利用函数性质判定方程解的存在1

§4.1利用函数性质判定方程解的存在

班级：小组：姓名：

凹凸函数的性质

凹凸函数的性质李联忠1 文丽琼2 1 营山中学四川营山 637700 2营山骆市中学四川营山 638150 摘要：若函数f(x)为凹函数，则n f f f n f x x x x x x n n ) ()()()( 212 1 +++≤ +++ 若函数f(x)为凸函数，则 n f f f n f x x x x x x n n ) ()()()( 212 1 +++≥ +++ 从而使一些重要不等式的证明更简明。中图分类号：文献标识号：文章编号：高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。学有余力的学生，会去证多个数的情形。仿照书上去证，几乎不可能。下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。凹函数定义若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。如图（一）凸函数定义若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。如图（二）性质定理若函数f(x)是凹函数，则 n f f f n f x x x x x x n n ) ()()()( 212 1 +++≤ +++ 若函数f(x)是凸函数，则 n f f f n f x x x x x x n n ) ()()()(2121 +++≥ +++ 证明：若函数f(x)是凹函数，如下图

点P （ )( ,2 1 2 1 n f n x x x x x x n n ++++++ ）在f(x)上设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则 b n a n f x x x x x x n n ++++? =+++ 2 1 21 )( （1） ∵f(x) 是凹函数，切线在函数图像下方 ∴b a f x x +≥11)(;b a f x x +≥22)(;…;b a f x x n n +≥)( ∴ b n a n f f f x x x x x x n n ++++? ≥+++ 2 1 21) ()()( (2) 由（1），（2）得 n f f f n f x x x x x x n n ) ()()()( 212 1 +++≤ +++ 若函数f(x)为凸函数，如下图点P （ )( ,2 1 2 1 n f n x x x x x x n n ++++++ ）在f(x)上设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则 b n a n f x x x x x x n n ++++? =+++ 2 1 21 )( （1） ∵f(x) 是凸函数，切线在函数图像上方 ∴b a f x x +≤11)(;b a f x x +≤22)(;…;b a f x x n n +≤)(

多元凸函数的判定

多元凸函数的判定 1 引言凸函数是一类基本函数，具有非常好的分析学性质，在极值研究、不等式证明、数学规划、逼近论、变分学、最优控制理论、对策论等领域有着广泛的应用. 人们对一元凸函数性质和判定方法已经有了丰富的研究，但随着凸函数应用范围的不断扩展，多元凸函数越来越多的被研究. 一元函数凸性的判定方法也被推广到多元函数，文献[4]将凸函数与导函数之间的关系推广，给出了用梯度判定多元函数凸性的方法，文献[5]将凸函数与二阶导数之间的关系推广，给出了用黑塞矩阵判定多元函数凸性的方法. 而多元函数的梯度与黑塞矩阵在计算中往往比较繁琐，本文将着力研究多元函数凸性判定方法的改进，使凸函数判定的计算更加简洁，应用更加方便. 2 定义及引理本节主要介绍本文用到的定义及引理. 定义2.1[2] 设n R D ?，如果D 中的任意两点的连线也在D 内，则称D 为n R 中的凸集. 即对任意21,P P ，数)1,0(∈λ，总有 D P P ∈-+21)1(λλ. 定义 2.2[1] 设n R D ?为非空凸集,f 为定义在D 上的函数,若对任意 )1,0(,,21∈∈λD P P ，总有 )()1()())1((2121P f P f P P f λλλλ-+≤-+， (1) 则称f 为D 上的凸函数. 反之，如果总有 )()1()())1((2121P f P f P P f λλλλ-+≥-+， (2) 则f 为D 上的凹函数. 若上述(1)、(2)中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数. 定义]2[3.2 )(P f 是定义在n R D ?上的多元函数，若在点),,,(210n x x x P ???存在对所有自变量的偏导数，则称向量))(,),(),((00021P f P f P f n x x x ???为函数)(P f 在点0P 的梯度，记作

