金桥高中补习班数学归纳法与数列的极限(复习课)(教案)

§2 数学归纳法与数列的极限

一、基础知识点

1. 推理与证明

推理方法有：合情推理与演绎推理.

合情推理有：类比，不完全归纳，猜想等. 演绎推理：严格的逻辑证明.

2. 数学归纳法：是证明有关自然数的命题的一种方法，属于完全归纳法，其证明步骤如下： 第一步：验证当n 取第一个允许值0n 时命题成立；

第二步：假设当0()n k k n =≥时命题成立（归纳假设），证明当1n k =+时命题也成立.

完成以上两步，就能断言：对一切*

0,n N n n ∈≥，命题都成立.

3. 归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解 （1）学会探索与发现的规律方法：

演绎——从一般到一般（结论一定正确）； 类比——从特殊到特殊（结论不一定正确）； 归纳——从特殊到一般（结论不一定正确）.

（2）归纳猜想得到的结论不一定正确，必须经过严格的逻辑证明，而与自然数有关的结论的证明，常用数学归纳法.

4. 数学归纳法证明过程中的两个步骤缺一不可. 第一步是归纳的基础，这是一个成立的实事；第二步是证明的关键，在归纳假设的前提下完成证明. 如果不用归纳假设而完成了证明过程，那不叫数学归纳法证明.

多米诺骨牌.

5. 数学归纳法的原理： （1）1234→→→→； （2）1357→→→→

；

（3）

324132????→??→???

→?????

?

6. 归纳猜想证明的一般步骤：

①计算命题取特殊值时的结论；

②对这些结果进行分析，探索数据的变化规律，并猜想命题的一般结论； ③证明所猜想的结论. 7. 数列极限

（1）定义：一般地，在n 无限增大的变化过程中，如果无穷数列{}n a 中的项n a 无限趋近于一个常数A ，那么A 叫做数列{}n a 的极限，或称作数列{}n a 收敛于A ，记作lim n n a A →∞

=.

数列极限存在的条件：①无限数列；②当n 趋向于无穷时，n a 无限趋近于某一常数. （2）数列极限的运算法则： 若lim ,lim n n n n a A b B →∞

→∞

==，则

①lim()n n n a b A B →∞

+=+； ②lim()n n n a b A B →∞

-=-；

③lim()n n n a b A B →∞

?=?； ④lim

(0)n n n

a A

B b B →∞=≠.

特别，若C 为常数，则lim()n n C a C A →∞

?=?.

（3）三个常用的极限：

①lim n C C →∞

=（C 为常数）； ②1

lim

0n n

→∞=； ③0,

||1lim 1,1||1 1.n

n q q q q q →∞

=-?

时时不存在，或

（4） 无穷等比数列各项的和：

若无穷等比数列{}n a 的公比||1q <，则其各项的和为1

lim 1n n a S S q

→∞

==

-. 8. 关于数列极限概念的理解：

①极限是一种变化趋势，并不一定有n a =A ； ②“无穷大∞”的意思是要有多大就有多大； ③若lim n n a A →∞

=，则1lim lim n n n n a a A -→∞

→∞

==.

9. 常见数列极限类型：

①∞?∞、

∞

型：极限不存在； ②00?、00-、0

∞型：极限均为0；

③∞-∞、∞∞、0

、0?∞型：极限不确定，有的存在，有的不存在.

④有理分式型：111011100,lim ,.k k k k m

m m n m m m m k a n a n a n a a m k b n b n

b n b b m k ---→∞-?>?

?+?++?+?==??+?++?+??

，，不存在，

二、基础自测

1. 一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( B )

A ．一切正整数命题成立

B ．一切正奇数命题成立

C ．一切正偶数命题成立

D ．以上都不对

2. 设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f (k )，则f (k ＋1)与f (k )的关系是( C )

A ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1

B ．f (k ＋1)＝f (k )＋k －1

C ．f (k ＋1)＝f (k )＋k

D ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋2

解析：当n ＝k ＋1时，任取其中1条直线，记为l ，则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为f (k )，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其他的f (k )个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f (k )＋k ＝f (k ＋1)．

3. 已知某个关于自然数n 的命题()P n ，如果当*

()n k k N =∈时该命题成立，那么可得当1n k =+时命题也成立.

