勾股定理培优

勾股定理

一、知识要点

1、勾股定理

勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴含着丰富的文化价值，勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理” .

勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a 、b 、c ，其中c 为斜边）的三边关系，即a 2+b 2=c 2，它的变形式为c 2-a 2=b 2或c 2-b 2=a 2.

勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用，它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法. 2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则这个三角形是以c 为斜边的直角三角形.

勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的，实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的，这是里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法，它将数形之间的联系体现得淋漓尽致.因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”.

二、基本知识过关测试

1.如果直角三角形的两边为3，4，则第三边a 的值是 .

2.如图，图形A 是以直角三角形直角边a 为直径的半圆，阴影S A = .

3.如图，有一个圆柱的高等于12cm ，底面半径3cm ，一只蚂蚁要从下底面上B 点处爬至上底与B 点相对的A 点处，所需爬行的最短路程是 .

4.如图.在 △ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AB =5，CD

=，∠BCD =30° ，则AC = . 5.

的线段.

6.在下列各组数中 ①5，12，13 ；②7，24，25；③32，42，52；④3a ，4a ，5a ；⑤a 2+1，a 2-1，2a (a ＞1)；⑥m 2-n 2，2mn ，m 2+n 2(m ＞n ＞0)可作直角三角形三边长的有 组.

7.如图，四边形ABCD 中，AB =1，BC =2，CD =2，AD =3，AB ⊥BC ，则四边形ABCD 的面积是 .

第2题图 第3题图 第4题图 第7题图

8.如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 中点，E 为BC 上一点，且EC =

1

4

BC ，试判断△ AEF 的形状.

B

A

D

C

B

A

D

C

B

A

F

E D

C

B A

三、综合.提高.创新

【例1】（1）在三角形纸片ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AC =3，折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与AB 、AC 分别相交于点D 和点E （如图），折痕DE 的长是多少？

（2）如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =10，按如图所示折叠，使点D 落在BC 上的点E 处，求折痕AF 的长.

（3）如图，正三角形ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上任意一点，P A +PM 的最大值和最小值分别记作S 和T ，求S 2-T 2的值.

【练】如图，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD ′，AD ′与BC 交于E ，若AD =4，DC =3，求BE .

E

D

C B

A

F

E

D

C

B

A

P

M

C

B

A

D '

E

D

C

B A

【例2】（1）如图，△ABC 中，∠C =60°，AB =70，AC =30，求BC 的长.

（2）如图，在四边形ABCD 中，AB =2，CD =1，∠A =60°， ∠B =∠D =90°，求四边形ABCD 的面积.

【练】如图，△ABC 中，A =150°，AB =2，BC

，求AC 的长.

【例3】（1）如图，△ABC 中，AB =AC =20，BC =32，D 为BC 上一点，AD ⊥AB ，求CD .

（2）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 、E 分别是BC 、AC 中点，AD =5，BE

=，求AB .

C

B

A

D

C

B

A

C

B

A

D

C

B

A

E

D

C B

A

【例4】如图，△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，设AC =b ，BC =a ，AB =c ，CD =h ，求证：

（1）

222

111a b h +=； （2）a +b ＜c +h ；

（3）以a +b ，h 和c +h 为边的三角形是直角三角形.

【例5】（1）如图，ABCD 为矩形，P 为矩形ABCD 所在平面上一点，求证：P A 2-PB 2=PD 2 -PC 2.

（2）锐角△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，若∠B =2∠C ，求证：AC 2=AB 2+AB ·BC .

变式：如图，AM 是△ABC 的BC 边上的中线，求证：AB 2+AC 2=2(AM 2+BM 2).

D C

B

A

P

D

C

B A

D

C

B

A

B

A

（3）如图，△ABC 中，AB =AC ，P 为线段BC 上一动点，试猜想AB 2，AP 2， PB ，PC 有何关系，并加以证明.

变式：若点P 在BC 的延长线上，如图，（3）中结论是否仍然成立？并证明.

（4）在等腰Rt △ABC 的斜边AB 所在的直线上取点P 并设s =AP 2+BP 2，试探求P 点位置变化时，s 与2CP 2的大小关系，并证明.

