空间角公式
空间角公式
空间角公式是三维空间中两个向量之间的夹角，也称为向量夹角。在三维空间中，向量的方向和大小都很重要，因此空间角公式是非常重要的数学工具。
空间角公式可以用余弦定理来表示。假设有两个向量a和b，它们的夹角为θ，那么它们的余弦值可以表示为：
cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)
其中，a·b表示向量a和向量b的点积，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长。这个公式可以用来计算任意两个向量之间的夹角。
空间角公式还可以用向量的坐标表示。假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，那么它们的夹角可以表示为：
cosθ = (a1b1 + a2b2 + a3b3) / (sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2)·sqrt(b1^2 + b2^2 + b3^2))
其中，sqrt表示平方根。这个公式可以用来计算任意两个向量之间的夹角，只需要知道它们的坐标。
空间角公式在三维计算机图形学中有广泛的应用。例如，在计算机游戏中，需要计算物体之间的碰撞，就需要用到空间角公式来计算
它们之间的夹角。在计算机辅助设计中，也需要用到空间角公式来计算物体之间的相对位置和方向。
除了空间角公式，还有一些其他的向量公式也非常重要。例如，向量的叉积公式可以用来计算两个向量的垂直向量，向量的投影公式可以用来计算一个向量在另一个向量上的投影长度。这些公式都是三维空间中向量计算的基础，对于理解和应用三维计算机图形学非常重要。
空间角公式是三维空间中向量计算的重要工具，它可以用来计算任意两个向量之间的夹角。在三维计算机图形学中，空间角公式是非常重要的数学工具，它可以用来计算物体之间的相对位置和方向，对于计算机游戏和计算机辅助设计等领域都有广泛的应用。
立体角、空间角及发光角计算公式
立体角、空间角及发光角计算公式 摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。 关键词：立体角，发光角。 0引言 光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”，一般以I 表示。若在某微小立体角d Ω内的光通量为d Φ（ψ，θ），则该方向上的光强为： I （ψ，θ）=d Φ（ψ，θ）/d Ω。 式中，d Ω的单位为sr （球面度），光强的单位为cd （坎德拉，烛光）。 1 cd=1 lm/sr 。 但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。这给从事照明工程的专业技术人员带来很大的困惑。 1立体角的定义 将弧度表示平面角度大小的定义（弧长除以半径）推广到三维空间中，定义“立体角”为：球面面积与半径平方的比值。即：Ω= 2r A 图1平面角（单位：弧度rad ） 图2立体角（单位：球面度sr ） 2立体角的计算 设灯具在两个相互垂直方向上的发光角为2α和2β，求其所对应的立体角的大小。设0<2α<π，0<2β<π 不失一般性，设球体半径为单位长度1，坐标原点在球心，坐标轴方向如图。根据定义，只须求出两角所夹球面的面积，即是立体角的大小。由于对称性，只需求出第一卦限内的面积再乘以4即可。 图3 计算示意图 曲面面积计算公式为： A= ⎰⎰ ∂∂+∂∂+D y z x z 2 2)()( 1dxdy （1） 上半球球面方程为： Z=2 2 1y x -- （2）
由 x z ∂∂=221y x x --- （3） 221y x y y z ---= ∂∂ （4） 得 222211)()( 1y x y z x z --=∂∂+∂∂+ （5） 代入（1）式得： A= ⎰⎰ --D y x dxdy 2 2 1 (6) 利用极坐标，得： A= ⎰⎰ -D r rdrd 2 1θ (7) 易知，积分区域在xy 平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为： α 2 2sin x +y 2 =1 (8) x 2 +β 22sin y =1 (9) 交点坐标（ βαβα2 2 sin sin 1cos sin -, β αα β2 2sin sin 1cos sin -) φ1=arctg αβ tg tg (10) φ2=arctg β α tg tg (11) 将x=rcos Φ，y=rsin Φ带入（8）、（9）式，得极坐标表示的边界方程为： α22 2sin cos sin 11Φ+ Φ= r (12) β 22 2sin sin cos 12Φ+ Φ= r (13) 图4 xy 面投影 X Y 1 2 D r1 r2
利用空间向量求空间角考点与题型归纳
