3-3对偶单纯形法

运筹学——解对偶单纯形法

题目：对偶单纯形法解线性规划问题 小组成员：

摘要： 运筹学是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.而对偶单纯形法是线性规划中重要的数学方法，在简化运算，解决实际问题中具有重要的应用。它是解决研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求。 关键词：对偶单纯形法线性规划最优解 正文： 单纯形法和对偶单纯形法的基本思想： 给出一个线性规划问题: Max z = CX AX≤b X≥0 其对偶问题是: Min w = Yb YA≥C Y≥0 单纯形法解决线性规划问题的思想是: 从问题(1)的一个基解X0开始迭代到另一个基解,在迭代过程中保持基解的可行性,同时它对应的对偶问题(2)的基解Y0= CBB-1的

不可行性逐步消失,直到Y0是问题(2)的可行解时,X0就是问题(1)的最优解了。 对偶单纯形法正是基于对称的想法,从一个基解X0开始,X0不是基可行解,但它的检验数全部非正,对应的对偶问题的基解Y0= CBB-1是基可行解;从X0迭代到另一个基解X1,在迭代过程中保持它对应的对偶问题的基解是基可行解,逐步消除原问题基解的不可行性,最终达到两者同时为可行解，也就同时是最优解了。这就是对偶单纯形法的基本思想。 算法： 用对偶单纯形法解决生产资料分配问题的步骤: Step1 找出一组以定基元素x0i和人工变量为基变量的正则解X0,若X0是可行的,则X0是最优解, 停止,否则转向STEP2; Step2 确定换出变量x0l,其中x0l=min{x0r;x0r<0}; Step3 如果对所有非基变量x0j,βlj≥0,则该问题无可行解,运算停止,否则转向STEP4; Step4 确定换入变量x0k,其中σkβlk=minσtβlt;βlt<0;1≤t≤n+m ; Step5 取x0l为换出变量,x0k为换入变量进行迭代,然后重复上过程直到得到最优解。

哈工大运筹学大作业-对偶单纯形法对比

哈工大运筹学大作业-对偶 单纯形法对比 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

运筹学课程 运筹学对偶单纯形法与单纯形法 对比分析大作业 哈尔滨工业大学工业工程系 学生姓名: 学号： 指导教师： 成绩： 评语：

运筹学对偶单纯形法与单纯形法对比分析 摘要：这篇论文主要介绍了对偶单纯形法的实质、原理、流程和适用条件等。将对偶单纯形法与单纯形法的基本思想进行对比分析，从而说明对偶单纯形法的优点和适用范围。 关键词：对偶单纯形法；对偶理论；单纯形法；基本思想 在线性规划早期发展阶段的众多重要发现中，对偶的概念及其分支是其中最重要的内容之一。这个发现指出，对于任何一个线性规划问题都具有对应的称为对偶问题的线性规划问题。对偶问题与原问题的关系在众多领域都非常有用。 （一）教学目标： 通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解。掌握对偶单纯形法的解题过程，理解对偶理论的其原理，了解对偶单纯形法的作用和应用范围 （二）教学内容： 1）对偶单纯形法的思想来源 2）对偶单纯形法原理 3）对偶理论的实质 4）单纯形法和对偶单纯形法的比较 （三）教学进程： 一、对偶单纯形法的思想来源

所谓对偶单纯形法，就是将单纯形法应用于对偶问题的计算，该方法是由美国数学家C.莱姆基于1954 年提出的，它并不是求解对偶问题解的方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方法。 二、对偶问题的实质 下面是原问题的标准形式以及其对应的对偶问题： 原问题对偶问题 从而可以发现如下规律： 1.原问题目标函数系数是对偶问题约束方程的右端项。 2.原问题约束方程的右端项是对偶问题目标函数的系数。 3.原问题一个变量在所有约束方程中的系数是对偶问题一个约束方程中的所有系数。 三、对偶单纯形法原理 对偶单纯形法是通过寻找原问题的对偶问题的可行解来求解原问题的最优解的方法，它的应用包括影子价格和灵敏度分析等。为了理解对偶单纯形法为什么能够解出原方程的最优解，我们需要对对偶理论的几个基本原理有所了解。 1.弱对偶性 如果是原问题的可行解，是其对偶问题的可行解，则恒有

