态分布，

总体均数的置信区间为：1

96.1205.0-?±=±n S X SE Z X X 总体均数的置信区间为：158.201.0-?±=±n S X SE Z X X

2．若样本均数的抽样分布为df =n -1的t 分布，那么，

总体均数的置信区间为：12/05.02/05.0-?±=±n S t X SE t X X 总体均数的置信区间为：1

2/01.02/01.0-?

±=±n S t X SE t X X

自由度df =n -1，05.0t =，205.0t =，可用Excel 统计函数TINV 计算。 也可查教材453页t 值表

3． 总体方差与标准差的区间估计

总体方差2σ的置信区间为：

2975

.02

2

2025

.02

χσχnS nS <

<，或

2975

.021

2

2025

.021

)1()1(χσχ---<

<-n n S n S n ，

总体方差2σ的置信区间为：

2995

.02

2

2005

.02

χσχnS nS <

<，或

2995

.021

2

2005

.021

)1()1(χσχ---<

<-n n S n S n

自由度df =n -1的2χ分布右侧概率区间点的计算，也可用Excel 统计函数CHIINV 。 也可查教材475页2χ分布数值表

总体标准差σ的置信区间：取总体方差2σ置信区间上、下限的正平方根。 4．总体积差相关系数的区间估计：

（1）将样本相关系数r 转换为费舍Zr 值，转换方法：Excel 统计函数FISHER （2）计算Zr 的标准误SE Zr ：3

1-=

n SE Zr

（3）计算总体Z ρ值的1-α置信区间：Zr r SE Z Z 2α±

置信区间为：396.105.0-±=±n Z SE Z Z r Zr r 置信区间为：3

58.2201.0-±

=±n Z SE Z Z r Zr r

（4）计算总体相关系数ρ值的置信区间：将总体Z ρ值区间上、下限进行费舍逆转换，

转换方法：Excel 统计函数FISHERINV

5．总体比率（比例）的区间估计

5?5?≥≥q n p

n ，时，样本比率p ?的抽样分布渐近正态分布。 总体比率的置信区间为：n q p

p SE p

p ??96.1?96.1??±=± 总体比率的置信区间为：n

q p p SE p

p ??58.2?58.2??±=±

第八章 假设检验

在Z 检验中：双侧检验临界值：2/05.0Z = 2/01.0Z =

单侧检验临界值：05.0Z = 01.0Z =

单侧显着性概率P ：=1-NORMSDIST （ABS （Z 值）） 双侧显着性概率P ：=(1-NORMSDIST(ABS(Z 值)))*2

在t 检验中：单侧显着性概率P ：=TDIST （ABS （t 值），df ，1）

双侧显着性概率P ：=TDIST （ABS （t 值），df ，2）

1．单个样本Z 检验

主要用途：分析单个样本均数x 与已知的总体均值μ0的有无显着差异， 适用条件：（1）总体呈正态分布，总体方差2σ已知；

（2）总体是正态分布，总体方差2σ虽然未知，但样本容量30≥n ； （3）即使总体非正态分布，总体方差2σ也未知，样本容量30≥n 。

1

'00

--=

-=

n S

X Z n

X Z μσμ或：

2．单个样本t 检验

主要用途：用于分析单个样本均数x 与已知的总体均数μ0的差异，

适用条件：（1）总体呈正态分布，总体方差2σ未知，样本容量30

（2）总体非正态分布，总体方差2σ未知，样本容量30≥n 的情况下.

1

0--=

n S

X t μ 1-=n df

3．单个样本比率Z 检验

主要用途：根据一个样本的比率p ?，分析样本所代表的总体比率p 与已知比率0p 有无显着差异。

适用条件：5500≥≥nq np ，

n

p p p p Z )1(?000--=

4．两独立样本比率差异Z 检验

主要用途：根据两个独立样本的比率21??p p

-，推断两总体比率p 1、p 2有无显着差异 适用条件：两个样本相互独立，22112211????q n q n p n p

n ，，，都≥5 )

()??)(??(??21212211221121n n n n q n q n p n p

n p p

Z +++-=

5．两独立样本方差齐性检验

主要用途：根据相互独立的两个样本的方差，推断两个总体的方差是否相等或是否有显着差异。

)

1()

1(222

212112

1

2

121--=

=

--n S n n S n S S F n

n

小的大的 分子方差的自由度df=n 1-1，分母方差的自由度df=n 2-1

双侧显着性概率P 值：=FDIST （F 值，分子自由度，分母自由度）*2

6．相关样本t 检验

主要用途：

（1）根据一组被试前、后两次测评结果，推断两次测验结果的总体均数有无显着差异。 （2）根据实验组和配对对照组测评结果，推断实验组和对照组的总体均数有无显着差异。 适用条件：两个样本的数据有一一对应关系，且有可比性；两总体数据呈正态分布。

1

22122

2

121--+

-=

n S rS S S X X t 1-=n df

7．独立样本Z 检验

主要用途：根据两个独立样本的均数差异21X X -，推断两总体均数21μμ、有无显着差异。

适用条件：（1）两总体为正态分布，总体方差21σ、2

2σ已知，不管样本大小

（2）两总体非正态分布，总体方差21σ、2

2σ已知，303021≥≥n n ，时 （3）两总体非正态分布，总体方差21σ、22σ未知，303021≥≥n n ，时

总体21σ、2

2σ已知时：2

22

1

2

1

2

1n n X X Z σ

σ

+

-=

； 总体21σ、2

2σ未知时：2

221

2121n s n s X X Z +-=

8．独立样本等方差假设t 检验

主要用途：根据两个独立样本的均数差异21X X -，推断两总体均数21μμ、有无显着差异

适用条件：（1）两总体为正态分布，总体21σ、22σ未知，且21σ=2

2σ，不管样本大小

（2）两总体非正态分布，总体21σ、22σ未知，且21σ=2

2σ，303021≥≥n n ，时

两总体方差21σ、2

2σ是否相等，需要先做方差齐性检验。

注意：大多数情况下，两总体方差基本相等。

)

1

1(221212222112

1n n n n s n s n X X t +?-++-=

221-+=n n df 9．独立样本异方差假设t 检验

主要用途：根据两个独立样本的均数差异21X X -，推断两总体均数21μμ、有无显着差异

适用条件：（1）两总体为正态分布，总体21σ、22σ未知，且21σ≠2

2σ，不管样本大小

（2）两总体非正态分布，总体21σ、22σ未知，且21σ≠2

2σ，303021≥≥n n ，时

2

2212121n s n s X X t +-=

当n n n ==21时，1-=n df ；当21n n ≠时，()1

)(1)(22

121121212

22

2121

-+-+=n n s n n s n s n s

df 10．积差相关显着性t 检验

主要用途：根据一对变量的样本数据及其积差相关系数r ，推断两变量有无显着关系。 适用条件：两变量为连续性数值变量，且总上正态分布。

2

12r n r t --?

= 2-=n df

第十四章 抽样原理及方法（参见教材）