利用空间向量求空间角考点与题型归纳 一、基础知识 1．异面直线所成角 设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b | |a ||b | ? ， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向 向量． 2．直线与平面所成角 如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量， φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n | |a ||n | ? . 3．二面角 (1)若AB ，CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角，如图(1)． (2)平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ |n 1·n 2| |n 1||n 2| ? ，如图(2)(3)． 两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值． 直线与平面所成角的范围为????0，π 2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值． 利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n 1，n 2〉与二面角大小的关系，是相等还是互
补，需要结合图形进行判断． 二、常用结论 解空间角最值问题时往往会用到最小角定理 cos θ＝cos θ1cos θ2. 如图，若OA 为平面α的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在平面α内的射影，OC 为平面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2. 考点一 异面直线所成的角 [典例精析] 如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2. (1)求证：MN ∥平面BDE ； (2)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7 21 ，求线段AH 的长． [解] 由题意知，AB ，AC ，AP 两两垂直，故以A 为原点，分别以AB ―→，AC ―→，AP ―→ 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得A (0，0,0)，B (2，0,0)，C (0,4,0)，P (0，0,4)，D (0,0,2)，E (0,2,2)，M (0，0,1)，N (1,2,0)． (1)证明：DE ―→＝(0,2,0)，DB ―→ ＝(2,0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量， 则????? n ·DE ―→＝0，n ·DB ―→＝0， 即????? 2y ＝0，2x －2z ＝0. 不妨取z ＝1，可得n ＝(1,0,1)．
立体角、空间角及发光角计算公式
立体角、空间角及发光角计算公式 摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。 关键词：立体角，发光角。 0引言 光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”，一般以I 表示。若在某微小立体角d Ω内的光通量为d Φ（ψ，θ），则该方向上的光强为： I （ψ，θ）=d Φ（ψ，θ）/d Ω。 式中，d Ω的单位为sr （球面度），光强的单位为cd （坎德拉，烛光）。 1 cd=1 lm/sr 。 但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。这给从事照明工程的专业技术人员带来很大的困惑。 1立体角的定义 将弧度表示平面角度大小的定义（弧长除以半径）推广到三维空间中，定义“立体角”为：球面面积与半径平方的比值。即：Ω= 2r A 图1平面角（单位：弧度rad ） 图2立体角（单位：球面度sr ） 2立体角的计算 设灯具在两个相互垂直方向上的发光角为2α和2β，求其所对应的立体角的大小。设0<2α<π，0<2β<π 不失一般性，设球体半径为单位长度1，坐标原点在球心，坐标轴方向如图。根据定义，只须求出两角所夹球面的面积，即是立体角的大小。由于对称性，只需求出第一卦限内的面积再乘以4即可。 图3 计算示意图 曲面面积计算公式为： A= ?? ??+??+D y z x z 2 2)()( 1dxdy （1） 上半球球面方程为： Z=2 21y x -- （2）
