2019考研数学二真题及答案
2019考研数学二真题及答案
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 k
x 是 同阶无穷小量，则k
=（ ）
A 、 1.
B 、2.
C 、 3.
D 、 4.
【答案】C .
【解析】因为 3tan ~3
x x x --，所以3k =，选 C .
2、曲线3sin 2cos y x x x x π
π??=+<< ??? －
２
２的拐点是（ ）
A 、,
ππ?? ???
２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ??
??? ２２.
【答案】C . 【解析】
cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或
x π=。
当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π- 是拐点。故选 C . 3、下列反常积分发散的是（ ）
A 、
x xe dx +∞
-?
. B 、 2
x xe dx +∞
-?
. C 、 2
tan 1arx x
dx x
+∞
+?
. D 、2
1x
dx x +∞
+?
. 【答案】D . 【解析】A 、
1x x x
x xe dx xde xe e dx +∞
+∞+∞
+∞----=-=-+=?
??，收敛；
B 、2
220011
22
x x xe
dx e dx +∞
+∞--==??，收敛；
C 、22
200
tan 1arctan 128
arx x dx x x π+∞
+∞==+?
，收敛； D 、22
220
00
111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞
+∞
+∞=+=+=+∞++?
?，发散，故选D 。
4、已知微分方程的x y ay by ce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次
为（ ）
A 、 1,0,1.
B 、 1,0,2.
C 、2,1,3.
D 、2,1,4. 【答案】D .
【解析】 由题设可知1r
=-是特征方程2
0r ar b ++=的二重根，即特征方程为
2(1)0r +=，
所以2,1a
b == 。又知*x y e =是方程2x y y y ce '''++=的特解，代入方程的
4c =。故选D 。
5、已知积分区域
(),2D x y x y π?
?=+≤????
，1D
I =
，
2sin D
I =??，
(31D
I dxdy =-??，则（ ）
A 、321I I I <<.
B 、 213I I I <<.
C 、123I I I <<.
D 、231I I I <<.
【答案】A .
【解析】比较积分的大小，当积分区域一致时，比较被积函数的大小即可解决问题。
由 2x y π
+≤，可得 2222x y π??+≤ ???【画图发现2x y π+≤包含在圆2
222x y π??
+= ???
的
内部】，
令u =
，则 02
u π
≤≤
，于是有 sin u u >，从
而
D
D
>??。
令()1cos sin f u u u =--，则()sin cos f u u u '=-，()04
f π
'=。()f u 在0,
4π?
?
??
?
内单调
减少， 在,42ππ??
???
单调增加，又因为(0)()02f f π==，故在
0,2π??
???
内()0f u <，即1cos sin u u -<
，从而(1D
D
dxdy >-????。综上，选A 。
6、设函数(),()f x g x 的二阶导数在x a =处连续，则2
()()
lim
0()
x a
f x
g x x a →-=-是两条曲线()y f x =，
()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的（ ）
A 、充分非必要条件.
B 、充分必要条件.
C 、必要非充分条件.
D 、既非充分也非
必要条件. 【答案】A .
【解析】充分性：利用洛必达法则，由2
()()
lim
0()x a
f x
g x x a →-=-可得
()()
lim
02()x a
f x
g x x a →''-=-及()()lim
02
x a f x g x →''''-=， 进而推出 ()()f a g a =，()()f a g a ''=，()()f a g a ''''=。由此可知两曲线在x a =处有相同切线，且由曲率公式3
22
[1()]
y K y ''=
'+可知曲线在x a =处曲率也相等，充分性得证。
必要性：由曲线()y f x =，()y g x =在x a =处相切，可得()()f a g a =，()()f a g a ''=； 由曲率相等
3
3222
2
()()[1(())]
[1(())]
f a
g a f a g a ''''=
''++，可知()()f a g a ''''=或()()f a g a ''''=-。
当()()f a g a ''''=-时，所求极限
2()()()()()()
lim
lim lim ()()2()2
x a
x a x a f x g x f x g x f x g x f a x a x a →→→''''''---''===--，而()f a ''未必等于0，因此必要性不一定成立。故选A 。
7、设A 是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有2个向量，则
*()r A =（ ）。
A 、0.
B 、 1.
C 、2.
D 、3.
【答案】A .
【解析】因为方程组0Ax =的基础解系中只有2个向量，，所以4()2r A -=，从而
()241r A =≤-，
则*
()r A =0，故选 A 。
8、设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若22A A E +=,且4A =，则二次型T
x Ax 的规范型为（ ）
A 、222123y y y ++.
B 、 222123y y y +-.
C 、222123y y y --.
D 、222123y y y ---.