用对偶单纯形法求解线性规划问题教学文案

用对偶单纯形法求解线性规划问题

例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题. Min z =5x1+3x 2 s.t.-2 x1 + 3x 2 ≥6 3 x1 - 6 x 2 ≥4 Xj≥0（j=1,2） 解：将问题转化为 Max z = -5 x1 - 3 x 2 s.t. 2 x1 - 3x 2+ x 3 = -6 -3 x1 + 6 x 2+ x 4 ≥-4 Xj≥0（j=1,2，3,4） 其中，x3 ，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17. 表4-17 例4-7单纯形表 在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解. 注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况.

若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解. 在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法. 3.对偶问题的最优解 由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解. (1)设原问题(p)为 Min z=CX s.t. ???≥=0X b AX 则标准型(LP)为 Max z=CX s.t. ???≥=0X b AX 其对偶线性规划（D ）为 Max z=b T Y s.t. ???≥=0X b AX 用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0 从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有 （σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn +1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1 (-I)

运筹学大作业 哈工大

课程名称：对偶单纯形法 一、教学目标 在对偶单纯形法的学习过程中，理解和掌握对偶问题；综合运用线性规划和对偶原理知识对对偶单纯形法与单纯形法进行对比分析，了解单纯形法和对偶单纯形法的相同点和不同点，总结出各自的适用范围；掌握对偶单纯形法的求解过程；并能运用对偶单纯形法独立解决一些运筹学问题。 二、教学内容 1) 对偶单纯形法的思想来源(5min) 2) 对偶单纯形法原理(5min) 3) 总结对偶单纯形法的优点及适用情况(5min) 4) 对偶单纯形法的求解过程(10min) 5) 对偶单纯形法例题(15min) 6) 对比分析单纯形法和对偶单纯形法(10min) 三、教学进程： 1）讲述对偶单纯形法思想的来源： 1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法（Dual Simplex Method ）。单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。 2）讲述对偶单纯形法的原理 A.对偶问题的基本性质 依照书第58页，我们先介绍一下对偶问题的六个基本性质： 性质一：弱对偶性 性质二：最优性。如果 x j （j=1...n)原问题的可行解，y j 是其对偶问题可 行解，且有 ∑=n j j j x c 1 =∑=m i i i y b 1 ，则x j 是原问题的最优解，y j 是其对偶问题的最

优解。 性质三：无界性。如果原问题（对偶问题）具有无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。 性质四：强对偶性。如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定有最优解。 性质五：互补松弛型。在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为零，则该约束条件取严格等式；反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。 性质六：线性规划的原问题及其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有z=w. B.对偶单纯形法（参考书p64页） 设某标准形式的线性规划问题，对偶单纯形表中必须有c j -z j ≤0（j=1...n),但b i (i=1...m)的值不一定为正，当对i=1...m ，都有b i ≥0时，表中原问题和对偶问题均为最优解，否则通过变换一个基变量，找出原问题的一个目标函数值较小的相邻的基解。 3）为什么要引入对偶单纯形法 从理论上说原始单纯形法可以解决一切线性规划问题，然而实际问题中，由于考虑问题的角度不同，变量设置的不同，便产生了原问题及其对偶问题，对偶问题是原问题从另外一个角度考虑的结果。用对偶单纯形法求解线性规划问题时，当约束条件为“≥”时，不必引入人工变量，使计算简化。 例如，有一线性规划问题： min ω =12 y 1 +16y 2 +15 y 3 约束条件 ?? ?? ???≥=≥+≥+0)3,2,1(3522 423121 i y y y y y i