由 x z ??=221y x x --- （3） 221y x y y z ---= ?? （4） 得 222211)()( 1y x y z x z --=??+??+ （5） 代入（1）式得： A= ?? --D y x dxdy 2 2 1 (6) 利用极坐标，得： A= ?? -D r rdrd 2 1θ (7) 易知，积分区域在xy 平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为： α 2 2sin x +y 2 =1 (8) x 2 +β 22sin y =1 (9) 交点坐标（ βαβα22sin sin 1cos sin -, β αα β22sin sin 1cos sin -) φ1=arctg αβ tg tg (10) φ2=arctg β α tg tg (11) 将x=rcos Φ，y=rsin Φ带入（8）、（9）式，得极坐标表示的边界方程为： α 22 2sin cos sin 11Φ+ Φ= r (12) β 22 2sin sin cos 12Φ+ Φ= r (13) 图4 xy 面投影
三个空间角公式
三个空间角公式 1.三余弦定理的基础知识 三余弦指的是空间中的三个角的余弦值，在上方链接投影法求一面直线夹角中，三个角分别为直线l1与特定平面所成的夹角θ1,直线l2与特定平面所成夹角θ2，两条直线在特定平面上投影的夹角为α，此时两条异面直线的夹角余弦值公式为： cosX=cosαcosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2，关于该公式的证明自己查看上述链接即可。 在这个异面直线夹角余弦值的公式中，两条直线异面且不在同一个特定平面内，若其中一条直线不在平面内且另外一条直线在平面内，此时在平面内的那条直线与平面的夹角θ2就是0，所以正弦值也为0，余弦值为1，此时公式为
cosX=cosαcosθ1，这就是典型的三余弦定理的公式，一定要知道该公式是怎么来的，图示如下图所示： 从公式中知道需要有三条线，这三条线形成三个角，三个角又形成三个面，我们求得就是与这三个角有关的内容，这三条线分别为平面内的一条线，平面外的一条线与该直线在平面内的射影，这么一看是不是和三垂线定理一样，没错，如果把平面内的一条直线与平面外直线的射影垂直，那么利用这个公式就能判定斜线和平面内的直线夹角为90°。 2.三余弦定理在求直线夹角中的应用 这个公式更多应用在求异面直线夹角的余弦值当中，在同一个面中直接利用三角函数求更容易，因此三余弦定理在高中立体几何中的应用更多体现在异面直线夹角和所推广开的二面角中，有关三余弦定理在异面直线中的应用可参考链接中的这个典型题目：
例1：如下图中正方体中，点M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，点P为棱A1B1上任意一点，求直线OP与直线AM之间所成角的余弦值 解析：点P为A1B1上运动，无论点P在哪个位置，OP在左侧面上的投影均为O'A1,此时发现AM和O'A1之间的夹角为90°，所以此时直线OP和AM 所成角的余弦值就等于OP与左侧面夹角的余弦值，考虑到AM就在左侧面上，所以AM与左侧面的夹角为0，正弦值也为0，所以可知异面直线OP和AM之间夹角的余弦值等于0，所以两条直线的夹角为90°。 第二题是一道看似简单但很容易做错的题目，根据已知的条件，AB=√3,BC’=4,在三角形ABC'中直接利用余弦定理可得到：
空间角的求法
P C D B A 空间角的求法 空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。 空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。 空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。 异面直线所成的角的范围：090θ<≤ （一）平移法 【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =， 1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。 【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则PC 与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。 CE BD ==PE =∴由余弦定理得 222c o s 2PC CE PE PCE PC CE +-∠==? ∴PC 与BD 所成角的余弦值为 6 3 （二）补形法 【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值。 【答案】125 A 1 C 1 C B A B 1 D
