最新人教版八年级数学上册导学案：第十五章 分式

第十五章分式

15.1分式

15.1.1 从分数到分式

一、新课导入

1.导入课题：

，那么x÷y可以写成这样的形式吗？如果你5÷3可以写成分数5

3

认为行，那么这个式子是我们以前学习的整式吗？那它是什么式子呢？通过今天的学习，我们会进一步认识它.

2.学习目标:

（1）知道分式的意义.

（2）能判别分式有意义时和分式的值为0时，分母中的字母满足的条件.

3.学习重、难点：

重点：认识分式特点，知道分式有、无意义的条件.

难点：分式的值为零时，确定分子、分母所含字母的取值.

二、分层学习

1.自学指导:

（1）自学内容：教材第127页到第128页“思考”前面的内容.

（2）自学时间：8分钟.

（3）自学方法：认真阅读课本，重要的词句和不明白的地方作上记号.

（4）自学参考提纲：

①回忆长方形面积公式及圆柱体积公式，并完成“思考1”中的填空.

②式子S

a ，V

S

以及100

20v

，60

20v

与小学学过的分数有什么不同点

和相同点？

③上述式子与分数一样都是A

B

(即A÷B)的形式，因为分数的分子与分母都是整数，所以②中的式子的分子与分母都是整式，并且②中各式的分母都含有字母.

④一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么

式子A

B

叫做分式.

⑤y

2x 是分式吗？1

π

呢？

是；不是

2.自学：请同学们结合自学提纲进行自学.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：了解学生的自学进度和自学中存在的问题.

②差异指导：帮助学困生理解公式的概念，满足三个条件：a.A

B 的形式；b.A、B为整式；c.B中含有字母.

（2）生助生：学生之间相互交流帮助.

4.强化：

（1）概念：什么叫分式？

（2）分式和分数的区别和联系.

（3）练习：下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？

x 2；1

1

x-

；x-y

5

；1

x y

-

；3π；1

x

－1

整式：x

2,x-y

5

,3π；

分式：1

1

x-,1

x y

-

,1

x

-1

1.自学指导：

（1）自学内容：教材第128页“思考”到例1.

（2）自学时间：8分钟.

（3）自学方法：结合自学提纲阅读课文内容.

（4）自学参考提纲：

①在除法式子A÷B中，除数B应满足的条件是B≠0.想一想，A÷B 可以写成AB的形式，那么分式AB中的分母B应满足的条件是B≠0.

②当B≠0时，公式AB才有意义.

③自学例1后，完成下列各题.

下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？

2 a ；1

1

x

x

-

+

；2m

32

m+

；1

||4

x+

；2a+b

3a b

-

；

2

2

1

x-

.

a≠0;x≠1;m≠-2

3

;x为全体实数;b≠3a;x≠±1.

2.自学：请同学们结合自学指导进行自学.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：了解学生的自学进度、方法和自学中存在的疑难问题.

②差异指导：对学生学习中存在的问题进行分类指导.

（2）生助生：对自学过程中存在的问题互相讨论交流.

4.强化：

在分式A

中，分母B≠0时，分式才有意义；反之当B=0时，分

B

式无意义.

三、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表当众交流自己的学习收获和学后体会.

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、学习成果和存在的不足进行点评.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）：

这节课的内容较少，比较贴近实际生活，要求学生知道什么是分式，能区分整式与分式，对保证分式有意义时，分子分母要同时满足什么条件能很准确地指出来.此外，分式的值为0时分子分母也要满足一定的条件.教学中可以多出具一些实例，让学生在实际问题中去感知.

一、基础巩固（每题20分，共60分）

1.列式表示下列各量.

公顷.

（1）某村有n个人，耕地40公顷，人均耕地面积为40

n （2）△ABC的面积为S，BC边长为a，高AD长为2S

.

a

千米/小（3）一辆汽车行驶a千米用b小时，它的平均车速为a

b

时；一列火车行驶a 千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速为a b

-1千米/小时.

