全等三角形类型题汇总

全等三角形的认识与性质 全等图形:

能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形:

能够完全重合的多边形就是全等多边形.

相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等．

如下图,两个全等的五边形,记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E . 这里符号“≌”表示全等,读作“全等于”．

A'

B'

C'

D'

E'

E

D

C

B

A

全等三角形：

能够完全重合的三角形就是全等三角形. 全等三角形的对应边相等,对应角分别相等;

反之,如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等. 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等.

全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角.全等符号为“≌”． 全等三角形的性质：对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等，对应边上的高相等,对应角的角平分线相等，面积相等.

寻找对应边和对应角，常用到以下方法:

(１)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (３)有公共边的,公共边常是对应边. (4)有公共角的，公共角常是对应角. (5）有对顶角的，对顶角常是对应角.

（6)两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角)是对应边（或对应角),一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角）.

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键.

全等三角形的判定方法：

(1) 边角边定理（SAS ）:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (２) 角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3） 边边边定理(SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等.

(4) 角角边定理(AAS ）:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (５) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

全等三角形的应用:运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中,注意有时会添加辅助线.

判定三角形全等的基本思路：

SAS HL

SSS →??

→??→?

找夹角已知两边 找直角 找另一边

ASA AAS SAS AAS ??

??

??

??

??

?? 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA

AAS →??

→? 找两角的夹边已知两角 找任意一边

全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： ⑴ 平移全等型

⑵ 对称全等型

⑶ 旋转全等型

由全等可得到的相关定理：

⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．

⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 （即等边对等角). ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.

⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边).

⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.

⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上． 与角平分线相关的问题 角平分线的两个性质:

⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 它们具有互逆性．

角平分线是天然的、涉及对称的模型,一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：

１． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线,

2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形, ３. OA OB =,这种对称的图形应用得也较为普遍,

A

B

O

P P O

B

A A B

O

P

三角形中线的定义:三角形顶点和对边中点的连线

三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合） 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.

中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边. 中线中位线相关问题（涉及中点的问题)

见到中线（中点),我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式），尤其是在涉及线段的等量关系时,倍长中线的应用更是较为常见.

重点:本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定,全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点,特别是几种判定方法,尤其是当在直角三角形中时,H Ｌ的判定是整个直角三角形的重点

难点:本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚,哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化 板块一、全等三角形的认识与性质

在AB 、AC 上各取一点E 、D ，使AE AD =,连接BD 、CE 相交于O 再连结AO 、BC ，若12∠=∠，则图中全等三角形共有哪几对?并简单说明理由.

2

1E O

D

C

B

A

【巩固】如图所示,AB AD =，BC DC =，E F 、在AC 上，AC 与BD 相交于P ．图中有几对全等三角形?请一一找出来，并简述全等的理由.

F

A

E P D

C

B

板块二、三角形全等的判定与应用

(200８年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图,AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =.

F

E

D

C

B

A

(20０8年宜宾市)已知:如图,AD BC =,AC BD =,求证:C D ∠=∠.

O

D

C

B

A

【巩固】如图,AC 、BD 相交于O 点，且AC BD =,AB CD =,求证:OA OD =．

A

B

C

D

O

（哈尔滨市2008 年初中升学考试)已知:如图,B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上,AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证:OA OD =.

F E O

D

C

B A

已知,如图，AB AC =,CE AB ⊥，BF AC ⊥,求证:BF CE =．

F E C

B

A

E 、

F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证:AE BF ⊥．

P

F

E

D

C

B

A

【巩固】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥,GE EF =.求证:BG CF BC +=．

G

A B

C D

E

F

在凸五边形中，B E ∠=∠,C D ∠=∠,BC DE =,M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥.

M E

D

C B A

板块三、截长补短类

如图,点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=?,射线MN 与

DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?

N

E

B M A D

【巩固】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点,MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点

N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？

N

C

D

E

B M A

如图，ＡD ⊥ＡB ，CB ⊥A Ｂ，DM=CM=a ,ＡD=h ，CB=k ，∠A ＭD ＝７５°,∠BMC=45°,则AB 的长为 （ ）

Ａ. a B. k C.

2k h

+ D ． h M

D

C

B

A

已知:如图,AB ＣD 是正方形，∠F ＡＤ＝∠F ＡE ． 求证：ＢE ＋DF=AE.

F

E

D

C

B

A

如图所示,ABC ?是边长为1的正三角形,BDC ?是顶角为120的等腰三角形,以D 为顶点作一个60的

MDN ∠,点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ?的周长.