变式：若点P 在BA 的延长线上，如图中，（4）中结论是否仍然成立？并证明.

P C

B A

P

C B

A

P

C

B

A

P C

A

【例6】（1）如图，△ABC 中，D 为BC 边上的中点，以D 为顶点作∠EDF =90°，DE 、DF 分别交AB 、AC 于E 、F ，且BE 2+FC 2=EF 2，求证：∠BAC =90°.

（2）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，E ，F 分别是BC 上两点，若∠EAF =45°，试推断BE ，CF ，EF 之间的关系，并证明.

变式一:将（2）中△AEF 旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立？试证明.

变式二：如图，△AEF 中∠EAF =45°，AG ⊥EF 于G ，且GF =2，GE =3，求S △AEF .

F

E

D A A

B

E A

G F

E A

【例7】（1）在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，P 为△ABC 内一点，且P A =3，PB =1，PC =2，求∠BPC 的度数.

（2）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =30°，∠ADC =60°，AD =CD ，求证BD 2=AB 2+BC 2.

【例8】在等腰△ABC 中，AB =AC ，边AB 绕点A 逆时针旋转角度m ，得到线段AD . （1）如图1，若∠BAC =30°，30°＜m ＜80°，连接BD ，请用含m 的式子表示∠DBC ;

（2）如图2，若∠BAC =90°，0°＜m ＜360°，射线AD 与直线BC 相交于点E ，是否存在旋转角度m ，

使AE

BE

，若存在，求出所有符合条件的m 的值；若不存在，请说明理由.

P

C

A

D

C

B

A

D

C

B A

E D

C

B

A

【例9】（1）已知点P在一、三象限的角平分线上，且点P到点A（3，6）的距离为P A=15，求点P的坐标；

（2）已知直角坐标平面内的△ABC三个顶点的坐标分别为A（-1，4），B（-4，-2），C（2，-2），试判断△ABC 的形状；

（3的最小值；

（4）已知a＞0，b＞0为三边长的三角形的面积.

自我归纳：

四、课后练习

1.如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮到达灯塔正东方向D 处时，货轮与灯塔M 的距离是多少？

2.在△ABC 中，A =30°，B =45°，BC =10cm ，求AB ，AC 及△ABC 的面积.

3.（1）如图，把长方形沿ABCD 对角线折叠，重合部分为△EBD . 1）求证和：△EBD 为等腰三角形； 2）若AB =2，BC =8，求AE .

（2）如图，折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上，已知AB =8cm ，CE =4cm ，求AD .

M

D

B A

北

C '

E

D

C

B A

F

E

D C

B

A

4．如图，△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°，AB=AC，D.E.是BC上的两点，且∠DAE=45°，若BD=6，EC=8，求DE的长.

5．如图，在等腰三角形中，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别为AB，AC边上的点，且DE⊥DF. （1）求证：BE2+CF2=EF2；

（2）若BE=12，CF=5，试求△DEF的面积.

6．如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，P为△ABC内一点，P A=1，PB=3，PC

，求∠CP A.

7．（1）如图1，已知点P是矩形ABCD内一点，求证：P A2+PC2=PB2+PD2. B

A

E

D

F

B

A

E

P

C

B A

A

B C

D

P

（2）①如果点P 移动到矩形的一边或顶点时，如图2，（1）中结论仍成立；

②如果点P 移动到矩形ABCD 的外部时，如图3，（1）中结论仍成立.请在以上两个结论中任选一个并给出证明.

归纳结论：

8．如图，△ABC 中，AD 是BC 边的中点，AE 是BC 边上的高，求证：AB 2-AC 2=2BC ·DE .

9

的最小值.

P

D

C

B A

P

D

C

B A E

D

B

A

10．试判断，三边长分别为2n 2+2n ，2n +1，2n 2+2n +1（n >0）的三角形是否为直角三角形？

11．已知a ，b ，x ，y

12．如图，Rt △ABC 的两直角边AB =4，AC =3，△ABC 内有一点P ，PD ⊥BC 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥AB 于F ，且

AB PF +AC PE +BC PD

=12，求PD 、PE 、PF 的长.

P

F

E D

C

B

A