大学物理学_下册习题与答案

习题九

一、选择题

9.1 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：

(A) 如果高斯面上E

处处为零，则该面内必无电荷．

(B) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E

处处为零．

(C) 如果高斯面上E

处处不为零，则高斯面内必有电荷．

(D) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零．

［A(本章中不涉及导体)、 D ］ 9.2有一边长为a 的正方形平面，在其中垂线上距中心O 点a /2处，有一电荷为q 的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为

(A)

03εq ． (B) 04επq (C) 03επq ． (D) 0

6εq ［D ］

q

题图9.1

9.3面积为S 的空气平行板电容器，极板上分别带电量q ±，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为

(A)S q 02

ε (B)S q 022ε (C) 2022S q ε (D) 2

02S

q ε [B ]

9.4 如题图9.2所示，直线MN 长为2l ，弧O C D 是以N 点为中心，l 为半径的半圆弧，N 点有正电荷q +，M 点有负电荷q -．今将一试验电荷0q +从O 点出发沿路径OCDP 移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功

(A) A ＜0 , 且为有限常量． (B) A ＞0 , 且为有限常量．

(C) A ＝∞． (D) A ＝0． ［D ，0O V =］

-题图9.2

9.5静电场中某点电势的数值等于 (A)试验电荷q 0置于该点时具有的电势能．

(B)单位试验电荷置于该点时具有的电势能． (C)单位正电荷置于该点时具有的电势能．

(D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功． ［C ］

9.6已知某电场的电场线分布情况如题图9.3所示．现观察到一负电荷从M 点移到N 点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？

(A) 电场强度M N E E <． (B) 电势M N U U <．

(C) 电势能M N W W <． (D) 电场力的功A ＞0．

［C ］ 二、计算题

9.7 电荷为q +和2q -的两个点电荷分别置于1x m =和1x m =-处．一试验电荷置于x 轴上

2q -0

解：设试验电荷0q 置于x 处所受合力为零，根据电力叠加原理可得

()()()()

02222

0000(2)(2)??0041414141q q q q q q i i x x x x εεεε?-?-+=?+=π-π+π-π+ 即：

()

()

()()22

22

1

(2)

0121011x x x x -+

=?+--=-+

()()2

2212210x x x x ++--+=

2610(3x x x m -+=?=±。

因23-=x 点处于q 、－2q 两点电荷之间，该处场强不可能为零．故舍去．得

(3x m =+

9.8 一个细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷Q +，沿其下半部分均匀分布有电荷Q -，如题图9.4所示．试求圆心O 处的电场强度．

解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在θ

处取微小电荷2/dq dl Qd λθπ==，它在O 处

产生场强

222

0042dq Q

dE d R R θπεπε=

=

按θ

角变化，将dE 分解成二个分量：

22

0sin sin 2x Q

dE dE d R θθθπε==

22

0cos cos 2y Q

dE dE d R

θθθπε=-=- 对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷

/22200

/2sin sin 02x Q

E d d R ππ

πθθθθπε??

=-=????

?? 2022/2/0202d cos d cos 2R Q

R Q E y εθθθθεπ

πππ-=??

????-π-=?? 所以

j R

Q j E i E E y x

2

02επ-=

+=。 9.9 如图9.5所示，一电荷线密度为λ的无限长带电直导线垂直纸面通过A 点；附近有一电量为Q 的均匀带电球体，其球心位于O 点。AOP ?是边长为a 的等边三角形。已知P 处场强方向垂直于OP ，求:λ和Q 间的关系。

解：如图建立坐标系。根据题意可知

02

000cos 60042x

Q E

a a

λ

πεπε=?

+

=∑ 0Q

Q a a

λλ?

+=?=-。 9.10 如题图9.6所示，一电荷面密度为σ的“无限大”平面，在距离平面a 处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R 的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的

大小．

d r

r

O

解：电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为：0

/2

Eσε

=。以图中O点为圆心，取半径为r r dr

→+的环形面积，其电量为2

dq rdr

σπ

=。它在距离平面为a的一点处产生的场强

()3/2

22

2

R

ardr

dE

a r

σ

ε

?

=

+

则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为

()3/2

22

00

2

R

R

a rdr

E

a r

σ

ε

=

+

???

?

?

?

?

+

-

=

2

2

1

2R

a

a

ε

σ

由题意，

/2/4

R

E Eσε

==，得到

222222

00

11

11

2422

a R a R a R

σσ

εε

????

-=?-=?=

? ?

+++

????

