基于奇异值分解的图像压缩处理

矩阵奇异值分解在图像压缩中的应用

电子科技大学 微固学院 贾旺旺

[摘要]本文首先介绍了矩阵的奇异值分解(SVD)定理，然后讨论了基于矩阵奇异值分解的图像压缩编码原理，最后文中给出了实例，并用matlab 编程实现了图像的压缩和重构，发现随着图像压缩比的减小，图像传输时间增大，但重构后得到的图像失真度减小了。

[关键词]奇异值分解 图像压缩 压缩比 一.引言

随着网络的快速发展，数据量的增长也十分迅速，这使人们必须想办法如何能以最少的存储空间，最大的传输效率来进行数据的存储和传输。如在宇航中，拍摄得到的图像文件一般都比较大且数量也很多，它的存储，传输和处理会受到一定的限制，因此图像压缩就显得格外重要。图像压缩技术就是要减少图像数据中的冗余信息从而以更加高效的格式存储和传输数据。

图像压缩的基本方法包括无损压缩的行程长度编码，熵编码法；有损压缩的色度抽样法，变换编码，分形压缩等。近几年，基于矩阵奇异值分解的图像压缩方法也得到了很多学者的关注[1]

。因为图像的像素点具有矩阵的结构，我们可以利用奇异值分解来对任意阶数的矩阵操作。本文就是利用了矩阵的奇异值分解，达到了图像压缩的目的。 二. 矩阵奇异值分解原理[2] 引理 1

的非零特征值相同

的特征值均为非负实数，则有

设H H H H H H n

m r

AA A A AA A A AA rank A A rank A rank C A ,)3(,)2()()()()1(==∈? )

()()()(00)(0

0)()1(:1111111A A rank A rank A A rank A rank Ax Ax Ax Ax A x Ax A x X k n Ax A k A A rank H H H H H

H H

H H =?≤?=?==?=?-=?=维，记为的解空间为设证明0

),(),(),(),(0)2(≥?===≤?=λααλλααααααλααA A A A A A H H

.

...,,,...,,0...0)...(0

...0...,...,..

)()()(0

......0......)3(2121221122112211221111k 21121复度相同的非零特征值的代数重与所以的维数的特征子空间的维数不大于的特征子空间同理可证：的维数特征子空间的维数不大于的特征子空间线性无关，全为零一组基底

的特征子空间是设下面考虑其代数重数：

的非零特征值的非零特征值也是同理可证：的非零特征值也是的特征值为的特征值是是A A AA V A A V AA V AA V A A Ay Ay Ay k k k y k y k y k y k y k y k Ay A k Ay A k Ay A k Ay k Ay k Ay k V A A y y A A AA AA A A AA A A A A AA A A AA A A H H H H H H p p p p p p p H p H H p p H p H H H i i i i H i H i H i i i H m k H n r r H λλλλλλλαλααααλαμμμμμλλλλλ???=+++?=+++?=+++?=+++?

=?=?====>≥≥≥====>≥≥≥++定义 1

的正奇异值。

为的奇异值为则称的特征值为设A r i A n i A A C A i i i i n r r H n

m r

),...,2,1(,),...,2,1(.

0......,121=======>≥≥≥∈+?λσλσλλλλλ 定理 1

.),...,2,1),,...,,(000n ,...,,,i i i 2121n

m r

的复数（是满足而，其中得，使

阶酉矩阵及阶酉矩阵个正奇异值，则存在的是设r i diag D V D U A V U m r A C A r r ===???

? ??=∈?σ

δδδδδσσσ)

2()()()

1(00)(00)(0,000,,)0,...0,,...,,(000n 1111111211212211112222222112212

2111)(212122221D D D D AV A V D AV U AV U D AV U U U U U U U A V D U AV AV AV AV A V AV A V D D AV A V D D AV A V AV A V AV A V AV A V C V C V V V V diag D D AV

VA A A H H H

H H H

H

H

H

H

H H H H H

m

r r H H H

H

H

H H H H H H H H H H H H H H H H

H H n r n r n n r r r H H

H

H

====?==????

? ??=?∈=?=?==?==???? ??=???? ???∈∈???? ??==???

?

??=?---?-?--?σσσ阶正规矩阵为证明：

???

