大学物理知识总结习题答案(第十章)量子物理基础

第十章 量子物理基础

本章提要

1． 光的量子性

· 物体由于自身具有一定温度而以电磁波的形式向周围发射能量的现象称热辐射。

· 在任何温度下都能全部吸收照射到它表面上的各种波长的光（电磁波），则这种物体称为绝对黑体，简称黑体。

· 单位时间内物体单位表面积发出的包括所有波长在内的电磁波的辐射功率，称为辐射出射度。

2． 维恩位移定律

· 在不同的热力学温度T 下，单色辐射本领的实验曲线存在一个峰值波长λm ，维恩从热力学理论导出T 和λm 满足如下关系

λm T b =

其中b 是维恩常量。

3． 斯忒藩—玻尔兹曼定律

· 斯忒藩—玻尔兹曼定律表明黑体的辐射出射度M 与温T 的关系

4T M σ=

其中s 为斯忒藩—玻尔兹曼常量。对于一般的物体

4T M εσ=

e 称发射率。

4． 黑体辐射

· 黑体辐射不是连续地辐射能量，而是一份份地辐射能量，并且每一份能量与电磁波的频率ν成正比，这种能量分立的现象被称为能量的量子化，每一份最小能量E hv =被称为一个量子。黑体辐射的能量为E nhv =，其中n ＝1，2，3，…，等正整数，h 为普朗克常数。

· 普朗克黑体辐射公式简称普朗克公式

25/λ2πhc 1

()λ1

hc kT M T e l =-

· 光是以光速运动的粒子流，这些粒子称为光量子，简称光子。 · 一个光子具有的能量为νh E =。

5． 粒子的波动性

· 德布罗意认为实物粒子也具有波粒二象性，它的能量E 、动量p 跟和它相联系的波的频率ν、波长λ满足以下关系

2E mc h ν==

λ

h p m u ==

这两个公式称为德布罗意公式或德布罗意假设。与实物粒子相联系的波称为

物质波或德布罗意波。

· x x p D D h 或者E t D D h 这一关系叫做不确定关系。其中为位置不确定量、动量不确定量、能量不确定量、时间不确定量。

· 物质波是一种表示粒子在空间概率分布的概率波。

6．薛定谔方程及其应用

· 微观粒子的运动状态需要用波函数来描述，通常以y 表示。一般来说，y 是空间和时间的函数，即(,,,)x y z t y y =。波函数的运动方程为薛定谔方程。

· 粒子出现在单位体积内的概率就是2

y 。因此，2

y 又叫概率密度。 · 定态薛定谔方程的非相对论形式为

22

22

2222()0m

E U x

y z y

y y y 抖 +++-=抖 h

其中，m 为粒子的质量，U 为粒子在外力场中的势能函数，E 是粒子的总能量。

· 在无限深方势阱中的粒子能量为

2222

22

22n k h h E n m ma p == 整数n 称为量子数。每一个可能的能量值称为一个能级。

· 在势垒有限的情况下,粒子可以穿过势垒到达另一侧,这种现象叫做势垒贯穿。

7． 电子运动状态

· 量子力学给出的原子中电子的运动状态由以下四个量子数决定 （1） 主量子数n ，它大体上决定了原子中电子的能量。

（2） 角量子数l, 1,2,3,,(1)l n =-L

它决定电子绕核运动的角动量的大小。一般说来，主量子数n 相同，而角量子数

l 不同的电子，其能量也稍有不同。

（3） 磁量子数l m

0,1,2,,l m l =北 L

它决定电子绕核运动的角动量矢量在外磁场方向中的指向。

（4） 自旋磁量子数s m

12s m =

它决定电子自旋角动量矢量在外磁场中的指向，也影响原子在外磁场中的能量。

思考题

10-1 什么是黑体？为什么从远处看山洞口总是黑的？

答：在任何温度下都能全部吸收照射到它表面上的各种波长的光（电磁波），这种物体称为绝对黑体，简称黑体。山洞就形成一个空腔，光从洞口射入山洞，经过多次反射后几乎不再射出洞口，因此山洞形成一个绝对黑体，从远处看山洞口是黑的。

