高中数学知识点精讲精析 用向量讨论垂直与平行

4 用向量讨论垂直与平行

1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这

些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．

2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：

共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 的充要条件是存在实数λ，使

a ＝λ

b .

理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa ，其

中λ是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a ≠0），则有a ∥

b （若用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b

（或a ）上）. ⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与

a 同向，当λ<0时与a 反向的所有向量.

3. 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a

的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA t =+ a ．

其中向量a

叫做直线l 的方向向量.

推论证明如下： ∵ l //a ，∴ 对于l 上任意一点P ，存在唯一的实数t ，使得AP t = a ．(*)

又∵ 对于空间任意一点O ，有AP OP OA =- ，

∴ OP OA t -= a ， OP OA t =+ a ． ①

若在l 上取AB = a ，则有OP OA t AB =+ ．(**)

又∵ AB OB OA =- ∴ ()OP OA t OB OA =+- (1)t OA tOB =-+ ．②

当12

t =时，1()2OP OA OB =+ ．③ 理解：⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式． ⑵ 表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式．

⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定．

空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，

是平面向量相关知识的推广．

4. 两个向量共线或垂直的判定：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123

(,,)b b b ，则

⑴a //b ?a ＝λb ?112233,,a b a b a b λλλ===，()R λ∈?

312123

a a a

b b b ==； ⑵a ⊥b ?a ·b =0?1122330a b a b a b ++=．

1． 已知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量。 分析 注意到向量的向量积的定义，3221M M M M ?与3221,M M M M 都垂直，因此本题是先求两向量的向量积，然后再单位化。

【解析】

由}220{}142{3221，，，，，-

=-=M M M M ，可得

}4,4,6{2

2143221--=--

=?k

j M M M M ，

17268161636==++=，

因此与3221,M M M M 同时垂直的单位向量为}223{17

1--±，，. 2 设}0,0,1{=a ，}2,1,0{-=b ，}1,2,2{-=c 试在a 与b 确定的平面内，求一个模为3的向量，使⊥. 分析 由已知在与确定的平面内，则?⊥，又⊥，则∥??)(，即d c b a ??=)(λ

，因此利用向量积的定义求得c b a ??)(3

=确定λ.

【解析】

}1,2,0{2

100=-=?

，

}4,2,4{22)(-=-=??j c b a ，

则 }4,2,4{λλλ-= .

3=得916416222=++λλλ，解得21±=λ，所以}2,1,2{-±=d .