用对偶单纯形法求解线性规划问题

例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题. Min z =5x1+3x 2 ≥6 s.t. -2 x1 + 3x 2 ≥4 3 x1 - 6 x 2 Xj≥0（j=1,2） 解：将问题转化为 Max z = -5 x1 - 3 x 2 + x3 = -6 s.t. 2 x1 - 3x 2 -3 x1 + 6 x + x4≥-4 2 Xj≥0（j=1,2，3,4） 其中，x3 ，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17. 在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解. 注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况. 若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解. 在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法. 3.对偶问题的最优解 由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解. (1)设原问题(p)为 Min z=CX

s.t. ?? ?≥=0 X b AX 则标准型(LP)为 Max z=CX s.t. ? ??≥=0X b AX 其对偶线性规划（D ）为 Max z=b T Y s.t. ? ? ?≥=0X b AX 用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0 从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有 （σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn +1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1 (-I) 于是，Y*=（σn+1，σn+2…σn+m ）T 。可见，在（LP ）的最优单纯形表中，剩余变量对应的检验数就是对偶问题的最优解。 同时，在最优单纯形表T （B ）中，由于剩余变量对应的系数 所以 B -1 =（-y n+1，-y n+2…-y n+m ） 例4-8 求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。 Min z =6x 1+8x 2 s.t. x 1 + 2x 2≥20 3 x 1 + 2x 2≥50 Xj ≥0（j=1,2） 解： 将问题转化为 Max z =-6x 1-8x 2 s.t. -x 1 — 2x 2 + x 3=20 -3 x 1 - 2x 2+ x 4 =50 Xj ≥0（j=1,2，3,4）

用对偶单纯形法求解线性规划问题

用对偶单纯形法求解线性 规划问题 The final edition was revised on December 14th, 2020.

例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题. Min z =5x1+3x 2 .-2 x1 + 3x 2 ≥6 3 x1 - 6 x 2 ≥4 Xj≥0（j=1,2） 解：将问题转化为 Max z = -5 x1 - 3 x 2 . 2 x1 - 3x 2+ x 3 = -6 -3 x1 + 6 x 2+ x 4 ≥-4 Xj≥0（j=1,2，3,4） 其中，x3 ，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17. 表4-17 例4-7单纯形表 在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解. 注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况.

若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解. 在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法. 3.对偶问题的最优解 由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解. (1)设原问题(p)为 Min z=CX . ???≥=0X b AX 则标准型(LP)为 Max z=CX . ???≥=0X b AX 其对偶线性规划（D ）为 Max z=b T Y . ???≥=0X b AX 用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0 从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有 （σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn +1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1 (-I)

对偶单纯形法

1.对偶单纯形法 2.F(x)=3x1+4x2+5x3 X1+2x2+3x3>=5 2x1+2x2+x3>=6 xi>=0 f=[3;4;5]; A=[-1 -2 -3 -2 -2 -1]; b=[-5;-6]; lb=zeros(3,1); [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb) x = 1.0000 2.0000 0.0000 fval = 11.0000 exitflag = 1 output = iterations: 8 algorithm: 'large-scale: interior point' cgiterations: 0 message: 'Optimization terminated.' lambda = ineqlin: [2x1 double] eqlin: [0x1 double] upper: [3x1 double] lower: [3x1 double] x, lambda.ineqlin, lambda.lower x = 1.0000 2.0000 0.0000 ans = 1.0000 1.0000 ans = 0.0000 0.0000 1.0000

2.单纯形法 f(x)=-9x1+-16x2 x1+4x2+x3=80 2x1+3x2+x4=90 xi>=0 f=[-9;-16;0;0]; Aeq=[1 4 1 0 2 3 0 1]; beq=[80;90]; lb=zeros(4,1); [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,[],[],Aeq,beq,lb) Optimization terminated. x = 24.0000 14.0000 0.0000 0.0000 fval = -440.0000 exitflag = 1 output = iterations: 5 algorithm: 'large-scale: interior point' cgiterations: 0 message: 'Optimization terminated.' lambda = ineqlin: [0x1 double] eqlin: [2x1 double] upper: [4x1 double] lower: [4x1 double] x, lambda.ineqlin, lambda.lower x = 24.0000 14.0000 0.0000 0.0000 ans = Empty matrix: 0-by-1 ans =