2.下列式子中，哪些是分式，哪些是整式？两类式子的区别是什么？

1x ， 3x ，2435b +，253a -，m n m n +-，34 (x+y)，2x y

-π

. 解：分式：1x ,2

435b +,m n

m n

+- 整式：3

x ，

253a -，34 (x+y), 2x y

-π

两类式子的区别在于整式的分母中不含字母，而分式的分母中含有字母.

3.当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）13x ；（2）13x -； （3）x-535x +； （4）2116x +； （5）

3

||3

x -. 解：（1）x≠0;（2）x≠3;（3）x≠-5

3

;（4）x 为全体实数；（5）x≠±3

二、综合应用（每题10分，共20分） 4.在什么条件下，下列分式的值为0？

（1）1x x -；（2）251x x ++；（3）||55

x x --；（4）22456x x x -++

解：（1）x=1;（2）x=-5;（3）x=-5;(4)x=2.

5.当x 取何值时，分式2224

x x x --有意义？x 取何值时，分式的值为

0？

解：x≠±2，分式有意义.x=0时，分式的值为0.

三、拓展延伸（20分）

6.c为何值时，分式

21 4

x c

-+

总有意义？解：∵x2-4x+c≠0,

x2-4x+4+c-4≠0

（x-2）2+c-4≠0

当c>4时，(x-2)-2+c-4恒大于0，当c＞4时，分式

21 4

x c

-+

总有意义.

15.1.2 分式的基本性质

一、新课导入

1.导入课题：

你知道分数的基本性质吗？由此你是否能联想出分式的基本性质呢？

2.学习目标：

（1）能说出分式的基本性质.

（2）能利用分式的基本性质将分式变形.

（3）会用分式的基本性质进行分式的约分和通分.

3.学习重、难点：

重点：分式的基本性质及运用，分式的符号法则.

难点：分式基本性质的运用——约分和通分.

二、分层学习

1.自学指导：

（1）自学内容：教材第129页到第130页第15行.

（2）自学时间：8分钟.

（3）自学方法：回顾分数的基本性质，联想并归纳分式的基本性质.

（4）自学参考提纲：

①回忆分数的基本性质：一个分数的分子、分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分数的值不变.

2 3=2(6)

36

?

?

4545(9)

54549

÷

=

÷

=

5

6

②判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

4433c c = (×) 515=55

155÷÷ (√) 36364

4040+4

+=

(×) 22x -x 11x x x x -=++ (√) ③类比分数的基本性质，得出分式的基本性质.

一个分式的分子，分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.

用式子表示为：A B

=

A C

B

C ??，A B =A C

B C

÷÷ (C≠0). ④在运用分式的基本性质时应特别注意什么？ 要注意分子和分母同时乘(或除以)的这个整式是否为0. 2.自学：同学们根据自学指导进行自学. 3.助学： （1）师助生：

①明了学情：让学生说一说，辨一辨，了解学生对分式基本性质的运用情况，特别是乘(或除以)的数(或整式)一定要满足的条件.

②差异指导：对部分认识存在困难的学生进行点拨、启发和引导. （2）生助生：相互启发，互助解决疑难问题. 4.强化：

(1)分式的基本性质：文字叙述、字母表达. (2)判断正误：

1.自学指导：

（1）自学内容：教材第130页倒数第7行到例3前的内容.

（2）自学时间：5分钟.

（3）自学方法：阅读课本内容，结合自学提纲进行自学.不懂的问题做上记号.

（4）自学参考提纲：

①什么是约分？

把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.

②约分的依据是什么？

约分的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的数（或式子），分式的值不变.

③约分后的分式，其分子与分母没有公因式，这样的分式叫做最简分式.

2.自学：请同学们结合自学指导进行自学.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：了解学生是否弄清楚自学提纲中的问题.

②差异指导：对学有困难的学生予以分类指导.

（2）生助生：学生之间相互展示交流和帮助.