，

22222

24

a a R a a R

=+?=+?3

R a

=。

9.11 如题图9.7所示，一均匀带电直导线长为d，电荷线密度为λ

+。过导线中点O作一半径为R[2

d

R>]的球面S，P为带电直导线的延长线与球面S的交点。求：

（1）、通过该球面的电场强度通量

E

Φ。

（2）、P处电场强度的大小和方向。

解：（1）利用静电场的高斯定理即可得：int

00

E

q d

λ

εε

Φ==。

（2）如图建立一维坐标系，坐标原点与圆心重合。在带电导线上坐标为x处取长度为dx的带电元，其所带电荷量为dq dx

λ

=，dq在P点产生的电场强度为

22

00

??

4()4()

dq dx

dE i i

R x R x

λ

πεπε

==

--

P点的电场强度为

222

222 2222

000

??

()

?

4()4()4

d d d R d

d d d R d

dx i d R x i dy

E dE i

R x R x y

λλλ

πεπεπε

-

---+

-

===-=-

--

????

2

00

2

??

111

4422

R d

R d

i i

y R d R d

λλ

πεπε

-

+

??

??

=--=-

??

??-+

????

2200

??11(42)(42)?4242(42)(42)(4)i i

R d R d d i R d R d R d R d R d λλλπεπεπε??+--??=

-=

=????-+-+-????

9.12 题图9.8中，虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为：

x E bx =，0y E =, 0z E =。高斯面边长a ＝0.1 m ，常量b ＝1000 N/(C·m)．试求该闭合面中包含的净电荷．(真

空介电常数0ε＝8.85×10-12 C 2·N -1·m -2

)

解：设闭合面内包含净电荷为Q ．因场强只有x 分量不为零，故只是二个垂直于x 轴的平面上电场强度通量不为零．由高斯定理得：

1122120

,()Q

E S E S S S S ε-+=

==

则

231202102100()()(2)8.8510Q S E E Sb x x a b a a a b C εεεε-=-=-=-==?

9.13 体图9.9所示，有一带电球壳，内、外半径分别为a 、b ，电荷体密度为r A =ρ，在

球心处有一点电荷Q 。证明：当)2(2

a Q A π=时，球壳区域内电场强度E

的大小与半径r

无关。

证：用高斯定理求球壳内场强： ()

204/S

V

E dS E r Q dV πρε?=?=+?

?,

而

2044r

r v a A dV r dr A rdr r

ρππ=?=??

?()22

2A r a π=- ()222

222

2

00000244422A r a Q Q A Aa E r r r r ππεπεπεεε-=+=+-

要使E

的大小与r 无关，则应有 ：

2

22000

42Q Aa r r πεε-=， 即22Q A a π=。

图9.9

9.14 如题图9.10所示，一厚为b 的“无限大”带电平板，其电荷体密度分布为kx =ρ (0x b ≤≤)，式中k 为一正的常量．求：

(1) 平板外两侧任一点1P 和2P 处的电场强度大小； (2) 平板内任一点P 处的电场强度；

(3) 场强为零的点在何处？

解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设场强大小为E ．作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为S ，如图所示．

按高斯定理

int

0E ds q

ε?=??，即：

2

1

22b

b

kS

kSb SE Sdx xdx ρεεε=

=

=?

?

得到：

2

4kb E ε=， (板外两侧) (2) 过P 点垂直平板作一柱形高斯面，底面为S ．设该处场强为E '，如图所示．按高斯定理有：

()22

00

22x

kS

kSx kx E E S xdx E E εεε''+=

=?+=

?

得到： ???

? ??-='22220b x k E ε (0x b ≤≤) (3) 0E '=，必须是02

22

=-b x ， 可得 2/b x =。

9.15 一球体内均匀分布着电荷体密度为ρ的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体挖去半径为r 的一个小球体，球心为O '，两球心间距离d O O ='，如题图9.11所示。 求：

(1) 在球形空腔内，球心O '处的电场强度0E

；

(2) 在球体内P 点处的电场强度E

。设O '、O 、P 三点在同一直径上，且d OP =。

解：挖去电荷体密度为ρ

的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电

场1E ，而另在挖去处放上电荷体密度为ρ-的同样大小的球体，求出电场2E

，并令任意点

的场强为此二者的矢量叠加，即：210E E E

+=。

在图(a)中，以O 点为球心，d 为半径作球面为高斯面S ，则可求出O '与P 处场强的大小。

23

1101443

E ds E d d ππρε?=?=

???

得： 1110

3O P E E E d ρε'===

方向分别如图所示。

在图(b)中，以O '点为小球体的球心，可知在O '点20E =. 又以O '为心，2d 为半径作球面为高斯面S '可求得P 点场强2P E 。

()2

3

2204(2)4()/3s E ds E d r ππρε'

'?=?=-??

，2

03212d

r E P

ερ

-= (1) 求O '点的场强'O E

。由图(a)、(b)可得

'1'0

3O O d

E E ρε==， 方向如图(c)所示.

(2)求P 点的场强P E

.由图(a)、(b)可得

???

? ??-=+=230

2143d r d E E E P

P P ερ 方向如(d)图所示.

