线性规划的常见题型和解法(教师版_题型全_归纳好)

课题 线性规划的常见题型及其解法答案

线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．

归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求线性目标函数的最值． 2．求非线性目标函数的最值． 3．求线性规划中的参数． 4．线性规划的实际应用．

本节主要讲解线性规划的常见基础类题型．

【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件????

?

x ＋y ≥3，x －y ≥－1，

2x －y ≤3，

则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )

A ．[7，23]

B ．[8，23]

C ．[7，8]

D ．[7，25]

求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a

b x ＋z b

，通过求

直线的截距z b

的最值，间接求出z 的最值．

【解析】画出不等式组????

?

x ＋y ≥3，x －y ≥－1，

2x －y ≤3，

表示的平面区域如图中阴影部分所示，

由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－2

3

x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组

?

??

??

x ＋y ＝3，

2x －y ＝3，得?

??

??

x ＝2，

y ＝1，所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程

组?

??

??

x －y ＝－1，

2x －y ＝3，得?

??

??

x ＝4，

y ＝5，所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23．

【答案】A

【母题二】变量x ，y 满足????

?

x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，

x ≥1，

(1)设z ＝y

2x －1，求z 的最小值；

(2)设z ＝x 2

＋y 2

，求z 的取值范围；

(3)设z ＝x 2＋y 2

＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．

点(x ，y )在不等式组表示的平面区域内，y 2x －1＝12·y －0? ??

??x －12表示点(x ，y )和? ??

??12，0连线的斜率；x 2

＋y 2

表示点(x ，y )和原点距离的平方；x 2

＋y 2

＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2

＋(y －2)2

表示点(x ，y )和点(－3,2)的距离的平方．

【解析】(1)由约束条件????

?

x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，

x ≥1，

作出(x ，y )的可行域如图所示．

由???

??

x ＝1，

3x ＋5y －25＝0，解得A ?

????1，225．

由?

??

?? x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．

由?

??

??

x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．

∵z ＝y 2x －1

＝

y －0x －12

×1

2

∴z 的值即是可行域中的点与? ??

??12，0连线的斜率，观察图形可知z min ＝2－05－12×12＝29． (2)z ＝x 2

＋y 2

的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，

d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29．

∴2≤z ≤29．

(3)z ＝x 2

＋y 2

＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2

＋(y －2)2

的几何意义是： 可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，

d min ＝1－(－3)＝4， d max ＝

－3－5

2

＋2－2

2

＝8

∴16≤z ≤64．

1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．

2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．

求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a

b x ＋z b ，通过求直线的截距z b

的最值，间接求出z 的最值．

(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2

＋(y －b )2

，z ＝x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；

形二：z ＝(x －a )2

＋(y －b )2

，z ＝x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．

(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝y cx －d ，z ＝ay －b

x

，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．

【提醒】 注意转化的等价性及几何意义．

角度一：求线性目标函数的最值

1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件????

?

x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，

3x －y －5≥0，

则z ＝2x －y 的最大值为( )

A ．10

B ．8

C ．3

D ．2

【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，

由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8．

【答案】B

2．(2015·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件????

?

x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，

2x ＋y －3≤0，

则目标函数z ＝x ＋6y 的最大

值为( )

A ．3

B ．4

C ．18

D ．40

【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示 ，当目标函数经过点(0,3)时，z 取得最大值18．

【答案】C

3．(2013·高考陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( )

A ．－6

B ．－2

C ．0

D ．2

【解析】如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，

令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－2,2)时，

z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6．

【答案】A

角度二：求非线性目标的最值

4．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组????

?

2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，

3x ＋y －8≤0所表示的区域

上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )

A ．2

B ．1

C ．－1

3

D ．－12

【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，

显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－1

3

．

【解析】C

5．已知实数x ，y 满足???

0≤x ≤2，

y ≤2，

x ≤2y ，

则z ＝2x ＋y －1x －1

的取值范围 ．

【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，

目标函数z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1

x －1的取值范围可转化为点(x ，y )与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取

值范围，由图形知，A 点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线的斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z 的取值范围为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．

【答案】(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)

6．(2015·郑州质检)设实数x ，y 满足不等式组????

?

x ＋y ≤2y －x ≤2，

y ≥1，

则x 2＋y 2

的取值范围是( )

A ．[1，2]

B ．[1，4]

C ．[2，2]

D ．[2，4]

【解析】如图所示，

不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)，x 2

＋y 2

表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离

的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2

的取值范围是[1,4]．

【答案】B

7．(2013·高考北京卷)设D 为不等式组????