N

M D

C

B

A

五边形A ＢCD Ｅ中，AB=ＡE ，BC+D Ｅ=C Ｄ，∠ABC+∠AE Ｄ=180°，求证：ＡD 平分∠C ＤＥ

C

E

D

B A

板块四、与角平分线有关的全等问题

如图，已知ABC ?的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求

ABC ?的面积.

在ABC ?中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠,BD CD =，求证:AB AC =．

已知ABC ?中,AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求

证：CD BE =.

E

D C

B A

已知ABC ?中，60A ∠=,BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠,BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、

BC 的数量关系，并加以证明．

O

E

D C

B

A

A

D

O

C B

D C

B

A

如图，已知E 是AC 上的一点,又12∠=∠,34∠=∠.求证：ED EB =．

E D

C B A

4

32

1

(“希望杯”竞赛试题)长方形ＡB ＣD 中,ＡB ＝4,BC=7，∠BAD 的角平分线交ＢC 于点Ｅ，ＥＦ⊥ＥD 交AB 于F,则ＥF ＝_＿____＿___．

F

E

D

C

B

A

如图所示，已知ABC ?中，AD 平分BAC ∠,E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =,EF AC =.求证：EF ∥AB

F

A C

D E B

【巩固】如图，在ABC ?中，AD 交BC 于点D ,点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交

AB 于点G ，若BG CF =,求证：AD 为BAC ∠的角平分线．

F G

E D

C

B

A

【巩固】在ABC ?中，AB AC >,AD 是BAC ∠的平分线.P 是AD 上任意一点.求证:AB AC PB PC ->-.

C

D B P

A

如图，在ABC ?中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D .求证:AB BD AC +=.

D

C B A

如图所示，在ABC ?中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线,若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证

()1

2MF AC AB =

-.

M

F

D C

B A

【巩固】如图所示,AD 是ABC ?中BAC ∠的外角平分线，CD AD ⊥于D ，E 是BC 的中点，求证

DE AB ∥ 且1

()

2DE AB AC =+.

E D

C

B A

【巩固】如图所示，在ABC ?中,AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=.

M

D C

B

A

如图,ABC ?中,AB AC =,BD 、CE 分别为两底角的外角平分线,AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ．求证：

AD AE =．

H

G D A

B C E

【巩固】已知:AD 和BE 分别是ABC △的CAB ∠和CBA ∠的外角平分线，CD AD ⊥，CE BE ⊥，求

证:⑴ DE AB ∥;⑵

()1

2DE AB BC CA =

++.

E

B

A D C

在ABC ?中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABE ∠、ACF ∠的角平分线，AM BM ⊥,AN CN ⊥垂足分别是M 、N .求证:MN BC ∥，

()1

2MN AB AC BC =

++

F

E

N M C

B

A

【巩固】在ABC ?中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、

ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥,AN CN ⊥垂足分别是M 、N .求证：MN BC ∥,

()1

2MN AB AC BC =

+-

N M

C

B

A

【巩固】(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作E AB CE 于⊥，

并且

)(21

AD AB AE +=

，则ADC ABC ∠+∠等于多少?

E

D

C

B

A

如图,180A D ∠+∠=?，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上． 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．

E

D

C

B A

版块一、倍长中线

已知:ABC ?中，AM 是中线．求证：1

()

2AM AB AC <+.

M

C

B A

【巩固】（20０2年通化市中考题)在ABC ?中，5,9AB AC ==，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么?

如图,ABC ?中，

D

C

B

A

如图,已知在ABC ?中,AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =,求

证:AC BE =．

F

E

D

C B

A

已知△ABC,∠B=∠Ｃ，Ｄ，Ｅ分别是A Ｂ及A Ｃ延长线上的一点，且BD=CE ，连接DE 交底B Ｃ于Ｇ，

求证GD=G Ｅ.

G

E

D

C

B

A

已知AM 为ABC ?的中线，AMB ∠,AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：

BE CF EF +>.

M

F

E

C

B

A

在Rt ABC ?中,90A ∠=?，点D 为BC 的中点,点E 、F 分别为AB 、AC 上的点,且ED FD ⊥．以线段BE 、

EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？

F E

D

C

B

A

【巩固】如图所示,在ABC ?中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222

BM CN DM DN +=+，

求证

()2221

4AD AB AC =

+．

N

M

D

C

B

A

(2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在Rt ABC ?中,F 是斜边AB 的中点,D 、

E 分别在边CA 、CB 上,满足90DFE ∠=?．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为________＿．

F

E

D

C

B

A

版块二、中位线的应用

AD 是ABC ?的中线,F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E .求

证:

13AE AC =

．

F

A D E C

B

如图所示,在ABC ?中,AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =，E 为AB 的中点,连接CE 、CD ,求证