排列组合二项式概率专题.doc

排列组合、二项式、概率

1．若国际研究小组由来自3个国家的20人组成，其中A国10人，B国6人，C国4人，按分层抽样法从中选10人组成联络小组，则不同的选法有（）种.

A．

10

20

6

A

B．

532

1064

6

A A A

C．

532

1064

6

C C C

D．532

1064

C C C

2.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有

A.70种

B. 80种

C. 100种

D.140种

3.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有

A.70种

B. 80种

C. 100种

D.140种

4.（2017全国2理科6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1

人完成，则不同的安排方式共有（）

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

5.（2018全国1理科15）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女

生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）

6.（2020全国2理科14）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小

区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种。

7．若5

(1)

ax-的展开式中3x的系数是80，则实数a的值为

A．-2 B．22 C．34 D．2

8.（2015全国1理科）

9.（2018全国3理科5）

5

2

2

x

x

??

+

?

??

的展开式中4x的系数为（）

A．10 B．20 C．40 D．80 10.（2019全国3理科）

11.（2020全国1理科8） 2

5()()y x x y x

++的展开式中33x y 的系数为

A. 5

B. 10

C. 15

D. 20

12.一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个， 记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好 取5次球时停止取球的概率为( )

A ．81

5 B ．8114 C ．8122 D ．81

25

13.（2015全国1理科4）

14.（2018全国2理科8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．

1

12

B ．

1

14

C ．

1

15

D ．

118

15.（2018全国1理科10）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三

个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△AB

C 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随

机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则

A ．p 1=p 2

B ．p 1=p 3

C ．p 2=p 3

D ．p 1=p 2+p 3

16.（2019全国1理科6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A ．

516 B ．1132 C ．21

32 D ．1116

17.（2019全国1理科15）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜

利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．

18.（2020全国2理科3）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,。志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者

A ．10名

B ．18名

C ．24名

D ．32名

19.（2018全国3理科8）某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，

()()46P X P X =<=，则p =（ ）

A ．0.7

B ．0.6

C ．0.4

D ．0.3

20.（2018卷1）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为)10(<

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ;

（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

21．（2020卷1）甲、乙、丙三位进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一轮轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方. (1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最获胜的概率都为1

2

终获胜的概率.

7. （本小题满分13分）

为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情

况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，

已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第

2小组的频数为12.

（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数;

（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞

行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤

的学生人数，求X的分布列和数学期望.

8．（本小题满分13分）某地区有甲，乙，丙三个单位招聘工作人员，已知一大学生到这三个单位应聘的概率分别是0.4，0.5，0.6，且他是否去哪个单位应聘互不影响，用ξ表示他去应聘过的单位数，求ξ的分布列及数学期望；

9、(本小题满分13分)假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5，记此时教室里敞开的窗户个数为X．

(Ⅰ)求X的分布列；

(Ⅱ)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．

10. （本小题满分13分）

按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动(以下简称活动). 该校高2012级一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如图所示．

（I）求该班学生参加活动的人均次数x；

P．（II）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率

0（III）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

11.（2011年辽宁理19）（本小题满分12分）

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n 小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.

（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X 的分布列和数学期望；

（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

附：样本数据x 1，x 2，…，x a 的样本方差()()(

)

2222

111n s x x x x x x n ?

?=-+-+???+-?

???，

其中x 为样本平均数.

12. 某选手欲参加“开心辞典”节目，但必须通过一项包含5道试题的达标测试。测试规定：

对于提供的5道试题，参加者答对3道题即可通过。为节省测试时间，同时规定：若答题不足5道已通过，则停止答题，若答题不足5道，但已确定不能通过，也停止答题。

假设该选手答对每道题的概率均为

2

3

，且各题对错互不影响。 (Ⅰ) 求该选手恰好答完4道题就通过点的概率；

(Ⅱ)设在一次测试中该选手答题数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.

13.（本题满分13分）某市对该市小微企业资金短缺情况统计如下表：

(Ⅰ)试估计该市小微企业资金缺额的平均值；

(Ⅱ)某银行为更好的支持小微企业健康发展，从其第一批注资的A 行业4家小微企业和 B 行业的3家小微企业中随机选取4家小微企业，进行跟踪调研.设选取的4家小微企业 中是B 行业的小微企业的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列. (Ⅰ)解：由统计表得：该市小微企业资金缺额的平均值

100.05300.1500.35700.3900.260x =?+?+?+?+?=（万元）-----4分

(Ⅱ) ξ的所有可能取值为0，1，2，3

4

4471

(0)35C P C ξ===，31434712(1)35C C P C ξ===，22434

718(2)35

C C P C ξ===，

1343474

(2)35

C C P C ξ===，

所以ξ的分布列为

14.（本小题满分13分）

某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的以O 为圆心的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地指向任一位置（不指向各区域的边界）. 若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和. （Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；

（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元）.求随机变量X 的分布列和数学期望.