【答案】C .
【解析】设λ是A 的特征值，根据22A A E +=得2
2λλ+=，解得1λ
=或2λ=-；又
因为4A =，所以A 的特征值为1，-2，-2，根据惯性定理，T
x Ax 的规范型为2
22
1
23
y y y --。故选C 。
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、2
lim(2
)x x
x x →+=
.
【答案】2
4e 。
【解析】0222
lim ln[1(21)]
lim(2)lim[1(21)]x x x x x
x
x
x
x x x x e
→++-→→+=++-=
0212lim 2(1ln 2)24x x x x
e
e e →+-+===.
10、曲线sin 1cos x t t y t
=-??
=-?在3
2t π=对应点处的切线在y 轴上的截距为 。
【答案】
322
π
+. 【解析】斜率
32
sin 11cos t dy t dx t π=
==--，切线方程为 322y x π=-++，截距为322π
+。
11、设函数()f u 可导，2()y z yf x =，则2z z
x
y x y
??+=?? 。 【答案】2y yf x ??
???
.
【解析】3222222,z y y z y y y f f f x x x y x x x ????????''=-=+ ? ? ????????? ，22z z
y x y yf x y x ????+= ?????
．
12、曲线ln cos (0)6
y x x π
=≤≤的弧长为 ．
【答案】
1
ln 32
【解析
】sec ds xdx ===
6600
1sec ln(sec tan )ln3.2
s xdx x x π
π
==+=? 13、已知函数2
1
sin ()x
t f x x dt t
=?
，则10()f x dx =? ．
【答案】
1
(cos11)4
-． 【解析】设2
1
sin ()x
t F x dt t
=
?
,则 1
1
1112
2200
000
111()()()[()]()222f x dx xF x dx F x dx x F x x dF x ===-?
???
21111
2222000011sin 111()sin cos (cos11)
22244
x x F x dx x dx x x dx x x '=-=-=-==-???.
14、已知矩阵1100211132210034A -??
?-- ?= ?-- ???，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则1112A A -= ．
【答案】4-.
【解析】由行列式展开定理得
11121
1001000111111
2111211
11210
104322131210
3
4
3
4
3
40
3
4
A A A -----------==
=
=-==----． 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、（本题满分10分）已知函数2,0()1,0
x x x
x f x xe x ?>?=?+≤??，求()f x '，并求函数()f x 的极值．
【解析】当0x >时，22ln ()x
x x f x x
e ==，2()2(ln 1)x
f x x x '=+；当0x <时，
()(1)x f x x e '=+；
22000()(0)12(ln 1)
(0)lim lim lim 1
x x x x x f x f x x x f x x ++++→→→---'====-∞，即()f x 在0x =处不
可导．
综合上述：22(ln 1),0
()(1),0
x
x
x x x f x x e x ?+>?'=?+
令()0f x '=得驻点121
1,x x e
=-=
；0x =是函数()f x 的不可导点。 当1x <-时，()0f x '<；当10x -<<时，()0f x '>；当1
0x e
<<时，()0f x '<；
当1x e >时，()0f x '>；故11x =-是函数的极小值点，极小值为1
(1)1f e --=-；21x e
=
是函数的极小值点，极小值为2
1
()e f e e
-=；函数()f x 在0x =处连续且有极大值(0)1f =．
16、（本题满分10分）求不定积分
2236
(1)(1)x dx x x x +-++?．
【解析】设
2222
36(1)(1)1(1)1
x A B Cx D
x x x x x x x ++=++-++--++ （1）两边同乘以2
(1)x -且令1x =，可得3B =； （2）两边同乘以x 且令x →∞，可得0A C
+=；
（3）两边分别令
0x =，1x =-，可得
6
324
4A B D A B C D -++=??
?-+-+=??；解得
2,2,1A C D =-==。
则
2222362321
(1)(1)1(1)1
x x x x x x x x x ++=-++-++--++，于是
2222362321(1)(1)1(1)
1x x dx dx x x x x x x x ??
++=-++ ?-++--++????
2223(1)3
2ln 12ln 1ln(1)111
d x x x x x x C x x x x ++=---+=---++++-++-?。
17、（本题满分10分）设函数()y x
是微分方程2
2
x y xy e '-=
满足条件(1)y =解．
（1）求()y x 的表达式；（2）设平面区域{(,)|12,0()}D x y x y y x =≤≤≤≤，求D 绕x 轴旋转
一周所形成的旋转体的体积． 【解析】（1）方程为一阶线性非齐次微分方程．由通解公式可得
2
22()2
2
2
()()())x x x xdx
x dx
y x e e e dx C e C e C -??