直线与平面所成角的范围：090θ≤≤ 方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影） 【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上，求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小。 【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成角 设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。 AB BC CA ==，所以CD AB ⊥ 90,60APB PAB ∠=∠= ，所以PAD ?为等边三角形。 不妨设2PA =，则1, 4OD OP AB == = CD OC ∴== = 在Rt OCP ? 中，tan 13OP OCP OC ∠=== 【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。 2AB BC ==，1CD SD ==，求AB 与平面SBC 所成的角的大小。 【解】由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE 作SF DE ⊥ ，垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，2 SD SE SF DE ?== 作FG BC ⊥，垂足为G ，则1FG DC == 连结SG ，则SG BC ⊥，又BC FG ⊥，SG FG G = 故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC 7SF FG FH SG ?= =，即F 到平面SBC 的距离为7 由于//ED BC ，所以//ED 平面SBC ，故E 到平面SBC 的距离d 也为 7 设AB 与平面SBC 所成的角为α ，则sin 7d EB α= =，则arcsin 7 α=
空间角的求法
空间角求法 空间角的计算步骤 一作、二证、三算 1 异面直线所成的角 范围 0°＜θ≤90° 方法 ①平移法；②补形法 2 直线与平面所成的角 范围 0°≤θ≤90° 方法 关键是作垂线，找射影 3 二面角 方法 ①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法 注1 二面角的计算也可利用射影面积公式S ′=S cos θ来计算 注2 借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果 典型例题 1 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是( ) A 6 π B 4 π C 3 π D 2 π 2 设△ABC 和△DBC 所在两平面互相垂直，且AB =BC =BD =a ,∠CBA =∠CBD =120°,则AD 与平面BCD 所成的角为( ) A 30° B 45° C 60° D 75° 3 已知∠AOB =90°,过O 点引∠AOB 所在平面的斜线OC ，与OA 、OB 分别成45°、60°，则以OC 为棱的二面角A —OC —B 的余弦值等于 4 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_________ 5 已知四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ABC =90°,P A ⊥平面AC ，且P A =AD =AB =1,BC =2 (1)求PC 的长； (2)求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小； (3)求证 二面角B —PC —D 为直二面角 6 设△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =120°，求 (1)直线AD 与平面BCD 所成角的大小； (2)异面直线AD 与BC 所成的角； (3)二面角A —BD —C 的大小 P A B C D A B C D
空间两向量夹角的余弦公式
空间两向量夹角的余弦公式 在空间中，向量是具有大小和方向的量，而夹角则是指两个向量之间的夹角。了解和计算向量之间的夹角对于很多问题都非常重要，比如力学、几何、物理等领域的计算和分析。 空间两向量夹角的余弦公式可以用来计算两个向量之间的夹角。这个公式可以表示为： cosθ = (A·B) / (|A|·|B|) 其中，A·B表示向量A和向量B的点积，|A|和|B|分别表示向量A 和向量B的模长。这个公式可以帮助我们计算出向量之间的夹角的余弦值。 这个公式的应用非常广泛。在几何学中，我们经常需要计算两个向量之间的夹角，比如计算两个平面的夹角、两个直线的夹角等等。在力学中，我们也常常需要计算两个力的夹角，以便分析力的合成和分解等问题。 除了计算夹角，余弦公式还可以帮助我们判断两个向量之间的关系。根据余弦公式，当两个向量夹角的余弦值为正时，说明两个向量的方向相近；当余弦值为负时，说明两个向量的方向相反；当余弦值为零时，说明两个向量垂直。
在实际问题中，我们可以通过余弦公式来解决一些复杂的计算和分析问题。比如，在力学中，我们可以通过计算两个力的夹角来判断它们的方向和大小，从而分析物体的平衡和稳定性。在几何学中，我们可以利用余弦公式来计算两个平面的夹角，从而解决一些空间几何问题。 除了余弦公式，我们还可以利用正弦公式和余弦定理来计算和分析向量之间的夹角。这些公式和定理都是在不同条件下计算和分析夹角的有效工具，可以根据具体情况选择合适的公式来解决问题。 空间两向量夹角的余弦公式是一个非常有用的工具，可以帮助我们计算和分析向量之间的夹角。通过掌握和运用这个公式，我们可以更好地理解和解决空间中的各种问题。同时，我们也要注意公式的正确应用和计算，以避免错误和误导。希望本文对大家对空间向量夹角的理解有所帮助。
