高中物理专题复习之万有引力20190901

某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛．比赛路径如下图所示，赛车从起点A 出发，沿水平直线轨道运动L 后，由B 点进入半径为R 的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C 点，并能越过壕沟．已知赛车质量m ＝0.1 kg ，通电后以额定功率P ＝1.5 W 工作，进入竖直轨道前受到的阻力恒为0.3 N ，随后在运动中受到的阻力均可不记．图中L ＝10.00 m ，R ＝0.32 m ，h ＝1.25 m ，x ＝1.50 m ．问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？(取g ＝10 m/s 2)

万有引力

§6-1 开普勒定律

1.开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

2.开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。此定律也适用于其他行星或卫星绕某一天体的运动。

3.开普勒第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴R 的三次方与公转周期

T 的二次方的比值都相同，即k k T

a ,23 值是由中心天体决定的。通常将行星或卫星绕中心天体运动的轨道近似为圆，则半长轴a 即为圆的半径。我们也常用开普勒三定律来分析行星在近日点和远日点运动速率的大小。

【例1】关于“地心说”和“日心说”的下列说法中正确的是( AB )。

A ．地心说的参考系是地球

B ．日心说的参考系是太阳

C ．地心说与日心说只是参考系不同，两者具有等同的价值

D ．日心说是开普勒提出的

【例2】开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的行星运动规律，后人称之为开普勒行星运动定律。关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是( B )

A ．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上

B ．对任何一颗行星来说，离太阳越近，运行速率就越大

C ．在牛顿发现万有引力定律后，开普勒才发现了行星的运行规律

D ．开普勒独立完成了观测行星的运行数据、整理观测数据、发现行星运动规律等全部工作

§6-2 万有引力定律

一、万有引力定律

1.内容：自然界的任何物体都相互吸引，引力方向在它们的连线上，引力的大小跟它们的质量m 1和m 2乘积成正比，跟它们之间的距离的平方成反比。

2.表达式：221r

m m G F =，).(/1067.62211引力常量kg m N G ??=- 3.使用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r 指球心间的距离。

4.万有引力与重力的关系：

(1)“黄金代换”公式推导：

当F G =时，就会有22gR GM R

GMm mg =?=。 (2)注意：①重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，但重力不是万有引力。 ②只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力。

③重力的方向竖直向下，但并不一定指向地心，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。

④重力随着纬度的增加而增大，赤道上重力最小，两极重力最大。

⑤物体随地球自转所需的向心力一般很小，物体的重力随纬度的变化很小，因此在一般粗略的计算中，可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的吸引力，即可得到“黄金代换”公式。

5.万有引力定律与天体运动：

(1) 运动性质：通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动。

(2) 从力和运动的关系角度分析天体运动：

天体做匀速圆周运动运动，其速度方向时刻改变，其所需的向心力由万有引

力提供，即F 需=F 万。即：.)2(222222L f m L T m L m L v m L GMm ππω=??

? ??=== 【例】关于万有引力和万有引力定律理解正确的有( B )

A ．不可能看作质点的两物体之间不存在相互作用的引力

B ．可看作质点的两物体间的引力可用F =221r m m G

计算 C ．由F = 2

21r m m G 知，两物体间距离r 减小时，它们之间的引力增大，紧靠在一起时，万有引力非常大

D ．引力常量是由卡文迪许测出来的，且等于6.67×10－11N ·m 2 / kg 2

【例】设地球表面的重力加速度为g 0，物体在距地心4 R(R 为地球半径)处，由于地球的作用而产生的重力加速度为g ，则g ∶g 0为( D )

A ．16∶1

B ．4∶1

C ．1∶4

D ．1∶16

【例】地球绕太阳公转的角速度为ω1，轨道半径为R 1，月球绕地球公转的角速度为ω2，轨道半径为R 2，那么太阳的质量是地球质量的多少倍？

【例】如右图所示，在一个半径为R ，质量为M 的均匀球体中，紧贴球的边缘挖出一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距2R 的质点m 的引力是多大？

思路分析：把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和

剩余部分对质点的引力之和，即可求解。

§6-3 由“万有引力定律”引出的四大考点

一、 天体质量的估算

模型一：环绕型： 谈一谈：对于有卫星的天体，可认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动，中心天体对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，利用引力常量G 和环形卫星的v 、ω、T 、r 中任意两个量进行估算（只能估计中心天体的质量，不能估算环绕卫星的质量）。 ①已知r 和T:.422322

2GT r M r T m r Mm G ππ=???? ??= ②已知r 和v:.222G

rv M r v m r Mm G =?= ③已知T 和v:.2232

22G T v M r T m r v m r Mm G ππ=???? ??== 模型二：表面型：

谈一谈：对于没有卫星的天体（或有卫星，但不知道卫星运行的相关物理量），可忽略天体自转的影响，根据万有引力等于重力进行粗略估算。

.22G

gR M mg R Mm G =?= 变形：如果物体不在天体表面，但知道物体所在处的g ，也可以利用上面的方法求出天体的质量：

处理：不考虑天体自转的影响，天体附近物体的重力等于物体受的万有引力，即：.)('')(2

2G

h R g M mg h R Mm G +=?=+

【例】“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km 的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟。已知引力常量G ＝6.67×10－11N ·m 2/kg 2，月球半径约为1.74×103km 。利用以上数据估算月球的质量约为( D )

A ．8.1×1010kg

B ．7.4×1013kg

C ．5.4×1019kg

D ．7.4×1022kg

【例】宇航员站在一颗星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L 3。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。求该星球的质量M 。