=+=+=g ，
把初始条件(1)y =
0C =，从而得到
22
().x y x =
（2）旋转体的体积为2
2
2
241
1
()()2
x x V y x dx xe dx e e π
ππ===
-?
?．
18、（本题满分10分）
设平面区域2234{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤
，计算二重积分
D
．
【解析】显然积分区域D 关于y 轴对称，由对称性可得
0D
=；
将2
23
4
()x y y +≤化为极坐标，有 20sin r
θ≤≤，于是
23sin 4
4
sin D
D
d r dr πθ
πθθ==??
335
22444411sin (1cos )cos 22120
d d ππππθθθθ==--=
??. 19、（本题满分10分）设n 是正整数，记n S 为曲线sin (0)x
y e x x n π-=≤≤与x 轴所形
成图形的面积，求n S ，并求lim .n n S →∞
【解析】当
()2,(21)x k k ππ∈+时，sin 0x >；当()(21),(22)x k k ππ∈++时，
sin 0x <，故曲线sin (0)x y e x x n π-=≤≤与x 轴之间图形的面积应表示为
(1)0
sin sin n
n k x
x n k k S e
xdx e xdx π
π
π
+--===∑??
，
先计算(1)sin k x k
k b e xdx π
π
+-=?
， 作变量替换 u x k π=-，
于是有 ()
sin()u k k
b e
u k du π
ππ-+=+?0
sin k u e
e u du π
π
--=?
()0
1sin [sin cos ]
2k u k u e e udu e e u u π
π
ππ
----==-+?
1
2
k e e
ππ
--+=g .
所
以
00(1)(1)(1)(1)(1)
22(1)2(1)k n n n
n
n k k k e e e e e e S b e e ππππππππ
------==++-+-====--∑∑， 因此 (1)(1)1
lim lim 2(1)2(1)
n n n n e e e S e e πππππ-→∞→∞+-+==--。 20、（本题满分11分）已知函数(,)u x y 满足关系式222222330u u u u
x y x y
????-++=????．求,a b
的值，使得在变换(,)(,)ax by
u x y v x y e +=之下，上述等式可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏
导数的等式．
【解析】在变换(,)(,)ax by
u x y v x y e
+=之下
(,)ax by
ax by u v e av x y e x x
++??=+??，
(,),ax by ax by u v e bv x y e y y ++??=+?? 222222(,)ax by ax by ax by
u v v e a e a v x y e x x x
+++???=++???， 222222(,)ax by ax by ax by
u v v e b e b v x y e y y y
+++???=++???； 把上述式子代入关系式2222223
30u u u u
x y x y
????-++=????，得到 22222222(43)(34)(223)(,)0v v v v
a b a b b v x y x y x y
????-+++-+-+=????
根据要求，显然当33
,44
a b =-
=时，可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式． 21、（本题满分11分）已知函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且(0)0,(1)1f f ==，
1
()1f x dx =?
，证明：（1）至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=；（2）至少存在一点
(0,1)η∈，使得()2f η''<-．
证明：（1）令0
()()x
x f t dt Φ=
?
，则1
(0)0,(1)()1f x dx Φ=Φ==?，
则由于()f x 在[]0,1连续，则()x Φ在[]0,1上可导，且()()x f x 'Φ=，则由拉格朗日中值定理，至少存在一点1(0,1)ξ∈，使得1()(1)(0)1ξ'Φ=Φ-Φ=，即1()1f ξ=；又因为
(1)1f =，对()f x 在[]1,1ξ上用罗尔定理 ，则至少存在一点1(,1)(0,1)ξξ∈?，使得()0f ξ'=；
（2）令2
()()F x f x x
=+，显然 ()F x 在
[]
0,1具有二阶导数，且
211(0)0,(1)2,()1F F F ξξ===+．
对()F x 分别在[][]110,,,1ξξ上用拉格朗日中值定理，
至少存在一点11(0,)ηξ∈，使得2111111
()(0)11
()10F F F ξξηξξξ-+'===+-；
至少存在一点21(,1)ηξ∈，使得1211()(1)
()11
F F F ξηξξ-'==+-；
对()()2F x f x x ''=-在
[]12,ηη上用拉格朗日中值定理，则至少存在一点
12(,)(0,1)ηηη∈?，
使得211
2121
1
1()()()0F F F ηηξηηηηη-''-''=
=<--，又因为()()2F f ηη''''=+，故()2f η''<-．
22．（本题满分11分）已知向量组Ⅰ：12321111,0,2443a ααα??????
? ? ?
=== ? ? ? ? ? ?+??????
；
向量组Ⅱ：12321011,2,3313a a a βββ?????? ? ? ?
