高三职高数学复习资料

第一章 集合与函数概念

（1）集合的概念

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法

N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.

（3）集合与元素间的关系

对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?).

（6）子集、真子集、集合相等

（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集

（8）它有2

2n

-非空真子集.

x B ∈B A ?A B ?

B

{x A A =（2）A A ?= B A ? A B B ?

补

集U A{|,}

x x U x A

∈?

且

1()

U

A A=?2()

U

A A U

=

第二章不等式

（1）含绝对值的不等式的解法

不等式解集

||(0)

x a a

<>{|}

x a x a

-<<

||(0)

x a a

>>|x x a

<-或}

x a

>

||,||(0)

ax b c ax b c c

+<+>>

把ax b

+看成一个整体，化成||x a

<，

||(0)

x a a

>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法

判别式

24

b ac

?=-

?>0

?=0

?<

二次函数

2(0)

y ax bx c a

=++>的

图象

O

一元二次方程

20(0) ax bx c a

++=>的

根

2

1,2

4

2

b b ac

x

a

-±-

=

（其中

12

)

x x

<

122

b

x x

a

==-无实根

20(0) ax bx c a

++>>的

解集

1

{|x x x

<或

2

}

x x

>{|x}

2

b

x

a

≠-R

20(0) ax bx c a

++<>的

解集

12

{|}

x x x x

<

3.常用的基本不等式

()()() U U U

A B A B

=

()()() U U U

A B A B

=

第三章 函数

（1）函数的单调性

①定义及判定方法 函数的 性 质

定义

图象

判定方法 函数的 单调性

如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)

． x 1x 2

y=f(X)

x

y f(x )1

f(x )2

o

（1）利用定义

（2）利用已知函数的

单调性

（3）利用函数图象（在某个区间图

象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．

，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．

． y=f(X)

y

x

o

x x 2

f(x )

f(x )

2

1

1

（1）利用定义

（2）利用已知函数的单调性

（3）利用函数图象（在某个区间图

象下降为减） （4）利用复合函数

②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．

（2）函数的奇偶性

①定义及判定方法 函数的 性 质

定义

图象

判定方法 函数的 奇偶性

如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．

．

（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）

（2）利用图象（图象关于原点对称）

如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．

．

（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）

（2）利用图象（图象关于y 轴对称） 指数与对数运算

一．分数指数幂与根式：

如果n

x a =，则称x 是a 的n 次方根，0的n 次方根为0，若0a ≠，则当n 为奇数时，a 的

n 次方根有1个，

当n 为偶数时，负数没有n 次方根，正数a 的n 次方根有2个，

其中正的n

n

次方根记做．

1．负数没有偶次方根；

2

．两个关系式：n a =

；

||a n a n ?=??为奇数为偶数 3

、正数的正分数指数幂的意义：m

n

a

=

正数的负分数指数幂的意义：m n

a

-

=

．

4、分数指数幂的运算性质：

⑴ m n m n a a a +?=； ⑵ m n m n a a a -÷=； ⑶ ()m n mn a a =； ⑷ ()m m m a b a b ?=?；

⑸ 0

1a =，其中m 、n 均为有理数，a ，b 均为正整数 二．对数及其运算

1．定义：若b a N =(0a >，且1a ≠，0)N >，则log a b N =．

2．两个对数：

⑴ 常用对数：10a =，

10log lg b N N

==；

⑵ 自然对数： 2.71828a e =≈，log ln e b N N

==．

3．三条性质： ⑴ 1的对数是0，即

log 10

a =； ⑵ 底数的对数是1，即

log 1

a a =；

⑶ 负数和零没有对数． 4．四条运算法则：

⑴

log ()log log a a a MN M N

=+； ⑵

log log log a

a a M

M N N =-；

⑶ log log n

a a M n M =； ⑷

1log log a a M n =．

5．其他运算性质： ⑴ 对数恒等式：log a b

a

b =；

⑵换底公式：

log

log

log

c

a

c

a

b

b

=

；

⑶log log log

a b a

b c c

?=

；

log log1

a b

b a

?=

；

⑷log log

m

n

a

a

n

b b

m

=

．

（3）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：

2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：

12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．

（4）二次函数图象的性质 ①二次函数

2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2b

x a

=-

顶点坐标是2

4(,)24b ac b a a

--． ②当0a

>时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-

上递减，在[,)2b

a

-+∞上递增，当2b x a =-时，2

min 4()4ac b f x a

-=

；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-

上递增，在[,)2b

a

-+∞

上递减，当2b

x a

=-时，2max 4()4ac b f x a -=

．

③二次函数

2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ?=->时，图象与x 轴有两个交点

11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-

第四章 平面向量

1.向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．

2.向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：

a b a b a b

-≤+≤+．

⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；

②结合律：

()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．

⑸坐标运算：设()11,a

x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++．

18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a

x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．

设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--．

3.向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①

a a

λλ=；

②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，

0a λ=．

⑵运算律：①()()a a λ

μλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+．

⑶坐标运算：设(),a

x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．

b

a

C

B

A

a b C C -=A -AB =B

第五章 数列

一、等差数列的性质：

1.定义式:=-=-2312a a a a … d a a n n =-=-1(常数)。

2.通项公式：d n a a n )1(1-+=，推广型通项公式：d m n a a m n )(-+=， 变形：

m

n a a n a a d m

n n --=

--=

11。 3.若a,A,b 成等差数列，则称A 为a ，b 的等差中项，且A=

2

b

a +。 4.等差数列中，已知 p,q,m,n ∈N *

,若p+q=m+n ，则 m n q p a a a a +=+，若2m=p+q ，

则 q p m a a a +=2。

5.若 {}n a ，{}n b 均为等差数列，且公差分别为d 1,d 2，则数列

{}{}{}n n n n kb a q a pa ++,,

也为等差数列，且公差分别为2111,,kd d d pd +。

6. 在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列， 即m n m n m n n a a a a 32,,,+++，…,为等差数列，公差为md 。

