选修2-2导数的实际应用课时作业

课时作业8 导数的实际应用

时间：45分钟 满分：100分

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．一个箱子的容积与底面一边长x 的关系为V (x )＝x 2

·(60－x 2)(0

A ．30

B ．40

C ．50

D ．60

【答案】 B

【解析】 V ′(x )＝(30x 2－12x 3)′＝60x －3

2x 2＝0，解得x ＝40.

"

2．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万

件)的函数关系式为y ＝－13x 3

＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )

A ．13万件

B ．11万件

C ．9万件

D ．7万件

【答案】 C

【解析】 令y ′＝－x 2＋81>0，解得09，∴函数y ＝－13x 3

＋81x －234在区间(0,9)上是增函数，在区间(9，＋∞)上是减函数，∴在x ＝9处取极大值，也是最大值，故选C.

3．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积最大值为( )

A ．2πr 2

B ．πr 2

C ．4πr 2

πr 2

，

【答案】 A

【解析】 设内接圆柱的高为h ，底面半径为x ，则由组合体的知

识得h 2＋(2x )2＝(2r )2，又圆柱的侧面积S ＝2πx ·h ，

∴S 2

＝16π2

(r 2x 2

－x 4

)，(S 2

)′＝16π2

(2r 2

x －4x 3

)，由(S 2

)′＝0，得x ＝2

2

r (x ＝0舍去)，∴S max ＝2πr 2，故选A.

4．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( )

A ．32 16

B ．30 15

C ．40 20

D ．36 18

【答案】 A

【解析】 要求用料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设场地宽为x 米，则长为512x 米，因此新墙总长为L ＝2x ＋512

x (x >0)，则L ′＝2－512x 2， )

令L ′＝0得x ＝±16，又x >0，

∴x ＝16，则当x ＝16时，L min ＝64，∴长为512

16＝32(米)． 5．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝

???

－x 3900

＋400x ，0≤x ≤390，

90 090，x >390.

则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )

A ．150

B ．200

C ．250

D ．300

【答案】 D

【解析】 ∵总利润P (x )＝

???

－x 3900

＋300x －20 000，0≤x ≤390，

90 090－100x －20 000，x >390，

由P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D. <

6．(2014·陕西理)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着

陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )

( )

A ．y ＝1125x 3－3

5x B ．y ＝2125x 3－4

5x C ．y ＝3125x 3

－x D ．y ＝－3125x 3＋1

5x

【答案】 A

【解析】 本题考查导数的计算，切线的几何意义，函数的奇偶性．

根据函数图象的特点，设函数y ＝ax 3＋cx ，

|

又∵函数在(－5,2)处切线平行于x 轴，

∴y ′＝3ax 2＋c ，即3a ×25＋c ＝0， ∴c ＝－75a ，故选A.

二、填空题(每小题10分，共30分)

7．已知轮船甲位于轮船乙的正东方向且距轮船乙75n mile 处，

以12n mile/h 的速度向西行驶，而轮船乙则以6n mile/h 的速度向北行驶，如果两船同时起航，那么经过________h 两船相距最近．

【答案】 5

【解析】 设经过x h 两船相距y n mile ，则y 2＝36x 2＋(75－12x )2，令(y 2)′＝72x －24(75－12x )＝0，可解得x ＝5，易知当x ＝5时，y 2取得最小值．

8．做一个无盖的圆柱形水桶．若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________． ?

【答案】 3

【解析】 设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π， ∴L ＝27

R 2，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小， ∴S 表＝πR 2

＋2πRL ＝πR 2

＋2π27R ，由S ′(R )＝2πR －54π

R 2＝0，

得R ＝3，则当R ＝3时，S 表最小．

9．一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月每套需花费100元维修费，则房租定为________

元时可获得最多收入．

【答案】 1 800

【解析】设x套为没有租出去的公寓数，则收入函数f(x)＝(1 000＋50x)(50－x)－100·(50－x)，∴f′(x)＝1 600－100x，∴当x＝16时，f(x)取最大值，故把租金定为1 800元时，收入最多．

@

三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

10．(13分)在高为H、底面半径为R的圆锥内作一个内接圆柱，问圆柱底面半径r为多大时，圆柱体积最大

【分析】圆柱内接于圆锥，求圆柱体积最大值，解答本题的关键是画出轴截面，建立圆柱体积与底面半径r的函数解析式，利用导数求函数的最大值．

【解析】设圆柱底面半径为r、高为h、体积为V，在圆锥的轴截面△ABC中(如图)，

∵

H

H－h

＝

R

r，

∴h＝H(1－r

R)，

∴V ＝πr 2h ＝πr 2H (1－r R )＝πHr 2－πH

R r 3(0

@

V ′＝2πHr －3πH

R r 2.

令V ′＝0得r ＝2

3R (0

由于在(0，R )内，函数只有一个极值点，根据题意最大值存在，所以当r ＝23R 时，体积最大且V max ＝427πR 2

H .

【规律方法】 求几何体的面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，选择适当的量建立关于面积或体积的目标函数，然后利用导数求解．

11．(13分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝

k

3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k 的值及f (x )的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 【分析】 根据自变量x 和函数值C 的实际意义以及题目的条件可知C (0)＝8.由此可求出f (x )的表达式，进而求f (x )的最小值． —

【解析】 (1)设隔热层厚度x cm ，由题意建筑物每年的能源消耗

费用为C (x )＝k

3x ＋5

(0≤x ≤10)，再由C (0)＝8得k ＝40，

故C (x )＝

40

3x ＋5

(0≤x ≤10)；又x 厘米厚的隔热层建造费用为6x ， 所以由题意f (x )＝403x ＋5×20＋6x ＝800

3x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．

(2)f ′(x )＝6－ 2 400

?3x ＋5?2＝54?x ＋25

3??x －5?

?3x ＋5?2.

令f ′(x )＝0，得x ＝5或x ＝－25

3(舍去)，

当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，当x ∈(5,10)时，f ′(x )>0，故x ＝5时，f (x )取得最小值，且最小值f (5)＝6×5＋800

15＋5

＝70.

因此当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小，且最小值为70万元．

12．(14分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a

x －3＋

10(x －6)2，其中3

(1)求a 的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

【解析】 (1)因为x ＝5时，y ＝11， 所以a

2＋10＝11，所以a ＝2.

(2)由(1)可知该商品每日的销售量y ＝2

x －3＋10(x －6)2，

所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)·[2

x －3

＋10(x

－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3

从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．

令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6.

、

于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

值点，

所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．