4.强化：

（1）分式约分的定义以及最简分式的概念.

（2）约分的依据：分式的基本性质.

（3）下列各分式，不是最简分式的有D.

1.自学指导：

（1）自学内容：教材第131页例3.

（2）自学时间：5分钟.

（3）自学方法：认真阅读课本例3的解答过程，仔细观察每步分子分母变化的目的及依据.

（4）自学参考提纲：

①约分约去的是公因式，因此，约分要先找出公因式；

②如果分子或分母是多项式，就要先对多项式进行因式分解，以便找出分母、分子的公因式，最后约分.

③约分结果都要成为最简分式或整式.

2.自学：请同学们结合自学指导进行自学.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：了解学生是否弄清例题中化简分式的思路、方法和过程.

②差异指导：对部分学生在学习例题时存在的疑点进行点拨引导.

（2）生助生：学生之间相互交流帮助.

4.强化：

（1）约分要领：约分都是先找分子和分母的公因式（是多项式的还要分解因式），再约去公因式.

（2）约分的理论依据是分式的基本性质.

（3）约分要求约到最简分式为止.

（4）练习：约分

1.自学指导：

（1）自学内容：教材第131页“思考”到第132页例4 的内容. （2）自学时间：5分钟.

（3）自学方法：认真阅读课本，比照分数通分的方法，类比归纳分式通分的方法.

（4）自学参考提纲： ①什么叫通分？

把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.

②通分的依据是什么？

分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于O 的整式，分式的值不变.

③通分的关键是什么？ 确定各分式的最简公分母. ④如何确定n 个分式的公分母？

一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母. ⑤分式2214a b 与3

6x

a b c

的最简公分母是12a 2b 3c ，通分后的结果分别是

23312bc a b c 23212acx a b c

. ⑥分数的约分与通分和分式的约分通分有什么异同点？大家相互交流一下.

2.自学：同学们结合自学指导进行自学.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：了解学生是否知道找最简公分母的方法及明白通分的依据.

②差异指导：帮助部分学困生，如何找最简公分母，如何进行通分，比照分数的通分进行指导.

（2）生助生：生生互助交流.

4.强化：

（1）通分的依据和定义，最简公分母的定义及确定通分的方法.

（2）练习：

①分式x+y

2xy ，

2

y

3x

，

2

x-y

6x y

的最简公分母为6x2y2，通分后

x+y 2xy =22

22

3x y+3xy

6x y

，

2

y

3x

=3

22

2y

6x y

，

2

x-y

6x y

=2

22

x-xy

6x y

.

②分式x

2()

x y

+

，2y

3()

x y

-

的最简公分母是6(x+y)(x-y).

三、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和学后体验.

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果、不足之处进行简要点评.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思):

分式的基本性质在分式教学中占有重要的地位，它是约分、通分的依据.这部分知识比较容易理解，教师在设计这节课时，可利用“猜想和验证”的方法，留给学生足够的探索时间和广阔的思维空间，让学生得到的不仅是数学知识，更主要的是数学学习的方法，从而激励

学生进一步地主动学习，产生学习的成就感.

教师应注重提高在验证、交流环节中学生的参与率，尤其是一些后进生可能普遍会感觉无从下手，在交流时不主动，从而停留在一知半解的状态.在巩固练习环节上，教师要注意学生的练习密度，最好给每位学生准备一份练习纸，这样能确保达到一定的练习量.

一、基础巩固（第1、2、3、4题每题10分、第5题20分，共60分）

1.填空：

2.下列等式正确的是（B ）

3.分式

21x x +,221x -,2

1x x

-的最简公分母是x(x+1)(x-1). 4.化简下列分式.

5.把下列各式通分.

二、综合应用（每题10分，共20分）

7.不改变分式的值，把下列分式中分子、分母的各项系数化为整数.

