2019年四川南充中考数学试题(解析版)_最新修正版

{来源}2019年四川省南充市中考数学试卷 {适用范围:3． 九年级}

2019年四川省南充市初中学业水平考试

数学试题

考试时间：120分钟 满分：120分

{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 10小题，每小题3分，合计30分． {题目}1． （2019年南充）如果16=a ，那么a 的值为（ ）

A .6

B .61

C .-6

D .6

1

-

{答案} B

{解析}本题考查了倒数的定义，根据乘积为1的数互为倒数即可判断，1

6=16

?，因此本题选B ． {分值}3

{章节:[1-1-4-2]有理数的除法} {考点:倒数} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}2． （2019年南充）下列各式计算正确的是（ ）

A .32x x x =+

B .5

3

2)(x x = C .326x x x =÷ D .32x x x =?{答案}D

{解析}本题考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算，A .x +x 2

，无法合并，故此选项错误；B .（x 2

）3

＝x 6

，故此选项错误；C .x 6

÷x 2

＝x 4

，故此选项错误；D .x ?x 2

＝x 3

，故此选项正确.因此本题选D ．

{分值}3

{章节:[1-14-1]整式的乘法} {考点:整式加减}

{考点:同底数幂的乘法} {考点:幂的乘方}

{考点:同底数幂的除法} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}3． （2019年南充）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

{答案} C

{解析}本题考查了几何体的展开图，由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是三棱柱，因此本题选C．

{分值}3

{章节:[1-4-4]课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒}

{考点:几何体的展开图}

{类别:发现探究}

{难度:2-简单}

{题目}4．（2019年南充）在2019年南充市初中毕业升学体育与健康考试中，某校九年级（1）班体育委员对本班50名同学参加球类自选项目做了统计，制作出扇形统计图（如图），则该班选考乒乓球人数比羽毛球人数多（）

A．5人B．10人C．15人D．20人

{答案}B

{解析}本题考查了扇形统计图的应用，∵选考乒乓球人数为50×40%＝20人，选考羽毛球人数为72

=10人，∴选考乒乓球人数比羽毛球人数多20﹣10＝10人，，因此本题选B．

50

{分值}3

{章节:[1-10-1]统计调查}

{考点:扇形统计图}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}5．（2019年南充）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）

A．8B．11C．16D．17

{答案}B

{解析}本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上点到线段两端点的距离相等，由DE 垂直平分线AB，可得AE＝BE，所以△ACE的周长＝AC+EC+AE＝AC+EC+BE＝AC+BC＝11，因此本题选B．

{分值}3

{章节:[1-13-1-2]垂直平分线}

{考点:垂直平分线的性质}

{类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}6． （2019年南充）关于x 的一元一次方程2x a -2

+m ＝4的解为x ＝1，则a +m 的值为（ ）

A ．9

B ．8

C ．5

D ．4

{答案}C

{解析}本题考查了一元一次方程的定义和一元一次方程解的定义，所以a ﹣2＝1，2+m ＝4，所以a ＝3，m ＝2，所以a +m ＝3+2＝5，因此本题选C ．

{分值}3

{章节:[1-3-1-1]一元一次方程} {考点:一元一次方程的定义} {考点:方程的解} {类别:易错题} {难度:2-简单}

{题目}7． （2019年南充）如图，在半径为6的⊙O 中，点A ，B ，C 都在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）

A .6π

B .33π

C .32π

D .2π

{答案}A

{解析}本题考查了平行四边形的性质、扇形面积的计算，连接OB ，根据平行四边形的性质得到AB ＝OC ，推出△AOB 是等边三角形，得到∠AOB ＝60°，所以S △AOB ＝S △ABC ，再根据扇形的面积公式

即可求解，S 阴影＝S 扇形OAB ＝2

606360

π??＝6π，因此本题选A ．

{分值}3

{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:平行四边形边的性质} {考点:平行四边形角的性质} {考点:扇形的面积}