=== ? ? ? ? ? ?+-+??????
．若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价，求常
数a 的值，并将3β用123,,ααα线性表示．
【解析】向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价的充分必要条件是
123123123123(,,)(,,)(,,;,,)r r r αααβββαααβββ==
123123222211
1101111101(,,;,,)102123011022443313001111a a a a a a a a αααβββ???? ? ?
=→- ? ?
? ?++-+----????
（1）当1a =时，显然， 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===，两个向量组等价．
此时，123311111023(,,;)0112011200000000αααβ???? ? ?→-→-- ? ? ? ?????
， 方程组112233x x x αααβ++=的通解为123231210x x x k x -??????
? ? ?
==+- ? ? ? ? ? ???????
，也就是
3123(23)(2)k k k βααα=-++-+，其中k 为任意常数；
（2）当1a ≠时，继续进行初等行变换如下：
1231232211
1101111101(,,;,,)011022011022001111001111a a a a a a αααβββ???? ? ?
→-→- ? ?
? ?----+-+????
显然，当1a ≠-且1a ≠时，123123123(,,)(,,;,,)3r r ααααααβββ==，
同时()123101101101,,02
202201111101001a a a βββ?????? ? ? ?
→→→ ? ? ? ? ? ?-+-+??????
，123(,,)3r βββ=，也就是
123123123123(,,)(,,)(,,;,,)3r r r αααβββαααβββ===，两个向量组等价．
这时，3β可由123,,ααα线性表示，表示法唯一：3123βααα=-+．
（3）当=1a -时，()123123111101,,,,,011022000220αααβββ????→-????-??
,此时两个向量组不等价.
综上所述，综上所述，当向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价时，1a ≠-。
23、（本题满分11分）已知矩阵2212
2002A x --?? ?=- ? ?
-??
与 21001000B y ??
?
=- ? ??? 相似， （I ）求,x y ；（II ）求可逆矩阵P ，使得 1
P
AP B -=.
【解析】（I ）由于A 与B 相似，根据矩阵相似必要条件，有 ()()
A B
tr A tr B ?=??
=??
， 即2(24)22221x y
x y
--+=-??
-+-=-+?，解得 3,2x y ==-。
（II ）矩阵B 是上三角矩阵，易得B 的特征值为2,1,2--。又因为A 与B 相似，所以A 的特征值也是2,1,2--。 对于矩阵
A ：解方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==，可得属于特征值
12,λ=21,λ=-32λ=-的线性无关的特征向量为：1(1,2,0)T α=-，2(2,1,0)T α=-，
3(1,2,4)T α=-
对于矩阵
B
：解方程组()0(1,2,3)i E B x i λ-==，可得属于特征值
12,λ=21,λ=-32λ=-的线性无关的特征向量为：1(1,0,0)T β=，2(1,3,0)T β=-，
3(0,0,1)T β=
令1
123(,,)P ααα=， 2123(,,)P βββ=，则有
11
1122212P AP P BP --??
?=-= ?
?-??
， 即 112112P P APP B --=， 令 1
1
12121110111212030212004001004P PP -----?????? ??? ?==--=-- ??? ? ??? ???????
，
则有 1
P AP B -=，证毕。
2019年考研数学二考试题完整版
2019考研数学二考试真题（完整版） 来源：文都教育 一、选择题1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.当x →0时，tan k x x x -与同阶，求k （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.sin 2cos y x x x =+3(,)22x ππ? ?∈-???? 的拐点坐标 A.2,22π?? ??? B.()0,2 C.(),2π- D.33(,)22 ππ- 3.下列反常积分收敛的是 A. 0x xe dx +∞-? B. 20x xe dx +∞-? C.20tan 1arc x dx x +∞ +? D.201x dx x +∞+? 4.已知微分方程x y ay by ce '''++=的通解为12()x x y C C x e e =++，则a 、b 、c 依次为 A. 1，0，1 B. 1，0，2 C. 2，1，3 D. 2，1，4 5.已知积分区域{(,)|||||}2D x y x y π =+≤， 222222123d ,d ,(1)d d D D D I x y x y I x y x y I x y x y =+=+=-+????，试比较123,,I I I 的大
小 A.321I I I << B.123I I I << C.213I I I << D.231I I I << 6.已知(),()f x g x 二阶导数且在x =a 处连续，请问f (x ), g (x )相切于a 且曲率相等是 2 ()()lim 0()x a f x g x x a →-=-的什么条件？ A.充分非必要条件. B.充分必要条件. C.必要非充分条件. D.既非充分又非必要条件. 7.设A 是四阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，若线性方程Ax =0的基础解系中只有2个向量，则A *的秩是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 8.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若22.A A E +=且4A =，则二次型T x Ax 规范形为 A.222123y y y ++ B.222123y y y +- C.222123y y y -- D.222123y y y --- 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 9.()20lim 2x x x x →+= . 10.曲线sin 1cos x t t y t =-??=-?在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距为 . 11.设函数()f u 可导，2()y z yf x =，则2z z x y x y ??+=?? . 12.设函数lncos (0)6 y x x π =≤≤的弧长为 .