①写出当n =4时命题成立的所有充分条件： ； ②写出当n =4时命题成立的一个必要条件： ；

③现在已知当n =4时，该命题不成立，则下列说法正确的是 ： A ．当n =3时该命题不成立； B ．当n =5时该命题不成立； C ．当n =1时该命题可能成立；

D ．当n =5时，该命题可能成立，如果n =5时命题成立，那么对于任意自然数5n ≥，该命题都成立. 解：①是找到推出“n =4”成立的条件；②是找到由“n =4”能推出什么；③可用等价于逆否命题来判断：“34n n =?=成立成立” ?“43n n =?=不成立不成立”. ①n =1成立、n =2成立、n =3成立； ②n =5或n =6或n =7… ③A 、D 均正确

4. 已知数列{a n }满足：a 1＝1

3，且对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m a n ，若数列{a n }的前n 项和为

S n ，则lim n n S →∞

=＝( )

A.12

B.23

C.3

2

D ．2 【解析】 a 1＝13，a 2＝13×13＝19，a 3＝13×19＝127，a 4＝1

81

∴{a n }是首项为13公比为1

3的等比数列

∴li m n →∞S n ＝131－13＝1

2. 【答案】 A

5. 若lim n →∞

(a ＋2b )n 2＋2n ＋1bn ＋3＝1

2，则实数a ＋b 为( )

A ．－2

B ．2

C ．－4

D ．4

【解析】 极限值为1

2，分母是n 的一次式，分子是n 的二次式，

∴?????

a ＋2

b ＝0，2b ＝12.得b ＝4，a ＝－8，∴a ＋b ＝－4. 【答案】 C

6. 已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且

a 1＝3，a 3＝5，则

???? ??-++-+-+∞→n n n a a a a a a 12

3121

11lim 等于( ) A ．2 B. 32 C ．1 D. 1

2

【解析】 令b n ＝log 2(a n －1)，则{b n }成等差数列，b 1＝log 22＝1，b 2＝log 24＝2， 可知数列b n ＝log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ， ∴a n ＝2n ＋1.

则a n ＋1－a n ＝2n ＋

1＋1－(2n ＋1)＝2n .

即求li m n →∞ ????12＋122＋…＋1

2n ＝121－1

2＝1. 【答案】 C

7. 135(21)

lim 123n n n

→∞++++-++++

=

2

.

8. n →∞

=

1

2

.

三、典例解析

【例1】用数学归纳法证明：

1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤1

2

＋n (n ∈N *)．

证明：（1）当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝12＋1，∴32≤1＋12≤3

2

，即命题成立．

（2）假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤1

2

＋k ，

则当n ＝k ＋1时，

1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k

>1＋k 2＋2k ·1

2k ＋2k ＝1＋k ＋12.

又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时，命题成立．

由（1）（2）可知，命题对所有n ∈N *都成立．

【例2】是否存在常数a 、b 、c 使等式

12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )

对于一切n ∈N *都成立，若存在，求出a 、b 、c 并证明；若不存在，试说明理由．

解析 假设存在a 、b 、c 使12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N *

都成立．

当n ＝1时，a (b ＋c )＝1； 当n ＝2时，2a (4b ＋c )＝6； 当n ＝3时，3a (9b ＋c )＝19.

解方程组解得????

?

a ＝13

，b ＝2，

c ＝1.