{考点:等边三角形的判定与性质} {类别:思想方法} {难度:3-中等难度}

{题目}8． （2019年南充）关于x 的不等式2x +a ≤1只有2个正整数解，则a 的取值范围为（ ） A ．﹣5＜a ＜﹣3 B ．﹣5≤a ＜﹣3 C ．﹣5＜a ≤﹣3 D ．﹣5≤a ≤﹣3{答案}C

{解析}本题考查了一元一次不等式(组)及应用，首先解不等式不等式可得12

a

x -≤ ，再根据不等式有两个正整数解，一定是1和2，所以1232

a

-≤

＜，解得：﹣5＜a ≤﹣3．因此本题选C ．

{章节:[1-9-2]一元一次不等式}

{考点:解一元一次不等式}

{考点:一元一次不等式的整数解}

{类别:易错题}

{难度:3-中等难度}

{题目}9．（2019年南充）如图，正方形MNCB在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB得到折痕AE，再翻折纸片，使AB与AD重合，以下结论错误的是（）

A．AB2＝

10+B

．

1

2

CD

BC

＝

C．BC2＝CD?EH D．sin∠AHD

＝

1

5

{答案}A

{解析}本题考查了矩形、正方形、菱形的性质与判定.首先证明四边形ABHD是菱形，利用勾股定理求出AB，AD，CD，EH，AH，即可判断.

解：在Rt△AEB中， AB

∵AB∥DH，BH∥AD，

∴四边形ABHD是平行四边形，∵AB＝AD，

∴四边形ABHD是菱形，

∴AD＝AB

∴CD＝AD＝AD

1，

∴

1

2

CD

BC

＝，故选项B正确，

∵BC2＝4，CD?EH

1

+1）＝4，

∴BC2＝CD?EH，故选项C正确，∵四边形ABHD是菱形，

∴∠AHD＝∠AHB，

∴sin∠AHD＝sin∠AHB＝AE AH

，因此本题选A．

{章节:[1-18-2-2]菱形} {考点:矩形的性质} {考点:菱形的性质} {考点:菱形的判定} {考点:正方形的性质} {考点:几何选择压轴} {考点:折叠问题} {类别:发现探究} {难度:4-较高难度}

{题目}10．（2019年南充）抛物线y ＝ax 2

+bx +c （a ，b ，c 是常数），a ＞0，顶点坐标为（1

2

，m ）， 给出下列结论：①若点（n ，y 1）与)223(2y n ，-在该抛物线上，当n ＜1

2

时，则y 1＜y 2；②关于x 的一元二次方程ax 2

﹣bx +c ﹣m +1＝0无实数解，那么（ ） A ．①正确，②正确

B ．①正确，②错误

C ．①错误，②正确

D ．①错误，②错误{答案}A

{解析}本题考查了二次函数图象及其性质，①根据二次函数的增减性进行判断便可；②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m ，再把m 代入一元二次方程ax 2

﹣bx +c ﹣m +1＝0的根的判别式中计算，判断其正负即可判断正误. 解：①∵顶点坐标为（

12，m ），n ＜12

， ∴点（n ，y 1）关于抛物线的对称轴x 1

2

的对称点为（1﹣n ，y 1）， ∴点（1﹣n ，y 1）与（3

22

n -，y 2）在该抛物线上， ∵（1﹣n ）﹣（

322n -）＝n ﹣1

2

＜0， ∴1﹣n ＜

3

22

n -， ∵a ＞0， ∴当x ＞

1

2

时，y 随x 的增大而增大， ∴y 1＜y 2，故①正确； ②把（

12，m ）代入y ＝ax 2

+bx +c 中，得m ＝1142

a b c ++， ∴一元二次方程ax 2

﹣bx +c ﹣m +1＝0中，△＝b 2

﹣4ac +4am ﹣4a ＝b 2

﹣4ac +4a （

11

42

a b c ++）﹣4a

＝（a +b ）2

﹣4a ＜0，

∴一元二次方程ax 2

﹣bx +c ﹣m +1＝0无实数解，故②正确； 因此本题选A ．

{分值}3

{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {考点:二次函数y ＝ax2+bx+c 的性质} {考点:抛物线与一元二次方程的关系} {类别:易错题} {难度:4-较高难度}