三、拓展延伸（每题10分，共20分）

15.2分式的运算

15.2.1分式的乘除

第1课时分式的乘除

一、新课导入

1.导入课题:

通过前面分式的学习，知道分式和分数有很多的相似性，如性质、约分和通分.事实上，在运算上它们也有许多的相似性.今天我们一起类比分数的运算来研究分式的运算，首先学习分式的乘除.

2.学习目标:

（1）知道并熟记分式乘除法法则.

（2）能准确地进行分式的乘除法的计算.

（3）通过分式乘除法法则得出体会类比的数学思想方法.

3.学习重、难点：

重点：分式乘除运算法则.

难点：分式乘除运算法则的运用.

二、分层学习

1.自学指导：

（1）自学内容：教材第135页到第136页例1上面的内容.

（2）自学时间：8分钟.

（3）自学方法：回顾分数乘除运算法则，类比分数的乘除运算法则探讨分式乘除运算法则.

（4）自学参考题纲：

②类比以上方法，填写：

③分式乘法法则：分式乘分式，分子相乘，作为积的分子，分母相乘，作为积的分母，

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.

④写出下列各式结果：

⑤计算：

2.自学：学生结合自学指导自主学习.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：了解学生能否从分数乘法法则中类比出分式乘法法则.

②差异指导：对认知不清的学生进行点拨引导.

（2）生助生：同桌间相互交流自学参考提纲的问题，各小组间相互交流帮助.

4.强化：

（1）分式乘除法法则. （2）对照法则练一练：

1.自学指导：

（1）自学内容：教材第136页例1到例3. （2）自学时间：10分钟.

（3）自学方法：结合例2体会分子、分母是多项式的分式乘除的计算方法，例3中弄清a 2－1与(a －1)2的大小关系.

（4）自学参考提纲：

①例1中参与乘除运算的两个分式的分子和分母都是单项式，这种分式的乘除运算有何特点？

先做乘除法，再进行约分

②由例2知，分子、分母是多项式时，通常先因式分解，再约分. ③运算结果应化为最简分式或整式. ④例3是分式的应用问题，其中

2500

1a -<2

500(1)a -是怎样来的？除教材上的方法外，还可作差比较大小，即判断

25001

a -－2500(1)a -与0的

大小，有兴趣者不妨试一试.

解：∵a>1,∴a 2-1>0,(a-1)2>0而(a-1)2-(a 2-1)=-2a+2<0， ∴(a-1)2

25001a -<2

500(1)a -. 2.自学：请同学们结合自学指导进行自学. 3.助学： （1）师助生：

①明了学情：了解学生是否弄清分式乘除的运算方法和运算步骤.

②差异指导：对有困难的学生予以分类指导. （2）生助生：学生之间相互交流和帮助. 4.强化：

（1）分式乘除，当分子、分母是多项式时，通常先分解因式再约分.

（2）运算结果应为最简分式. （3）对照法则练一练：

三、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获及学习体验.

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及不足进行总结点评.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）:

分式的乘除不是特别难上的课，主要是要让学生掌握方法.拿乘法来说，其方法有两种：一种是先约分再乘；另一种是先乘再约分.一般应这样处理：如果分子分母全是单项式，就用先乘后约分的方法；如果分子分母含有可分解因式的多项式，就先约分后相乘.当然两种方法并不一定非得有固定的模式，你觉得哪种容易接受就选择哪种，并且在约分时应教给学生一个不容易错的方法，就是约分后把每个约好的式子写在原来的上（分子）下（分母）方，不约的照抄，最后再相乘，既不容易漏乘，也不容易多乘.分式除法可转变为分式乘法后再按上述方法进行.

在教学方法上，教师应努力结合现实的问题情境，引导学生理解分式乘除的意义.由于练习计算是比较单调和枯燥的，为了避免单纯的机械计算，应将计算学习与解决问题有机结合，创设学生喜欢的实际情境，引导学生根据实际问题的数量关系，列出式子并计算.

一、基础巩固（第1题30分，第2、3、4题每题10分，共60分）