10-2 假设人体的热辐射是黑体辐射，请用维恩定律估算人体的电磁辐射中，单色辐出度的峰值波长？

答：根据维恩位移定律

m T b λ=

可得

m b T

λ=

以人体的正常体温的最高值37℃（热力学温度为(37+271.15)K 为例，算出人体电磁辐射中对应于最大的单色辐出度的波长值约为10μm 。

10-3 所有物体都能发射电磁辐射，为什么用肉眼看不见黑暗中的物体？ 答：物体要被眼睛观察到，需要两个条件：（1）物体要发射或者反射出眼睛能感觉到的可见光，其波长范围大约为0.40-0.78μm ；（2）可见光的能量要达到一定的阈值。根据黑体辐射，任何物体在一定温度下都发射出各种波长的电磁辐射，在不同温度下单色辐出度的峰值波长不同。黑暗中周围物体的温度等于环境温度（近似为人体温度），单色辐出度的峰值波长在10μm 附近，在可见光波长范围的电磁辐射能量都比较低，因此不能引起眼睛的视觉响应。

10-4请举出一些日常生活中所见到的例子，来说明物体热辐射的各种波长中，单色辐出度最大的波长随物体温度的升高而减小？

答：火焰外焰温度高，内焰相对温度低；观察火焰，发现内焰颜色偏红，外焰颜色偏蓝（红光波长大于蓝光波长），可见单色辐出度的峰值波长随物体温度

的升高而减小。

10-5普朗克提出了能量量子化的概念，那么，在经典物理学范围内，有没有量子化的物理量，请举出例子。

答：在经典物理学范围内有量子化的物理量，比如说电荷量的量子化。

10-6 什么是爱因斯坦的光量子假说，光子的能量和动量与什么因素有关？ 答：爱因斯坦认为，一束光是一束以光速运动的粒子流。这些粒子称为光量子，后来简称光子。不同颜色的光的光子能量不同，若光的频率为ν，一个光子具有的能量为E h ν=，光子的动量为p h /λ=，可见光子的能量和动量都与它的波长或者频率有关。

10-7 “光的强度越大，光子的能量就越大”，对吗？

答：不对,光的强度是单位时间内照射在单位面积上的光的总能量。一定频率的光强度越大，表明光子数量越多，但每个光子的能量是一定的，只与频率有关，与光子数目无关。

10-8 什么是康普顿效应？

答：考察X 射线通过物质时向各个方向的散射现象发现，在散射的X 射线中，除了存在波长与原有射线相同的成分外，还有波长较长的成分，这种波长改变的散射称为康普顿散射，也称康普顿效应。

10-9 什么德布罗意波粒二象性假设？

答：德布罗意假设实物粒子也具有波动性，认为一个实物粒子的能量E 、动量p 跟和它相联系的波的频率ν、波长λ的定量关系和光子的一样，满足以下关系

2E mc h ν== λ

h p m u ==

这两个公式称为德布罗意假设。

10-10 日常生活中，为什么觉察不到粒子的波动性和电磁辐射的粒子性？ 答：根据德布罗意假设粒子的动量大，相应的波长小。日常生活中的粒子动量很大，波长很短，故粒子的波动性不明显。日常生活中的电磁辐射的波长相对较长（频率为100M 数量级，波长为1m 左右），容易绕过障碍物，所以电磁辐射的粒子性很难察觉到。

10-11 如果一个粒子的速率增大了，它的德布罗意波长是增大还是减小？ 答：根据

22

22

1222k p h E mv m m λ

===

所以当速度增大时德布罗意波波长减小。

10-12 一个电子和一个原子具有相同的动能，谁的德布罗意波长大？ 答：电子和原子的动能均为

2

2122k p E mv m

==

又由

h

p λ

=

因而德布罗意波长的平方与粒子质量成反比。由于电子的质量大于原子的能量。故原子的德布罗意波长大于电子的德布罗意波长。

10-13 什么是不确定关系？

答：不确定关系是指微观粒子不能同时用确定的位置和确定的动量来描述。由于微观粒子具有波动性，不象经典力学，每个粒子在运动过程中可以用确定位置和动量来描述其运动状态；这时只能采用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数只能提供粒子处于某个位置和具有某个动量的概率。