{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，合计18分．

{题目}11．（2019年南充）原价为a 元的书包，现按8折出售，则售价为 元.{答案}0.8a

{解析}本题考查了整式的基本概念，能根据题意列出代数式是解题的关键，因此本题答案为0.8a ． {分值}3

{章节:[1-2-1]整式} {考点:列代数式} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}12．（2019年南充）如图，以正方形ABCD 的AB 边向外作正六边形ABEFGH ，连接DH ，则∠ADH = °

{答案}15

{解析}本题考查了正方形和等腰三角形的性质，根据正方形的性质得到AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，在正六边形ABEFGH 中，求得AB ＝AH ，∠BAH ＝120°，于是得到AH ＝AD ，∠HAD ＝360°﹣90°﹣120°＝150°，根据等腰三角形的性质即可得到结论，因此本题答案为15． {分值}3

{章节:[1-13-2-1]等腰三角形} {考点:正方形的性质} {考点:等腰直角三角形} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}13．（2019年南充）计算：

=-+-x

x x 11

12 .{答案} x +1

{解析}本题考查了分式的加减运算，先化为同分母分式，利用同分母分式的减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，计算即可得到结果，因此本题答案为x +1． {分值}3

{章节:[1-15-2-2]分式的加减}

{考点:两个分式的加减} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{

则只鸡质量的中位数为 .

{答案}1.4kg

{解析}本题考查了中位数的基本概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．因此本题答案为1.4kg ． {分值}3

{章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {考点:中位数} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}15．（2019年南充）在平面直角坐标系xOy 中，点)2,3(n m A 在直线1+-=x y 上，点

),(n m B 在双曲线x

k

y =

上，则k 的取值范围为 .{答案}1

24

k ≤

且0≠k {解析}本题考查了一次函数与反比例函数图象及其应用，根据一次函数图象上点的特征求得

312m n -+=

，即可得到B （m ，31

2

m -+），根据反比例函数图象上点的特征得到k 关于m 的函数，k ＝m ?312m -+＝2

311

2624

m ??--+ ???，根据二次函数的性质即可求得k 的取值范围，注意0≠k ．因

此本题答案为1

24

k ≤且0≠k ．

{分值}3

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数与一次函数的综合} {考点:二次函数y ＝ax2+bx+c 的性质} {类别:易错题} {难度:4-较高难度}

{题目}16．（2019年南充）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB =24，BC =5.给出下列结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；②△OAB 的面积的最大值为144；③当OD 最大时，点D 的坐标为)26

26

125,262625(

.其中正确的结论是 （填写序号）.

{答案}②③

{解析}本题考查了直角三角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，①由条件可知AB＝24，则AB的中点E的运动轨迹是圆弧，最后根据弧长公式即可计算出点E所经过的路径长；②当△OAB的面积最大时，因为AB＝24，所以△OAB为等腰直角三角形，即OA＝OB，可求出最大面积为144；③当O、E、D三点共线时，OD最大，过点D作DF⊥y轴于点F，可求出OD＝25，证明△DFA∽△AOB和△DFO∽△BOA，可求出DF长，则D点坐标可求出．因此本题答案为②③．

解：∵点E为AB的中点，AB＝24，

∴OE＝1

2

AB＝12，

∴AB的中点E的运动轨迹是以点O为圆心，12为半径的一段圆弧，∵∠AOB＝90°，

∴点E经过的路径长为9012

180

π

?