二、 天体密度的计算

模型一：利用天体表面的g 求天体密度：

.4334,32GR g R M mg R Mm G πρπρ=??== 物体不在天体表面：

变形

.4)('334,')(3

2

32GR h R g R M mg h R Mm G πρπρ+=??==+ 模型二：利用天体的卫星求天体的密度：

.33443434,4323323

233222R GT r R GT r R M R M T r m r Mm G ππππρπρπ===??==

三、 求星球表面的重力加速度：

在忽略星球自转的情况下，物体在星球表面的重力大小等于物体与星球间的万有引力大小，即：.22星星星星星星R GM g R m M G mg =?=

【例】假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d 。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( A )

A ．1－d R

B ．1＋d R C.2??? ??-R d R D. 2

??? ??-d R R 四、 双星问题：

特点：“四个相等”：两星球向心力相等、角速度相等、周期相等、距离等于轨道半径之和。 符号表示：L m m m r L m m m r m v m r v m r m F 2

11221212,,1,1+=+=∝∝?==ωω. 处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即：

G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，由此得出： (1)m 1r 1＝m 2r 2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。

(2)由于ω＝2πT ，r 1＋r 2＝L ，所以两恒星的质量之和m 1＋m 2＝4π2L 3

GT 2

。

【例】如图所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B两者中心之间的距离为L.已知A、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧．引力常量为G.

(1)求两星球做圆周运动的周期；

(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T2. 已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和7.35×1022kg.求T2与T1两者的平方之比．(结果保留两位小数)

§6-4 宇宙速度 & 卫星

一、宇宙速度：

1.第一宇宙速度：人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动必须具有的速度叫第一宇宙速度，也叫地面附近的环绕速度，v1=7.9km/s。它是近地卫星的运行速度，也是人造卫星最小发射速度。（待在地球旁边的速度）

2.第二宇宙速度：使物体挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造卫星或飞到其他行星上去的最小速度，v2=11.2km/s。（离弃地球，投入太阳怀抱的速度）

3.第三宇宙速度：使物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳以外的宇宙空间去的最小速度，v2=16.7km/s。（离弃太阳，投入更大宇宙空间怀抱的速度）

二、发射速度：

1.定义：卫星在地面附近离开发射装置的初速度。

2.取值范围及运行状态：

①s km v v /9.71==发,人造卫星只能“贴着”地面近地运行。

②s km v v /9.71=>发，可以使卫星在距地面较高的轨道上运行。

③s m v s km v v v /2.11/9.7,21<<<<发发即,一般情况下人造地球卫星发射速度。

【例】地球的第一宇宙速度约为8 km/s ，某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍。该行星上的第一宇宙速度约为( A )

A ．16 km/s

B ．32 km/s

C ．46 km/s

D ．2 km/s 三、人造地球卫星：

1.分类：近地卫星、中轨道卫星、高轨道卫星、地球同步卫星、极地卫星等。

2.三个”近似”：

①卫星贴近地球表面运行，可近似认为它做匀速圆周运动的半径等于地球半径。 ②在地球表面随地球一起自转的物体可近似认为地球对它的万有引力等于重力。 ③天体的运动轨道可近似看成圆轨道，万有引力提供向心力。

4.四个等式： ①运行速度：↓↑→+∝→+=?+=+v h h

R v h R GM v h R v m h R Mm G ,1)(22。 ②角速度：↓↑→+∝→+=?+=+ωωωω,)(1)()()(3

322h h R h R GM h R m h R Mm G

。 ③周期：

↑↑→+∝→+=?+??? ??=+T h h R T GM h R T h R T m h R Mm G ,)()(2)(2)(3322ππ。 ④向心加速度：↓↑→+∝→+=?=+a h h R a h R GM a ma h R Mm G ,)

(1)()(222。

四、地球同步卫星：

1.定义：在赤道平面内，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运行的卫星。

2.五个“一定”：

①周期T一定：与地球自转周期相等（24h），角速度ω也等于地球自转角速度。

②轨道一定：卫星的运行方向与地球自转方向一致，轨道平面与赤道平面重合。

③运行速度v大小一定：卫星绕地球运行的线速度大小一定，为3.08km/s。

④离地高度h一定：卫星的轨道半径均相同，其离地高度约为3.6×104km。

⑤向心加速度a n大小一定：卫星绕地球运行的向心加速度都相等，约为0.22m/s2。注：所有国家发射的同步卫星的轨道都与赤道为同心圆，它们都在同一轨道上运动且都相对静止。

五、卫星变轨问题：

1.原因：线速度v发生变化，使万有引力不等于向心力，从而实现变轨。

2.条件：增大卫星的线速度v，使万有引力小于所需的向心力，从而实现变轨。

3.注意：卫星到达高轨道后，在新的轨道上其运行速度反而减小；当卫星的线速度v减小时，万有引力大于所需的向心力，卫星则做向心运动，但到了低轨道后达到新的稳定运行状态时速度反而增大。

4.卫星追及相遇问题：某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上。由于它们轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻。

【例】发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆形轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2 运行，最后再次点火将卫星送入同步轨道3.轨道1、2 相切于Q 点，轨道2、3 相切于P 点，如图6－3 所示，则当卫星分别在1、2、3 轨道上正常运行时，以下说法正确的是(BD）

A．卫星在轨道3 上的运行速率大于在轨道1 上的速率

B．卫星在轨道3 上的角速度小于在轨道1 上的角速度

C．卫星在轨道1 上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度

D．卫星在轨道2 上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度

【例】下列关于同步卫星的说法，正确的是(AC）。

A．同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率是确定的

B．同步卫星的角速度是确定的，但高度和速率可以选择，高度

增加，速率增大，且仍保持同步

C．一颗人造地球卫星的周期是114 min，比同步卫星的周期短，所以这颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低

D．同步卫星的速率比地球大气层附近的人造卫星的速率大