高中数学二次函数方程根的分布
二次函数根的分布专题
一元二次方程根的分布专题 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 一．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x ①方程有两个不等正根 ??? ? ? ? ??? >=>-=+>-=?>>00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负 ：0021<<=<-=+>-=?<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x 即时应用： (1)若一元二次方程 0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。 (2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332 =-++k kx kx 有一个正根和一个负根？
二、一元二次方程的非零分布——k分布 设一元二次方程20(0) ax bx c a ++=>的两不等实根为1x，2x，k为常数。则一元二次方 k1x2x k 根 的 分 布 ① 12 x x k② 12 k x x③ 12 x k x 图 象 充 要 条 件 2 b k a f k 2 b k a f k f k 根 的 分 布 ④ 1122 k x x k⑤ 11223 k x k x k⑥两根有且仅有一根在 12 ,k k内 图 象 充 要 条 件 1 2 12 2 f k f k b k k a 1 2 3 ()0 ()0 ()0 f k f k f k 12 f k f k 或 1 12 1 ()0 22 f k k k b k a 或 2 12 2 ()0 22 f k k k b k a k k k 2 k 1 k 2 k 1 k 3 k 2 k 1 k
一元二次方程根的情况试题练习题
一元二次方程根的情况练习题（含答案） 一．选择题 1．一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 2．一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根 3．一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 4．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．无实数根D．无法确定 5．a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．无实数根D．有一根为0 6．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 7．一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（）
C．只有一个实数根D．没有实数根 8．y=x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根 9．一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（） A．有一个实数根B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根D．没有实数根 10．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 11．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 12．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根 13．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 14．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）
二次函数和一元二次方程-辅导讲义
讲义内容 知识概括 知识点一： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有： (1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x 1，0)(x 2 ，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个 不等实根△=b2-4ac>0。 (2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程 ax2+bx+c=0有两个相等实根， (3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac<0. (4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。 方法总结： ⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶根据图象的位置判断二次函数2 y ax bx c =++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0) ax bx c a ++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0 a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： ?>抛物线与x轴有 两个交点二次三项式的值可正、 可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 ?=抛物线与x轴只 有一个交点 二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0 ?<抛物线与x轴无 交点 二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.
经典例题二次函数根的分布
二次函数根的分布 一、知识点 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图 象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 表二：（两根与k 的大小比较） 分布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图 象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 一元二次方程根的分布教学设计 大庆一中高中部孙庆夺 一、教学分析 （一）教学内容分析 本节课所讲的内容是高中数学必修一第三章第一节《函数与方程》之后的一个专题内容，是中学数学的重要内容之一。这段内容与一元二次不等式，二次函数等内容有着紧密的联系。它是在前面学习了函数与方程，二次方程，二次不等式基础上对函数与方程内容的深化和拓展，通过根的分布的不同情况，充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。从而提升学生对数学知识的应用能力。通过学习一元二次方程根的分布，有助于学生进一步理解二次方程，二次函数，加深函数与方程思想，数形结合思想在数学学习中的应用的认识，同时也为以后数学的学习打下扎实的基础。 （二）教学对象分析 高中一年级的学生已经有了一定的观察识图能力及分析判断能力，有利用已有知识解决新问题的愿望。学生学习了函数与方程，二次方程，二次函数的知识， 已经具有用数学知识解决实际问题的能力。学生抽象逻辑思维很大程度上还属于经验型，需要感性经验的直接支持。通过学习，抽象逻辑思维逐步成熟，能够用理论作为指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。 （三）教学环境分析 由于本节课涉及到根的分布情况较多，对老师的的作图提出了很高的要求。采用传统的板式教学，根本就无法向学生演示动态过程，很难满足学生的求知欲，达不到教学的最佳效果。多媒体网络教学，是现代高中数学教学全新的教育技术， 使传统的教学方式得到补充。在计算机的帮助下，利用制作好的几何画板课件，操作演示，感受根的分布的不同情况，加深学生的认识和理解，同时也符合学生认识事物从感性认识到理想认识的认知过程。 （四）教学手段 采用多媒体网络教学。《普通高中数学课程标准》指出：“现代信息技术的广泛应用真正对数学教学、数学学习方面产生深刻的影响，数学课程的设计应重视运用现代信息技术，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，提倡实现信息技术与课程内容的有机结合。”本节课涉及到的图象信息较多，利用多媒体网络教学可以实现最大容量地向学生提供图象信息，并让学生整理归纳信息，增强学生的动手能力、思考能力和自主学习能力，也能实现数学课堂中学生的高参与度，从而实现资源、时间、效率的最优化。 （五）教学方式 自主式探究，学案式导学。自主探究，学案导学的教学方式，能够激发学生的学习兴趣、突出学生的主题地位，培养学生的数学应用意识、合作精神，这与《新课标》的要求是吻合的。 二、教学目标 １.知识与能力 加深对一元二次方程，二次函数图象与性质的认识；会利用函数知识，方法重新审视一元二次方程． ２.过程与方法 体验“观察-猜想-验证”探究问题的方法，领会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，加深对函数与方程，数形结合思想的理解。 中考压轴专题之二次函数与方程综合 姓名 1.（08天津市卷26题） 已知抛物线c bx ax y ++=232， （Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标； （Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围； （Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10< 二次函数根的分布经典练习题及解析 1若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是() A(－∞,2] B [－2,2] C(－2,2] D(－∞,－2) 2设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为() A 正数 B 负数 C 非负数 D 正数、负数和零都有可能 3已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________ 4二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2) 8一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元 (1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？ (2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？ 参考答案 1解析当a －2=0即a =2时,不等式为－4＜0,恒成立∴a =2,当a －2≠0时，则a 满足 ? ? ?0,则f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1), ∴m －1＜0,∴f (m －1)>0 答案A 3解析只需f (1)=－2p 2－3p +9>0或f (－1)=－2p 2+p +1>0即－3＜p ＜2 3或－2 1＜p ＜1∴p ∈(－3,2 3) 答案(－3，2 3） 4解析由f (2+x )=f (2－x )知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小， ∴|1－2x 2－2|＜|1+2x －x 2－2|,∴－2＜x ＜0 一元二次方程及根的定 义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及 的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式 的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以. . 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由， 得， ， ， 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以， 所以. (3)将原方程展开并整理得， 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或， 故 (2)直接提取公因式，得 所以或，(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 淇滨区第一中学教案 九年级班执课教师：执课时间：年月日课题二次函数与方程的关系课时安排第课时 教学课型新授课□实（试）验课□复习课□实践课□其他□ 教学目标1理解一元二次函数与一元二次方程的关系，并会求有关字母的值。 2. 会用一次函数与二次函数的图象的交点求方程组的解及由方程组的解求交点坐标 教学重点 利用一元二次函数与一元二次方程的关系，并会求有关字母的值教学难点 抛物线图象与x轴交点的位置来判断方程的根． 课前准备二次函数的解析式中的一般式是: y = a x2+ bx +c (a≠0) 顶点式：y = a(x-h) 2+ k 交点式：y = a(x-x1)(x-x2) 教学环 节 内容设计意图 教学构架 一、知识梳理二、错题再现三、知识新授四、小结与 预习 一、一元二次函数与一元二次方程的关系 1、从形式上看： 二次函数：y=ax2＋bx＋c (a≠0) 一元二次方程：ax2＋bx＋c=0 (a≠0) 2、从内容上看： 二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解； 一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值 3、相互关系： 二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的 根。 如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二 次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3 （1）二次函数y=a x2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: a、有两个交点, b、有一个交点, c、没有交点. (2)当二次函数y=a x2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横 坐标就是当y=0时自变量x的值, 即 一元二次方程a x2+bx+c=0的根. 二次函数方程根的分布 典型示范 （例1）求实数m 的取值范围，使关于x 的方程062)1(22 =++-+m x m x (1) 有两个正根（负根）； (2) 有两个大于1的根； (3) 有两个实根，一个比2大，一个比2小； (4) 两根都在（0，1）内； (5) 有两个实根βα,，且满足014αβ<<<<； (6) 至少有一个正根； (7) 恰有一解在（0，1）内； (8) 在（0，1）内有解。 巩固练习： 1．方程2()f x ax bx c =++=0(a >0)的两个根都大于1的充要条件是( ) A ．△≥0且f (1)>0 B ．f (1)>0且－a b >2 C ．△≥0且－ a b >2，c a >1 D ．△≥0且f (1)>0，－a b >2 2、如果方程22(1)20x m x m +-+-=的两个实根一个小于1-，另一个大于1，那么实数m 的 取值范围是 （ ） A ．