＝6π，故①错误；

当△OAB的面积最大时，因为AB＝24，所以△OAB为等腰直角三角形，即OA＝OB，∵E为AB的中点，

∴OE⊥AB， OE＝1

2

AB＝12，

∴S△AOB＝1

2412

2

??＝144，故②正确；

如图，当O、E、D三点共线时，OD最大，过点D作DF⊥y轴于点F，

∵AD＝BC＝5，AE＝1

2

AB＝12，

∴DE＝13，∴OD＝DE+OE＝13+12＝25，

设DF＝x，

∴OF

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°，

∴∠DFA＝∠AOB，

∴∠DAF＝∠ABO，

∴△DFA ∽△AOB ∴

DF DA

OA AB =

， ∴

5

24

x OA =

， ∴245

x

OA =

， ∵E 为AB 的中点，∠AOB ＝90°， ∴AE ＝OE ， ∴∠AOE ＝∠OAE ， ∴△DFO ∽△BOA ， ∴

OD OF

AB OA

=

，

∴2524

5

=，

解得x

，x

舍去， ∴OF

∴D

故答案为：②③．

{分值}3

{章节:[1-18-2-1]矩形} {考点:三角形综合题}

{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:相似三角形的性质} {难度:5-高难度}

{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共9个小题，合计72分．

{题目}17．（2019年南充）计算：1

2112|32|)1(-??

? ??+--+-π

{解析}本题考查了实数的混合计算，关键在于计算要准确，不能漏掉符号．

{答案}解：原式=232)23(1+--+ ----------------------------------- 4分

=232231+--+ ------------------------------------------------------------ 5分

=31- --------------------------------------------------- 6分 {分值}6

{章节:[1-6-3]实数} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:负指数参与的运算} {考点:算术平方根} {考点:绝对值的性质} {考点:零次幂}

{题目}18．（2019年南充）如图，点O 是线段AB 的中点，OD ∥BC 且OD =BC . （1）求证：△AOD ≌△OBC ； （2）若∠ADO =35°，求∠DOC 的度数.

{解析}本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，（1）根据线段中点的定义得到AO ＝BO ，根据平行线的性质得到∠AOD ＝∠OBC ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．

{答案}解： （1）证明：∵点O 线段AB 的中点，∴AO =BO ． -------------------------------------- 1分 ∵OD ∥BC ，∴∠AOD =∠OBC ． -------------------------------------------------------------------------- 2分

在△AOD 和△OBC 中，??

?

??=∠=∠=BC OD OBC AOD BO AO ，

∴△AOD ≌△OBC （SAS ） ---------------------------------------------------- 4分 （2）解：∵△AOD ≌△OBC ，∴∠ADO =∠OCB =35°． ----------------------------------------- 5分 ∵OD ∥BC ，∴∠DOC =∠OCB =35°． ------------------------------------------------------------------ 6分 {分值}6

{章节:[1-12-2]三角形全等的判定} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{考点:全等三角形的性质}

{考点:全等三角形的判定SAS} {考点:平行线的性质与判定}

{题目}19．（2019年南充）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字-2，-1,0,2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.（1）随机抽取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为负数的概率；（2）先随机抽取卡片，其上的数字作为点A 的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A 的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点A 在直线y =2x 上的概率.

{解析}本题考查了树状图法或列表法求概率、概率公式、一次函数图象上点的坐标特征，（1

）由

概率公式即可得出结果；（2）直接利用树状图法列举出所有可能进而得出答案．

{答案}解：

（1）∵抽取的负数可能为-2，-1，∴抽取出数字为负数的概率为P =2

1

42= ---------- 2分

----------------------- 4分

∵共有16种等可能结果，其中点A 在直线y =2x 上的结果有2种 -------------------------------- 5分 ∴点A 在直线y =2x 上的概率为21

168

P '=

= ------------------------------------

6分 {分值}6

{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:一次函数的图象} {考点:两步事件放回}

{题目}20．（2019年南充）已知关于x 的一元二次方程03)12(2

2=-+-+m x m x 有实数根.（1）

求实数m 的取值范围；（2）当m =2时，方程的根为21,x x ，求代数式)24)(2(22

2

121+++x x x x 的值.

