学而思九年级数学教材

学而思九年级数学教材 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

1、如图，已知动点A 在函数y＝4

x (x＞0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于

点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，

使AE=AC．直线DE分别交x，y轴分别于点P，

Q．当QE：DP=4：9时，图中阴影部分的面积等于

．

2、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边

上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C．

（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；

（2）求证：AB2=AE?AC．

3、（2000?河北）已知：如图，在△ABC中，D是

BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC 与AD相交于点F．

（1）求证：△ABC∽△FCD；

（2）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长．

3、如图，已知第一象限内的图像是反比例函数

1

y

x

图像的一个分支，第二象限内的

图象是反比例函数y=－2

x图象的一个分支，在x

轴的上方有一条平行于x轴的直线l与它们分别交于点A、B，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D．若四边形ABCD的周长为8且AB＜AC，则点A的坐标为（

．

4、（2011?宁波）正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y=2

x?（x＞0）的图

象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其

右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=2

x?（x

＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为．

5、直线

1

1

2

y x

=--

与反比例函数

k

y

x

=

（x<0）的图像交于点

A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，若AB=AC，则k的值为（）

6、（2011?十堰）如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点

E，双曲线

k

y

x

=

（k＞0）经过A，E两点，若平行四边

形AOBC的面积为18，则k= 6

．

7、（2011?荆门）如图，双曲线

2

y

x

=

?（x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，∠

ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴．将△ABC沿AC翻折后得△AB′C，B′点落在OA上，则四边形OABC的面积是 2

．

8、（2012?扬州）如图，双曲线y=k x

经过Rt△OMN斜边上的点

A，与直角边MN相交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为

5，则k的值是 12

．

9、（2013?成都一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线

AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数

k

y

x

=

（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过

点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若

1

BE

BF m

=

（m为大于l的常数）．记△CEF的面积为S1，

△OEF的面积为S2，

则

1

2

s

s= ．?（用含m的代数式表示）

10、（2012?桂林）双曲线1

1

y

x

=

，2

3

y

x

=

，在第一象限的图像如图所示，过y2上任意一点A，作x轴的平行线交y1于点B，交y轴于点C，过

A作x轴的垂线交y1于点D，交x轴于点E，连接BD，

CE，则

BD

CE = 。

11、（2010?惠山区模拟）如图，Rt△ABC的直角边BC在x

轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y 轴负半轴于E ，双曲线y＝k

x (x

＞0)的图象经过点A，若△BEC的面积为4，则k等于。

12、如图，M为双曲线

3

y

x

=

上一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=-

x+m于点D、C两点，若直线y=-x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B，则AD?BC的值为

。

13、（2010?武汉）如图，直线y＝

3

x b

-+

与y轴交于点A，

与双曲线y＝k

x在第一象限交于B、C两点，且

AB?AC=4，则k= ．

14、（2009?兰州）如图，若正方形OABC的顶点B和正

方形ADEF的顶点E都在函数y=k x

（x＞0）的图象上，则点E的坐标是。

15、如图，A、B是双曲线

k

y

x

=

（k>0）上的点，A、B两

点的横坐标分别是a，2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=6．则k= 4

．

16、（2010?无锡）如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，

BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线y ＝k

x 交OB 于D ，且OD ：

DB=1：2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值 。

17、如图，正方形OAPB ，等腰三角形AFD 的顶点A 、D 、B 在坐标轴上，点P ，F 在函数

y ＝9

x (x ＞0)的图象上，则点F 的坐标为 。

18、如图，P1，P2是反比例函数k

y x =

（k>0）在第一象限图

像上的两点，点A1的坐标为

（2，0），若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形．反比例函数的解析式 ；A2点的坐标 ．