7. 等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则,,,232n n n n n S S S S S --…为等差数列，公差为n 2

d 。

8.若等差数列的项数为2n ，则有1

,

+=

=-n n

a a S S nd S S 偶

奇奇偶。 等差数列的项数为奇数n ，则偶奇中间项偶奇且S S a S S S n -=+=，1

1

-+=n n S S 偶

奇。 9. ①{}n a 为等差数列中， n n a n S )12(12-=-。

②若 {}n a ，{}n b 均为等差数列,前n 项和分别为n n B A ,，则

n

n

n n b a B A =

--1212。 10. 等差数列{}n a 通项公式是：B An a n +=(A ≠0)是一次函数的形式；

前n 项和公式Bn An S n +=2

(A ≠0) 是不含常数项的二次函数的形式。

（注当d=0时，11,a a na S n n ==） 11. 若a 1>0，d<0，S n 有最大值，可由不等式组???≤≥+00

1

n n a a 来确定n 。

若a 1<0，d>0，S n 有最小值，可由不等式组??

?≥≤+0

1n n a a 来确定n 。

二、 等比数列的性质：

1.定义式:

===342312a a a a a a …q a a n n =-1

，（2≥n ）。 2.通项公式：11-=n n q a a ，推广型通项公式：m

n m n q a a -=。

3.若b G a ,,为等比数列，则称G 为b a ,的等比中项，其中ab ＞0，ab ±=G 。

4.等比数列{}n a 中，已知 p,q,m,n ∈N *

,若p+q=m+n ，则m n q p a a a a =，若2m=p+q ，

则p q n a a a =2

。

5. 若{a n },{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1,q 2，则数列

{pa n },{

n a 1

},{a n ·b n },}{n

n b a ,{|a n |}也为等比数列，且公比分别为pq 1,11

q ,q 1·q 2,2

1q q ,|q 1|。

6.在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，

即m n m n m n n a a a a 32,,,+++，…,为等比数列， 公比为m

q 。

7. 等比数列{}n a 前n 项和为n S ，则,,,232n n n n n S S S S S --…为等比数列，公比为

n q 。

(注意：当2,1=-=n q

k(k ∈N *

)时，此性质不成立)

8.等比数列{}n a 前n 项积为n ∏，则k

k

k k k 232,,

∏∏∏∏∏，…为等比数列，公比为2k q 。 9.等比数列{}n a 中，若1a >0，则q>1时，数列递增;01时，数列递减;0

1．等差数列的通项推导：叠加法; 前n 项和的推导：倒序相加法 2.等比数列的通项推导：叠乘法; 前n 项和推导：错位相减法 3.裂项相消求和法

4.与n S 有关的数列问题，一般要用111,--==n n n S S a S a （2≥n ）,二者必须同时使用。

5.递推关系求通项：①)(1n f a a n n +=+型：叠加法 ②q pa a n n +=+1型：构造等比数列法 ③p

a pa a n n

n +=

+1型：倒数法

④0)(11=-+++n n n n a a p a a 型：与③同型 ⑤011=-+++n n n n qa pa a a 型：③②结合

第六章 排列、组合与二项式定理

一．基本原理

1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一

.

m n m

n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从

二、公式

1.()()()()!

!

121m n n m n n n n A m

n -=

+---=……

2. 规定：0!1=

(1)!(1)!,(1)!(1)!

n n n n n n =?-+?=+

(2)

![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-；

(3)

111111

(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!

n n n n n n n n n +-+==-=-

+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式：

()()()C A A n n n m m n m n m n

m

n m m

m ==--+=

-11……!!!!

10

=n C 规定：

组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，

①；②；③；④

11112111212211

r r r r r r r r r r r r

r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=++

+=注：

若12m

m

1212m =m m +m n

n n C C ==则或

三、二项式定理

1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n n

n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项；

② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C

③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.

⑵二项展开式的通项.

n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a

C T r

r n r n r ∈≤≤=-+.

⑶二项式系数的性质.

①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．

最大.

I. 当n 是偶数时，中间项是第12

+n

项，它的二项式系数2n

n C 最大；

II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第2

1

+n 项和第121++n 项，

它们的二项式系数21

21+-=n n

n n C C 最大.

③系数和：

1

314201022

-=++=+++=+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C

第七章 概率

随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。

随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。

样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω. 样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）

第八章 三角函数

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；

⑶()sin

sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；

⑸()tan tan tan

1tan tan αβ

αβαβ

--=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；

⑹()tan tan tan

1tan tan αβ

αβαβ

++=

- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．

2.二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴

sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±?

⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α

αααα=-=-=-

?升幂公式2

sin 2cos 1,2

cos 2cos 12

2

α

αα

α=-=+