(易错题精选)初中数学三角形知识点总复习含答案

（易错题精选）初中数学三角形知识点总复习含答案

一、选择题

1．如图，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，点E H ，在AD

CD ，边上，点F G ，在对角线AC 上，若6AB ，则EFGH 的面积是( )

A ．6

B ．8

C ．9

D ．12

【答案】B

【解析】

【分析】 根据正方形的性质得到∠DAC ＝∠ACD ＝45°，由四边形EFGH 是正方形，推出△AEF 与△DFH 是等腰直角三角形，于是得到DE ＝

22EH ＝22EF ，EF ＝22AE ，即可得到结论． 【详解】

解：∵在正方形ABCD 中，∠D ＝90°，AD ＝CD ＝AB ，

∴∠DAC ＝∠DCA ＝45°，

∵四边形EFGH 为正方形，

∴EH ＝EF ，∠AFE ＝∠FEH ＝90°，

∴∠AEF ＝∠DEH ＝45°，

∴AF ＝EF ，DE ＝DH ，

∵在Rt △AEF 中，AF 2＋EF 2＝AE 2，

∴AF ＝EF 2AE ， 同理可得：DH ＝DE ＝

22EH 又∵EH ＝EF ，

∴DE ＝22EF ＝22×22

AE ＝12AE ， ∵AD ＝AB ＝6，

∴DE ＝2，AE ＝4，

∴EH ＝2DE ＝22，

∴EFGH 的面积为EH 2＝（22）2＝8，

故选：B ．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键．

2．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，最小边BC ＝4cm ，则最长边AB 的长为( )cm A ．6

B ．8

C ．5

D ．5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数，然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.

【详解】

设∠A ＝x ，

则∠B ＝2x ，∠C ＝3x ，

由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C ＝x+2x+3x ＝180°，

解得x ＝30°，

即∠A ＝30°，∠C ＝3×30°＝90°，

此三角形为直角三角形，

故AB ＝2BC ＝2×4＝8cm ，

故选B ．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键.

3．如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AD BD ⊥，30ABD ∠=?，若23AD =．则OC 的长为（ ）

A ．3

B ．3

C 21

D ．6

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据勾股定理解Rt ABD △求得6BD =，再根据平行四边形的性质求得3OD =，然后根据勾股定理解Rt AOD △、平行四边形的性质即可求得21OC OA ==． 【详解】 解：∵AD BD ⊥

∴90ADB ∠=?

∵在Rt ABD △中，30ABD ∠=?，23AD =

∴243AB AD ==

∴226BD AB AD =-=

∵四边形ABCD 是平行四边形

∴132

OB OD BD ===，12OA OC AC == ∴在Rt AOD △中，23AD =，3OD =

∴2221OA AD OD =

+= ∴21OC OA ==

． 故选：C

【点睛】

本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．

4．如图，在?ABCD 中，E 为边AD 上的一点，将△DEC 沿CE 折叠至△D ′EC 处，若∠B ＝48°，∠ECD ＝25°，则∠D ′EA 的度数为（ ）

A ．33°

B ．34°

C ．35°

D ．36°

【答案】B

【解析】

【分析】 由平行四边形的性质可得∠D ＝∠B ，由折叠的性质可得∠D '＝∠D ，根据三角形的内角和定理可得∠DEC ，即为∠D 'EC ，而∠AEC 易求，进而可得∠D 'EA 的度数．

【详解】

解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D ＝∠B ＝48°，

由折叠的性质得：∠D '＝∠D ＝48°，∠D 'EC ＝∠DEC ＝180°﹣∠D ﹣∠ECD ＝107°， ∴∠AEC =180°﹣∠DEC =180°﹣107°＝73°，

∴∠D 'EA ＝∠D 'EC ﹣∠AEC ＝107°﹣73°=34°.