5、对偶单纯形法

5、对偶单纯形法 在标准形式的线性规划问题中，如果σj =c j -C B P j ≤0，但b i 的值不一定为正，这时可用对偶单纯形法继续求解，直到所有b i ≥0。 对偶单纯形法的步骤： 1、 确定出基变量 存在小于零的b i 时，令b r =min{b i }，其对应变量x r 为出基变量。（先定出基变量） 2、 确定入基变量 在非基变量中找出a rj <0（j=m+1,….,n ）,令 θ=mjn ??????????<0rj rj j a a σ=rs s a σ 称a rs 为主元素，x s 为入基变量 3、 用入基变量替换出基变量，得到一个新的基。用新的基再检查是否所有b i ≥0，如果是，找到了问题的最优解，否则，回到第一步再重复计算。 【例】求解线性规划问题 min ω=12y 1+16y 2+15y 3 s.t. ?????≥≥+≥+0,,3522423 213121y y y y y y y 【解】 转化为目标函数最大化，并化为标准形 min （-ω）=-12y 1-16y 2-15y 3+0y 4+0y 5 s.t. ?????≥=-+=-+)5,4,3,2,1(0352242531421j y y y y y y y 但这时没有单位矩阵，需要用大M 法或两阶段法求解，较麻烦。 但这时可用对偶单纯形法求解。 在约束条件的两边乘-1，得 min （-ω）=-12y 1-16y 2-15y 3+0y 4+0y 5 s.t. ?????≥-=---=--)5,4,3,2,1(0352242531421j y y y y y y y 有单位矩阵，

(运筹学大作业)单纯性法与对偶单纯性法比较

对偶单纯形法与单纯形法对比分析 1．教学目标： 通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解 2．教学内容： 1）对偶单纯形法的思想来源 2）对偶单纯形法原理 3．教学进程： 1）讲述对偶单纯形法解法的来源： 所谓对偶单纯形法，就是将单纯形法应用于对偶问题的计算，该方法是由美国数学家C.莱姆基于1954年提出的，它并不是求解对偶问题解的方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方法。 2）为什么要引入对偶单纯形法： 单纯形法是解线性规划的主要方法，对偶单纯形法则提高了求解线性规划问题的效率，因为它具有以下优点： （1）初始基解可以是非可行解, 当检验数都为负值时, 就可以进行基的变换, 不需加入人工变量, 从而简化计算； （2）对于变量多于约束条件的线性规划问题,用对偶单纯形法可以减少计算量,在灵敏度分析及求解整数规划的割平面法中,有时适宜用对偶规划单纯形法。 由对偶问题的基本性质可以知道，线性规划的原问题及其对偶问题之间存在一组互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有z=w 。据此可知，用单纯形法求解线性规划问题时，在得到原问题的一个基可行解的同时，在检验数行得到对偶问题的一个基解，并且将两个解分别代入各自的目标函数时其值相等。 我们知道，单纯形法计算的基本思路是保持原问题为可行解（这时一般其对偶问题为非可行解）的基础上，通过迭代，增大目标函数，当其对偶问题的解也为可行解时，就达到了目标函数的最优值。那么对偶单纯形法的基本思想可以理解为保持对偶问题为可行解（这时一般原问题为非可行解）的基础上，通过迭代，减小目标函数，当原问题也达到可行解时，即达到了目标函数的最优值。其实对偶单纯形法本质上就是单纯形法, 只不过在运用时需要将单纯形表旋转一下而已。 一.单纯形法和对偶单纯性法 单纯形法是求解线性规划的主要方法, 单纯形表则是单纯形法和对偶单纯形法的运算工具。设线性规划问题为 Max ∑==n j j j x c Z 1