证明如下：

①当n ＝1时，由以上知存在常数a ，b ，c 使等式成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，

即12＋22＋32＋…＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝1

3k (2k 2＋1)；

当n ＝k ＋1时，

12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12 ＝13k (2k 2＋1)＋(k ＋1)2＋k 2＝1

3k (2k 2＋3k ＋1)＋(k ＋1)2

＝13k (2k ＋1)(k ＋1)＋(k ＋1)2＝1

3(k ＋1)(2k 2＋4k ＋3)

＝1

3(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]．

即n ＝k ＋1时，等式成立．

因此存在a ＝1

3，b ＝2，c ＝1使等式对一切n ∈N *都成立．

【例3】用数学归纳法证明42n ＋

1＋3n

＋2

能被13整除，其中n 为正整数．

证明：（1）当n ＝1时，42×1＋

1＋31＋2＝91能被13整除． （2）假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，42k ＋

1＋3k ＋2

能被13整除，

则当n ＝k ＋1时， 方法一 42(k

＋1)＋1

＋3k ＋3＝42k ＋1·42＋3k ＋2·3－42k ＋1·3＋42k ＋

1·3

＝42k ＋

1·13＋3·(42k ＋

1＋3k ＋

2)， ∵42k ＋

1·13能被13整除，42k ＋

1＋3k ＋2

能被13整除．

∴42(k

＋1)＋1＋3k

＋3

能被13整除．

方法二 因为[42(k

＋1)＋1

＋3k ＋3]－3(42k ＋1＋3k ＋

2)

＝(42k ＋

1·42＋3k ＋

2·3)－3(42k ＋

1＋3k ＋

2) ＝42k ＋

1·13，

∵42k ＋1·13能被13整除， ∴[42(k

＋1)＋1＋3k ＋3]－3(42k ＋1＋3k ＋

2)能被13整除，因而42(k

＋1)＋1

＋3k

＋3

能被13整除，

∴当n ＝k ＋1时命题也成立，

由（1）（2）知，当n ∈N ＋时，42n ＋

1＋3n

＋2

能被13整除．

【例4】在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12???? ?

?

+n n a a 1. （1）求a 1，a 2，a 3；

（2）由（1）猜想数列{a n }的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．

解：（1）S 1＝a 1＝1

2????a 1＋1a 1得a 21＝1. ∵a n >0，∴a 1＝1， 由S 2＝a 1＋a 2＝1

2?

???a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，∴a 2＝2－1. 又由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1

2?

???a 3＋1a 3 得a 23＋22a 3－1＝0，∴a 3＝3－ 2. （2）猜想a n ＝n －n －1 (n ∈N *)

证明：①当n ＝1时，a 1＝1＝1－0，猜想成立．

②假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即a k ＝k －k －1，

则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12????a k ＋1＋1a k ＋1－1

2????a k ＋1a k ， 即a k ＋1＝12????a k ＋1＋1a k ＋1－12? ??

??k －k －1＋1k －k －1

＝1

2????a k ＋1＋1a k ＋1－k ， ∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，∴a k ＋1＝k ＋1－k .

即n ＝k ＋1时猜想成立．

由①②知，a n ＝n －n －1 (n ∈N *)．

【例5】已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1

S n ＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，

猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．

解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n ＋2. ∴S n ＝－1

S n －1＋2(n ≥2)．

则有S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45，S 4＝－1S 3＋2＝－5

6.

由此猜想：S n ＝－n ＋1

n ＋2(n ∈N *)．

用数学归纳法证明：

①当n ＝1时，S 1＝－2

3

＝a 1，猜想成立．

②假设n ＝k (k ∈N *)猜想成立，即S k ＝－k ＋1

k ＋2成立，

那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－

1S k ＋2＝－1

－k ＋1k ＋2

＋2＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2

.