{解析}本题考查了一元二次方程的解以及一元二次方程根与系数的关系：两根之和等于b

a

-，两根之积等于

c

a

”．（1）根据△≥0，解不等式即可；（2）将m ＝2代入原方程可得：x 2+3x +1＝0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论．

{答案}解： （1）△＝（2m ﹣1）2﹣4（m 2﹣3）＝﹣4m +13， ------------------------------------ 2分 由题意知原方程有实根，∴△＝﹣4m +13≥0， --------------------------------------------------------- 3分 ∴m ≤

13

4

．-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4分 （2）当m ＝2时，方程为x 2+3x +1＝0， ------------------------------------------------------------------- 5分 ∴x 1+x 2＝﹣3，x 1x 2＝1， ------------------------------------------------------------------------------------- 6分

∵方程的根为x 1，x 2，

∴x 12+3x 1+1＝0，x 22+3x 2+1＝0， ∴（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）

＝（x 12+2x 1+x 1﹣x 1）（x 22+3x 2+x 2+2） ＝（﹣1﹣x 1）（﹣1+x 2+2） ＝（﹣1﹣x 1）（x 2+1） ＝﹣x 2﹣x 1x 2﹣1﹣x 1 ＝﹣x 2﹣x 1﹣2 ＝3﹣2

＝1． --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8分 {分值}8

{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:根的判别式} {考点:根与系数关系}

{题目}21．（2019年南充）双曲线x

k

y =

（k 为常数，且0≠k ）与直线b x y +-=2交于1

(,2)2

A m m --，(1,)

B n 两点.（1）求k 与b 的值；

（2）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，若点E 为CD 的中点，求△BOE 的面积.

{解析}本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数的图象与性质．（1）将A 、B 两点的坐标代入一次函数解析式可得b 和n 的值，则求出点B （1，﹣2），代入反比例函数解析式可求出k 的值．（2）先求出点C 、D 两点的坐标，再求出E 点坐标，则S △BOE ＝S △ODE +S △ODB ＝

()1

2

B E OD x x ?-，可求出△BOE 的面积． {答案}解：（1）∵点)2,2

1

(--m m A 在直线b x y +-=2上， ∴1

2()22

m b m --

+=-，∴b ＝﹣2 -------------------------------------------------------------------- 2分 ∴22--=x y ，∵点B （1，n ）在直线22--=x y 上，∴4212-=-?-=n ------------ 3分

∴B （1，-4），∵B （1，-4）在双曲线x

k

y =

上，∴4)4(1-=-?=k ----------------------- 4分 （2）直线22--=x y 交x 轴于C （-1,0），交y 轴于D （0，-2） --------------------------------- 5分 ∴S △COD =1|2||1|2

1=-?-? ∵点E 为CD 的中点，∴S △COE =21S △COD =2

1

-------------------------------------------------------------- 6分 ∵S △COB =

2|4||1|2

1

=-?-? -------------------------------------------------------------------------------- 7分 ∴S △BOE =S △COB -S △COE =2-2

3

21=. ----------------------------------------------- 8分

{分值}8

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:反比例函数与一次函数的综合}

{题目}22．（2019年南充）如图，在△ABC 中，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，连接CD ，∠BCD =∠A .（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若BC =5，BD =3，求点O 到CD 的距离.