19、如图，直线

43y x =

与双曲线k y x =交于点A ，将直线

43y x =

向右平移92个单位与双曲线k

y x = （x ＞0）交于点B ，

与x 轴交于点C ，若AO ：BC=2， 则k= ．

20、如图，点A 在双曲线

1y x =

上，点B 在双曲线3

y x =

上，

且AB ∥x 轴，点C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 2 ． 21、

如图，直线y＝mx与双曲线

k

y

x

=

交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为

M，连接BM，若S△ABM=2，则k的值是。

22、（2010?内江）如图，反比例函数y=k

x（k>0）的图像经过矩形OABC对角线的

交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为。

23、如图，点A在双曲线y=k

x的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C

在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为

2015重庆九年级数学培优试题答案

1、解：解法一：过点D作DG⊥x轴于点G，过点E 作EF⊥y轴于点F．

令A（t，4

t），则AD=AB=DG=

4

t，AE=AC=EF=t．

在直角△ADE中，由勾股定理，得

44 222

22

161616

t t

AD AE t

t t t

++ +=+==

．

∵△EFQ∽△DAE，∴QE：DE=EF：AD，

∴QE=

416

t t+

，

∵△ADE∽△GPD，∴DE：PD=AE：DG，

∴

DP=3t．

又∵QE：DP=4：9，

∴

=3

:4:9

4t

=

，

解得t2=8 3．

∴图中阴影部分的面积=1

2AC2+

1

2AB2=

1

2t2+

1

2×2

16

t=

4

3+3=

13

3；

解法二：∵QE：DP=4：9，∴EF：PG=4：9，

设EF=4t，则PG=9t，∴A（4t，1 t），

由AC=AE AD=AB，

∴AE=4t，AD=1

t，DG=

1

t，GP=9t，

∵△ADE∽△GPD，∴AE：DG=AD：GP，

4t：1

t=

1

t：9t，即t2=

1

6，

图中阴影部分的面积=1

2×4t×4t+

1

2×

1

t×

1

t=

13

3．

故答案为：13 3．

2、

证明：（1）在△ADE和△ACD中，

∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠DAE，∴∠AED=180°-∠DAE-∠ADE，

∠ADC=180°-∠DAE-∠C，∴∠AED=∠ADC．

∵∠AED+∠DEC=180°，

∠ADB+∠ADC=180°，∴∠DEC=∠ADB，

又∵AB=AD，∴∠ADB=∠B，∴∠DEC=∠B．（2）在△ADE和△ACD中，

由（1）知∠ADE=∠C，∠AED=∠ADC，

∴△ADE∽△ACD，∴，

即AD2=AE?AC．

又AB=AD，∴AB2=AE?AC．

3、

证明：∵AD=AC，

∴∠ADC=∠ACD．

∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，

∴EB=EC，

∴∠EBC=∠ECB．∴△ABC∽△FCD；

（2）解：过A作AM⊥CD，垂足为M．

∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，

∴

22

11

()()

24 FCD

ABC

S CD

S CB

?

?

===

．

∵S△FCD=5，∴S△ABC=20．

又∵S△ABC= 1

2×BC×AM，BC=10，

∴AM=4．

又DM=CM= 1

2CD，DE∥AM，

∴DE：AM=BD：BM= 2

3，∴DE=

8

3．

3、

解：点A在反比例函数

1

y

x

图象上，设A点坐标为（a，

1

a），

∵AB平行于x轴，

∴点B的纵坐标为1 a，

而点B在反比例函数y=－2

x图象上，

∴B点的横坐标=-2×a=-2a，即B点坐标为（-2a，1 a），

∴AB=a-（-2a）=3a，AC=1 a，

∵四边形ABCD的周长为8，而四边形ABCD为矩形，

∴AB+AC=4，即3a+1

a=4，

整理得，3a2-4a+1=0，（3a-1）（a-1）=0，

∴a1=1

3，a2=1，而AB＜AC，∴a=

1

3，

∴A点坐标为（1

3，3）．

故答案为（1

3，3）．

4、

解：作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，如图，

设P1（a，2

a），则CP1=a，OC=

2

a，

∵四边形A1B1P1P2为正方形，

∴Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，∴OB1=P1C=A1D=a，

∴OA1=B1C=P2D=2

a-a，∴OD=a+

2

a-a=

2

a，

∴P2的坐标为（2

a，

2

a-a），

把P2的坐标代入y=2

x?（x＞0），得到（

2

a-a）?