《等式的性质和解方程(1)》教学设计

《等式的性质和解方程（1）》教学设计［教学内容］五年级下册第3?5页例3、例4, “试一试”和“练一练”，练习一第4?6 ［教材简析］这部分内容主要引导学生通过观察、思考和交流，初步理解“等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式”这一等式的两条基本性质之一，初步学会运用这一性质解只含有加、减关系的一步方程。在此之前，学生已经初步认识了等式与方程；在此之后，学生还将学习等式的另一条基本性质。学好这部分内容，有利于学生加深对方程特点的认识，体会初步的方程思想。教材在安排这部分内容时，主要有两个特点，一是借助直观帮助学生理解等式的性质；二是对解方程的步骤及规范做了较为细致的处理。设计教学时, 教材一方面注意通过天平两边物体质量的变化以及变化前后天平两边的状态，引导学生理解相关的等式性质；另一方面则注意充分利用学生已有的知识和经验，弓I 导他们在用不同方法求未知数的过程中初步体会用等式性质解方程的便捷，并掌握相应的方法。［教学目标］ 1. 使学生在具体情境中初步理解“等式两边同时加上或减去同一个数, 等式”，会用这一性质解相关的方程。 2. 使学生联系具体的例子初步理解“方程的解”和“解方程”的含义, 是一个结果，“解方程”是一个过程。 3. 使学生在观察、分析、抽象、概括等式的基本性质和交流的过程中, 感受方程思想，培养自觉检验的意识，发展初步的抽象思维能力。［教学重点］引导学生探索等式的性质，利用等式性质解相关的方程。［教学难点］结合具体情境，抽象归纳出“等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式”这一等式的性质。［教学过程］、先扶后放，探究等式性质 1. 谈话：我们已经认识了等式和方程。这节课，我们进一步学习与等式和方程有关的知识。 2. 出示例3第一幅天平图，提问：你能根据图意写出一个等式吗? 根据学生的回答，板书：引导：现在的天平是平衡的。如果在天平的一边添上一个10克的砝码，这时天平会怎样? （失去平衡）要使天平恢复平衡，可以怎么办？（在天平的另一边也添上一个 10克的砝码）根据学生的回答，出示第二幅天平图。提出要求：现在天平平衡吗？你能再用一个等式表示现在天平两边物体质量的关系吗? 同桌同学先互相说一说。学生活动后，板书：20+ 10= 20+ 10。启发：请同学们比较这里的两幅天平图和相应的两个等式，想一想，第二个等式和第一个等式相比，发生了怎样的变化？从这样的变化中你能想到什么? 3. 出示例3第二组天平图，提出要求：请同学们仔细观察这里的两幅天平图，说一说天平两边物体的质题。所得结果仍然是知道“方程的解” 积累活动经验, 20=20。

北师大版高中数学必修一-4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在教案

4.1.1利用函数性质判定方程解的存在教学目标 1.理解函数零点的意义，能够利用函数性质判定方程解的存在 2.通过函数性质判定方程解的存在，培养数形结合的思想 3.通过学习，初步体会事物间相互转化的辩证思想教学重难点重点：利用函数性质判定方程解的存在难点：方程实数解的存在区间的求解教学过程问题1 下列函数图像x轴的交点坐标和相应方程的根有何关系？（画出图象并分析） y=2x-4 与2x-4=0 y= x2－2x－3与x2－2x－3=0 概括总结：函数的零点定义：我们把函数y=f(x )的图象与x轴交点的横坐标叫做函数y=f(x)的零点等价关系：方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与X轴有交点?函数y=f(x)有零点示例·练习

问题探究2 概括总结零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，f(x)=0至少有一个实数解。思考下列问题：问题1：函数f(x)在区间（a,b)上f(a)f(b)<0，是否一定有零点? 举例说明。问题2 ：函数f(x)在区间（a,b)上有零点，是否一定有f(a)f(b)<0？举例说明。问题3：函数f(x)在区间（a,b)上有零点，是否只有一个？举例说明。总结出函数零点存在性定理注意事项：（1）函数y=f(x)的图象是连续不断地曲线（2）f(a)﹒f(b)<0 y=f(x)有零点，但不可逆（3）若f(a)﹒f(b)>0，不确定函数是否有零点示例·练习