故选：B ．

本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．

5．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，∠

B=30°，则DE的长是（）

A．12 B．10 C．8 D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

由折叠的性质可知；DC=DE，∠DEA=∠C=90°，在Rt△BED中，∠B=30°，故此BD=2ED，从而得到BC=3BC，于是可求得DE=8．

【详解】

解：由折叠的性质可知；DC=DE，∠DEA=∠C=90°，

∵∠BED+∠DEA=180°，

∴∠BED=90°．

又∵∠B=30°，

∴BD=2DE．

∴BC=3ED=24．

∴DE=8．

故答案为8．

【点睛】

本题考查的是翻折的性质、含30°锐角的直角三角形的性质，根据题意得出BC=3DE是解题的关键．

6．下列命题是假命题的是（）

A．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等

B．如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16

C．将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限

D．若关于x的一元一次不等式组

213

x m

x

-≤

?

?

+>

?

无解，则m的取值范围是1

m￡

【解析】

【分析】

利用三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

A. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题；

B. 如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16或17，错误，是假命题；

C. 将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限，正确，是真命题；

D. 若关于x的一元一次不等式组

213

x m

x

-≤

?

?

+>

?

无解，则m的取值范围是1

m￡，正确，是真

命题；

故答案为：B

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组．

7．如图，11∥l2，∠1＝100°，∠2＝135°，则∠3的度数为()

A．50°B．55°C．65°D．70°

【答案】B

【解析】

【分析】

如图，延长l2，交∠1的边于一点，由平行线的性质，求得∠4的度数，再根据三角形外角性质，即可求得∠3的度数．

【详解】

如图，延长l2，交∠1的边于一点，

∵11∥l2，

∴∠4＝180°﹣∠1＝180°﹣100°＝80°，

由三角形外角性质，可得∠2＝∠3+∠4，

∴∠3＝∠2﹣∠4＝135°﹣80°＝55°，

故选B ．

【点睛】

本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键．

8．如图，在ABC ?中，33B ∠=?，将ABC ?沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，则12∠-∠的度数是（ ）

A ．33?

B ．56?

C ．65?

D ．66?

【答案】D

【解析】

【分析】 由折叠的性质得到∠D=∠B ，再利用外角性质即可求出所求角的度数．

【详解】

解：如图，由折叠的性质得：∠D=∠B=33°，

根据外角性质得：∠1=∠3+∠B ，∠3=∠2+∠D ，

∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B=∠2+66°，

∴∠1-∠2=66°．

故选：D ．

【点睛】

此题考查了翻折变换以及三角形外角性质的运用，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

9．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，斜边AB ＝4，CD ＝5．把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，则线段AD 1的长度为（ ）

A 13

B 5

C ．22

D ．4

【答案】A

【解析】 试题分析：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．

若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．

∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．

在等腰Rt △ABC 中，AB=4，则AO=OC=2．

在Rt △AOD 1中，OD 1=CD 1-OC=3，

由勾股定理得：AD 113

故选A.

考点: 1.旋转；2.勾股定理.

10．下列说法不能得到直角三角形的（ ）

A ．三个角度之比为 1：2：3 的三角形

B ．三个边长之比为 3：4：5 的三角形

C ．三个边长之比为 8：16：17 的三角形

D ．三个角度之比为 1：1：2 的三角形

【答案】C

【解析】

【分析】

三角形内角和180°，根据比例判断A 、D 选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B 、C 选项中边长是否符合直角三角形的关系.

【详解】

A 中，三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形； D 中，三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形；

B 中，三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x 、4x 、5x ，满足：()()()222345x x x +=，是直角三角形；

C 中，三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x 、16x 、17x ，()()()22281617x x x +≠，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形

故选：C

本题考查直角三角形的判定，常见方法有2种；

（1）有一个角是直角的三角形；

（2）三边长满足勾股定理逆定理.

