怎样确定二次函数的解析式

怎样确定二次函数的解析式？

确定二次函数的解析式一般采用待定系数法．应根据已知条件的不同特点，适当选取二次函数的一般

式、顶点式或交点式，以使计算最简便为宜．

（1）已知抛物线上三个点的坐标，最好选用一般式．

例1 已知抛物线经过A （0，4），B （1，3）和C （2，6）三点，求二次函数的解析式．

.c bx ax y 2++=设二次函数的解析式为规范解法

因A 、B 、C 三点在函数的图象上，

所以它们的坐标满足函数的解析式．

把A 、B 、C 三点的坐标代入所设解析式，

??

???=++=++=.6c b 2a 4,

3c b a ,4c 得方程组

?????=-==.4c ,

3b ,2a 解得 .4x 3x 2y 2+-=故所求函数解析式为

（2）若已知条件与抛物线的顶点有关，则用顶点式比较恰当．

例2 已知二次函数的图象顶点为（2，3），且经过点（3，1），求这个二次函数的解析式．

.n )m x (a y 2++=式为设二次函数的解析规范解法

.3)2x (a y ,)3,2(2+-=得的坐标代入把顶点

.3)23(a 1,)1,3(2+-=得的坐标代入再把点

解得a ＝－2．

.3)2x (2y 2+--=式为故所求二次函数的解析

（3）已知抛物线与x 轴两个交点的坐标，选用交点式比较简便．

例3 已知A （2，0），B （－1，0），C （1，－3）三个点在抛物线上，求二次函数的解析式．

思路启迪

由A 、B 两点的纵坐标为0知，这两点是抛物线与x 轴的交点．

规范解法 设二次函数的解析式为

),x x )(x x (a y 21--=

).1x )(2x (a y ,1x ,2x 21+-=-==得代入把

再把点C （1，-3）的坐标代入，

得－3＝a （1－2）（1＋1），

.23a =

解得 ).1x )(2x (23y +-=故所求解析式为

点评

上述3个例题均可采用二次函数的一般式求解．

如例2中的抛物线顶点坐标为（2，3），可以列出两个方程，即 顶点的横坐标22=-

a b ， ① 顶点的纵坐标3442

=-a b ac ， ②

再把点（3，1）的坐标代入c bx ax y ++=2，得9a+3b+c=1

③ 把方程①、②、③联立得方程组，解得 ?????-==-=.5c ,

8b ,2a

.5x 8x 2y 2-+-=故所求解析式为

显然，选用一般式解决例2的问题比用顶点式麻烦得多．

因此，求二次函数的解析式，根据己知条件选取表达式是关键．

例4 已知二次函数的图象经过点A （3，—2）和B （1，0），且对称轴是直线x ＝3．求这个二次函

数的解析式．

思路启迪一

已知对称轴是直线x ＝3，因对称轴经过顶点，所以这是与顶点有关的问题．

.h 3)-a(x y 12+=设二次函数的解析式为规范解法

把A （3，－2），b （1，0）两点的坐标代入，得

?????-==?????=+--=+-.

2h ,21a .0h )31(a ,2h )33(a 22解得 .2)3x (21y 2--=故所求解析式为

思路启迪二

由对称轴是直线x ＝3，且点A 的横坐标是3，知点A （3，—2）是抛物线的顶点，可设解析式为顶点

式．

23)-a(x y 22-=设二次函数的解析式为规范解法

21

a ,02)31(a ,)0,1(B 2==--解得得的坐标代入把点

.2)3x (21y 2--=故所求解析式为

思路启迪三

由对称轴是直线x ＝3，可得关于a 、b 的一个方程.3a 2b =-

又知图象经过两定点，可设解析式为一

般式，

.c bx ax y 32++=设二次函数的解析式为规范解法

???????=++-=++=-.0c b a 2

c b 3a 9,

3a 2b ,得根据题意 解这个方程组，得???