10-14 在经典力学中，用粒子的位置和速度来描述其运动状态。在量子力学中如何描述粒子的运动状态？

答：量子力学指出，微观粒子的运动状态需要用概率波来描述，其运动方程为薛定谔方程。概率波的数学表达称为波函数，通常以y 表示。一般来说，y 是空间和时间的函数，即

(,,,)x y z t y y =

量子力学中，用波函数来描述粒子的运动状态。

10-15 在一维无限深势阱中，如果减小势阱的宽度，其能级将如何变化？如增大的势阱的宽度，其能级又将如何变化？

答：一维无限深的方势阱中粒子的可能能量为

2

2

2

8n h E n ma =

式中a 为势阱宽度。很显然E 与a 2成反比关系。

练习题

10-1 若将星球看成绝对黑体，利用维恩位移律，通过测量λm 便可估计其表

面温度。现测得太阳和北极星的λm 分别为510nm 和350nm 。，试求它们的表面温度和黑体辐射出射度。

解：（1）根据维恩位移定律，单色辐出度的峰值波长与温度的关系为

m T b λ=

其中2898(m K)b μ=?，可得

m

b

T λ=

对于太阳： 6

191

2898105682(K )51010m b

T λ--?=

==? 对于北极星： 6292

2898108280(K )35010

m b

T λ--?=

==? （2） 根据斯忒潘－玻尔兹曼定律，黑体辐射出射度与温度的关系为

4M T σ=

其中8-2-45.6710(W m K )σ-=???，则

对于太阳： 4847

211 5.6710(5682) 5.9110(W m )M T σ-==??=?? 对于北极星： 484822-25.6710(8280) 2.6710(W m )M T σ-==??=??

10-2 天狼星的温度大约是11000K 。试由维恩位移定律计算其辐射峰值的波长。

解：由维恩位移定律，即

m T b λ=

其中2898(m K)b μ=?，导出

可得天狼星单色辐出度的峰值所对应的波长m b T

λ=

6

289810(m)263.4(nm)11000

m b T λ-?===

10-3 太阳辐射到地球大气层外表面单位面积的辐射通量I 0称为太阳常量，实验测得I 0＝1.5kW/m 2。把太阳近似当作黑体，试由太阳常量估算太阳的表面温度. 太阳平均直径为91.410m ?，地球到太阳的距离为111.510m ?。

解：根据能量守恒，有

1102M S I S ?=?

其中21,S S 分别为太阳表面积、以地球和太阳距离为半径的球面积。

22110244M r I r ππ?=?

其中21,r r 分别为太阳半径、地球和太阳距离。又根据斯忒潘－玻尔兹曼定律

4M T σ=

其中8245.6710(W m K )σ---=???。联立①②得到

124

0221

I r T r σ??= ???

带入数据可得太阳表面的温度为

)K (5904)21049.1(

1067.5)105.1(105.14

/1298

2

1134

/12

1220=?????

?

????????=???

? ??=-r r I T σ

10-4 在理想条件下，如果正常人的眼睛接收550nm 的可见光，此时只要每秒有100个光子数就会产生光的感觉。试问与此相当的光功率是多少？

解：每个光子能量为h ν，其中h 为普朗克常量且

346.62610(J s)h -=??

则，100个波长为550nm 的光子的光功率为

348

179

100 6.62610310 3.610(J )550101

E nh nhc P s t t t νλ---????=====????

10-5（1）广播天线以频率1MHz 、功率1kW 发射无线电波，试求它每秒发射的光子数；（2）利用太阳常量I 0＝1.3kW/m 2，计算每秒人眼接收到的来自太阳的光子数（人的瞳孔面积约为62310m -?,光波波长约为550nm ）。

解：（1）每个光子能量为h ν ，由

E nh P t t ν==

其中νnh E P =,分别为辐射功率、辐射能量。可得广播天线每秒发射的光子数为

330

346

1101 1.510()6.62610110

Pt n h 个ν-??===???? ①

②

（2） 每个光子能量为νh ,由

0nh I S ν=

可得每秒人眼接受到的来自太阳的光子数

178

34963001008.110

310626.610550103103.1?=????????===---hc S I h S I n λν

10-6 一束带电量与电子电量相同的粒子经 206V 电压加速后，测得其德布罗意波长为0.002nm ，试求粒子的质量。

解：经过电压U 加速后,带电粒子的动能为

2

12

mv eU = 其中e 为电子电量。又根据德布罗意公式

h

p mv λ

== 联立①②解得电子质量为

2

2

2h m eU λ

= 将已知数据带入③

)(1067.1)10002.0(206106.12)10626.6(227

2

91923422kg eU h m ----?=??????==λ

10-7 电子位置的不确定量为25.010nm -?时，其速率的不确定量为多少？（电子的质量为319.110Kg -?）

解：动量不确定量与速率不确定量的关系为

p m v ?=?

将①带入不确定关系h p x ≥??，可得

x xm v h ??≥

则

34

7-13129

6.62610 1.4610(m s )9.11051010

x h v m x ----??===???????

10-8 一质量为40g 的子弹以3-11.010m s ??的速率飞行，求（1）其德布罗意波长：（2）若子弹位置不确定量为0.10mm ，求其速率的不确定量。

解：（1）根据德布罗意公式

h

p mv λ

==

可得子弹的德布罗意波波长为:

① ②

③

① ②

34

3533

6.62610 1.6610(m)4010 1.010

h mv λ---?===???? （2） 由不确定关系x x p h ??≥，得x xm v h ??≥可得

34281

33

6.62610 1.6610(m s )40100.110

x h v m x -----??===??????