课后小结 1.什么是函数的零点？ 2.如何使用函数性质判定方程解得存在？作业：P116.第3题 []实数解？为什么？内有没有在问方程已知函数0,1-0)(,3)(.22=-=x f x x f x []否存在零点。上是在判断函数）（1,2-44)(.11-+=-x e x f x []并说明理由。上是否存在实数解，在判定2,101543=-+x x

凸函数的性质与应用

学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学年级2009级姓名zym 论文题目凸函数的性质与应用指导教师555职称副教授成绩 2011 年06月10日

目录摘要 (2) 关键词 (2) Abstract (2) Keywords (2) 前言 (2) 1 凸函数的定义 (2) 2 凸函数的性质 (4) 2.1f为I上凸函数的充要条件 (4) 2.2 f为区间I上的可导函数的相关等价论断 (4) 3凸函数的应用 (6) 参考文献 (7)

函数的性质与应用学生姓名: *** 学号: 20095031390 数学与信息科学学院数学与应用数学指导教师: *** 职称: 副教授摘要：本文从凸函数的定义出发,总结了凸函数的性质与应用关键词：凸函数;性质;应用 The properties and application of convex function Abstract: From the definition of convex function, summarizes the convex function of the properties and application. Key word: the definition of convex function; properties; application 前言我们已经熟悉函数()2f x x =和()f x =的图象,它们不同的特点是:曲线 2y x =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线y 则相反,任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.我们把具有前一种特性的曲线称为凸的,相应的函数称为凸函数;后一种曲线称为凹的,相应的函数称为凹函数.下面通过一些例子来讨论凸函数的性质及应用,利用凸函数判断不等式的大小. 1 凸函数的定义定义 1 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x ,2x 和任意实数 ()0,1λ∈总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-， ()1 则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≥+-, ()2 则称f 为I 上的凹函数. 如果若()1、()2中不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格

等式的性质

利用等式的性质解方程的几点思考打开五年级上册的数学教材一看，第五单元就是解方程，仔细一看内容，和我小时候所学的用四则运算关系解方程截然不同。以前也听过五年级的数学老师讲过，用等式的性质解方程太复杂了，总觉得还是原来依据四则运算关系解方程，便于教、便于学。本文仅就与此相关的一些问题，谈谈个人的有关认识与体会。一、新课程为什么要用等式的基本性质解方程过去，在小学教学解方程，依据的是四则运算之间的关系，如“加数=和-另一个加数”，“因数=积÷另一个因数”．等等。由于这些关系小学生在学习加减法、乘除法时．早就不断有所感知，积累了比较丰富的感性经验，所以到小学中高年级再加以概括就显得水到渠成，运用这些关系解未知数只出现在等式一边的简易方程也比较自然。但是，这种“算术”的解方程思路毕竟走不了多远，一到中学就被彻底抛弃，取而代之的是等式的基本性质。而且小学依据四则运算关系解方程教得越多，练得越巩同，初中方程教学的负迁移就越明显，入门障碍就越大。既然一到中学就被取代，并将彻底遗忘．为什么就不能改变，寻找一条新的可持续发展的出路呢? 现在，为了减少过渡性的、很快被淘汰的知识，为了避免中小学数学教学各自教一套，避免中学“另起炉灶”，为了促进学习的正迁移，将等式基本性质作为小学解方程的依据，使中小学解方程的思路得到基本统一，解释趋于一致。这是一项很有意义的改革，值得我们

