函数与方程练习题

函数与方程练习题

一、选择题。

1. 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(０，12］成立，则a 的最小值是( ).

Ａ. ０ Ｂ. －２ Ｃ. －52 Ｄ. －３

2 . 已知函数f(x)＝log a ［x －(2a)x ］对任意x ∈［12，＋∞］都有意义，则实数

a 的取值范围是( ).

Ａ. (０，14］ Ｂ. (０，14) Ｃ. ［14，１) Ｄ. (14，12)

3. 函数f(x)定义域为Ｒ，且x≠1，已知f(x ＋1)为奇函数，当x ＜1时， f(x)＝2x 2－x ＋1，那么当x ＞1时，f(x)的递减区间为( ).

Ａ. ［

，＋∞) Ｂ. (１，］ Ｃ. ［，＋∞) Ｄ. (１，］

4． 已知f(x)＝asinx ＋b

＋４(a ，b ∈R)，且f(lglog 310)＝5，则f(lglg3)的

值是( ). Ａ. －５ Ｂ. －３ Ｃ. ３ Ｄ. ５

5.已知＝１(a ，b ，c ∈Ｒ)，则有( ).

Ａ. b 2＞4ac Ｂ. b 2≥4ac Ｃ. b 2＜4ac Ｄ. b 2≤4ac

6. 方程lgx ＋x ＝3的解所在的区间为_____。

A. (0,1)

B. (1,2)

C. (2,3)

D. (3,＋∞)

7. f(x) 定义在R 上的函数，f(x ＋1)＝－ ,当x ∈[－2,－1]时，f(x)＝x,

则f(－3.5)为( ) A.－0.5 B.－1.5 C.1.5 D.－3.5

8．设P 是60 的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为 （ ）

A ．

B ．

C ．

D ．9．若函数f (x )=(1－m )x 2－2mx －5是偶函数，则f (x ) （ ）

A．先增后减B．先减后增C．单调递增D．单调递减

10.对任意非负实数x，不等式(－)·≤a恒成立，则实数a 的最小值是().

Ａ. 1

2Ｂ. ２Ｃ.

2

3Ｄ.

3

4

二.填空题。

1. 如果y＝1－sin2x－mcosx的最小值为－４，则m的值为 .

2. 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝ex＋1，则f(x)＝ .

3. 已知矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ＝ａ，ＢＣ＝２，PA⊥平面ＡＢＣＤ，ＰＡ＝２，

现有以下五个数据：(１)a＝1

2；(２)a＝1；(３)a＝3；(４)a＝2；(５)a

＝4当在ＢＣ边上存在点Ｑ，使ＰＱ⊥ＱＤ时，则a可以取 .(填上一个正确的数据序号即可)

三．解答题。

1. 设集合A＝｛x|4x－2x＋2＋a＝0，x∈R｝.

(１)若Ａ中仅有一个元素，求实数a的取值集合Ｂ；

(２)若对于任意a∈B，不等式x2－6x＜a(x－2)恒成立，求x的取值范围.

2. 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：

f(x－１)＝f(３－x)且方程f(x)＝２x有等根.

(１)求f(x)的解析式；

(２)是否存在实数m，n(m＜n)，使f(x)定义域和值域分别为［m，n］和［4m，4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.

3. 已知函数f(x)＝1

a－

1

x(a＞0，x＞0).

(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f(x)≤2x在(0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围；

(3)若f(x)在［m，n］上的值域是［m，n］(m≠n)，求a的取值范围.

函数与方程练习题答案

一． 选择题。

1. C 。解法一： 看成关于a 的不等式，由f(0)≥0，且f(12)≥0可求得a 的范围.

解法二：. f(x)＝x 2＋1，g(x)＝－ax ，则结合图形(象)知原问题等价于f(12)≥g(12)，

即a≥－52.

解法三：. 利用选项，代入检验，Ｄ不成立，而Ｃ成立.故选Ｃ.

2. B 。 解：考查函数y 1＝和y 2＝(2a)x 的图象，显然有0＜2a ＜1.由题意

得a ＝，再结合指数函数图象性质可得答案.答案：B.