即n ＝k ＋1时猜想成立．

由①②可知，对任意自然数n ，猜想结论均成立．

【例6】（1）22221111lim(1)(1)(1)(1)234n n

→∞-

---= . 解：22221111

lim(1)(1)(1)(1)

234n n →∞----

111111lim(1)(1)(1)(1)(1)(1)223334112111lim(=lim .232322n n n n n

n n n n n n →∞→∞→∞=+-+-+-+-+=???????=）

（2）等差数列{}{}a b n n n 、的前项和分别为S T n n 和，若

S T n

n a b n n n n n

=+→∞231,lim 则等于（ C ）

A ．1

B ．

6

3

C ．

23

D ．

49

【例7】设数列{}a n 中，a 11=，它的前n 项和为S n ，且211a S S n n ，，+成等差数列. （1）求S S S 123，，，并猜想S n 的表达式，用数学归纳法证明；

（2）求lim n →∞

S n 。

解：（1）S S S S n n 1231

13274

212=-==-?? ?

??

-，，，猜想，证明略。

（2）lim n n S →∞

=2

【例8】设()f x x =-322，若数列{}a n 中，()()a a f a n n N n n 1122==≥∈-且，

（1）写出{}a n 的前四项，并猜想a n 的表达式，用数学归纳法证明；

（2）求lim n n n n

a →∞--2

1

23；

（3）()b a a n N n n

n n =+∈+31

，求{}b n 的前n 项之和S n 。

解：（1）a 12=，a a a a n n 23410288231==

==+，，，猜想，用数学归纳法证明略；

（2）lim lim n n n n n n →∞→∞

+--=?? ??

?-=-311231

2311；

（3）b n n

n

n =

++++3

313

1

1

(

)()

()

=

+-++-+=-++++33131

3131

1

2

331111n

n n n n n n

[)()

S n n n n =

+-+++-++++-+=+-++1

2313131313131

12

3122

3211

…

【例9】已知数列{}n a ：∈-==-n a p a a n n (1||,110N* ),10,<

<<-

n a p

解：（Ⅰ）∵p p p p p a p p p a a +-+-=

-+--?=+-+-=+-=?=1)(111)(1,1)(1113

23220,…， 猜测p

p a n

n +-+-=1)(1，数学归纳法证明（略）.

（Ⅱ）∵,0)

1()(11;0,1|)(|01

>+--=+<∴<-<+p p p p a a p n n n n

而

∴.01

,1<<-->n n a p

p a 得

【例10】设{}a n 是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项。 （1）写出数列的前3项；

（2）求数列{}a n 的通项公式（写出推证过程）；

（3）令()()

b a a a a n N b b b n n n n n n n n =

+?? ?

?

?∈+++-++→∞121112，求 (i)

解：（1）当n a S S a =+==12

2

21111时，有，，

∴

+==a a a 1112

2

22，解得，

当时，有

，，n a S S a a =+==+22

2

222212 将代入，整理得a a 1222216=-=().

由，解得当时，有，，

a a n a S S a a a 2233312306

32

2

2>==+==++

将，代入，整理得a a a 1232

26264==-=()， 由，解得a a 33010>= 故该数列的前3项为2，6，10。

（2）由（1）猜想数列{}a a n n n 的通项公式=-42。

下面用数学归纳法证明数列{}a n 的通项公式是a n n N n =-∈42()。

①当n =?-=14122时，因为，又在（1）中已求出a 12=，所以上述结论成立。

②假设n k =时结论成立，即有a k k =-42，由题意有

a S k k +=2

2

2 将a k k =-42代入上式，得2222k S S k k k ==，解得。

由题意有，

a S S S a S k k k k k k k +++++==+=111122

2

22，，将代入，得 ()

a a k

k k +++?? ???=+12

12

2222

整理得 a a k k k ++-+-=121244160 由a k +>10，解得a k k +=+124，所以 a k k k +=+=+-124412() 这就是说，当n k =+1时，上述结论成立。 根据①、②上述结论对任意n N ∈成立。

（3）令c b n n =-1，则

c a a a a n n n n n n n n n n n =+-?? ??

?

=+--??

???+-+-?? ?????

??