? ??===?=000)3(0,0022212D AV

U AV U AV U AV H

H

H

H

H

H

H

所以

三．基于奇异值分解的图像压缩编码 1.图像的压缩

奇异值分解算法的一个重要的特征是可以降维。设A 是n m ?型矩阵，表明A 是n 个m 维向量，若A 的秩为r 我们可以通过奇异值分解，将A 表示为r 个m 维向量和r 个n 维向量。若A 的秩小于或远小于m 和n ，那么就可以通过奇异值分解达到降维的目的。

以一幅有n n ?个像素点的图画为例，当n 很大时，如果将这2

n 个像素点全

部传送，虽然得到的图像失真度很低，但是传输的效率也会很低。而我们希望在误差允许范围内，尽可能快的传送数据，且在数据接收端能够根据得到的数据重构图像。另外，大的奇异值对图像的贡献大，小的奇异值对图像的贡献小，所以可以从r 个正奇异值中选取前k )(r k <个较大的特征值，再结合这k 个奇异值对应的左右酉矩阵向量，来近似表示图像。那么需要传送的像素点就变成了

)12(+n k 个，如果2)12(n n k <+,就会提高传输效率。定义图像压缩比为:

)

12(2

+=n k n ρ (3-1)

显然，如果k 值越小，则压缩比越大，需要传送的像素点也越小，因而传输速度越快，但是得到的图像失真度将越大，反之亦然。 2. 图像的重构

为

’和’，’’可以写为那么的特征值为列向量均为二维

和其中以二维数组为例，如21222111212121212121,,,,,),,(00),(βββαλβαλλλββααββλλαα+=????

?

?=A A A A 转置向量，同理，若A 为n m ?型矩阵，那么在图像的数据接收端，接收到的是k 个奇异值和k 个m 维列向量，k 个n 维列向量。近似有公式：

∑=∧

=k

i T

i i i v u A 1σ， (3-2)

那么就可以通过∧

A 近似作出图像。

在matlab 中读入图像的数据类型是uint8，而在矩阵中使用的数据类型是double ，因此需要将图像数组转换为double 类型，如果不转换，在对uint8进行加减时可能会产生错误[3]。我们都知道图像一般都是由三原色R,G,B 构成的，matlab 中提取出一幅图像的像素点也是由R,G,B 三原色构成，它是一个三维数组，设为L ，那么L(:,:,1)表示R 原色构成的二维数组，元素值在[0，255]，同理，L(:,:,2）表示G 原色，L(:,:,3)表示B 原色。通过转换为double 数据类型，矩阵中每个元素值在[0,1]内。

四．图像压缩和重构的matlab 代码实现 1.算法流程

根据上述原理，文中选取了一幅JPG 图片，命名为pic ，像素为648*991。利用matlab 先提取出了像素矩阵A ；然后将这个三维数组拆分为三个二维数组，即R,G,B 三个三原色矩阵，对这三个二维数组利用SVD 方法，计算其奇异值；选取前k 个奇异值及其对应的向量，进行图像压缩处理；最后重构图像。为了对比压缩效果和传输时间，分别令k=10,50,100。k 为选取的奇异值的个数。下图给出了压缩和重构过程的流程图。

开始

提取图片pic 的像素矩阵L

将矩阵L 拆分为三个二维矩阵

对三个二维矩阵做SVD 分解

作出原图像,及R,G,B 三原色图

选取k个奇异值和对应向量，

利用(3-2)重构图像

终止

2.代码实现

clc

clear Q

L=imread('pic.jpg');

L1=L(:,:,1);

L2=L(:,:,2);

L3=L(:,:,3);

I1=im2double(L1);I2=im2double(L2);I3=im2double(L3); % maltab读入图像时,用` 的是unit8型

% 显示原图像

subplot(4,4,1); imshow(L); title('原图像');

subplot(4,4,2); imshow(I1); title('原图像R原色');

subplot(4,4,3); imshow(I2); title('原图像G原色');

subplot(4,4,4); imshow(I3); title('原图像B原色');

% 做奇异值分解

[u1,s1,v1]=svd(I1);

[u2,s2,v2]=svd(I2);

[u3,s3,v3]=svd(I3);

% 用来存储数据压缩后的三个矩阵

C1=zeros(size(I1));

C2=zeros(size(I2));

C3=zeros(size(I3));

k=10; % 取前10个特征值

% 利用公式重构矩阵

for j=1:k

C1=C1+s1(j,j)*u1(:,j)*v1(:,j).';

end

for j=1:k

C2=C2+s2(j,j)*u2(:,j)*v2(:,j).';

end

for j=1:k

C3=C3+s3(j,j)*u3(:,j)*v3(:,j).';

end

R1=im2uint8(C1); % 所占字节数较double型少

R2=im2uint8(C2);