( B ．(20)-， C ．(21)-， D ． (01)， 3、不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是_______。 4 若二次函数2 y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 5 函数2 ()(2)2(2)4f x a x a x =-+--的定义域为R ，值域为(],0-∞， 则满足条件的实数a 组成的范围是 6．已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则m = ． 7．若关于x 的方程mx 2+(m -3)x+1=0至少有一个正根，求实数m 的范围． 8 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(1,0)-内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围. 一元二次方程的根的判别式 1、方程2x 2+3x －k=0根的判别式是 ；当k 时，方程有实根。 2、关于x 的方程kx 2+(2k+1)x －k+1=0的实根的情况是 。 3、方程x 2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。 4、关于x 的方程(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0的根的情况是 。 5、当m 时，关于x 的方程3x 2－2(3m+1)x+3m 2－1=0有两个不相等的实数根。 6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值是 。 7、关于x 的一元二次方程mx 2+(2m －1)x －2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。 8、设方程(x －a)(x －b)－cx=0的两根是α、β，试求方程(x －α)(x －β)+cx=0的根。 9、不解方程，判断下列关于x 的方程根的情况： (1)(a+1)x 2－2a 2x+a 3=0(a>0) (2)(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0 10、m 、n 为何值时，方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2+2=0有实根? 11、求证：关于x 的方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。 12、已知关于x 的方程(m 2－1)x 2+2(m+1)x+1=0，试问：m 为何实数值时，方程有实数根? 13、 已知关于x 的方程x 2－2x －m=0无实根(m 为实数)，证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2－1)(x 2+1)=0 也无实根。 14、已知：a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况。 15、m 为何值时，方程2(m+1)x 2+4mx+2m －1=0。 (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个实数根； (3)有两个相等的实数根； (4)无实数根。 16、当一元二次方程(2k －1)x 2－4x －6=0无实根时，k 应取何值? 17、已知：关于x 的方程x 2+bx+4b=0有两个相等实根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2－b)y+4=0的两实根，求以1y 、2y 为根的一元二次方程。 18、若x 1、x 2是方程x 2+ p x+q=0的两个实根，且23x x x x 222121=++，25x 1x 12221=+求p 和q 的值。 19、设x 1、x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0(q ≠0)的两个根，且x 2 1+3x 1x 2+x 2 2=1， 0)x 1(x )x 1(x 2211=+++，求p 和q 的值。 20、已知x 1、x 2是关于x 的方程4x 2－(3m －5)x －6m 2=0的两个实数根，且23x x 21=，求常数m 的值。 21、已知α、β是关于x 的方程x 2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α3－α2β－αβ2+ β3=0，求证：p=0,q<0 22、已知方程(x －1)(x －2)=m 2(m 为已知实数，且m ≠0)，不解方程证明： (1)这个方程有两个不相等的实数根； 练习九 二次函数与方程和不等式 1、已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 . 2、关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第_____象限； 3、抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、以上都不对 4、二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ） A 、0,0>?>a B 、0,0a C 、0,0>? 一元二次方程根与系数的关系（附答案） 评卷人得分 一．选择题（共6小题） 1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说确的是（） A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1 3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6 5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D． 6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（） A．﹣1 B．0 C．1 D．3 评卷人得分 二．填空题（共1小题） 7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为． 评卷人得分 三．解答题（共8小题） 8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长． 9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）若该方程的一个根为1，求a的值； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程一个根为3，求m的值． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程； （2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值围； （3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值． 12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根． 二次函数与方程及不等式的关系 6、如图,将二次函数y=x 2 -m(其中m >0)图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,形成新的图象记为y 1,另有一次函数y=x+b 的图象记为y 2,则以下说法:(1)当m=1,且y 1与y 2恰好有三个交点时,b 有唯一值为1; (2)当b=2,且y 1与y 2恰有两个交点时,m>4或<0m<7 4 ; (3)当m=b 时,y 1与y 2至少有2个交点,且其中一个(0，m); (4)当m=-b 时,y 1与y 2一定有交点. 