11．等腰三角形有一个是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）

A ．25°

B ．40°

C ．25°或40°

D ．50°

【答案】C

【解析】

∵等腰三角形有一个是50°

∴有两种可能

①是三个角为50°、50°、80°；②是三个角为50°、65°、65°分情况说明如下： ①当三个角为50°、50°、80°时，根据图①，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=40°；

②当三个角为50°、65°、65°，根据图②，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=25°故故选：C

① ②

点睛：本题主要考查三角形内角和定理：三角形内角和为180°.

12．如图，在ABC ?中，90C =o ∠，30B ∠=o ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12

MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD 是BAC ∠的平分线；②ADC 60∠=o ；③点D 在AB 的垂直平分线上；④:1:3DAC ABC S S ??=

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【解析】

【分析】

根据题干作图方式，可判断AD 是∠CAB 的角平分线，再结合∠B=30°，可推导得到△ABD 是等腰三角形，根据这2个判定可推导题干中的结论.

【详解】

题干中作图方法是构造角平分线，①正确；

∵∠B=30°，∠C=90°，AD 是∠CAB 的角平分线

∴∠CAD=∠DAB=30°

∴∠ADC=60°，②正确

∵∠DAB=∠B=30°

∴△ADB 是等腰三角形

∴点D 在AB 的垂直平分线上，③正确

在Rt △CDA 中，设CD=a ，则AD=2a

在△ADB 中，DB=AD=2a ∵1122DAC S CD AC a CD ?=??=?，13(CD+DB)22

BAC S AC a CD ?=??=? ∴:1:3DAC ABC S S ??=，④正确

故选：D

【点睛】

本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练角平分线的绘制方法.

13．如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，∠BAF=600，那么∠DAE 等于（ ）

A ．45°

B ．30 °

C ．15°

D ．60°

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据矩形的性质得到∠DAF=30°，再根据折叠的性质即可得到结果．

【详解】

解：∵ABCD 是长方形，

∴∠BAD=90°，

∵∠BAF=60°，

∴∠DAF=30°，

∵长方形ABCD沿AE折叠，∴△ADE≌△AFE，

∴∠DAE=∠EAF=1

2

∠DAF=15°．

故选C．

【点睛】

图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，重合的部分就是对应量．

14．如图所示，将含有30°角的三角板(∠A=30°)的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=38°，则∠2的度数（）

A．28°B．22°C．32°D．38°

【答案】B

【解析】

【分析】

延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2=∠AEC，代入求出即可．

【详解】

解：如图，延长AB交CF于E，

∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∠ABC=60°，

∵∠1=38°，

∴∠AEC=∠ABC-∠1=22°，

∵GH∥EF，

∴∠2=∠AEC=22°，

故选B．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．

15．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）

A ．三条边的比为2∶3∶4

B ．三条边满足关系a 2＝b 2﹣c 2

C ．三条边的比为1∶1∶2

D ．三个角满足关系∠B +∠C ＝∠A

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．

【详解】

A 、三条边的比为2：3：4，22+32≠42，故不能判断一个三角形是直角三角形；

B 、三条边满足关系a 2=b 2-c 2，即a 2+c 2=b 2，故能判断一个三角形是直角三角形；

C 、三条边的比为1：1：2，12+12=（2）2，故能判断一个三角形是直角三角形；

D 、三个角满足关系∠B+∠C=∠A ，则∠A 为90°，故能判断一个三角形是直角三角形． 故选：A ．

【点睛】

此题考查勾股定理的逆定理的应用．解题关键在于掌握判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可．

16．如图，在ABC ?，90C =o ∠，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N ，为圆心，大于12

MN 长为半径画弧，两弧交于点O ，作弧线AO ，交BC 于点E ．已知3CE =，5BE =，则AC 的长为（ ）

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

【答案】C

【解析】

【分析】 直接利用基本作图方法得出AE 是∠CAB 的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出AC=AD ，再利用勾股定理得出AC 的长．