????=-==.25,

3,21c b a .25x 3x 21y 2+-=故所求析式为

思路启迪四

由点B （1，0）的纵坐标是0知，它是抛物线与x 轴的交点，若能求出抛物线与x 轴的另一个交点，

即点B 关于对称轴x ＝3的对称点．则可设解析式为交点式．

.5m ,32

m 1(m,0),B 3x B(1,0) 4==+'=解得则

的对称点关于直线设点规范解法)0,5(B 的坐标为所以点' 设二次函数的解析式为y ＝a （x －1）（x －5）．

得代入的坐标把点,)2,3(A -

a （3－1）（3－5）＝－2，

.21a =解得

).5x )(1x (21y --=故所求解析式为

思路启迪五

同解法4得到B′（5，0），就具备了图象过三个定点，可设其解析式为一般式．

规范解法5 同解法4，求得点B （1，0）关于对称轴x ＝3的对称点B '（5，0），设二次函数的解析

式为.c bx ax y 2++=

),2,3(A 0c bx ax 5x ,1x 2-=++==的两根及图象过点是一元二次方程由

???????=-==?????????-=+++=+=-.25c ,

3b ,21a .2c b 3a 9,51a c ,51a b 解得得

.25x 3x 21y 2+-=

故所求解析式为

点评 例4各解法中以解法2最佳．它体现在对点A （3，—2）是所求抛物线的顶点这一隐含条件挖掘得好．因此，我们在解题过程中既要学会一题多思，一题多解，拓开思路；更要注意寻求合理的解题途径，选好突

破口．

注 本题还可直接把A 、B 、B′三点坐标代入所设一般式，求a 、b 、c 的值．

29．如何利用“抛物线x 轴交点间的距离”求二次函数的解析式？

已知抛物线与x 轴两交点间的距离，求二次函数的解析式，一般有下列两种情况：

例1 已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x 轴两交点间的距离为4．求二次函数的

解析式．

思路启迪

在已知抛物线与x 轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，－2）的条件，易知其对称轴为x ＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x 轴两交点的坐标分别为（1，0）和

（5，0）． 此时，可随意使用二次函数的一般式或交点式，得二次函数的解析式为

.25x 3x 21y 2+-=

点评 同一个题目使用不同的方法求解后，应进一步比较分析它们的优缺点，才能不断提高解题水平，求得

最简捷的解法．

例2 已知二次函数的图象经过??? ??-25,0A 和)6,1(--B 两点，且图象与x 轴的两个交点间的距离为

4．求二次函数的解析式．

思路启迪

已知抛物线与x 轴的两个交点间的距离，不知道它的对称轴，情况就比上述问题要复杂得多．利用A 、

B 两点的坐标可以确定两个方程，即.6c b a 25c -=+--=和根据待定系数法的要求，必须设法找到

第三个方程，才能利用二次函数的一般式求得a 、b 、c 的值．确定第三个方程的思路有二． 规范解法1 因为抛物线与x 轴交点的横坐标是一元二次方程0c bx ax

2=++的两个根.

x ,x 21方程的求根公式为 ,a 2ac 4b b x 22,1-±-=

.4|x x |21=-可列方程即.4a 2ac 4b b a 2ac 4b b 22=-----+-

.4a ac 4b 2=-化简得 两边平方，得.16422=-a ac b

.a 16ac 4b 22=-∴

.,0c b a 25c 得方程组即可求解联立和把这个方程与程=+--=

规范解法2 根据一元二次方程根与系数的关系，

,16x x ,a b x x 2121=-=+

,16)x x (,,4|x x |22121=-=-得两边平方把

.16x x 4)x x (21221=-+即

.a 16ac 4b ,a c x x ,a b x x 222121=-=-=+得代入并整理把

点评

以上两种变形方法都应熟练掌握，它们对解决“已知抛物线与x 轴的两个交点间的距离，求二次函数

解析式”的问题大有益处．

30．怎样求二次函数的最大（小）值？

求二次函数的最大值和最小值的问题，有着广泛的应用．

求二次函数

c bx ax y 2++=的最值，有下面三种方法： （1）公式法．

由二次函数

c bx ax y 2++=的图象看出，当a>0时，抛物线的开口向上，它的顶点???? ??--a 4b ac 4,a 2b 2

在最低处．由此可得：当a>0且a 2b x -=时，函数达到最小值，这个最小值就是抛物线顶点的纵坐标，即.a 4b ac 4y 2-=最小当a<0且

a 2

b x -=时，函数达到最大值，这个最大值就是抛物线顶点的纵坐标，即

.a 4b ac 4y 2-=最大 例1 求函数322--=x x y 的最大值或最小值.

规范解法 由a=1>0知抛物线开口向上 故当

,122a 2b x 时=--=-= .44412a 4b ac 4y 2-=--=-=最小

（2）配方法．

变形为利用配方法把二次函数c bx ax y 2++=

.a 4b ac 4a 2b x a y 22

-+??? ??+=

.0a 2b x ,x 2≥??? ??+则有对任意实数 ,a 4b ac 4y ,a 2b x 0a 2

-=-=>最小时当若

.a 4b ac 4y ,a 2b x 0a 2

-=-=<最大时当若

例2 求二次函数25-2x y 2-+=x 的最大值或最小值.