运筹学大作业单纯性法与对偶单纯性法比较

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对偶单纯形法与单纯形法对比分析1．教学目标： 通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解 2．教学内容： 1）对偶单纯形法的思想来源 2）对偶单纯形法原理 3．教学进程： 1）讲述对偶单纯形法解法的来源： 所谓对偶单纯形法，就是将单纯形法应用于对偶问题的计算，该方法是由美国数学家C.莱姆基于1954年提出的，它并不是求解对偶问题解的方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方法。 2）为什么要引入对偶单纯形法： 单纯形法是解线性规划的主要方法，对偶单纯形法则提高了求解线性规划问题的效率，因为它具有以下优点： （1）初始基解可以是非可行解, 当检验数都为负值时, 就可以进行基的变换, 不需加入人工变量, 从而简化计算； （2）对于变量多于约束条件的线性规划问题,用对偶单纯形法可以减少计算量,在灵敏度分析及求解整数规划的割平面法中,有时适宜用对偶规划单纯形法。 由对偶问题的基本性质可以知道，线性规划的原问题及其对偶问题之间存在一组互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有z=w。据此可知，用单纯形法求解线性规划问题时，在得到原问题的一个基可行解的同时，在检验数行得到对偶问题的一个基解，并且将两个解分别代入各自的目标函数时其值相等。 我们知道，单纯形法计算的基本思路是保持原问题为可行解（这时一般其对偶问题为非可行解）的基础上，通过迭代，增大目标函数，当其对偶问题的解也为可行解时，就

《运筹学》 第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及 答案

第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题 1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？ 2．简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么？ 3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？ 4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？ 5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？ 6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）0>+k n x ，其经济意 义是什么？ 7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量k n x +的检验数0>+k n σ（标准形为 求最小值），其经济意义是什么？ 8．将i j j i b c a ,,的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确 1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。 4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。 5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。 6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0>* i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源已经完全用尽。 7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0=* i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源一定还有剩余。 8．对于i j j i b c a ,,来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 之后，线性规划的最优解就会发生变化。 9．若某种资源的影子价格为u ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加 u k 。 10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量0

用对偶单纯形法求对偶问题的最优解

用对偶单纯形法求对偶问题的最优解 摘要：在线性规划的应用中，人们发现一个线性规划问题往往伴随着与之配对的另一个线性规划问题.将其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题.对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题的内在联系.由对偶问题引申出来的对偶解有着重要的经济意义.本文主要介绍了对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求解对偶问题的最优解. 关键词：线性规划；对偶问题；对偶单纯形 Using Dual Simplex Method To Get The Optimal Solution Of The Dual Problem Abstract：In the application of the linear programming，people find that a linear programming problem is often accompanied by another paired linear programming problem.One is called original problem. Another is called the dual problem. Duality theory reveals the internal relations between the dual problem and the original problem. The solution of the dual problem is of a great economic significance. In this paper，we mainly discuss the basic form of the dual problem and how to use dual simplex method to get the optimal solution of the dual problem. Key words: linear programming；dual problem；dual simplex method 1 引言 首先我们先引出什么是线性规划中的对偶问题.任何一个求极大化的线性规划问题都有一个求极小化的线性规划问题与之对应，反之亦然，如果我们把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题，并称这一对互相联系的两个问题为一对对偶问题.每个线性规划都有另一个线性规划(对偶问题)与它密切相关，对偶理论揭示了原问题与对偶问题的内在联系.下面将讨论线性规划的对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求最优解.在一定条件下，对偶单纯形法与原始单纯形法相比有着显著的优点. 2 对偶问题的形式 对偶问题的形式主要包括对称形对偶问题[]3和非对称性对偶问题. 2.1对称形对偶问题 设原线性规划问题为 Max 1122... n n Z c x c x c x =+++