{解析}本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、垂径定理、三角形的中位线的性质．（1）根据圆周角定理得到∠ADC ＝90°，得到∠A +∠ACD ＝90°，求得∠ACB ＝90°，于是得到结论；

（2）过O 作OH ⊥CD 于H ，根据相似三角形的性质得到AB ＝

25

3

，根据垂径定理得到CH ＝DH ，根据三角形的中位线的性质即可得到结论．

{答案}解：（1）证明：∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC =90°． --------------------- 1分 ∴∠A +∠ACD =90°，∵∠BCD =∠A ，∴∠BCD +∠ACD =90° ---------------------- 2分 ∴OC ⊥BC ，∵OC 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线. -------------------------- 3分

（2）解：过点O 作OE ⊥CD 于点E ，如图所示 ---------------------------------- 4分 在Rt △BCD 中，∵BC =5，BD =3，∴CD =4 --------------------------------------- 5分

∵∠ADC =∠CDB =90°，∠BCD =∠A . ∴Rt △BDC ∽Rt △CDA .∴

43==CD BD AD CD ，∴3

16

=AD

-------------------------- 6分 ∵OE ⊥CD ，∴E 为CD 的中点 ------------------------------------------------ 7分 又∵点O 是AC 的中点，∴OE =

3

8

21=AD --------------------------------------

8分 {分值}8

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {难度:4-较高难度} {类别:常考题} {考点:切线的性质} {考点:切线的判定} {考点:三角形中位线} {考点:直径所对的圆周角} {考点:垂径定理}

{题目}23．（2019年南充）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元.（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？

{解析}本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组的应用．（1）钢笔、笔记本的单价分别为x 、y 元，根据题意列方程组即可得到结论；

（2）设钢笔的单价为a 元，购买数量为b 元，支付钢笔和笔记本的总金额w 元，①当30≤b ≤50时，求得w ＝﹣0.1（b ﹣35）2+722.5，于是得到700≤w ≤722.5；②当50＜b ≤60时，求得w ＝8b +6（100﹣b ）＝2b +600，700＜w ≤720，于是得到当30≤b ≤60时，w 的最小值为700元，即可得到答案．

{答案}解：（1）设钢笔、笔记本的单价分别为x 、y 元.根据题意可得??

?=+=+70

5438

32y x y x -- 2分

解得：?

??==610y x . ------------------------------------------------------------- 4分

答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元.

（2）设钢笔单价为a 元，购买数量为b 支，支付钢笔和笔记本总金额为W 元.

①当30≤b ≤50时，131.0)30(1.010+-=--=b b a ------------------------------------------------- 5分

5.722)35(1.060071.0)100(6)131.0(22+--=++-=-++-=b b b b b b W ------------- 7分 ∵当30=b 时，W =720，当b =50时，W =700

∴当30≤b ≤50时，700≤W ≤722.5 ----------------------------------------------------------------------------- 8分 ②当50＜b ≤60时，a =8，720700,6002)100(68≤<+=-+=W b b b W ------------------- 9分 ∴当30≤b ≤60时，W 的最小值为700元

∴当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元. ---------------------------------------------------- 10分 {分值}10

{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:商品利润问题}

{考点:简单的列二元一次方程组应用题} {考点:二次函数y ＝ax2+bx+c 的性质}

{题目}24．（2019年南充）如图，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点，以DE 为边作正方形

DEFG ，DF 与BC 交于点M ，延长EM 交GF 于点H ，EF 与GB 交于点N ，连接CG .（1）求证：CD ⊥CG ；（2）若tan ∠MEN =31，求EM

MN 的值；（3）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在运动过程中，EM 的长能否为

2

1

？请说明理由.