2. 解：(Ⅰ)设指针落在A,B,C 区域分别记为事件A,B,C.

则111

(),(),()632

P A P B P C =

==……………………………………3分 若返券金额不低于30元，则指针落在

A 或

B 区域.

111

()()632P P A P B ∴=+=

+=

……………………………………6分

即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12

. （Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.

随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120. ……………………………7分

111

(0);

224111

(30)2;

23311115

(60)2;

263318111

(90)2;

369111

(120).

6636P X P X P X P X P X ==?===??===??+?===??===?=………………………………10分

所以，随机变量X 的分布列为：

其数学期望

11511

030609012040

4318936EX =?+?+?+?+?= ………………………13分

（20）离散形随机分布

1．若国际研究小组由来自3个国家的20人组成，其中A 国10人，B 国6人，C 国4人，按

分层抽样法从中选10人组成联络小组，则不同的选法有（ ）种.

A ．10

20

6

A

B ．532

1064

6

A A A

C ．5321064

6

C C C

D ．532

1064C C C

2．若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值为 A ．-2

B ．

C

D ．2

3．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个， 记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好 取5次球时停止取球的概率为( )

A ．81

5 B ．8114 C ．8122 D ．81

25

4.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有

A.70种

B. 80种

C. 100种

D.140种

5、2

6

1(1)()x x x x

++-的展开式中的常数项为___5-______.

……………12分

6．(本小题满分13分)设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以ξ表示取出次品的个数. 求ξ的分布列，期望及方差. 解析：ξ

的可能值为0，1，2. 若ξ=0表示没有取出次品，其概率为03210312

6

(0)11C C P C ξ===；

同理()1211

2102103391

1,(2).2222C C C C P P C C ξξ====== ∴ξ的分布为

ξ

1

2

p

6

11

922

122

∴69110131122222E ξ=++=，16191115012.21122222244D ξ?

?????=-+-+-= ? ? ??

?????

7. （本小题满分13分）

为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情 况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)， 已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第 2小组的频数为12.

（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数;

（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X 表示体重超过60公斤 的学生人数，求X 的分布列和数学期望. 解：（Ⅰ）设报考飞行员的人数为n ,前三小组的频率分别为321,,p p p ,

则由条件可得:???

?

?

=?++++==1

5)013.0037.0(32321

1312p p p p p p p

解得375.0,25.0,125.0321===p p p ………………………………………………4分

又因为n

p 12

25.02==，故48=n ……………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为

8

5

5)013.0037.0(3=?++=p p ………………………………………………………8分

所以x 服从二项分布,k

k k C k x p -==33)8

3()85()(

∴x

0 1 2 3

p

51227 512135

512225

512

125

则8

15

512125351222525121351512270=?+?+?+?

=Ex ………………………………13分

(或: 8

15853=?

=Ex ) 8．（本小题满分13分）某地区有甲，乙，丙三个单位招聘工作人员，已知一大学生到这三个单位应聘的概率分别是0.4，0.5，0.6，且他是否去哪个单位应聘互不影响，用ξ表示他去应聘过的单位数，求ξ的分布列及数学期望；

9、(本小题满分13分)假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5，记此时教室里敞开的窗户个数为X ．

(Ⅰ)求X 的分布列；

(Ⅱ)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y ，求Y 的数学期望．

解：（Ⅰ）∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，(4,0.5)X

B ， ·

············ 1分 ∴4

4

11(0)216P X C ??=== ???，4

1411(1)24P X C ??=== ?

??， 4

2

4

13(2)28P X C ??=== ???，4

3411(3)24P X C ??=== ?

??

， 4

4411(4)216

P X C ??=== ?