10-9 试证：如果粒子位置的不确定量等于其德布罗意波长，则此粒子速度的不确定量大于或等于其速度。

证明：由不确定关系x x p h ??≥，可得动量不确定量为

x

h p x ?≥

? 依题意可知位置不确定量为

x λ?=

将②式代入①式可得

x h h p x λ

?≥

=? 再根据德布罗意公式h

p mv λ

==

，可得

h p v v m m λ?≥

== 即 v v ?≥

证毕。

10-10 试证明自由粒子的不确定关系式可写成2x λλ??≥，其中λ为自由粒子的德布罗意波长。

证明: 对德布罗意公式λ

h

p =

两边求微分，可得

2

h

p λλ?=-

? 若只考虑其变化量的大小，则可以略去负号，得

2

h

p λλ

?=

?

又由不确定关系x x p h ??≥，将p ?代入上式，可得

2

x h h λ

λ??≥

即

2x λλ??≥

①

②

①

②

证毕

10-11 热中子平均动能为3

2

kT 。试问当温度为300K 时，一个热中子的动能

为多大？相应的德布罗意波长是多少？

解：（1）微观粒子的平均平动动能为3

2

kT ε=，其中k 为玻尔兹曼常数，则

232133

1.3810300 6.2110(J)22

kT ε--==???=?

（2） 根据

p mv = 21

2

k mv ε= 联立①②解出动量

p =

带入h

p λ

=

，可得德布罗意波长

34

101.45510(m)λ--===?

10-12 设电子和光子的波长均为0.50 nm ，试求两者的动量及动能之比。 解：（1）根据

h p λ=

对于光子1

1λh

p =

；对于电子2

2λh

p =

；两者比较，得

12

21

1p p λλ== （2） 光子的动能为

2k mc pc ε==

电子的动能为

2

2122k e

p E mv m ==

联立①②可得

31892

1234

22229.1103100.510 4.12106.626102k

e e k e

m c m c p c p E p h m ελ---??????=====?? ① ②

①

②

10-l3 物理光学的一个基本结论是，在被观测物小于所用照射光波长的情况下，任何光学仪器都不能把物体的细节分辨出来。这对电子显微镜中的电子德布罗意波同样适用。因此，若要研究线度为0.020μm 的病毒，用光学显微镜是不可能的。然而，电子的德布罗意波长约比病毒的线度小1000倍，用电子显微镜可以形成非常好的病毒像，试问这时电子所需要的加速电压是多少？

解：经过电压U 加速后,带电粒子的动能为

2

12

mv eU =, 又根据德布罗意公式

h

p mv λ

==,

解得

2

2

2h U em λ=

由于电子波长为1000/1002.06-?=λ，将已知数据带入可得

2342

21931362

(6.62610)3769(V)22 1.6109.110(0.021010)h U em λ----?===???????

10-14 设粒子在x 轴运动时，速率的不确定量为cm/s 1=?v 。试估算下列情况下坐标的不确定量?x ：（1）电子；（2）质量为1310kg -的布朗粒子；（3）质量为10-4kg 的小弹丸。

解：由不确定关系可得

x h h

x p m v

?=

=

??? （1）对于电子，34

21312

1 6.626107.2810(m)9.110110h x m v ----??===?????? （2）对于质量为1310kg -的布朗粒子，

3419

2312

2 6.62610 6.62610(m)10110

h x m v ----??===????? （3） 对于质量为10-4kg 的小弹丸

3428

342

3 6.62610 6.62610(m)10110

h x m v ----??===?????

10-15 作一维运动的电子，其动量不确定量2510kg m/s x p -?=?，能将这个电

子约束在内的最小容器的大概尺寸是多少?

解：根据不确定关系h x p x ≥??，若设能约束住电子的最小容器的大概尺寸为min x ，则min x x =?

349min

256.62610 6.62610(m)10

x h x p ---?===??

10-16 已知原子的电离能为13.60 eV ，一个能量为15.20eV 的光子被氢原子中的基态电子吸收而形成一个光电子。试求该光电子远离氢原子核时的速度及其德布罗意波长。

解：（1）光电效应方程为A h mv -=ν22

1

可得

2-17.510(m s )v ===?? （2） 根据德布罗意公式

h

p mv λ

==

,

可得德布罗意波长为

34312

6.62610970.8(nm)9.110

7.510

h mv λ--?===???