?

x ≥0，2x －y ≤0，

x ＋y －3≤0

所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)

之间的距离的最小值为________．

【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，

则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22

＋1＝255，故最小距离为25

5． 【答案】25

5

8．设不等式组????

?

x ≥1，x －2y ＋3≥0，

y ≥x

所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －

9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )

A ．28

5

B ．4

C ．125

D ．2

【解析】不等式组????

?

x ≥1x －2y ＋3≥0

y ≥x

，所表示的平面区域如图所示，

解方程组?????

x ＝1y ＝x

，得???

??

x ＝1y ＝1

．点A (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3－4－9|

5

＝2，则|AB |的最小

值为4．

【答案】B

角度三：求线性规划中的参数

9．若不等式组????

?

x ≥0，x ＋3y ≥4，

3x ＋y ≤4

所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋4

3

分为面积相等的两部分，则k 的

值是( )

A ．7

3 B ．37 C ．4

3

D ．34

【解析】不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y ＝kx ＋43过定点? ????0，43．因此只有直线过AB 中点时，

直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，

B (0,4)，所以AB 中点D ? ????12，52．当y ＝kx ＋43过点? ??

??12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73．

【解析】A

10．(2014·高考北京卷)若x ，y 满足????

?

x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，

y ≥0，

且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为

( )

A ．2

B ．－2

C ．1

2

D ．－12

【解析】D 作出线性约束条件????

?

x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，

y ≥0

的可行域．

当k ＞0时，如图①所示，此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．

当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．

当－1＜k＜0时，如图②所示，此时可行域为点A(2,0)，B?

?

??

?

－

2

k

，0，C(0,2)所围成的三角形区域，当直线z＝y－x经过点B?

?

??

?

－

2

k

，0时，有最小值，即－

?

?

??

?

－

2

k＝－4?

k＝－

1

2

．

【答案】D

11．(2014·高考安徽卷)x，y满足约束条件

??

?

??

x＋y－2≤0，

x－2y－2≤0，

2x－y＋2≥0.

若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )

A．

1

2

或－1 B．2或

1

2

C．2或1 D．2或－1

【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(－2，－2)，则z A＝2，z B＝－2a，z C＝2a－2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A＝z B＞z C或z A＝z C＞z B 或z B＝z C＞z A，解得a＝－1或a＝2．

法二：目标函数z＝y－ax可化为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，平移l0，则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意，故a＝－1或a＝2．

【答案】D

12．在约束条件

??

?

??x≥0，

y≥0，

x＋y≤s，

y＋2x≤4.

下，当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的取值范围是

( )

A．[6，15] B．[7，15]

C．[6，8] D．[7，8]

【解析】由

??

?

??x＋y＝s，

y＋2x＝4，

得

??

?

??x＝4－s，

y＝2s－4，

，则交点为B(4－s,2s－4)，y＋2x＝4与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为C′(0,4)，x＋y＝s与y轴的交点为C(0，s)．作出当s＝3和s＝5时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图(1)(2)中阴影部分所示．

(1) (2)

当3≤s ＜4时，可行域是四边形OABC 及其内部，此时，7≤z max ＜8； 当4≤s ≤5时，可行域是△OAC ′及其内部，此时，z max ＝8． 综上所述，可得目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是[7，8]． 【答案】D

13．(2015·通化一模)设x ，y 满足约束条件???

??

x ≥0，y ≥0，

x 3a ＋y 4a ≤1，

若z ＝

x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为3

2

，则a 的值为________．

【解析】∵

x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋1x ＋1，而y ＋1

x ＋1

表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，易知a ＞0， ∴可作出可行域，由题意知

y ＋1x ＋1的最小值是14，即? ??

??y ＋1x ＋1min ＝0－－13a －－1＝13a ＋1＝14?a ＝1．

【答案】1

角度四：线性规划的实际应用

14．A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．

【解析】 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件????

?

3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，

x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z

＝300x ＋400y ．

画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点A 处取得最大值，由方

程组?

??

??

3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得?

??

??

x ＝3，

y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700．故最大利润是1 700元．

【答案】1 700

15．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．

(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？

【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300．

(2)约束条件为????

?

5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600，100－x －y ≥0，

x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得????

?

x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，

x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .

目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300． 作出可行域．如图所示：

初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w

有最大值．由???

??

x ＋3y ＝200，

x ＋y ＝100，

得

????

?

x ＝50，y ＝50.

最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．

所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．

一、选择题

1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)

B ．(－7,24)

C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)

D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)

【解析】根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0．即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24． 【答案】B

2．(2015·临沂检测)若x ，y 满足约束条件????