【详解】

过点E 作ED ⊥AB 于点D ，由作图方法可得出AE 是∠CAB 的平分线，

∵EC ⊥AC ，ED ⊥AB ，

∴EC=ED=3，

在Rt △ACE 和Rt △ADE 中，

AE AE EC ED

???＝＝， ∴Rt △ACE ≌Rt △ADE （HL ），

∴AC=AD ，

∵在Rt △EDB 中，DE=3，BE=5，

∴BD=4，

设AC=x ，则AB=4+x ，

故在Rt △ACB 中，

AC 2+BC 2=AB 2，

即x 2+82=（x+4）2，

解得：x=6，即AC 的长为：6．

故答案为：C ．

【点睛】

此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出BD 的长是解题关键．

17．如图，在ABC ?中，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ．ABC ?的周长为19，ACE ?的周长为13，则AB 的长为（ ）

A ．3

B ．6

C ．12

D ．16

【答案】B

【解析】

【分析】 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．

【详解】

∵AB 的垂直平分线交AB 于点D ，

∴AE=BE ，

∵△ACE 的周长=AC+AE+CE=AC+BC=13，△ABC 的周长=AC+BC+AB=19，

∴AB=△ABC 的周长-△ACE 的周长=19-13=6，

故答案为：B ．

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

18．如图：AD AB ⊥，AE AC ⊥，AD AB =，AE AC =，连接BE 与DC 交于M ，则：①DAC BAE ∠=∠；②DAC BAE ??≌；③DC BE ⊥；正确的有（ ）个

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】D

【解析】

【分析】 利用垂直的定义得到90DAB EAC ∠=∠=?，则ADC BAE ∠=∠，于是可对①进行判断；利用“SAS ”可证明DAC BAE ???，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到ADC ABE ∠=∠，则根据三角形内角和和对顶角相等得到90DMB DAB ∠=∠=?，于是可对③进行判断．

【详解】

解：AD AB ⊥Q ，AE AC ⊥，

90DAB ∴∠=?，90EAC ∠=?，

DAB BAC EAC BAC ∴∠+=∠+∠，

即ADC BAE ∠=∠，所以①正确；

在DAC ?和BAE ?中，

DA AB DAC BAE AC AE =??∠=∠??=?

，

()DAC BAE SAS ∴???，所以②正确；

ADC ABE ∴∠=∠，

∵∠AFD=∠MFB ，

90DMB DAB ∴∠=∠=?，

DC BE ∴⊥，所以③正确．

故选：D ．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．

19．如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（ ）

A ．1倍

B ．2倍

C ．3倍

D ．4倍

【答案】B

【解析】 设原直角三角形的三边长分别是，且，则扩大后的三角形的斜边长为，即斜边长扩大到原来的2倍，故

选B.

20．如图，已知ABC ?，若AC BC ⊥，CD AB ⊥，12∠=∠，下列结论：

①//AC DE ；②3A ∠=∠；③3EDB ∠=∠；④2∠与3∠互补；⑤1B ∠=∠，其中正确的有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

【答案】C

【解析】

【分析】 根据平行线的判定得出AC ∥DE ，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．

【详解】

∵∠1=∠2，

∴AC ∥DE ，故①正确；

∵AC⊥BC，CD⊥AB，

∴∠ACB=∠CDB=90°，

∴∠A+∠B=90°，∠3+∠B=90°，

∴∠A=∠3，故②正确；

∵AC∥DE，AC⊥BC，

∴DE⊥BC，

∴∠DEC=∠CDB=90°，

∴∠3+∠2=90°（∠2和∠3互余），∠2+∠EDB=90°，

∴∠3=∠EDB，故③正确，④错误；

∵AC⊥BC，CD⊥AB，

∴∠ACB=∠CDA=90°，

∴∠A+∠B=90°，∠1+∠A=90°，

∴∠1=∠B，故⑤正确；

即正确的个数是4个，

故选：C．

【点睛】

此题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．