??=

--

+++122122121121211121121

1

1

四、巩固练习

（一）基础练习

1. 已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．

解析 本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1； 4＝1＋3＝2＋2＝3＋1； 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …；

一个整数n 所拥有数对为(n －1)对．

设1＋2＋3＋…＋(n －1)＝60，∴(n －1)n

2＝60，

∴n ＝11时还多5对数，且这5对数和都为12， 12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7， ∴第60个数对为(5,7)．

2. 已知数列{}n a 的前n 项和)2(2

≥?=n a n S n n ，而11=a ，通过计算,,,432a a a 猜想=n a （ A ）

A ．

2

)1(2

+n

B ．

)

1(2

+n n

C ．

1

22

-n D ．

1

22

-n

3. 等比数列{}a n 的首项a n S S S S n n n 1105131

32

=-=→∞，前项和，若，则lim 等于（ A ）

A ．-

2

3

B ．

23

C ．－2

D ．2

4. 已知数列{}a n 满足()S a a a a a n n n n =+++++→∞-1

4

113521，则…lim 的值是（ ）

A ．

32

B ．-

3

2

C ．

23

D ．1

解：由已知S a n n =+1

4

1先确定{}a n , 由S a S a n n n n =

+=+++1411

4

111，得 ∴()()S S a a a a a n n n n n n n ++++-=

-=-1111141

4

，即 得{}a a a n n +=-11

3

，故是公比为-13的等比数列

由S a a a a 111111411414

3

=

+=+=，即得

故数列a 1, a 3, a 5, …, a n 2143

-是首项为, 公比为-?? ?

??=13192

的等比数列。

∴()lim n n a a a a →∞

-++++=

-

=

135214

3119

3

2

…, 选A

5. 在数列{a n }中，a 1＝1

3

且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．

解析 当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝1

15

；

当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3，

即a 3＝114(a 1＋a 2)＝1

35

；

当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4， 即a 4＝127(a 1＋a 2＋a 3)＝1

63.

∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9

，

故猜想a n ＝1

(2n －1)(2n ＋1).

6. 设数列{}n a 的前n 项和为S n ，已知S n =2n －a n （n ∈N +），通过计算数列的前四项，猜想=n a

7. 若lim ()n n n n n n n x n →∞+-+-=

·323313

1，则实数x 的取值范围是 。

分析：将式子变形为

1

2331x n

n

-?? ?

??+-，若极限值为

132

3

1，则x -<，解得-<<15x 。

8. =??

??????? ??+-??? ??-

??? ?

?-∞

→211411311lim n n n . 解： n n 113114115112-??

???-??

???-??

??

?-

+??

??

?……

=++=

+∴=+=+=→∞→∞n n n n n n n n

n n ···……原式2334451222

22212

2

lim lim

（二）能力拓展

9. 已知数列{}n a 的各项为正数，其前n 项和为S n ，又n n S a 与满足关系式：

n n n S a S a S a S =++++++2

4242422

11 ，试求{}n a 的通项公式. 解：计算得,6,4,2321===a a a 猜测n a n 2=，用数学归纳法证明（证明略）.

10. 已知数列{}n a 满足关系式∈≥+=

>=--n a a a a a a a n n n ,2(12),0(1

1

1N +）

， （Ⅰ）用a 表法a 2，a 3，a 4；

（Ⅱ）猜想a n 的表达式（用a 和n 表示），并证明你的结论.

解：（Ⅰ）;7183141314212,31412112212,23342232a a a

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a +=+++?

=+=+=+++?

=+=+= （Ⅱ）（ ,)12(12,)12(121

11001a

a

a a a a a -+=-+==） 猜想,)12(1211a a a n n n -+=--下面用数学归纳法证明：

1°．当n =1时，∴-+==,)12(12001a a

a a 当n =1结论正确；

2°．假设当n =k 时结论正确，即a

a

a k k k )12(121

1-+=--， ∴当n =k +1时 a a a

a a a k k k k k k 1112)12(1212--++-+=

+= =,)12(1222121a

a

a a a k

k k k -+=-?+-当n =k +1时结论也正确； 根据1°与2°命题对一切n ∈N*都正确.