10-17 设有一电子在宽度为0.20nm 的一维无限深的方势阱中，（1）计算电子在最低能级的能量：（2）当电子处于第一激发态（n=2）时，在势阱何处出现的概率最小，其值为多少？

解：（1）一维无限深的方势阱中粒子的可能能量为

2

2

2

8n h E n ma

= 其中a 为势阱宽度，n 取正整数。

当量子数n ＝1时，粒子处于基态，能量最低。此时能量为

234218

123192

(6.62610) 1.51109.43(V)889.110(0.210)h E J e ma ----?===?=???? （2）粒子在无限深势阱中的波函数为

()n x x a

π

ψ=

相应的概率密度函数为

2

2

2()sin n x x a a

πψ= 当

0d |)(|d 2

=x

x ψ时出现极值，即 24sin cos 0n n x n x

a a a

πππ= 第一激发态，取n ＝2代入上式，考虑范围0x a ≤≤，可知当3

0,,,,424a a x a a

=时，函数2

()x ψ出现极值；再由0d |)(|d 2

22>x x ψ可知，函数2

()x ψ在

0,,2a x a =处概率最小，即在0,0.10(nm),0.20(nm)x =处概率最小，其值为0。

10-18 在线度为51.010m -′的细胞中有许多质量为171.010kg m -= 的生物

粒子，若将生物粒子作为微观粒子处理，试估算该粒子的100n =和101n =的能级和能级差各是多大。

解：该情况可视为无限深势阱中的粒子，能量为

2

2

2

8n h E n ma =

式中a 为势阱宽度，n 取正整数。

当100n =时，有

22342

2

37100

21752

100(6.62610)100 5.4910(J)88 1.010(1.010)

h E ma ----??===????? 当101n =时，有

)J (1060.5)

100.1(100.18)10626.6(101810137

2

5172342222

101

----?=??????==ma h E 因此该粒子在100n =和101n =的能级差为

373738101100 5.6010 5.4910 1.1110(J)E E E ---?=-=?-?=?

10-19 一维无限深势阱中粒子的定态波函数为

n n x

a

πψ=

试求粒子处于下述状态时,在0x =和/3x a =之间找到粒子的概率。（1）粒子处

于基态；（2）粒子处于2n =的状态。

解：由已知可得一维无限深势阱中粒子的定态波函数为

()n x x a

πψ=

则相应的概率密度为

2

2

2()sin n x x a

a

π

ψ= 在0x =和/3x a =之间找到粒子的概率为

2

2

3

21

2()sin a

x x n x P x dx dx a a

πψ==??

利用三角函数公式

2cos 212sin x x =-

可解得

3300

1212(1cos )sin 2a

a

n x x n x P dx a a a n a πππ??=-=+????? （1） 当n ＝1时，粒子处于基态的概率为

1121sin 3233P ππ=+=+

（2） 当n ＝2时，粒子处于该态的概率为

1141sin 3433P ππ=+=-

10-20 设粒子的波函数为

2212

()a x x Ae

ψ-=

a 为常数，求归一化常数A 。

解：由归一化条件

2

()1x dx ψ+∞

-∞

=?

可知，将本题中的粒子波函数带入归一化条件，可得

22

21a x A e dx +∞--∞

=?

利用积分公式

2

10

2

2ax e dx a

∞

-=

?

解得

2

21A =

即归一化常数为

1

2

A=

10-21一维运动的粒子处于如下波函数所描述的状态:

(0)

()

0(0)

x

Axe x

x

x

λ

ψ

-

?≥

?

=?

<

??

式中λ>0。（1）计算波函数()x

ψ的归一化常数A；（2）求粒子的概率分布函数；（3）在何处发现粒子的概率最大?

解：（1）已知归一化条件

2

()1

x dx

ψ

+∞

-∞

=

?

利用积分公式

2

3

2

by

y e dy

b

∞-

=

?

把波函数代入归一化条件，得

2

02222222

3

00

01

4

x x

A

dx A x e dx A x e dx

λλ

λ

+∞+∞

--

-∞

+===

???

解得

2

A=

（2）粒子的概率分布函数为

222

2

(2(0)

()

0(0)

x

x e x

x

x

λ

ψ

-

?≥

?

=?

<

??

（3）当

2

()

d x

dx

ψ

=时出现极值，即

3222

4(22)0

x x

xe x e

λλ

λλ

--

-=

解得当0

x=，

1

x

λ

=，和x→∞时，函数当2

()x

ψ出现极值

再由

2

2

2

1

()

x

d x

dx

λ

ψ

=

??

??

??

??<

??

??

，可知

1

x

λ

=处，函数2

()x

ψ有最大值，即粒子在该处出现的概率最大。