对偶单纯形法 哈工大

对偶单纯形法教案 一．教学目标： 通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解，让学生了解对偶单纯形法思想来源和原理和引入单纯形法的原因，了解对偶单纯形法和原始单纯形法各自特点和适用问题，掌握对偶单纯形法解题步骤并能熟练运用对偶单纯形法配合原始单纯形法解决一些线性规划问题。 二.教学内容： 1）.对偶单纯形法的思想来源(5 min) 2）对偶单纯形法原理（难点）(10 min) 3）用标准流程图表示对偶单纯形算法 4）结合实际案例讲解对偶单纯形法求解过程 5）对比分析单纯形法和对偶单纯形法，说明什么类型的问题适合转化为对偶问题求解 三．教学过程： 1）：思想来源 对偶单纯形法是美国数学家C.莱姆基于1954年提出的。单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。 设原始问题为min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题（Dual Problem）为max{yb|yA≤c}。当原始问题的一个基解满足最优性条件时,其检验数cBB-1A-c ≤0。即知y=cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。 2）：对偶单纯形法原理 对偶单纯形法的原理，要用到前面讲到的几种性质： 弱对偶性原理：若X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解。则存

在X C ≦b Y 。 无界性原理： 若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。 最优性原理：如果x j （j=1，…，n)是原问题的可行解，y j （i=1，…，m ） 是其对偶问题的可行解，且有∑=n j j j x c 1 =∑=m i i i y b 1 ，则x j （j=1，…，n ）是原问题 的最优解， y j （i=1，…，m ）是其对偶问题的最优解。 性质6：线性规划问题的原问题及其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有z=w. 前面已经讲到原问题与对偶问题的解之间的对应关系时指出：在单纯形表中进行迭代时，在b 列中得到的是原问题的基可行解，而在检验数行得到的是对偶问题的基解。通过逐步迭代，挡在检验数行得到对偶问题的解也是基可行解时，根据弱对偶性原理和无界性原理可知，已得到最优解。即原问题与对偶问题都是最优解。 根据对偶问题的对称性，也可以这样考虑：若保持对偶问题的解是基可行解，即j B P B c 1-≦0，而原问题在非可行解的基础上，通过逐步迭代达到基可行解，这样也得到了最优解。其优点是原问题的初始解不一定是基可行解，可从非基可行解开始迭代，方法如下。 设原问题 max z=CX AX=b X ≧0 又设B 是一个基。不失一般性，令B=（,,21P P …m P ），它对应的变量为 =B X （,,21x x …m x ）

哈工大运筹学大作业对偶单纯形法对比

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运筹学课程 运筹学对偶单纯形法与单纯形法对比分析大作业 哈尔滨工业大学工业工程系 学生姓名: 学号： 指导教师： 成绩： 评语： 运筹学对偶单纯形法与单纯形法对比分析摘要：这篇论文主要介绍了对偶单纯形法的实质、原理、流程和适用条件等。将对偶单纯形法与单纯形法的基本思想进行对比分析，从而说明对偶单纯形法的优点和适用范围。 关键词：对偶单纯形法；对偶理论；单纯形法；基本思想 在线性规划早期发展阶段的众多重要发现中，对偶的概念及其分支是其中最重要的内容之一。这个发现指出，对于任何一个线性规划问题都具有对应的称为对偶问题的线性规划问题。对偶问题与原问题的关系在众多领域都非常有用。 （一）教学目标： 通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解。掌握对偶单纯形法的解题过程，理解对偶理论的其原理，了解对偶单纯形法的作用和应用范围（二）教学内容： 1）对偶单纯形法的思想来源 2）对偶单纯形法原理 3）对偶理论的实质