R3=im2uint8(C3);

Q(:,:,1)=R1;

Q(:,:,2)=R2;

Q(:,:,3)=R3;

% k=10 压缩后图像

subplot(4,4,5); imshow(Q,[]); title('压缩后的原图像'); % 显示压缩后的原图像subplot(4,4,6); imshow(C1); title('压缩后的原图像R原色');

subplot(4,4,7); imshow(C2); title('压缩后的原图像G原色');

subplot(4,4,8); imshow(C3); title('压缩后的原图像B原色');

C1=zeros(size(I1));

C2=zeros(size(I2));

C3=zeros(size(I3));

k=50;

for j=1:k

C1=C1+s1(j,j)*u1(:,j)*v1(:,j).';

end

for j=1:k

C2=C2+s2(j,j)*u2(:,j)*v2(:,j).';

end

for j=1:k

C3=C3+s3(j,j)*u3(:,j)*v3(:,j).';

end

R1=im2uint8(C1);

R2=im2uint8(C2);

R3=im2uint8(C3);

Q(:,:,1)=R1;

Q(:,:,2)=R2;

Q(:,:,3)=R3;

% k=50压缩后图像

subplot(4,4,9); imshow(Q,[]); % 显示压缩后的原图像

subplot(4,4,10); imshow(C1);

subplot(4,4,11); imshow(C2);

subplot(4,4,12); imshow(C3);

C1=zeros(size(I1));

C2=zeros(size(I2));

C3=zeros(size(I3));

k=100;

for j=1:k

C1=C1+s1(j,j)*u1(:,j)*v1(:,j).';

end

for j=1:k

C2=C2+s2(j,j)*u2(:,j)*v2(:,j).'; end

for j=1:k

C3=C3+s3(j,j)*u3(:,j)*v3(:,j).'; end

R1=im2uint8(C1); R2=im2uint8(C2); R3=im2uint8(C3); Q(:,:,1)=R1; Q(:,:,2)=R2; Q(:,:,3)=R3;

% k=100压缩后图像

subplot(4,4,13); imshow(Q,[]); %显示压缩后的原图像 subplot(4,4,14); imshow(C1); subplot(4,4,15); imshow(C2); subplot(4,4,16); imshow(C3);

3.结果分析

由于原图像是一个648*991的图像，相当于矩阵为m=648，n=991。利用公式

(3-1)，压缩比可写为：

)1(++??=

n m k n

m ρ。那么当k=10, 50, 100时压缩比分别为

92.3,83.7,16.39321===ρρρ。另外由matlab 计算出图像传输时间(或称为图

下所示：

单位为秒。画出图像如。分别为像重构时间像压缩时间，不包括图728.13,003.13,521.12)321===t t

t

可以看出，随着压缩比的减小，图像传输所用的时间逐渐增大，而图像的失真度越来越小，即图像越来越接近真实图像。

为了更清晰的对比出结果，只做出彩色图来对比，结果如下：

(a) 原图像 (b) k=10

(c) k=50 (d) k=100

我们发现，随着压缩比的减小，图像失真度确实是越来越小。验证了我们之前的说法是正确的。

四．结论与展望

本文基于矩阵的奇异值分解，利用matlab实现了图像的压缩处理和重构，得到结论：随着图像压缩比的减小，重构后得到的图像失真度减小了，但图像传输时间增大了，虽然时间增加的不明显，但是如果图片的数量增多，那么时间的增加将会很明显。因此需要进一步的研究来选取一个最优的k值。使时间和失真度上都得到较好结果。

另外，因为本文中只选取了一张普通的图片，如果是一张超高清的图片或者数量很多的照片，那么就会得到一个大型矩阵，或者很多个大矩阵，利用matlab 自带函数进行矩阵奇异值分解速度就会过慢，因此需要寻找新的算法来快速实现大型矩阵的奇异值分解。

五.参考文献

[1] 吴俊政. 一种基于奇异值分解的图像压缩方法[J]. 2009年5月

[2] 黄延祝，钟守铭，李正良.矩阵理论.高等教育出版社，2003,119-121

[3] matlab图像数据类型转换. https://www.360docs.net/doc/ee18512424.html,/p-332119385.html