单招数学立体几何
单招数学立体几何 单招数学是众多学生所关注的一个热门话题，其中立体几何是单 招数学中的一个难点。下面我们将对单招数学立体几何进行重新整理。 一、什么是立体几何？ 立体几何是数学中的一个分支，主要研究的是几何立体的性质和 变换。它是单招数学中的一部分，包括了空间几何、向量几何等内容，也是一些专业考试的必考内容。 二、立体几何的基本概念 1. 空间直线 空间直线是指在三维空间中平面以外的一条直线，它可以通过两 个不在同一平面上的点来确定。 2. 平面 平面是指在三维空间中不切空间直线的集合，它可以由三个不共 线的点唯一确定。 3. 空间角 空间角是指由两个不在同一直线上的射线所张成的角，它可以用 弧度或角度来度量。 4. 面积与体积 在立体几何中，面积与体积是非常重要的概念。面积指平面图形 所占据的空间大小，体积则指立体图形所占据的空间大小。 三、立体几何的基本公式 1. 空间直线的距离公式 设直线L1的方程为A1x+B1y+C1z+D1=0，直线L2的方程为 A2x+B2y+C2z+D2=0，则L1与L2的距离公式为： d = |(A1·B2 - A2·B1, A1·C2 - A2·C1, B1·C2 - B2·C1)·(P2 - P1)| / √(A^2 + B^2 + C^2) 其中P1和P2分别为直线L1和L2上的任意一点，|(A1·B2 - A2·B1, A1·C2 - A2·C1, B1·C2 - B2·C1)|表示行列式的模值。
2. 空间角公式 设空间角ABC所对应的角度为∠A，空间坐标为A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)，C(x3, y3, z3)，则空间角公式为： cos∠A = (AB·AC) / |AB|·|AC| 其中AB和AC分别为向量AB和AC的模值。 3. 立体图形面积与体积公式 对于常见的立体图形，我们也可以通过公式计算出它们的面积和体积： (1) 直角棱台 S = 2a(a + b) + 2√(a^2 + b^2)h，V = (a^2 + ab + b^2)h / 3 (2) 球 S = 4πr^2，V = (4/3)πr^3 (3) 圆锥 S = πr(r + l)，V = (1/3)πr^2h (4) 圆柱体 S = 2πr^2 + 2πrh，V = πr^2h (5) 立方体 S = 6a^2，V = a^3 以上是立体几何中常见的公式，考生们需要认真掌握，才能在考试中更好的应对。 本篇文章将单招数学立体几何进行重新整理，介绍了立体几何的基本概念、基本公式以及常见立体图形的面积与体积公式。希望本文能够对大家复习和应对单招数学考试有所帮助。
空间向量cos夹角公式计算方法
空间向量cos夹角公式计算方法 空间向量cos夹角公式是计算两个向量之间夹角的一种方法。在三维空间中，向量可以表示为有序三元组(x,y,z)，其中x、y、z分别表示向量在x、y、z轴上的分量。两个向量之间的夹角可以通过它们的点积和模长来计算。 假设有两个向量A和B，它们的点积为A·B，模长分别为|A|和|B|，则它们之间的夹角θ可以用以下公式计算： cosθ = (A·B) / (|A|·|B|) 其中，cosθ表示向量A和向量B之间的夹角的余弦值。这个值可以通过计算两个向量的点积和模长来得到。点积是两个向量在每个维度上的分量乘积之和，模长是向量的长度。 这个公式的计算方法非常简单，只需要将向量的分量代入公式中即可。例如，假设有两个向量A(1,2,3)和B(4,5,6)，它们之间的夹角可以通过以下步骤计算： 1. 计算A和B的点积：A·B = 1×4 + 2×5 + 3×6 = 32 2. 计算A和B的模长：|A| = √(1² + 2² + 3²) ≈ 3.74，|B| = √(4² + 5² + 6²) ≈ 8.77 3. 将点积和模长代入公式中：cosθ = (A·B) / (|A|·|B|) = 32 / (3.74×8.77) ≈ 0.89 4. 计算夹角θ：θ = arccos(0.89) ≈ 27.97°
因此，向量A和向量B之间的夹角约为27.97°。 空间向量cos夹角公式在计算机图形学、机器学习等领域中广泛应用。它可以用于计算两个向量之间的相似度、距离等指标，也可以用于判断两个向量之间的关系。在实际应用中，我们可以通过编程语言如Python、Java等来实现这个公式的计算。
空间向量夹角余弦值计算公式