规范解法

.8945x 2 1x 25x 22x 5x 2y 222+??? ?

?--=??

? ??+--=-+-= ∵,045,022≥??? ??-<-=x a

.89y ,45x ==∴最大时当

点评

利用公式法与配方法求二次函数的最值时，应根据具体情况，选用恰当的方法．

（3）判别式法．

所谓“判别式法”就是利用一元二次方程根的判别式ac 4b 2-来求二次函数的最值的方法．

例3 求函数

232--=x x y 的最大值或最小值. .0)2y (x 32x 2=+--把解析式变形为规范解法

.0)2y (24)3(,0ac 4b ,x 22≥+?+-≥-即必有判别式为实数因

.825y ,-≥得解这个不等式

.8252x 3x 2y 2-

--=的最小值为故函数 点评

用“判别式法”求二次函数的最大值或最小值，有时比公式法和配方法更为简便，它不仅可用来求二

次函数的最值，还可求更为广泛的一类函数的最值．

31．怎样利用二次函数的最值求得其他函数的最值？

利用二次函数的最值，可以进一步研究其他一些函数的最值问题．举例如下．

例1 求函数22122+--

=x x y 的最大值或最小值.

思路启迪

在函数的解析式中，含有二次三项式,2x 2x 2+-故可构造关于x 的二次函数,2x 2x t 2+-=，先求出其最值，再通过不等式运算求出函数

2x 2x 1

2y 2+--=的最值． .2x 2x t 2+-=令规范解法

.11)-(x t ,2+=得配方

得两边同加上,2,0t 11<-≤-

22x 2x 12y 1,2t 1212<+--=≤<-≤即

.2x 2x 12y 2只有最小值显然函数+--=

.1y ,1x ==最小时故当

例2 求函数3

22+--=x x y 的最大值或最小值. 思路启迪

在函数解析式中，含有关于x 的二次三项式,3x 2x 2+--可构造二次函数2x t -=

,3x 2+-通过求二次函数的最值，求得3x 2x y 2+--=的最值．

.4)1x (t ,,3x 2-x t 22++-=+-=得配方令规范解法

.1x 3x ,03x 2x 2≤≤-≥++-的取值范围是得由

当x ＝－1时，

∵a＝－1<0， ∴t 有最大值4，即t≤4，从而y≤2． 又∵,0322≥+--x x 当x=1时取“=”号，

∴y≥0，综上0≤y≤2． 故函数3x 2x y 2+--=既有最大值，又有最小值．当x ＝－1时，;2y =最大当x ＝1时，

.0y =最小

注 ①以上两例，都是根据已知函数的特征，构造出一个二次函数，先求出二次函数的最值，再通过

不等式的运算求得已知函数的最值．

②求函数的最值应先考虑自变量的取值范围．如二次函数c bx ax y 2++=的自变量取值范围是全体

实数．再如例1中，因2x 2x 12y ,01)1x (2x 2x 222+--

=≠+-=+-故的自变量取值范围也是

全体实数，在解题过程中可以不作叙述．但例2中，应限制被开方数

,03x 2x 2≥+--所得自变量的取值范围不再是全体实数，而是－3≤x≤1，必须加以明确．因为函数的最值一定是自变量取某一确定值时函数的对应值，如果你所求的函数最值，在自变量的取值范围内找不到确定的值，使它对应的函数值就是这个“最值”，那么表明你所求的连函数值都不是，更谈不上是函数的最值了．所以，求自变量的取值范

围是求函数最值不可缺少的步骤．

例3 已知x 、y 为实数，且x+y=2，求22x

y +的最小值.

思路启迪

在x 、y 满足一定条件的前提下，求函数22y x +的最值，叫做求函数的条件最值．求条件最值最基本的方法是通过代入消元，把表达式转化为只含有一个自变量的一元二次函数的形式，再利用二次函数的