4）单纯形法和对偶单纯形法的比较 （三）教学进程： 一、对偶单纯形法的思想来源 所谓对偶单纯形法，就是将单纯形法应用于对偶问题的计算，该方法是由美国数学家C.莱姆基于1954年提出的，它并不是求解对偶问题解的方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方法。 二、对偶问题的实质 从而可以发现如下规律： 1.原问题目标函数系数是对偶问题约束方程的右端项。 2.原问题约束方程的右端项是对偶问题目标函数的系数。 3.原问题一个变量在所有约束方程中的系数是对偶问题一个约束方程中的所有系数。 三、对偶单纯形法原理 对偶单纯形法是通过寻找原问题的对偶问题的可行解来求解原问题的最优解的方法，它的应用包括影子价格和灵敏度分析等。为了理解对偶单纯形法为什么能够解出原方程的最优解，我们需要对对偶理论的几个基本原理有所了解。 1.弱对偶性 如果x j?(j=1,?,n)是原问题的可行解，y i?(i=1,?,m)是其对偶问题的可行解，则恒有 ∑c j x?j n j=1≤∑b i y?i m i=1

用对偶单纯形法求解线性规划问题

例4-7 用对偶单纯形法求解线性规划问题 Min z =5x 1+3x 2 X 1 - 6 x 2 A 4 在表4-17中,b=-16<0,而yA 0,故该问题无可行解. 注意：对偶单纯形法仍是求解原问题 ，它是适用于当原问题无可行基 ，且所有检验数均为负 的情况. 若原问题既无可行基，而检验数中又有小于 0的情况.只能用人工变量法求解. 在计算机求解时，只有人工变量法，没有对偶单纯形法. 3.对偶问题的最优解 由对偶理论可知，在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系 从求解原问题的最优单纯形表中 ，得到对偶问题的最优解. (1)设原问题(P)为 Min z= ex s.t. -2 X i + 3x 2 A 6 A 0 (j=1,2 ) 解：将问题转化为 Xj Max z = -5 X 1 -3 x 2 s.t. 2 x i - 3x X 3 = -6 -3 x i + 6 X 2 + x 4A -4 Xj 其中，X 3 , X 4 ,3,4 ) A 0 (j=1,2 为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表 4-17. ,可以根据这些关系，

Xj > 0 (j=1,2 , 3,4 ) 则标准型 (LP) 为 AX b s.t. X0 Max z=CX AX b s.t. X0 其对偶线性规划(D )为 Max z=b T Y AX b s.t. X0 用对偶单纯形法求解 时，有 Pj=-e i ， c j =0 (LP ),得最优基B 和最优单纯形表 T ( B )。对于(LP )来说，当j=n+i T (B )中，对于检验数，有 (b n+1,b n+2???b n+m) = (C n+i , c n+2…，c n+m ) -C B B -1 (Pn +1,Pn+2 …,Pn+m ) =- C B B -1 (-I) 于是，Y*= (b n+1,b n+2…b n+m T 。可见，在(LP )的最优单纯形表中，剩余变 量对应的检验数就是对偶问题的最优解。 同时，在最优单纯形表 T ( B )中，由于剩余变量对应的系数 所以 从而，在最优单纯形表 b n +2 …b B 1 = ( -y n+1 , -y n+2 …-y n+m ) 例 4-8 求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。 Min z =6x 1+8x 2 s.t. X i + 2x 2 >20 X 1 + 2x 2 A 50 Xj > 0 (j=1,2 ) 解： 将问题转化为 Max z =-6x 1-8x 2 s.t. -x 1 — 2x 2 + x 3=20 -3 X 1 - 2X 2 + X 4 =50

哈工大运筹学大作业-对偶单纯形法对比

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运筹学课程 运筹学对偶单纯形法与单纯形法 对比分析大作业 哈尔滨工业大学工业工程系 学生姓名: 学号： 11208401 指导教师： 成绩： 评语：

运筹学对偶单纯形法与单纯形法对比分析 摘要：这篇论文主要介绍了对偶单纯形法的实质、原理、流程和适用条件等。将对偶单纯形法与单纯形法的基本思想进行对比分析，从而说明对偶单纯形法的优点和适用范围。 关键词：对偶单纯形法；对偶理论；单纯形法；基本思想 在线性规划早期发展阶段的众多重要发现中，对偶的概念及其分支是其中最重要的内容之一。这个发现指出，对于任何一个线性规划问题都具有对应的称为对偶问题的线性规划问题。对偶问题与原问题的关系在众多领域都非常有用。 （一）教学目标： 通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解。掌握对偶单纯形法的解题过程，理解对偶理论的其原理，了解对偶单纯形法的作用和应用范围 （二）教学内容： 1）对偶单纯形法的思想来源