?

x ≥0，x ＋2y ≥3，

2x ＋y ≤3，

则z ＝x －y 的最小值是( )

A ．－3

B ．0

C ．3

2

D ．3

【解析】作出不等式组????

?

x ≥0，x ＋2y ≥3，

2x ＋y ≤3

表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内部)．

平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3．

【答案】A

3．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件?????

x ＋|y |≤1，x ≥0，

则z ＝OA →·OP →

的最大值为( )

A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．2

【解析】如图作可行域，z ＝OA →·OP →

＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2．

【答案】D

4．已知实数x ，y 满足：????

?

x －2y ＋1≥0，x <2，

x ＋y －1≥0，

则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )

A ．????

??53，5

B ．[0，5]

C ．????

??53，5

D ．????

??－53，5 【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×

1

3－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是????

??－53，5．

【答案】D

5．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( ) A ．2 B ．1 C ．3

D ．0

【解析】由题意知(6－8b ＋1)(3－4b ＋5)＜0，即? ????b －78(b －2)＜0，∴78＜b ＜2，∴b 应取的整数为1．

【答案】B

6．(2014·郑州模拟)已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )

A ．(1－3，2)

B ．(0，2)

C ．(3－1，2)

D ．(0，1＋3)

【解析】如图，根据题意得C (1＋3，2)．

作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平移，过点B (1,3)和C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取范围的边界值，即－(1＋3)＋2

【答案】A

7．(2014·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组????

?

y ≤1，x ＋y －2≥0，

x －y －1≤0，

所表示的平面区域

上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )

A ．2

B ．13

C ．1

2

D ．1

【解析】作出可行域如图所示，当点P 位于?

??

??

x ＋y ＝2，

y ＝1，的交点(1,1)时，(k OP )max ＝1．

【答案】D

8．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )

A ．2

B ．1

C ．1

2

D ．14

【解析】不等式?

??

??

x ＋y ≤1，

x ≥0，y ≥0，所表示的可行域如图所示，

设a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，则此两目标函数的范围分别为a ＝x ＋y ∈[0,1]，b ＝x －y ∈[－1,1]，又a ＋b ＝2x ∈[0,2]，a －b ＝2y ∈[0,2]，∴点坐标(x ＋y ，x －y )，即点(a ，b )满足约束条件?????

0≤a ≤1，

－1≤b ≤1，

0≤a ＋b ≤2，

0≤a －b ≤2，

作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S ＝1

2×2×1

＝1．

【答案】B

9．设x ，y 满足约束条件????

?

3x －y －2≤0，x －y ≥0，

x ≥0，y ≥0，

若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则

ab 的取值范围是( )

A ．(0，4)

B ．(0，4]

C ．[4，＋∞)

D ．(4，＋∞)

【解析】作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过点A (1,1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤?

??

??a ＋b 22＝4，∵a ＞0，b ＞0，∴ab ∈(0，4]．

【答案】B

10．设动点P (x ，y )在区域Ω：????

?

x ≥0，y ≥x ，

x ＋y ≤4

上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部

分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )

A ．π

B ．2π

C ．3π

D ．4π

【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，

则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积的最大值S ＝π×? ??

??422

＝4π．

【答案】D

11．(2015·东北三校联考)变量x ，y 满足约束条件????

?

y ≥－1，x －y ≥2，

3x ＋y ≤14，

若使z ＝ax ＋y 取得最大值的

最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )

A ．{－3,0}

B ．{3,－1}

C ．{0,1}

D ．{－3,0,1}

【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．

易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3．

【答案】B

12．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件?

??

??

x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a

＝( )

A ．－5

B ．3

C ．－5或3

D ．5或－3

【解析】法一：联立方程?

??

??

x ＋y ＝a ，

x －y ＝－1，解得?????

x ＝a －1

2，y ＝a ＋1

2，

代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，

当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7．

法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．

当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．

图(1) 图(2)

由?

??

?? x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)，则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－

2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项．

当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．

由?

??

??

x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，

满足题意．

【答案】B

13．若a ≥0，b ≥0，且当????

?

x ≥0，y ≥0，

x ＋y ≤1

时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定的平面区域的面

积是( )

A ．1

2 B ．π4

C ．1

D ．π2

【解析】因为ax ＋by ≤1恒成立，则当x ＝0时，by ≤1恒成立，可得y ≤1

b

(b ≠0)恒成立，所以0≤b ≤1；

同理0≤a ≤1．所以由点P (a ，b )所确定的平面区域是一个边长为1的正方形，面积为1．

【答案】C

14．(2013·高考北京卷)设关于x ，y 的不等式组????