3. C 。解：由题意可得f(－x ＋1)＝－f(x ＋1).令t ＝－x ＋1，则x ＝1－t ，故f(t)＝－f(2－t)＝－f(2－x).当x ＞1，2－x ＜1，于是有f(x)＝－f(2－x)＝－2(x －

)2 － ，其递减区间为［，＋∞).答案：Ｃ

4. C 。解：因为f(x)－４是奇函数，故f(－x)－４＝－［f(x)－４］，即f(－x)＝－f(x)＋８，而lglg3＝－lglg 310，∴ f(lglg3)＝f(－lglg 310)＝－(lglg 310)＋8＝－5＋8＝3.故选Ｃ

5. C 。解法１：依题设有a·5－b·5＋c ＝0.∴ 5是实系数一元二次方程ax 2－bx ＋c ＝0的一个实根.∴ Δ＝b 2－4ac≥0.∴ b 2≥4ac.故选Ｂ.

解法２：其实本题也可用消元的思想求解.依题设得，b ＝ . ∴ b 2－4ac ＝()2－４ac ＝5a 2＋15c 2－2ac≥2ac －2ac ＝0.故选Ｂ.

6. C 。图像法解方程，也可代入各区间的一个数(特值法或代入法)，选C

7. B 8.C 9.B

10. A 。解：问题a≥对x≥0恒成立.记f(x)＝(x≥0).则问题a≥f(x)max.当x ＝0时，f(x)＝０；当x ＞0时，f(x)＝，显然f(x)

在(０，＋∞)上是增函数. ∴ 0＜f(x)＜12.

.

故a≥12.即a 的最小值为12，故选A.

二.填空题。

1． 解：原式化为

.当， 当－1≤≤1时，y min ＝＝－4m ＝±4 不符， 当＞1，y min ＝１－m ＝－4m ＝5.答案：±５.

2. 答案：f(x)＝

，提示：构造f(x)与g(x)的方程组.

3. (１)或(２) 三．解答题。

17. (１)令2x ＝t(t ＞0)，设f(t)＝t 2－4t ＋a.由f(t)＝０，在(０，＋∞)有且仅有一根或两相等实根，则有

①f(t)＝０有两等根时，Δ＝０１６－４a ＝0a ＝4；验证：t 2－4t ＋4＝0t ＝2∈(０，＋∞)，这时x ＝1；

②f(t)＝0有一正根和一负根时，f(０)＜0a ＜0；

③若f(0)＝０，则a ＝0，此时4x －4·2x ＝02x ＝0(舍去)，或2x ＝4，∴ x ＝2，即Ａ中只有一个元素2；

综上所述，a≤0或a ＝4，即Ｂ＝｛a|a≤0或a ＝4｝.

(２)要使原不等式对任意a ∈(－∞，０］∪｛４｝恒成立.即g(a)＝(x －2)a －(x 2－6x)＞0恒成立.只须x －2≤0g 5－＜x≤2.

18. 解：(１)∵ 方程ax 2＋bx ＝2x 有等根，∴ Δ＝(b －2)2＝0，得b ＝2.由f(x －1)＝

f(3－x)知此函数图象的对称轴方程为x ＝－

＝1得a ＝－1，故f(x)＝－x 2＋

2x.

(2)f(x)＝－(x －1)2＋1≤1，∴ 4n≤1，即n≤14.而抛物线y ＝－x 2＋2x 的对称轴为x

＝1.

∴ n≤14时，f(x)在［m ，n ］上为增函数.若满足题设条件的m ，n 存在，则

又m ＜n≤14，∴ m ＝－2，n ＝0.

20. (１)证明：任取x 1＞x 2＞0，f(x 1)－f(x 2)＝

，故f(x)在(０，＋∞)上是增函数.

(２)解：∵ ≤2x 在(0，＋∞)上恒成立，且a ＞0，∴ a≥在

(0，＋∞)上恒成立，令g(x)＝(当且仅当2x ＝1x 即

x ＝22时取等号)，要使a≥

(0，＋∞)上恒成立，则a≥24，故a 的取值范围是［24，＋∞).

(３)解：由(１)f(x)在定义域上是增函数.∴ m ＝f(m)，n ＝f(n)，

即m 2－m ＋1＝0，n 2－n ＋1＝0.故方程x 2－x ＋1＝0有两个不相等的正根m ，n ，注意到m·n ＝１，则只需要Δ＝(

)2－4＞0，由于a ＞0，则0＜a ＜12.