最值求解．

.x 2y 2y x -==+解出由

代入①，得

.442)2(222+-=-+=x x x x t .2)1x (2t ,2+-=得配平方

.2y x 22的最小值是故+

例4 设，|x －y|＝2求xy 的最小值．

思路启迪

要想把式子xy 转化为只含有一个未知数，比如只含有x 的式子，就需对，|x －y|＝2分类讨论去绝对

值符号，从中解出y ，再代入消元．

规范解法 由|x －y|＝2知x≠y，有以下两种情况：

①当x>y 时，x －y ＝2，解得y ＝x －2．

.1)1x (x 2x )2x (x xy 22--=-=-=∴

.1xy ,1x -=有最小值时当

.1)1x (x 2x )2x (x xy 22-+=+=+=∴

.1xy ,1x --=有最小值时当

再从①、②中比较出最小值，才是所求的最小值．由于两种情况下的最小值都是－1，故当x ＝±1时，

xy 达到最小值－1．

32．解二次函数最值的应用题的方法步骤是什么？

解二次函数最值应用题的基本方法，是设法把关于最值的实际问题，转化为二次函数的最值问题，然

后按求二次函数最值的方法求解．其一般步骤是：

（1）利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式列出关系式；

（2）把关系式转化为二次函数的解析式；

（3）求二次函数的最大值或最小值．

例1 用12米长的木料做成如图13—20所示的矩形窗框（包括中间的十字形），问当长、宽各是多

少时，矩形窗框的面积最大?最大的面积是多少?

规范解法 设窗框长为x 米，

.3x 312米则窗框的宽为-

.x 4x 3x 312x y 2+-=??? ??-=矩形窑框的面积为

.4)2x (y ,2+--=得配平方

).(4y ,)(2x 平方米时米当最大==

).(2243x 312,米此时=-=-

答：当窗框的长、宽各为2米时，窗框的面积最大，最大的面积是4平方米．

例2 已知三角形的两边和为20cm ，这两边的夹角为120°（图13—21）．求它的面积的最大值；当

面积最大时，这两边的长各是多少?

思路启迪

已知三角形两边之和为20cm ，应设其中一边为x cm ，并将这条边上的高用x 表示，即可把该三角形

的面积表示为x 的函数．

规范解法 在如图13—21所示的△AB C 中，设BC 边的长为xcm ，则AB ＝（20－x ）cm ．

过A 作BC 边上的高AD ，与CB 的延长线交于点D ．

∵∠ABD＝180°－120°＝60°，

.cm )x 20(23AD -=∴

).x 20(23x 21y ABC -?=

?∴的面积为 .043a .x 35x 43y 2<-=+-=这里即

).cm (325434)35(y ,)cm (104323

5x 22

=???? ??--=???? ??--=有最大值时当 此时20－x ＝10（cm ）．

.cm 10,;cm 325:2三角形两边的长各为当面积最大时是这个三角形的最大面积答 例3 快艇和轮船分别从A 地和C 地同时开出，航行路线互相垂直．如图13—22．快艇的速度为40千米／小时，轮船的速度是15千米／小时，A 、C 两地间的距离是120千米．问经过多少时间，快艇和轮

船的距离最小?（精确到0.1小时）

思路启迪

设经过t 小时后，快艇和轮船间的距离最小，此时快艇在图13—22所示的B 点位置，轮船在D 点位

置．因连结两点以线段最短，故快艇和轮船间的最短距离，就是线段BD 的长．

∵快艇速度为40千米／小时，轮船速度为15千米／小时，AC ＝120千米，

∴BC＝120－40t ；CD ＝15t ．

在Rt△BCD 中，由勾股定理，得

即大约经过2.6小时，快艇和轮船间的距离最小．

例4某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销路，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可

多售出2件．

（1）某商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?

（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?

思路启迪

商场所获的利润是由售出的商品数量和这件商品的利润相乘而得到的．如果每件衬衫降价x元，则盈利为（40－x）元，则可多售出2x件衬衫，即每天可售出（20＋2x）件

衬衫，从而可求出每天的利润．

由于这个关系式是一个二次项系数为负数的二次函数，所以可求出盈利的最大值，规范解法（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意，得（40－x）（20＋2x）＝1200．

整理，得

.0

200

30

2=

+

-x

x

20

x,

10

x,

2

1

=

=

解这个方程

即当降价10元或20元时，由于销售量不同，都可获利1200元．但“为了扩大销售”，“尽快减少库存”可降价20元，每天销售量将增加，符合题中要求．

（2）设商场平均每天盈利y元，则

.

1250

)

15

x(2

)x2

20

)(

x

40

(

y2+

-

-

=

+

-

=

即每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，达到1250元．答：若商场平均每天盈利1200元时，每件衬衫应降价10元或20元；每件衬衫降价15元时，商场平

均每天盈利最多，达到1250元．

点评

通过解答上述的几个实际问题，会使我们感觉到数学的美在于它源于实践，用于实践．我们从生产、生活的实践中发现和总结规律，进而能根据客观规律指导实践，解决生产、生活中的一些实际问题．

初中数学中的一次函数、二次函数问题是与实际问题联