2

a=2，解得a=-1（舍）或a=1，

∴P2（2，1），

设P3的坐标为（b，2 b），

又∵四边形P2P3A2B2为正方形，∴Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，

∴P3E=P3F=DE=2 b，

∴OE=OD+DE=2+2

b，∴2+

2

b=b，解得

（舍），

∴2

b

1

=-

，

∴点P3的坐标为 （3+1，3-1）． 故答案为：（3+1，3-1）． 5、

解：过A 作AD ⊥BC 于D ，如图，

对于y=-12x-1，令y=0，则-1

2x-1=0，解得x=-2，

∴B 点坐标为（-2，0），

∵CB ⊥x 轴， ∴C 点的横坐标为-2，

对于y=k x ，令x=-2，则y=-2k

， ∴C 点坐标为（-2，-2k

），

∵AC=AB ，AD ⊥BC ， ∴DC=DB ，

∴D 点坐标为（-2，-4k ）， ∴A 点的纵坐标为-4k

，

而点A 在函数

k

y x =

的图象上，

把y=-4k 代入

k y x =

得x=-4， ∴点A 的坐标为（-4，-4k

）， 把A （-4，-4k ）代入y=-12x-1得-4k =-1

2×（-4）-1， ∴k=-4．

6、

解：

分别过点A 、E 作AM 、EN 垂直于x 轴于M 、N ， 则AM ∥EN ， ∵A 、E 在双曲线上，

∴三角形AOM与三角形OEN 的面积相等，∵四边形AOBC是平行四边形，

∴AE=BE，

∵AM∥EN，∴MN=NB，

∴EN=1

2AM，

∴OM=1

2ON，根据三角形的中位线，可得MN=BN，

∴OM=MN=BN，

设A（x，y），由平行四边形的面积=OB×AM=18，∴3x×y=18，xy=6，即k=6；故答案为：6．7、

解：延长BC，交x轴于点D，

设点C（x，y），AB=a，

∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角，

∴CD=CB′，△OCD≌△OCB′，

再由翻折的性质得，BC=B′C，

∵双曲线y＝2

x?（x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，

∴S△OCD=1

2xy=1，

∴S△OCB′=1

2xy=1，

由翻折变换的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC=B′C=CD，

∴点A、B的纵坐标都是2y，

∵AB∥x轴，∴点A（x-a，2y），∴2y（x-a）=2，∴xy-ay=1，

∵xy=2 ∴ay=1，

∴S△ABC=1

2ay=

1

2，

∴SOABC=S△OCB′+S△AB'C+S△ABC=1+1

2+

1

2=2．故答案为：2．

8、

解：过A点作AC⊥x轴于点C，如图，

则AC∥NM，∴△OAC∽△ONM，

∴OC：OM=AC：NM=OA：ON，

而OA=2AN，即OA：ON=2：3，设A点坐标为（a，b），则OC=a，AC=b，

∴OM=3

2a，NM=

3

2b，∴N点坐标为（

3

2a，

3

2b），

∴点B的横坐标为3

2a，设B点的纵坐标为y，

∵点A与点B都在y=k

x图象上，∴k=ab=

3

2a?y，

∴y=2

3b，即B点坐标为（

3

2a，

2

3b），

∵OA=2AN，△OAB的面积为5，∴△NAB的面积为5 2，

∴△ONB的面积=5+5

2=

15

2，

∴1

2NB?OM=

15

2，即

1

2×（

3

2b-

2

3b）×

3

2a=

15

2，

∴ab=12，∴k=12．故答案为12．9、

解：过点F作FD⊥BO于点D，EW⊥AO于点W，

∵

1

BE

BF m

=

（m为大于l的常数），

∴

1 ME

DF m

=

，

∵ME?EW=FN?DF，∴

1 ME FN

DF EW m

==

，

设E点坐标为：（x，my），则F点坐标为：（mx，y），

∴△CEF的面积为：S1=1

2（mx-x）（my-y）=

1

2（m-1）2xy，

∵△OEF的面积为：S2=S矩形CNOM-S1-S△MEO-S△FON

=MC?CN-1

2（m-1）2xy-

1

2ME?MO-

1

2FN?NO

=mx?my-1

2（m-1）2xy-

1

2x?my-

1

2y?mx

=m2xy-1

2（m-1）2xy-mxy

=1

2（m2-1）xy=

1

2（m+1）（m-1）xy，

∴

2

1

2

1

(1)1

2

11

(1)(1)