为之尝试、探索，积累经验。通过实践还进一步发现，以等式基本性质为依据，有利于凸显等量关系，有助于渗透初步的方程思想和初步的数学建模思想。这些则是改革初衷之外的收获了。二、利用等式的性质解方程的一些困惑利用等式的性质解方程，对于小学数学教师来说需面对并妥善解决一系列的教学实际问题。只知道要过河，如果没有可操作的过河方法，仍然无济于事。 1．如何理解“等式的基本性质”? 新课程下的小学数学概念性的东西不多，一般都是在例题中或者练习中依靠学生自己归纳总结，而新教材对于等式的基本性质确实给出了明确的解释（见小学数学五年级上册第64页和第65页），对于这一性质，有的老师将其称为“天平原理”或者“天平平衡原理”，这都是可行的，学生理解起来也相对形象一些。 2、如有学生运用四则运算的关系解方程怎么办？初学解方程时我一直要求学生利用等式的基本性质，但有些聪明的同学却能利用四则运算的关系来解方程。比如，在教学解方程例1：X+3=9时，如果利用等式的性质就应该这样解：X+3-3=9-3解得X=6，讲到这个地方，班上有个同学就说：“老师，我有更简单的方法。”我问：“你用的什么方法？”他说：“在X+3=9中，X是一个加数，加数=和-另一个加数，所以X=9-3，解得X=6，比你刚才讲的方法简单多了。”他一说到这个地方，其他的同学也跟着附和，赞同他的方法而

北师大版(2019)高一数学必修第一册第五章第一节方程解的存在性及方程的近似解教案

第1节方程解的存在性及方程的近似解 5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性本部分内容是在学生学习了函数的定义、性质、图像、性质都已经熟悉的基础上，进一步研究函数与其他数学知识的有机联系，这里结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理(逻辑推理)，集中研究的是判定方程实数解的存在性，运用函数来解决实际问题。 (1)知识目标：理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。 (2)核心素养目标：通过具体实例，感受数学的应用价值，养成严谨治学的态度和积极探索的精神。重点：理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。难点：方程实数解的存在区间的求解。多媒体课件一、知识引入函数零点：我们把函数y=f(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个函数的零点。函数y=f(x)的零点可以理解成方程f(x)=0的解。

你能从函数y=f(x)图像中找到函数零点吗？依据定义找到函数零点： -1,1,3。 1、观察上述三个函数图像中零点附近的图像你能得什么结论吗？零点附近的图像是从上到下或者从下到上地穿过x 轴。（零点即交点） 2、零点两侧的附近区间内自变量x 对应的函数值一正一负。（即f(a)f(b)﹤0） 3、此类零点称为变号零点。作出函数x y 1 图像确定函数有没有零点？能否用上述结论中f(a)f(b)﹤0来判断函数有零点？得出结果：函数没有零点，用f(a)f(b)﹤0判断零点必须是在连续区间（a,b ）上。零点的判断方法：（1）几何法：函数y=f(x)图像与x 轴交点横坐标，即有几个交点就有几个零点。（2）代数法：零点存在定理 ①函数y=f(x)图像在(a,b)上是连续的。 ②满足f(a)f(b)﹤0 则函数f(x)在区间(a,b)上至少一个零点。如何判定函数f(x)在区间(a,b)上有唯一零点？引导学生在上述基础上加入单调性，来确定唯一零点。二、例题解析例1 方程3x -x 2=0在区间[-1,0]内有没有解？为什么？

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 https://www.360docs.net/doc/f16653056.html,work Information Technology Company.2020YEAR

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用数学计算机科学学院摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果. 关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用 Nature of Convex Function and its Application in Proving Inequalities Chen Huifei, College of Mathematics and Computer Science Abstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which makes it necessary to study convex functions.We discuss definition, lemma, theorem and the nature of some commonly used discriminant methods of the convex function and the logarithmic convex function in this paper(According to known theorems, definitions, nature, Jensen inequality and other methods of convex function and the logarithmic convex function to recognize whether the function is a convex function); In this paper we also try to discuss the equivalent definition and nature of the convex function and the issue of its application in demonstration inequalities of convex function in order to have a better understanding of the nature and role of the convex function in proving inequalities; we also try to discuss some applications of convex function in proving inequalities(Convex function and the use of these convex function theorem, definition, nature, Jensen inequality to prove Inequality).