考研数学二考试题(2019年)
x 2 2 2 ? +∞ - x +∞ - x 2 考研精品资料 考研数学 考试真题（2019最新） 一、选择题 1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.当 x →0 时， x - tan x 与x k 同阶，求 k （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 ? π 3 ? A. y = x sin x + 2cos x ??x ∈(- 2 , 2 π )?? 的拐点坐标 A. ? π , 2 ? ? ? B. (0, 2) C. (π , -2) D. ( 3 π , - 3 π ) 2 2 3.下列反常积分收敛的是 ? ?0 xe dx ? ?0 xe dx ? +∞ arc tan x dx ?0 1+ x 2 ? +∞ x dx ? 0 1+ x 2 4.已知微分方程 y ' + ay ' + by = ce x 的通解为 y = (C A. C x )e x + e x ，则 a 、b 、c 依次为 A. 1，0，1 B. 1，0，2 C. 2，1，3 D. 2，1，4 5.已知积分区域 D ={(x , y ) || x | + | y |≤ 1 2 π }， 2 I 1 = ?? x d y , I 2 = ??sin x d y , I 3 = ??(1- cos x 2 + y 2 ) d x d y ，试比较 I , I , I 的大 1 2 3 D D D x 2
( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ? 小 + I 3 < I 2 < I 1 + I 1 < I 2 < I 3 + I 2 < I 1 < I 3 + I 2 < I 3 < I 1 6.已知 f (x ), g (x ) 二阶导数且在 x =a 处连续，请问 f (x ), g (x )相切于 a 且曲率相等是 lim f (x ) - g (x ) = 0 的什么条件？ x →a (x - a )2 A.充分非必要条件. B.充分必要条件. C.必要非充分条件. D.既非充分又非必要条件. 7.设 A 是四阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若线性方程 Ax =0 的基础解系中只有 2 个向量，则 A *的秩是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 8.设 A 是 3 阶实对称矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，若 A 2 + A = 2E . 且 A = 4 ，则二次型 x T Ax 规范形为 2. y 2 + y 2 + y 2 3. y 2 + y 2 - y 2 4. y 2 - y 2 - y 2 D. - y 2 - y 2 - y 2 二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 2 9. lim x + 2x x = . x →0 ?x = t - sin t 3 10.曲线? y = 1- cos t 在t = 2 π 对应点处切线在 y 轴上的截距为 . f (u ) y 2 2x ?z + y ?z = 11.设函数 可导， z = yf ( ) ，则 . x ?x ?y π 12.设函数 y = l n c os x (0 ≤x ≤ ) 的弧长为 . 6
2017-2019年(近三年)3套考研数学一真题
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的 （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则 (A)12ab = (B)1 2 ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则 (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <- （3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（） (A)12 (B)6 (C)4 (D)2 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则 (A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t > () s （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) T E αα-不可逆 (B) T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆 (D)2T E αα-不可逆
（6）已知矩阵200021001A ????=?????? 210020001B ????=??????100020002C ????=?????? ，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似 （7）设,A B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<,则() () P A B P A B >的充分必要条件是（） A.() () P B A P B A > B () () P B A P B A < C. () ( ) P P B A B A > D. () ( ) P P B A B A < （8）设12,......(2)n X X X n ≥来自总体 (,1)N μ的简单随机样本，记1 1n i i X X n ==∑ 则下列结论中不正确的是： (A) 2 ()i X μ∑-服从2 χ分布 (B) 2 12()n X X -服从2 χ分布 (C) 21 ()n i i X X =-∑服从2χ分布 (D) 2 ()n X μ- 服从2 χ分布 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。 （9） 已知函数 21 ()1f x x = + ,则(3) (0)f =__________ （10）微分方程230y y y '''++=的通解为y =__________ （11）若曲线积分 22dy 1L xdx ay x y -+-?在区域(){} 2 2D ,1x y x y =+<内与路径无关，则a = （12）幂级数 () 1 11 1n n n nx ∞ --=-∑在区间（-1,1）内的和函数()S x = （13）设矩阵101112011A ?? ??=?????? ，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组
2019年考研数学二真题