其中正确说法的序号为 9. (2014·浙江杭州江干一模，16，4分)如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，B (4，2)，一次函数y ＝kx －1的图象平分它的面积．若关于x 的函数y ＝mx 2－(3m ＋k )x ＋2m ＋k 的图象与坐标轴只有两个交点，则m 的值为________． 解析 过B 作BE ⊥AD 于E ，连结OB ，CE 交于点P ，∵P 为矩形OCBE 的对称中心，则过点P 的直线平分矩形OCBE 的面积．∵P 为OB 的中点，而B (4，2)，∴P 点坐标为(2，1)，∵P 点坐标为(2，1)，点P 在直线y ＝kx －1上，∴2k －1＝1，k ＝1.∵关于x 的函数y ＝mx 2－(3m ＋1)x ＋2m ＋1的图象与坐标轴只有两个交点，∴①当m ＝0时，y ＝－x ＋1，其图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)；②当m ≠0时，函数y ＝mx 2－(3m ＋1)x ＋2m ＋1的图象为抛物线，且与y 轴总有一个交点(0，2m ＋1)，若抛物线过原点时，2m ＋1＝0，即m ＝－12，此时，Δ＝(3m ＋1)2－4m (2m ＋1)＝(m ＋1)2>0，故抛物线与x 轴有两个交点且过原点，符合题意．若抛物线不过原点，且与x 轴只有一个交点，也符合题意，此时Δ＝(m ＋1)2＝0，m ＝－1.综上所述，m 的值为：m ＝0或－1或－12. 答案 m ＝0或－1或－1 2 1．(原创题)函数y ＝kx 2－6x ＋3的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A ．k <3 B ．k <3且k ≠0 C ．k ≤3且k ≠0 D ．k ≤3 18.已知二次函数2y x bx =+的对称轴为直线1x =,若关于x 的一元二次方程 1.一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2 +bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有： (1)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)一元二次方程ax 2 +bx+c=0有两个不等实根 △ =b 2 -4ac>0。 (2)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点 一元二次方程ax 2 +bx+c=0有两 个相等实根， (3)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴没有公共点 一元二次方程ax 2 +bx+c=0没有实数根 △=b 2 -4ac<0. (4)事实上，抛物线y=ax 2 +bx+c 与直线y=h 的公共点情况方程ax 2 +bx+c=h 的根的情况。 抛物线y=ax 2 +bx+c 与直线y=mx+n 的公共点情况方程ax 2 +bx+c=mx+n 的根的情况。 2.二次函数解析式求法 例1、二次函数与一元二次方程 1、抛物线2 283y x x =--与x 轴有 个交点，因为其判别式2 4b ac -= 0，相应二次方程2 3280 x x -+=的根的情况为 ． 2、函数2 2y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 3、关于二次函数2 y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时，函数的图像经过原点；②当0c >，且函数的图 像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a -；④当0b =时， 知识梳理 新课讲解 1 一元二次方程ax 2 ? bx ? c 二0 根的分布情况 2 2 设方程ax ? bx ? c = 0 a = 0的不等两根为X |,x 2且为：：：x 2，相应的二次函数为 f x 二ax bx 0， 方程的根 即为二次函数图象与 x 轴的交点的横坐标（也即是函数的零点），它们的分布情况见下面各表 表一：两根与0的大小比较即根的正负情况（a>0） 表二：（两根与k 的大小比较）（a>0） 表三：（根在区间上的分布）（a>0） 两根有且仅有一根在 m, n 内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在 m,n 内，另一根在 p,q 内，m ：： n ：： p ：： q . "■： 0 f m .0 f n 广0 b m … n 2a 大 致 图 象 分 布情 况 两个负根即两根都小于 0 X :: 0, x 2 :: 0 两个正根即两根都大于 0 x 1 0, x 2 0 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 % ：：： 0 ：：： 大 致图 象 f 0 ::: 0 分 布情 况 两根都小于k 即 x 1 :: k, x 2 :: k 两根都大于k 即 x 1 k, x 2 k 一个根小于k ，一个大于k 即 捲：：k . x 2 大 致 图 象 f k ：： 0 分 布 情况 两根都在m, n 内 f m f n ：： 0 f n ：：:0 0 . "■： 0 f k .0 函数与方程思想： (1)方程f(x°)=O有根二y=f(x)与x轴有交点x°=函数y=f(x)有零点X。 (2)若y=f(x)与y = g( x)有交点(x o , y°)= f(x)=g(x)有解x。 根的分布练习题 例1、已知二次方程2m 1 x2-2mxrm-1 = 0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。 2 例2、已知二次函数y = m ? 2 x 7：2m - 4 x：「］3m - 3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1,求实数m的取值范围。 2 例3.已知关于x的二次方程x +2m)+2n+仁0. (1) 若方程有两根，其中一根在区间(一1, 0)内，另一根在区间(1 , 2)内，求m的范围. (2) 若方程两根均在区间(0 , 1)内，求m的范围 练习： 1.关于x的一元二次方程x2 -2ax ? a ? 2 = 0，当a为何实数时： (1)有一个根大于2，另一个根小于2 (2 )在1,3内有且只有一解 一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 一．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x ①方程有两个不等正根 ??? ?? ? ??? >=>-=+>-=?>>00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负 ：0021<<=<-=+>-=?<<00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x 即时应用： (1)若一元二次方程 0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。 (2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332 =-++k kx kx 有一个正根和一个负根？ 二、一元二次方程的非零分布——k 分布 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两不等实根为1x ，2x ， k 为常数。则一元二次方k 1x 2x k k k k 2k 1k 2 k 1 k 3 k 2 k 1 k一元二次方程根的分布教学设计
二次函数与方程
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