{解析}本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．（1）由正方形的性质得出∠A ＝∠ADC ＝∠EDG ＝90°，AD ＝CD ，DE ＝DG ，即∠ADE ＝∠CDG ，由SAS 证明△ADE ≌△CDG 得出∠A ＝∠DCG ＝90°，即可得出结论；

（2）先证明△EDM ≌△GDM 得出∠DME =∠DMG ，又∠DMG =∠NMF ，得出∠DME =∠NMF ，所以△DME ∽△FMN ，得出

DM FM ME MN =，由DE ∥HF ，得出DM

FM

ED HF =

，又ED =EF ，所以EF HF ME MN =，在Rt △EFH 中，tan ∠HEF =3

1

=EF HF ，即可得出结果；

（3）设AE =x ，则BE =1-x ，CG =x ，设CM =y ，在Rt △BEM 中，2

2

2

EM BM BE =+，得出1

1+-=

x x

y ，112++=+=x x y x EM ，若2

1

=EM ，则

21112=++x x ，方程无解，即可得出结论．

{答案}解：（1）证明：在正方形ABCD ，DEFG 中， DA =DC ，DE =DG ，∠ADC =∠EDG =∠A =90° ------------------------------------ 1分

∴∠ADC -∠EDC =∠EDG -∠EDC ，即∠ADE =∠CDG ，∴△ADE ≌△CDG （SAS ） ---- 2分 ∴∠DCG =∠A =90°，∴CD ⊥CG ---------------------------------------------- 3分 （2）解：∵CD ⊥CG ，DC ⊥BC ，∴G 、C 、M 三点共线．

∵四边形DEFG 是正方形，∴DG =DE ，∠EDM =∠GDM =45°，又∵DM =DM

∴△EDM ≌△GDM ，∴∠DME =∠DMG ----------------------------------------- 4分 又∠DMG =∠NMF ，∴∠DME =∠NMF ，又∵∠EDM =∠NFM =45° ∴△DME ∽△FMN ，∴

DM

FM

ME MN =

． ----------------------------------------------------------------- 5分 又∵DE ∥HF ，∴

DM FM ED HF =，又∵ED =EF ，∴EF

HF

ME MN =

． -------------------------------- 6分 在Rt △EFH 中，tan ∠HEF =

31=EF HF ，∴3

1

=ME MN ． ---------------------------------------------- 7分 （3）设AE =x ，则BE =1-x ，CG =x ，设CM =y ，则BM =1-y ，EM =GM =x +y ------------- 8分 在Rt △BEM 中，222EM BM BE =+，∴2

2

2

)()1()1(y x y x +=-+-， 解得1

1+-=

x x

y ． ------------------------------------------------------------------------------------------------ 9分 ∴112++=+=x x y x EM ，若2

1

=EM ，则

21112=++x x ， 化简得：0122=+-x x ，△=-7＜0，∴方程无解，故EM 长不可能为2

1. ---------- 10分 {分值}10

{章节:[1-18-2-3] 正方形} {难度:5-高难度} {类别:发现探究}

{考点:全等三角形的性质}

{考点:全等三角形的判定SAS} {考点:相似三角形的性质}

{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:根的判别式} {考点:几何综合}

{题目}25．（2019年南充）如图，抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴交于点A （-1，0），点B （-3,0），且OB =OC .（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线上，且∠POB =∠ACB ，求点P 的坐标；（3）抛物线上两点M ，N ，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为m +4.点D 是抛物线上M ，N 之间的动点，过点D 作y 轴的平行线交MN 于点E .

①求DE 的最大值.②点D 关于点E 的对称点为F .当m 为何值时，四边形MDNF 为矩形？

{解析}本题考查了待定系数法求二次函数解析式、求二次函数最大值，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，二元一次方程组的解法，矩形的性质．（1）已知抛物线与x 轴两交点坐标，可设交点式y ＝a （x +1）（x +3）；由OC ＝OB ＝3得C （0，﹣3），代入交点式即求得a ＝﹣1．

（2）由∠POB ＝∠ACB 联想到构造相似三角形，因为求点P 坐标一般会作x 轴垂线PH 得Rt △POH ，故可过点A 在BC 边上作垂线AG ，构造△ACG ∽△POH ．利用点A 、B 、C 坐标求得AG 、CG 的长，由相似三角形对应边成比例推出