5 2019年考研数学二真题 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．曲线3sin 2cos ()2 2 y x x x x π π =+- << 的拐点是（ ） （A ）(0,2) （B ）(,2)π- （C ）(,)22ππ - （D ）33(,)22 ππ - 3．下列反常积分发散的是 （ ） （A ） x xe dx +∞ -? （B ）2 x xe dx +∞ -? (C ）20 arctan 1x dx x +∞ +? （D ）201x dx x +∞+? 4．已知微分方程x y ay by ce '''++=的通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ） （A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 5．已知平面区域{(,)|}2 D x y x y π =+≤ ， 记1D I = ，2D I =?? ， 3(1D I dxdy =-?? ，则 （ ） （A ）321I I I << （B ）213I I I << （C ）123I I I << （D ）231I I I << 6．设函数(),()f x g x 的二阶导函数在x a =处连续，则2 ()() lim 0() x a f x g x x a →-=-是两条曲线()y f x =，()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）充分必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 7． 设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 8．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若2 2A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ） （A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222 123y y y --- 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．( ) 20 lim 2 x x x x →+= ．
2019年考研数学二真题及答案解析
2019年研究生统一入学考试数学（二） 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1.当 时，若 与是同阶无穷小，则k=（ ）。A.1 B.2 C.3 D.4 2.设函数的拐点（ ）。 A. B.C. D 3. 下列反常积分发散的是（ ）。A.B. C. D.4.已知微分方程 的通解为 ，则、、、依次序为（ ）。A.1，0，1 B.1，0，2 C.2，1，3 D.2，1，4 5.已知区域 ，，， ，试比较 的大小（ ）。A.B. C. D.C C D D A
6. 已知是二阶可导且在 处连续，请问 相切于 且曲率相等是 的什么条件？ A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.即非充分又非必要条件 7.设A是四阶矩阵， 是A的伴随矩阵，若线性方程组 的基础解系中只有2个向量，则的秩是（ ）。 A.0 B.1 C.2 D.3 8.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵。若 ，且 ，则 规范形为（ ）。 A. B.C. D. 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. 9. 。10 . 曲线 在 对应点处切线在y轴上的截距 。11 .设函数 可导，，则。 12.已知函数的弧长为。 13.已知函数，则。 14.已知矩阵，表示中元的代数余子式，则。 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本题为多选，计算步骤符合采分点即可得分。 15.已知求，并求的极值。 当x>0时， 当x<0时， A A C
2019年考研数学三真题及解析
2006年考研数学（三）真题 一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '= ,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则 {}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121 ,,,,2 x n f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样 本，其样本方差为2S ，则2____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <
2019年考研数学二真题及答案
考研数学二真题及答案 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的. 1 若1) (lim 2 12 =++→x x x bx ax e ,则（ ） A 1,21-== b a B 1,21 -=-=b a C 1,21==b a D 1,2 1 =-=b a 2下列函数中不可导的是（ ） A. )sin()(x x x f = B.)sin()(x x x f = C. x x f cos )(= D.) cos()(x x f = 3设函数?? ? ??≥-<<--≤-=???≥<-=0 011 ,2)(0,10,1)(x b x x x x ax x g x x x f 若) ()(x g x f +在R 上连续，则（ ） A 1 ,3==b a B 2 ,3==b a C 1 ,3=-=b a D 2 ,3=-=b a 4 设函数 ) (x f 在 ] 1,0[上二阶可导，且 )(1 =? dx x f 则 （ ） A 当0 )(<'x f 时，0)21(
2019年考研数学二真题及全面解析(Word版)
2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版） 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题 目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 k x 是 同阶无穷小量，则k =（ ） A 、 1. B 、2. C 、 3. D 、 4. 【答案】C . 【解析】因为 3tan ~3 x x x --，所以3k =，选 C . 2、曲线3sin 2cos y x x x x π π??=+<< ??? － ２２的拐点是（ ） A 、, ππ?? ??? ２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ?? ??? ２２. 【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '= - ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。 当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π- 是拐点。故选 C . 3、下列反常积分发散的是（ ） A 、0 x xe dx +∞ -? . B 、 2 x xe dx +∞ -? . C 、 20 tan 1arx x dx x +∞ +? . D 、201x dx x +∞+?. 【答案】D . 【解析】A 、 1x x x x xe dx xde xe e dx +∞ +∞ +∞ +∞ ----=-=-+=? ??，收敛； B 、2 220011 22 x x xe dx e dx +∞ +∞--==??，收敛； C 、22 200 tan 1arctan 128 arx x dx x x π+∞ +∞==+? ，收敛； D 、22 220 00 111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞ +∞ +∞=+=+=+∞++? ?，发散，故选D 。