利用函数性质判定方程解的存在

利用函数性质判定方程解的存在【学习目标】 1.正确认识方程0)(=x f 的实数解与函数)(x f 的零点的关系。 2.会结合函数图像性质判断方程解的个数。 3.会用多种方法求方程的解和函数的零点。【学习重点】方程的解与函数零点的关系、函数零点的应用。【学习难点】函数零点的应用【课前预习案】一、课本助读阅读课本115—116页，然后完成。（一）函数与方程的关系 1.求方程2230x x --=的根，画函数223y x x =--的图像。 2.观察函数的图像发现：方程的根与函数的图像和x 轴交点的横坐标有什么关系？ 3.归纳函数的零点的概念我们把函数()y f x =的图像与 _______交点的_________ 称为这个函数的 ___________。总结：方程()0f x =有实根?函数()y f x =的图像与______有交点?函数 ()y f x =有_______. （二）函数零点的判断 4.如何判断二次函数零点的个数，如何判断一元二次方程根的个数，它们之间有什么关系？分析：观察二次函数()26f x x x =--的图像，我们发现函数()26 f x x x =--在区间(4,0)-和()0,4有零点，计算)4(),0(-f f ，发现()()04f f -______0，函数

()26f x x x =--在(4,0)-内有零点__________,它就是方程()26f x x x =--的一个根，同样地，()()04f f _____0，函数()26f x x x =--在()0,4内有零点________, 它就是方程()26f x x x =--的另一个根。我们可以用学过的解方程的方法来验证这个结论。 5.判断函数有零点的方法.（函数零点的存在性定理）若①函数()y f x =在闭区间[],a b 上的图像是______曲线，②并且在区间端点的函数值符号_________，即____________，则在区间(),a b 内，函数_______ 有______零点，即相应的方程()0f x =在区间(),a b 内__________实数解. 二、预习自测 1.函数223y x x =--的零点有。 2.判断下列函数在给定的区间上是否有零点：（1）()3x f x e x =--在区间[1,2]上； (2) 2()32f x x x =-+在区间[0,3]上【课堂探究案】一、探究问题 1.在零点存在性定理中， ①为什么要是连续曲线？能举出反例吗？ ②若0)()(>?b f a f 则函数)(x f y =在区间()b a ,内存在零点吗？ 2. 为什么说函数)(x f y =“至少有一个”零点？函数零点的存在性定理能否判断函数零点的个数？试举例说明. 3.单调函数满足函数零点的存在性定理的两个条件，能否判断函数零点的个数？试举例说明. 4.)(x f y =在区间()b a ,内存在零点，则满足0)()(

用等式性质解方程练习

《解方程》教学设计教学目标： 1、使学生初步理解“方程的解”与“解方程”的含义以及“方程的解”和“解方程”之间的联系和区别。 2、利用等式的性质解简易方程。教学重点：理解“方程的解”和“解方程”之间的联系和区别。教学难点：熟练利用等式的性质解简易方程。教学过程：（一）创设情境，复习导入 1.上节课我们借助天平游戏，学习了什么知识？那么等式的性质谁知道呢？今天我们继续研究与方程有关的新知识。 2.复习与本节课相关的知识，出示习题：解下面方程：4x =8.6 48.34-x =4.5 学生自主解答练习，并说一说是怎么做的。并在订正的过程中，规范书写。（二）观察猜想，感知方程的解 1.展示课件，谁能根据题意列方程呢？一般把含有字母的式子写在方程等号的左边。大家想不想知道x 是几呢？你们是怎么知道的？学生猜想预设：生1：（利用加减法的关系计算：9-3=6）。生