?

2x －y ＋1>0，x ＋m <0，

y －m >0

表示的平面区域内存在点P (x 0，

y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )

A ．?

????－∞，43

B ．? ????－∞，13

C ．?

????－∞，－23

D ．?

????－∞，－53

【解析】当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，

y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m ＜0．如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．

要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝1

2x －1的下方即可，即m

＜－12m －1，解得m ＜－2

3

．

【答案】C

15．设不等式组????

?

x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，

5x －3y ＋9≤0

表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x

的图象上存在区域D 上

的点，则a 的取值范围是 ( )

A ．(1，3]

B ．[2，3]

C ．(1，2]

D ．[3，＋∞)

【解析】平面区域D 如图所示．

要使指数函数y ＝a x

的图象上存在区域D 上的点，所以1＜a ≤3．

【解析】A

16．(2014·高考福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2

＝1，平面区域Ω：?????

x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，

y ≥0.若圆心

C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )

A ．5

B ．29

C ．37

D ．49

【解析】由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1．显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6．∴a 2

＋b 2

的最大值为62

＋12

＝37．

【解析】C

17．在平面直角坐标系中，若不等式组????

?

y ≥0，y ≤x ，

y ≤k x －1－1

表示一个三角形区域，则实数k 的取

值范围是( )

A ．(－∞，－1)

B ．(1，＋∞)

C ．(－1，1)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

【解析】已知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示． 当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1)．当直线y ＝k (x －1)－1与y ＝x 平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k ＞1时，也可形成三角形，综上可知k ＜－1或k ＞1．

【答案】D

18．(2016·武邑中学期中)已知实数x ，y 满足?

??

??

x －2y ＋1≥0，

|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

【解析】区域如图所示，目标函数z ＝2x ＋y 在点A (3,2)处取得最大值，最大值为8．

【答案】C

19．(2016·衡水中学期末)当变量x ，y 满足约束条件????

?

y ≥x x ＋3y ≤4

x ≥m

时，z ＝x －3y 的最大值为8，

则实数m 的值是( )

A ．－4

B ．－3

C ．－2

D ．－1

【解析】画出可行域如图所示，目标函数z ＝x －3y 变形为y ＝x 3－z

3，当直线过点C 时，z 取到最大值，

又C (m ，m )，所以8＝m －3m ，解得m ＝－4． 【答案】A

20．(2016·湖州质检)已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组????

?

x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，

x －1≥0，

则

tan ∠AOB 的最大值等于( )

A ．9

4 B ．47 C ．3

4

D ．12

【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，

观察图形可知当A 为(1,2)，B 为(2,1)时，tan ∠AOB 取得最大值，此时由于tan α＝k BO ＝1

2

，tan β

＝k AO＝2，故tan∠AOB＝tan (β－α)＝

tan β－tan α

1＋tan βtan α

＝

2－

1

2

1＋2×

1

2

＝

3

4

．

【解析】C

二、填空题

21．(2014·高考安徽卷)不等式组

??

?

??

x＋y－2≥0，

x＋2y－4≤0，

x＋3y－2≥0

表示的平面区域的面积为________．【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S△ABC＝

1

2

×2×(2＋2)＝4．

【答案】4

22．(2014·高考浙江卷)若实数x，y满足

??

?

??

x＋2y－4≤0，

x－

y－1≤0，

x≥1，

则x＋y的取值范围是________．

【解析】作出可行域，如图，作直线x＋y＝0，向右上平移，过点B时，x＋y取得最小值，过点A时取得最大值．

由B(1,0)，A(2,1)得(x＋y)min＝1，(x＋y)max＝3．所以1≤x＋y≤3．

【答案】[1,3]

23．(2015·重庆一诊)设变量x，y满足约束条件

??

?

??

x≥1，

x＋y－4≤0，

x－3y＋4≤0，

则目标函数z＝3x－y的最大值为____．

【解析】根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，

∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4．

【答案】4

24．已知实数x ，y 满足????

?

x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，

y ≥－1，

则w ＝x 2＋y 2

－4x －4y ＋8的最小值为________．

【解析】目标函数w ＝x 2

＋y 2

－4x －4y ＋8＝(x －2)2

＋(y －2)2

，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，

由图可知，点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2＝32

2，

所以w min ＝9

2

．

【答案】9

2

25．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组????

?

2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，

y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |

的最小值是________．

【解析】如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM |的最小值，∴|OM |min ＝

|－2|12

＋1

2

＝2．

【答案】 2

26．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．

【解析】设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，