??， ············································································· 6分 X ∴的分布列为

X

0 1 2 3 4

p

116 14 38 14 116

····································· 7分 （Ⅱ）Y 的所有可能取值为3，4，则 ···································································· 8分

1

(3)(3)4P Y P X ====

， ·················································································· 9分 3

(4)1(3)4P Y P Y ==-==， ············································································ 11分 Y ∴的期望值1315()34444E Y =?+?=.答：Y 的期望值()E Y 等于15

4. ·

········ 13分 10. （本小题满分13分）

按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动(以下简称活动). 该校高2012级一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如图所示．

（I ）求该班学生参加活动的人均次数x ；

（II ）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率0P ． （III ）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．

解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为5、25和20． --2分

（I ）该班学生参加活动的人均次数为

x =

10

23

501155*********=

=?+?+?． --4分 （II ）从该班中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为

4920

2

50

220225250=++=C C C C P ． --8分 （III ）从该班中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为

事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知

4925

)()()1(2

50

12012525012515=+=+==C C C C C C B P A P P ξ； 494

)()2(2

50

1

2015====C C C C P P ξ. --10分 ξ的分布列：

ξ

0 1 2

P

4920 4925 49

4 ξ的数学期望：49

492491490=

?+?+?

=ξE ． --13分

11. （2011年辽宁理19）（本小题满分12分）

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲

和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙.

（I ）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X

的分布列和数学期望；

（II ）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种

乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表：

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

附：样本数据x 1，x 2，…，x a 的样本方差()()()

2222111n s x x x x x x n ?

?=-+-+???+-?

???，

其中x 为样本平均数.

解析：（I ）X 可能的取值为0,1,2,3,4,且

()48110,70P X C === ()1344488

1,35C C P X C === ()22

444

8182,35C C P X C === ()31

44488

3,35

C C P X C ===()48110,70P X C ===

即X 的分布列为

X 0

1

2

3

4

P

1

70 835 1835 835 170

X 的数学期望是：

()181881

0123427035353570

E X =?

+?+?+?+?=. （II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是：

()1

4033973904043884004124064008x =++

+++++=甲， ()()()()

222

2

2222213310412012657.258

s =+-+-++-+++=甲. 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是：

()1

4194034124184084234004134128x =+++++++=乙， ()()()()

222

2

2222217906411-121568

s =+-+++-+++=乙， 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.

12. 某选手欲参加“开心辞典”节目，但必须通过一项包含5道试题的达标测试。测试规定：

对于提供的5道试题，参加者答对3道题即可通过。为节省测试时间，同时规定：若答题不足5道已通过，则停止答题，若答题不足5道，但已确定不能通过，也停止答题。

假设该选手答对每道题的概率均为

2

3

，且各题对错互不影响。 (Ⅰ) 求该选手恰好答完4道题就通过点的概率；

(Ⅱ)设在一次测试中该选手答题数为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 解：（Ⅰ）该选手恰好答题4道而通过的概率27

831)3

2

(3

2

3==C P ……3分 （Ⅱ）由题意可知，ξ可取的值是5,4,3……4分

31)32()31()3(33=+==ξP 2710

278311)4(=

--==ξP

278)31()32()5(2

224=

==C P ξ ξ的分布列为

…………………………10分

所以ξ的数学期望为

13.（本题满分13分）某市对该市小微企业资金短缺情况统计如下表：

(Ⅰ)试估计该市小微企业资金缺额的平均值；

(Ⅱ)某银行为更好的支持小微企业健康发展，从其第一批注资的A 行业4家小微企业和 B 行业的3家小微企业中随机选取4家小微企业，进行跟踪调研.设选取的4家小微企业 中是

ξ

3 4 5

P

3

1 2710 27

8

B 行业的小微企业的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列. (Ⅰ)解：由统计表得：该市小微企业资金缺额的平均值

100.05300.1500.35700.3900.260x =?+?+?+?+?=（万元）-----4分

(Ⅱ) ξ的所有可能取值为0，1，2，3

4

4471

(0)35C P C ξ===，31434712(1)35C C P C ξ===，22434

718(2)35C C P C ξ===，1343474

(2)35

C C P C ξ===，

所以ξ的分布列为

14.（本小题满分13分）

某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的以O 为圆心的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地指向任一位置（不指向各区域的边界）. 若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和. （Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；

（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元）.求随机变量X 的分布列和数学期望.

2. 解：(Ⅰ)设指针落在A,B,C 区域分别记为事件A,B,C.

则

111

(),(),()632

P A P B P C =

==……………………………………3分 若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域.

111

()()632P P A P B ∴=+=

+=

……………………………………6分

即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12

. （Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.

随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120. ……………………………7分

111

(0);

224111

(30)2;

23311115

(60)2;

263318111

(90)2;

369111

(120).

6636P X P X P X P X P X ==?===??===??+?===??===?=………………………………10分

所以，随机变量X 的分布列为：

其数学期望

11511

030609012040

4318936EX =?+?+?+?+?= ………………………13分

……………12分