2019年考研数学一真题与解析
2019年考研数学一真题解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ） 【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331 tan ()3 x x x o x -=-+，所以3k =． 2．设函数,0()ln ,0 x x x f x x x x ?≤? =? >??，则0x =是()f x 的（ ） （A ）可导点，极值点 （B ）不可导的点，极值点 （C ）可导点，非极值点 （D ）不可导点，非极值点 【答案】（B ） 【详解】（1）0 1 ln (00)lim ln lim 0,(00)lim 0,(0)01 x x x x f x x f x x f x ++ - →→→-+===-===，所以函数在0x =处连续；（2）0ln (0)lim x x x f x + +→'==-∞，所以函数在0x =处不可导； （3）当0x <时，2(),()20f x x f x x '=-=->，函数单调递增；当1 0x e <<时，()1ln 0f x x '=+<，函数单调减少，所 以函数在0x =取得极大值． 3．设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ） （A ）1n n u n ∞ =∑ （B ）11(1)n n n u ∞=-∑ (C ）111n n n u u ∞=+??- ?? ?∑ （D ）22 11()n n n u u ∞+=-∑ 【答案】（D ） 【详解】设{}n u 是单调增加的有界数列，由单调有界定理知lim n n u →∞ 存在，记为lim n n u u →∞ =；又设n ?，满足 n u M ≤，则221111()()2()n n n n n n n n u u u u u u M u u ++++-=+-≤-，且22 10n n u u +-≥，则对于正项对于级数 2 211 ()n n n u u ∞ +=-∑，前n 项和： 2 21 11111 1 ()2()2()22n n n k k k k n n k k S u u M u u M u u Mu Mu ++++===-≤-=-≤→∑∑ 也就是 2211 ()n n n u u ∞ +=-∑收敛．
2019考研数学二真题及答案
2019考研数学二真题及答案 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个 选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 k x 是 同阶无穷小量，则k =（ ） A 、 1. B 、2. C 、 3. D 、 4. 选：C . 点拨：因为 3 tan ~3 x x x --，所以3k =，选 C . 2、曲线3sin 2cos y x x x x π π? ? =+<< ??? －２ ２的拐点是（ ） A 、, ππ?? ??? ２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ?? ??? ２２. 选：C . 点拨：cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。 当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π- 是拐点。故选 C . 3、下列反常积分发散的是（ ） A 、0 x xe dx +∞ -? . B 、 2 x xe dx +∞ -? . C 、 2 tan 1arx x dx x +∞ +? . D 、
2 1x dx x +∞ +? . 选：D . 点拨：A 、0000 1x x x x xe dx xde xe e dx +∞+∞+∞ +∞----=-=-+=???，收敛； B 、2 220011 22 x x xe dx e dx +∞ +∞--==??，收敛； C 、22 200 tan 1arctan 128 arx x dx x x π+∞ +∞==+? ，收敛； D 、22220 00 111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞ +∞ +∞=+=+=+∞++? ?，发散，故选D 。 4、已知微分方程的x y ay by ce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则 ,,a b c 依次为（ ） A 、 1,0,1. B 、 1,0,2. C 、2,1,3. D 、 2,1,4. 选：D. 点拨： 由题设可知1r =-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=， 所以2,1a b == 。又知*x y e =是方程2x y y y ce '''++=的特解，代入方程的4c =。故选D 。 5、已知积分区域(),2 D x y x y π?? =+≤??? ? ，1D I = ，2sin D I =??，
2019年考研数学二真题与解析
2019年考研数学二真题解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ） 【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331 tan ()3x x x o x -=-+，所以3k =． 2．曲线3sin 2cos ()22 y x x x x ππ =+-<<的拐点是（ ） （A ）(0,2) （B ）(,2)π- （C ）(,)22ππ- （D ）33(,)22 ππ - 【答案】（D ） 【详解】sin 2cos y x x x =+，cos sin y x x x '=-，sin y x x ''=-，sin cos y x x x '''=--； 令sin 0y x x ''=-=得120,x x π==，且()0f π'''≠，所以(,2)π-是曲线的拐点； 而对于点(0,0)，由于(0)0f '''=，而(4) (0)0f ≠，所以不是曲线的拐点． 3．下列反常积分发散的是 （ ） （A ） x xe dx +∞ -? （B ）2 x xe dx +∞ -? (C ）20 arctan 1x dx x +∞ +? （D ）201x dx x +∞+? 【答案】（D ） 【详解】（1）当x →+∞时，2()1x f x x =+是关于1 x 的一阶无穷小，当然201x dx x +∞+?发散； （2）用定义： 2020 1ln(1)|12x dx x x +∞ +∞ =+=+∞+? ，当然201x dx x +∞+?发散． 4．已知微分方程x y ay by ce '''++=的通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ） （A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 【答案】（D ） 【详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出121r r ==-是特征方程20r ar b ++=的实根，从而确定 2,1a b ==； （2）显然，*x y e =是非齐次方程的特解，代入原方程确定4c =． 5．已知平面区域{(,)|}2 D x y x y π =+≤ ，记1D I =，2D I =??，