空间向量夹角余弦值计算公式 在数学中，空间向量夹角余弦值是一种用于描述空间向量之间夹角大小的计算公式。它表示两个空间向量a、b夹角的余弦值，符号为a·b。其求值公式为： a·b=|a|·|b|·cosθ 其中|a|、|b|表示两个空间向量的模长，θ表示两个向量之间的夹角（单位：弧度或角度）。由余弦定理可得，只要知道这两个向量的模长和夹角，就可以使用空间向量夹角余弦值来求出夹角余弦值。 例子1：计算空间向量 a = (1,1,1) 与 b = (1,2,3) 夹角的余弦值 由定义可知，此时|a|=√3，|b|=√14。 从四边形几何图可知，a点到b点的距离是13，该距离即为两点连线的模长，故|a-b| = 13； 根据余弦定理求得，cosθ=|a-b|/|a|·|b|，即θ≈0.824。 最终求得，a·b的余弦值为a·b =13/√3·√14≈0.824。 例子2：计算空间向量 a = (-2,2,2) 与 b = (2,-2,2) 夹角的余弦值 由定义可知，此时|a|=2√3，|b|=2√3。 从四边形几何图可知，a点到b点的距离是8，该距离即为两点连线的模长，故|a-b| = 8； 根据余弦定理求得，cosθ=|a-b|/|a|·|b|，即θ≈π/2。 最终求得，a·b的余弦值为a·b = 8/2√3·2√3 ≈ 0.000。 以上就是空间向量夹角余弦值计算的求值公式和应用实例，空间向量夹角余弦值的求取过程比较繁琐，但是可以从中体会到数学的精妙之处，以及空间向量在研究自然界现象中的重要性。虽然空间向量夹角余弦值是一种抽象概念，但它可以用于更加直观地理解复杂的自然现象。
空间向量夹角公式大全
空间向量夹角公式大全 空间向量是三维空间中的向量，它们具有长度和方向。在空间中，向量之间的 夹角是一个重要的概念，它可以帮助我们理解向量之间的关系，以及在实际问题中的应用。本文将介绍空间向量夹角的相关概念和公式，帮助读者更好地理解和运用空间向量的知识。 1. 向量的夹角概念。 在二维平面中，我们可以通过向量的数量积来计算它们之间的夹角。而在三维 空间中，向量的夹角的计算则需要借助向量的数量积和向量的模长来进行。具体而言，设有两个向量a和b，它们之间的夹角θ满足以下公式： cosθ = (a·b) / (|a| |b|)。 其中，a·b表示向量a和b的数量积，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。这 个公式可以帮助我们计算任意两个向量之间的夹角，从而更好地理解它们之间的关系。 2. 向量夹角的计算方法。 在实际问题中，我们可能需要计算两个向量之间的夹角，以便解决一些几何或 物理问题。为了方便计算，我们可以通过向量的坐标表示来求解夹角。具体而言，设向量a和b的坐标分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则它们之间的夹角θ可以通 过以下公式计算： cosθ = (a1b1 + a2b2 + a3b3) / (sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2) sqrt(b1^2 + b2^2 + b3^2))。 这个公式可以帮助我们在实际问题中快速准确地计算出向量之间的夹角，从而 更好地应用空间向量的知识。 3. 向量夹角的性质。
除了计算向量夹角的公式外，向量夹角还具有一些重要的性质。首先，向量夹 角的范围是[0, π]，即夹角的取值范围在0到180度之间。其次，当两个向量夹角 为0时，它们是共线的；当夹角为π/2时，它们是垂直的；当夹角为π时，它们是相反的。这些性质可以帮助我们更好地理解和判断向量之间的关系。 4. 应用举例。 最后，我们通过一个具体的应用举例来展示空间向量夹角的计算和应用。假设 有两个向量a(1, 2, 3)和b(4, 5, 6)，我们需要计算它们之间的夹角。根据上述公式， 我们可以得到： cosθ = (14 + 25 + 36) / (sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) sqrt(4^2 + 5^2 + 6^2))。 通过计算，我们可以得到夹角θ的值。这个例子展示了向量夹角的具体计算过程，以及在实际问题中的应用。 总结。 空间向量夹角是三维空间中的重要概念，它可以帮助我们理解向量之间的关系，以及在几何和物理问题中的应用。本文介绍了向量夹角的概念、计算方法、性质和应用举例，希望能够帮助读者更好地理解和运用空间向量夹角的知识。通过学习和掌握这些内容，读者可以更好地应用向量的知识，解决实际问题，提高数学和物理的学习成绩。
空间角的求法
空间角的求法 一、异面直线所成角的求法 平移法 常见三种平移方法：直接平移；中位线平移（尤其是图中出现了中点）；补形平移法。“补形法” 是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 （1）直接平移法 4J2 例1如图，PA_矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的正切值。（） 5 （2 ）中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。 例2设S是正三角形ABC所在平面外的一点，SA = SB= SC,且.ASB = . BSC = . CSA =—, 2 M、N分别是AB和SC的中点，求异面直线SM与BN所成的角的余弦值。（） 5 （3 ）补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以利于找出平行线。 例3在正方体ABC^ A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求直线AC与ED i所成角的余弦值。