1

2

PH AG OH CG ==．设点P 横坐标为p ，则OH 与PH 都能用p 表示，但需按P 横纵坐标的正负性进行分类讨论．得到用p 表示OH 与PH 并代入OH ＝2PH 计算即求得p 的值，进而求点P 坐标．

（3）①用m 表示M 、N 横纵坐标，把m 当常数求直线MN 的解析式．设D 横坐标为d ，把x ＝d 代入直线MN 解析式得点E 纵坐标，D 与E 纵坐标相减即得到用m 、d 表示的DE 的长，把m 当常数，对未知数d 进行配方，即得到当d ＝m +2时，DE 取得最大值．

②由矩形MDNF 得MN ＝DF 且MN 与DF 互相平分，所以E 为MN 中点，得到点D 、E 横坐标为m +2．由①得d ＝m +2时，DE ＝4，所以MN ＝8．用两点间距离公式用m 表示MN 的长，即列得方程求m 的值．

{答案}解：（1）∵OB =OC ，B （-3,0），∴C （0，-3） --------------------------- 1分

又题意可得：???

??-==+-=+-30

390

c c b a c b a ------------------------------------------------ 2分

解得：3,4,1-=-=-=c b a .

∴342

---=x x y . --------------------------------------------------------- 3分

（2）过点A 作AG ⊥BC 于点G ，如图所示，BG =AG =AB ·sin45°=2. ------------- 4分 ∵BC =232=OB ，∴CG =BC -BG =22，∴tan ∠ACG =

2

1

=CG AG .

--------------- 5分 设P （34,2

---t t t ），过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，tan ∠POQ =tan ∠ACG =2

1. ①当P 在x 轴上方时，034,02

>---

则PQ =t OQ t t -=---,342

，tan ∠POQ =0672,2

1342

2=++=----=t t t t t OQ PQ 解得23,221-

=-=t t ，∴)4

3

,23(),1,2(21--P P . ---------------------------------- 6分 ②当点P 在第三象限时，

0692,2

1342

2=++=-++t t t y t ， 解得：4

33

9,433943--=+-=

t t ∴)8

339,4339(),8339,4339(

43+-+-+-+-P P . -------------------------- 7分 ③当点P 在第四象限时，∠POB ＞90°，而∠ACB ＜90°，∴点P 不在第四象限 故点P 坐标为),1,2(-或)43

,23(-或)8339,4339(

+-+-或)8

33

9,4339(+-+- （3）①由已知，)3)4(4)4(,4(),34,(2

2

-+-+-+---m m m N m m m M 即)3512,4(2

---+m m m N ，设直线MN 为n kx y +=

得：?????---=++---=+35

12)4(342

2

m m n m k m m n km 解得：???-+=--=34822m m n m k

故MN 为)34()8(2

-++--=m m x m y . --------------------------------------- 8分 设)34,(2---t t t D ，))34()82(,(2

-++--m m t m t E ∴DE =----)34(2t t )]34()82[(2

-++--m m t m

=[]4)2()4()2(22

2

2++--=+-++-m t m m t m t ，

当2+=m t 时，DE 最大值为4. ----------------------------------------------- 9分 ②当DE 最大时，点)198,2(2

---+m m m E 为MN 的中点.

由已知，点E 为DF 的中点，∴当DE 最大时，四边形MDNF 为平行四边形. 如果□MDNF 为矩形，则,42

2

2

DE DF MN ==故2

2

2

44)328(4?=++m ， 化简得，4

3

)4(2=

+m ，故234±-=m .

当234+

-=m 或2

3

4--时，四边形MDNF 为矩形. --------------------------- 10分 {分值}10

{章节:[1-22-1-1]二次函数} {难度:5-高难度}

{类别:高度原创}{类别:发现探究} {考点:代数综合}

{考点:二次函数与平行四边形综合} {考点:二次函数中讨论相似} {考点:二次函数的三种形式} {考点:矩形的性质}