图(c)

2O’=0

图(b)

9.16 如题图9.12所示，两个点电荷＋q 和－3q ，相距为d . 试求：

(1) 在它们的连线上电场强度0=E

的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？

(2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势0U =的点与电荷为＋q 的点电荷相距多

远？

解：设点电荷q 所在处为坐标原点O ，x 轴沿两点电荷的连线． (1) 设0=E

的点的坐标为x '，则

()

04342

02

0=-'π-

'π=

i d x q

i x q E εε 02222=-'+'d x d x

解出：

(

121x d '=-+

另有一解)

1

2

2

1x d ''=不符合题意，舍去．

(2) 设坐标x 处0U =，则

()x d q x q U -π-π=

00434εε()0440

=??

????--π=

x d x x d q

ε 得：

4

d x =

9.17 一均匀静电场，电场强度1)600400-?+=

m V j i E

（，空间有两点)2,3(a 和)0,1(b ，（y x ,以米计）。求b a ,两点之间的电势差ab U 。

解：空间某点的位矢表示为??r xi

yj =+，则 ????(400600)()b b

ab a b a

a

U V V E dr i j idx jdy =-=?=+?+??

10

3

2

(400600)4006002000()b a

dx dy dx dy V =+=+=-???

9.18 题图9.13所示，为一沿x 轴放置的长度为l 的不均匀带电细棒，其电荷线密度为）

（a x -=0λρ，0λ为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O 处的电势．

解：在任意位置x 处取长度元dx ，其上带有电荷()0dq x a dx λ=-。它在O 点产生的电势

()x

x

a x U 004d d ελπ-=

O 点总电势：

004a l a l a a dx U dU dx a x λε++??==

-??π??????????

?+-π=a l a a l ln 400ελ

9.19 题图9.14所示，电荷q 均匀分布在长为2l 的细杆上。求 （1）、在杆外延长线上与杆端距离为a 的P 点的电势(设无穷远处为电势零点)。 （2）、杆的中垂线上与杆中心距离为a 的P 点的电势。(设无穷远处为电势零点)．

解：（1）设坐标原点位于杆中心O 点，x 轴沿杆的方向，如图所示．

细杆的电荷线密度/2q l λ=，在x 处取电荷元/2dq dx qdx l λ==，它在P 点产生的

电势为

()()

0048P dq qdx

dU l a x l l a x εε=

=π+-π+-

整个杆上电荷在P 点产生的电势：

()08l P l q dx U l l a x ε-=

π+-?()l l x a l l q --+π-=ln 80ε??

?

??+π=a l l q 21ln 80ε （2

.

杆的电荷线密度/2q l λ=．在x 处取电荷元/2dq dx qdx l λ==，它在P 点产生的电势

P dU =

=

整个杆上电荷产生的电势：

?

-+π=

l

l

P

x a x

l

q

U 220d 8

ε(

22

08l

l

q n x a l

ε-??=+?

???π (

)(

)(

2222

0088l l l q q n n l l a l l a l l εε??

????

+++?????==?

??

??ππ+-+-

2

208q

l a n l a ε?+=?π????

204q l a n l ε?+=

?π????

9.20 两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R 1＝0.03 m 和R 2＝0.10 m ．已

知两者的电势差为450 V ，求内球面上所带的电荷．

解：设内球上所带电荷为Q ，则两球间的电场强度的大小为

2

04r Q

E επ=

(R 1＜r ＜R 2）

两球的电势差：

?

?

π=

=2

1

2

1

20

124d R R R R r dr Q

r E U ε???? ??-π=

21

114R R Q ε

∴ 1

212

2104R R U R R Q -π=

ε＝2.14×10-9 C

9.21 电荷以相同的面密度σ分布在半径为r 1＝10 cm 和r 2＝20 cm 的两个同心球面上．设无限远处电势为零，球心处的电势为U 0＝300 V ． ［0ε＝8.85×10-12 C 2 /(N·m 2)］ (1) 求电荷面密度σ．

(2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？

解：(1) 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即

???? ??+π=

22110

041

r q r q U ε22120124414r r r r σσε??ππ=+ ?π??

()210r r +=εσ

2

100r r U +=ε

σ＝8.85×10-9 C / m 2

(2) 设外球面上放电后电荷面密度为σ'，则应有：

()0

120

1

0U r r σσε''=+= 即 ：

σσ2

1

r r -

=' 外球面上应变成带负电，共应放掉电荷：

()????

?

?+π='-π='212222144r r r r q σσσ ()12200244r r r U r σε=π+=π＝6.67×10-9 C

9.22如题图9.15所示，半径为R 的均匀带电球面，带有电荷q ．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为λ，长度为l ，细线左端离球心距离为r 0．设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)．

解：设x 轴沿细线方向，原点在球心处，在x 处取线元dx ，其上电荷为dq dx λ'=，