、线面角的三种求法 1. 直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线 段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到 联系各线段的作用。 例1四面体 ABCS 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，/ SBA=45，/ SBC=60 , M 为AB 的中点，求: 质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的 垂线。） h U 2. 利用公式si =:其中。是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，I 是斜线段的长，其中求 l 出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂 线段的长。 例2长方体ABCD-A i B i C i D i 中AB=3 , BC=2 ,A I A= 4，求AB 与面AB i C i D 所成的角的正弦值。 3.利用公式COST -COSt COS^ :如图，若0A 为平面的一条斜线， 0为斜足，0B 为OA 在面:- 内的射影，0C 为面〉内的一条直线，其中 二为0A 与0C 所成的角，6为0A 与0B 所成的角，即（1） BC 与平面SAB 所成的角；（60° （2） SC 与平面ABC 所成的角。 （“垂线”是相对的, SC 是面SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线。作面的垂线常根据面面垂直的性 （4） B
高中数学《利用空间向量求空间角、空间距离问题》导学案
3.2.3利用空间向量求空间角、空间距离问题 1．空间角及向量求法 角的分类向量求法范围 异面直线 所成的角 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量 为a，b，则cosθ＝□01|cos〈a，b〉|＝□02|a·b| |a||b| □03 ⎝ ⎛ ⎦ ⎥ ⎤ 0， π 2 直线与平面 所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量 为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝□04|cos 〈a，n〉|＝□05|a·n| |a||n| □06 ⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ 0， π 2二面角 设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α，β的 法向量为n1，n2，则|cosθ|＝□07|cos〈n1，n2〉 |＝□08|n1·n2| |n1||n2| □09[0，π] 2．空间距离的向量求法 分类向量求法 两点距设A，B为空间中任意两点，则d＝□10|AB→| 点面距设平面α的法向量为n，B∉α，A∈α，则B点到平面α的距离d＝□11|BA → ·n| |n| 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．() (2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．() (3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．() 答案(1)×(2)√(3)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________． (2)(教材改编P 111A 组T 11)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是C 1C 的中点，O 是底面ABCD 的中点，P 是A 1B 1上的任意点，则直线BM 与OP 所成的角为________． (3)已知平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为________． 答案 (1)45°或135° (2)π2 (3)10 3 解析 (2)建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体棱长为2 ，则O (1,1,0)，P (2，x,2)，B (2,2,0)，M (0,2,1)， 则OP →＝(1，x －1,2)，BM →＝(－2,0,1)． 所以OP →·BM →＝0，所以直线BM 与OP 所成角为π2.