2

m xy

S m

S m

m m xy

--

==

+

-+

．故答案为：

1

1

m

m

-

+．

10、

解：设A 点的横坐标为a ，把x=a 代入y=3x 得y=3a ，则点A 的坐标为（a ，3

a ），

∵AC ⊥y 轴，AE ⊥x 轴，

∴C 点坐标为（0，3a ），B 点的纵坐标为3

a ；E 点坐标为（a ，0），D 点的横坐标为

a ，

∵B 点、D 点在y=1

x 上，

∴当y=3a 时，x=3a ；当x=a ，y=1

a ，

∴B 点坐标为（3a ，3a ），D 点坐标为（a ，1

a ）， ∴AB=a-3a =23a ，AC=a ，AD=3a -1a =2a ，AE=3

a ， ∴AB=23AC ，AD=2

3AE ，

而∠BAD=∠CAD ， ∴△BAD ∽△CAE ，

∴23BD AB CE AC ==

． 故答案为2

3．

11、

解：∵BD 为Rt △ABC 的斜边AC 上的中线， ∴BD=DC ，∠DBC=∠ACB ，

又∠DBC=∠EBO ，∴∠EBO=∠ACB ， 又∠BOE=∠CBA=90°， ∴△BOE ∽△CBA ，

∴BO OE

BC AB

=

，即BC×OE=BO×AB．

又∵S△BEC=4，∴1

2BC?EO=4，

即BC×OE=8=BO×AB=|k|．

又由于反比例函数图象在第一象限，k＞0．

所以k等于8．

12、

解：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，如图，

对于y=-x+m，

令x=0，则y=m；令y=0，-x+m=0，解得x=m，

∴A（0，m），B（m，0），

∴△OAB等腰直角三角形，

∴△ADF和△CEB都是等腰直角三角形，

设M的坐标为（a，b），则ab=3，

CE=b，DF=a，

∴AD=2DF=2a，BC=2CE=2b，

∴AD?BC=2a?2b=2ab=23．故答案为23．13、

解：对直线方程y＝

3

x b

-+

，令y=0，得到x=3b，即直线与x轴的交点D的坐

标为

（3b，0），

令x=0，得到y=b，即A点坐标为（0，b），

∴OA=b，

，

∵在Rt△AOD中，tan∠

ADO=

OA

OD

=

，

∴∠ADO=30°，即直线

y=-3+b与x轴的夹角为30°，

∵直线

y=-3x+b与双曲线y=

k

x在第一象限交于点B、C两点，

∴

-x+b=

k

x，即

-x2+bx-k=0，

由韦达定理得：x1x2=c

a

，即

，

∵EB

AB=cos30°

=，∴

AB=EB，同理可得：

AC=FC，

∴AB?AC=

（3EB

）（3FC）=4

3

，解得：

．

14、

解：依据比例系数k的几何意义可得正方形OABC的面积为1，所以其边长为1，

设点E的纵坐标为m，则横坐标为1+m，所以m（1+m）=1，

解得

m1=，

m2=．

由于

m=不合题意，所以应舍去，故

m=．

1+m=

1

2．故点E

的坐标是（

1

2

，）．

15、

解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E ，再过点A作AF⊥BE 于F．

则AD∥BE，AD=2BE=k a，

∴B、E分别是AC、DC的中点．

在△ABF与△CBE中，∠ABF=∠CBE，∠F=∠BEC=90°，AB=CB，∴△ABF≌△CBE．

∴S△AOC=S梯形AOEF=6．

又∵A（a，k

a），B（2a，2

k

a），

∴S梯形AOEF=1

2（AF+OE）×EF=

1

2（a+2a）×

k

a=

3

2

k

=6，

解得：k=4．故答案为：4．16、

解：方法1：设B点坐标为（a，b），

∵OD：DB=1：2，∴D点坐标为（1

3a，

1

3b），

根据反比例函数的几何意义，

∴1

3a?

1

3b=k，∴ab=9k①，

∵BC∥AO，AB⊥AO，C在反比例函数y=k

x的图象上，

∴设C点横坐标为m，则C点坐标为（m，b）

将（m，b）代入y=k

x得，b=

k

m m=

k

b，

BC=a-k b，

又因为△OBC的高为AB，

所以S△OBC=1

2（a-

k

b）?b=3，

所以1

2（a-

k

b）?b=3，（a-

k

b）b=6， ab-k=6②，

把①代入②得，

9k-k=6，解得k=3 4．

方法2：延长BC交y轴于E，过D作x轴的垂线，垂足为F．

由△OAB的面积=△OBE的面积，△ODF的面积=△OCE的面积，

可知，△ODF的面积=1

8梯形DFAB=

1

8△BOC的面积=

3

8，

即1

2k=

3

8， k=

3

4．

17、

解：∵OAPB是正方形，∴点P的横纵坐标相等，且点P在函数y=9

x上，

∴点P的坐标为（3，3）

设F点的坐标为（x，y）∵△ADF是等腰直角三角形，∴y=x-3，

将其代入函数y＝9

x中，得

x=

3

2

+

，

y=

3

2，