2020考研数学一真题参考2019年
? u 1 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求 的 （1） 当 x → 0 时，若 x - tan x 与 x k 是同阶无穷小，则 k =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 ? x x , （2） 设函数 f (x ) = x ≤ 0 ，则 x = 0 是 f (x ) 的（ ） ? x ln x , x > 0 (A)可导点，极值点 (B) 不可导点，极值点 (C)可导点，非极值点 (D) 不可导点，非极值点 （3） 设 {u n }是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ） ∞ u n ∞?1 (A) ∑ n =1 (B) ∑(-1) n =1 n ∞ u n ∞ 2 2 (C) ∑(1- n =1 ) n +1 (D) ∑(u n +1 - u n ) n =1 （4） 设函数Q (x , y ) = x . 如果对上半平面( y > 0) 内的任意有向光滑封闭曲线 C 都有 y 2 ? C P (x , y )dx + Q (x , y )dy =0, 那么函数 P (x , y ) 可取为（ ） x 2 (A) y - (B) y 3 1 x 2 1 - (C) y y 3 x - (D) x - 1 y y （5） 设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若A 2 + A = 2E , 且 A = 4，则二次型x T Ax 的规范为 （ ） (A) y 2 + y 2 + y 2 (B) y 2 + y 2 - y 2 1 2 3 1 2 3 (C) y 2 - y 2 - y 2 (D) - y 2 - y 2 - y 2 1 2 3 1 2 3 （6） 如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程 a i 1 x + a i 2 y + a i 3 z = d i (i = 1,2,3)组成的 线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 A , A , 则（ ） (A) r ( A ) = 2, r ( A ) = 3 (B) r ( A ) = 2, r ( A ) = 2 u n
2019考研数学一真题及答案解析参考
2019年考研数学一 一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则k= A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 2.设函数?? ?>≤=, 0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是 )(x f 的 A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点. 3.设{u n }是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是 A..1∑∞ =n n n u B.n n n u 1)1(1∑∞=-. C.∑∞=+???? ??-111n n n u u . D.() ∑∞ =+-12 21n n n u u . 4.设函数Q(x ,y )=x/y 2，如果对上半平面（y >0）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有(,)(,)0C P x y dx Q x y dy +=??， 那么函数P(x ,y )可取为 A.32y x y -. B.321y x y -. C.y x 11-. D.y x 1 -. 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为 A.232221y y y ++. B.232221y y y -+. C.232221y y y --. D.2 32221y y y ---. 6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A ，则 A.r (A)=2,() 3.r A = B. r (A)=2,() 2.r A = C. r (A)=1,() 2.r A = D. r (A)=1,() 1.r A = 7.设A,B 为随机事件，则P(A)= P(B)的充分必要条件是 A.P(A ∪B)=P(A)+P(B) B. P(AB)=P(A)P(B) C. P(A B )=P(B A ) D. P(A B)=P(A B ) 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X P A.与μ无关，而与σ2有关. B.与μ有关，而与σ2无关. C.与μ, σ2都有关. D.与μ, σ2都无关. 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则 y z cosy x z cosx ???+???11= . 10. 微分方程02'22 =--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y . 11. 幂级数n n n x n ∑∞ =-0 )!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S . 12. 设∑为曲面)0(442 22≥=++z z y x 的上侧，则 dxdy z x z ?? --2244= .
2019年考研数学三真题与解析
2019年考研数学三真题解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ） 【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331 tan ()3 x x x o x -=-+，所以3k =． 2．已知方程550x x k -+=有三个不同的实根，则k 的取值范围是（ ） （A ）(,4)-∞- （B ）(4,)+∞ （C ）(4,0)- （D ）(4,4)- 【答案】（D ） 【详解】设 5()5f x x x k =-+，则42(),(),()555(1)(1)(1),f f f x x x x x '-∞=-∞+∞=+∞=-=++- 令()0f x '=得 121,1x x =-=且 (1)20,(1)20f f ''''-=-=，也就是函数在 11x =-处取得极大值 (1)4f k -=+，在2 1x =处取得极小值(1)4f k =-； 由于方程有三个不同实根，必须满足(1)40 (1)20f k f k -=+>?? =-