2018中考数学压轴题复习《因动点产生的函数关系问题》

§2．1 由比例线段产生的函数关系问题

课前导学（一）

图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．

产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．

由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用．

类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边．如图1，已知点A的坐标为(3, 4)，点B是x轴正半轴上的一个动点，设OB＝x，AB＝y，那么我们在直角三角形ABH 中用勾股定理，就可以得到y关于x的函数关系式．

类型二，图形的翻折．已知矩形OABC在坐标平面内如图2所示，AB＝5，点O沿直线EF翻折后，点O的对应点D落在AB边上，设AD＝x，OE＝y，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式．

图1 图2

由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．

一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．

一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．

关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．

课前导学（二）

图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题．

计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方．

前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单．

一般情况下，在求出面积S关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下（x为何值时），S取得最大值或最小值．

关于面积的最值问题，有许多经典的结论．

例1，周长一定的矩形，当正方形时，面积最大．

例2，面积一定的矩形，当正方形时，周长最小．

例3，周长一定的正多边形，当边数越大时，面积越大，极限值是圆．

例4，如图1，锐角△ABC的内接矩形DEFG的面积为y，AD＝x，当点D是AB的中点时，面积y最大．

例5，如图2，点P在直线AB上方的抛物线上一点，当点P位于AB的中点E的正上方时，△PAB的面积最大．

例6，如图3，△ABC中，∠A和对边BC是确定的，当AB＝AC时，△ABC的面积最大．

图1 图2 图3

例 1 2014年湖南省常德市中考第26题

如图1，图2，已知四边形ABCD 为正方形，在射线AC 上有一动点P ，作PE ⊥AD （或延长线）于E ，作PF ⊥DC （或延长线）于F ，作射线BP 交EF 于G ．

（1）在图1中，正方形ABCD 的边长为2，四边形ABFE 的面积为y ，设AP ＝x ，求y 关于x 的函数表达式；

（2）GB ⊥EF 对于图1，图2都是成立的，请任选一图形给出证明；

（3）请根据图2证明：△FGC ∽△PFB ．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“14常德26”，拖动点P 在射线AC 上运动，可以体验到，EM 和FN 把正方形ABCD 分割成了两个正方形和两个全等的矩形，B 、C 、G 、F 四点共圆． 思路点拨

1．四边形ABFE 可以用大正方形减去两个直角三角形得到．

2．画直线EP 、FP ，把正方形分割为两个正方形和两个全等的矩形．

图文解析

（1）如图3，延长EP 交BC 于M ，延长FP 交AB 于N ，那么四边形AEPN 和四边形CFPM 是正方形．

由AP ＝x ，可得正方形AEPN x ．所以FC ＝DE ＝2x ．

由于S △DEF ＝12DF DE ?＝1(2)222x x ?-，S △BCF ＝12BC FC ?＝12(2)22x ??-， 所以y ＝S 四边形ABFE ＝S 正方形ABCD －S △DEF －S △BCF

＝4－(2)42x x -－(2)2

x -＝21+24x ．

图3 图4

（2）如图4，因为tan ∠EFP ＝PE PF ，tan ∠PBN ＝NP NB

，且PE ＝NP ，PF ＝NB ，所以 ∠EFP ＝∠PBN ．

又因为∠1＝∠2，∠1＋∠PBN ＝90°，所以∠2＋∠EFP ＝90°．所以GB ⊥EF ．