2）对偶单纯形法原理 3）对偶理论的实质 4）单纯形法和对偶单纯形法的比较 （三）教学进程： 一、对偶单纯形法的思想来源 所谓对偶单纯形法，就是将单纯形法应用于对偶问题的计算，该方法是由美国数学家C.莱姆基于1954年提出的，它并不是求解对偶问题解的方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方法。 二、对偶问题的实质 下面是原问题的标准形式以及其对应 原问题对偶问题 1.原问题目标函数系数是对偶问题约束方程的右端项。 2.原问题约束方程的右端项是对偶问题目标函数的系数。 3.原问题一个变量在所有约束方程中

的系数是对偶问题一个约束方程中的所有系数。 三、对偶单纯形法原理 对偶单纯形法是通过寻找原问题的对偶问题的可行解来求解原问题的最优解的方法，它的应用包括影子价格和灵敏度分析等。为了理解对偶单纯形法为什么能够解出原方程的最优解，我们需要对对偶理论的几个基本原理有所了解。 1.弱对偶性 如果是原问题的可行解， 是其对偶问题的可行解，则恒有 证明：由于对偶方程中原问题的约束条 件是各行的a ij x j 之和小于等于y i 的系数b i ， 而对偶问题的约束条件是各行的a ij y i 之和 小于等于x j 的系数c j ，故将和 分别和比较，可得上述结论。 2.最优性 如果是原问题的可行解， 是其对偶问题的可行解，且有则是原问题的最优解， 是其对偶问题的最优解。

对偶单纯形法编程

云南大学数学与统计学实验教学中心 实 验 报 告 一、实验目的 编程实现对偶（改进）单纯形法求解线性规划问题，加深对单纯形法的理解和掌握 二、实验环境 VS2010（C++） 三、实验内容 改进单纯形法的实验： 由于在一些情况下，当检验数Cj-Zj 都小于零后了，但是其b 的值却存在有负数了。这样的话，x 中就会存在负值，这样与约束条件中xi>0，就不符合。所以需要对单纯形法改进，得到对偶单纯形法。 四、实验过程 A 、对偶单纯形法的算法思想 1. 先用单纯形法计算，当检验数都为非正后，检查b 是否有存在负值，若是有则使用 对偶单纯形法。 2. 确定换出量，找到b 中为负值的最小值。确定对应的xi 的换出。 3. 再对单纯形表中的xi 所在行的各系数进行检查，若所有Aij 都大于零，则表示无可 行解。若存在Aij 小于零，则计算c min j j j ij z a -，找到其所换入的列以保证的到的对偶问题仍有可行解。 4. 然后再按照原单纯形算法经行求解。重复上述步骤。 B 、编译运行程序，输入约束方程的系数矩阵A ，常矩阵B,价值系数C,得到最优解 为了保证得到的算法既能对特殊情形（有bi<0）的情况下能求解，也能对一般的问题求解。这里给出了一下两组数据。 1、上一个实验报告中的求解的数据。 412011001011301110002310220101A ---????=-????----?? B=[2 ; 14 ; 2]; X=[3 -4 2 0 -5 5 0 0]

2、参照课本P62例题6中的2-6表给出的数据 133max 234z x x x =--- 123123232340;1,2,3i x x x x x x x i ++≥??-+≥??≥=? 1211021301A ---??=??--?? []12B =-- X=[-2 -3 -4 0 0] D 、运行结果如下图： 1）下图表示的是第一个数据带入后得到的结果。表示对偶单纯形法对一般的数据成立 2）下图表示的对偶单纯形法对b 中存在负值时纠正的结果： a 、初始化后的结果：