2：想6+3=9，所以X=6。生3：把9 分成6+3，想X+3=6+3，所以X=6。生4：利用等式的基本性质，从方程两边同时减去3，就能得出X=6。【设计意图】：整个新知识的教学，充分尊重学生的主体地位，让学生动口、动脑，发现、比较、归纳，不同的方法，开阔了思维。但重点引导学生使用等式的性质解答，回归本节课的教学内容。 2.对于这些不同的方法，分别予以肯定。说明第（4）种用到了等式的性质，就是本节课要学习的“解方程”的方法，所以要重点掌握。本节课就是重点要学习等式的性质来解方程（板书：解方程）。（三）操作感悟，体会原理 1. 怎样才能使天平左右两边只剩“X”，而保持天平平衡呢？通过课件演示，天平两边同时去掉3 个球，天平平衡。和等式的基本性质结合起来，给方程两边同时减去3，方程左右两边相等。PPT 展示思路，让学生在头脑中明确了方法后，老师扮演解方程的过程。过程中强调注意的三个问题。【设计意图】：利用多媒体课件，从具体到抽象，从感性到理性循序渐进，学会用等式的性质解方程，突破了重点，解决了关键。板书解题过程为了使学生掌握解方程的格式和写法，养成好习惯。

2019-2020年高中数学 4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在教案北师大版必修1

2019-2020年高中数学 4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在教案北师大版必修1 一、教学目标： 1.让学生熟练掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 2.让学生了解函数的零点与方程根的联系； 3.让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的作用； 4。培养学生动手操作的能力。二、教学重点、难点重点：零点的概念及存在性的判定；难点：零点的确定。三、复习引入分析：考察函数f(x)= x2-x-6, 其图像为抛物线容易看出，f(0)=-6<0, f(4)>0,f(-4)>0 由于函数f(x)的图像是连续曲线，因此，点B (0,-6)与点C(4,6)之间的那部分曲线必然穿过x轴,即在区间(0,4)内至少有点 X1使f(X1)=0;同样,在区间(-4,0) 内也至少有点X2,使得f( X2)=0,而方程至多有两个解，所以在(-4,0),(0,4)内各有一解定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数 x 抽象概括 ●y=f(x)的图像与x ●若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续曲线，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内至少有一个零点，即f(x)=0在 (a,b)内至少有一个实数解。 f(x)=0有实根（等价与y=f(x)）与x轴有交点（等价与）y=f(x)有零点所以求方程f(x)=0的根实际上也是求函数y=f(x)的零点注意：1、这里所说“若f(a)f(b)<0,则在区间（a,b)内方程f(x)=0至少有一个实数解”指出了方程f(x)=0的实数解的存在性，并不能判断具体有多少个解； 2、若f(a)f(b)<0,且y=f(x)在（a,b）内是单调的，那么，方程f(x)=0在（a,b）内有唯一实数解； 3、我们所研究的大部分函数，其图像都是连续的曲线； 4、但此结论反过来不成立，如：在[-2，4]中有根，但f(-2)>0, f(4)> 0，f(-2) f(4) >0； 5、缺少条件在[a,b]上是连续曲线则不成立，如：f(x)=1/ x，有f(-1)xf(1)<0但没有零点。四、知识应用例2:已知f(x)=3x-x2 ,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内没有实数解?为什么? 解：f(x)=3x-x2的图像是连续曲线, 因为 f(-1)=3-1-(-1)2 =-2/3<0, f(0)=30-(0)2 =-1>0, 所以f(-1) f(0) <0,在区间[-1,0]内有零点,即f(x)=0在区间[-1,0]内有实数解练习：求函数f(x)=lnx+2x-6 有没有零点？

凸函数的性质

凸函数的性质【摘自[前苏]克拉斯诺西尔斯基等著《凸函数与奥尔里奇空间》（中译本）】通常称函数)(x f 在区间),(b a 内是“下(上)凸函数”，若对于),(b a 内任意两点1x 和 2x )(21x x ≠与任意)1,0(∈t ，都满足“琴生(Jesen)不等式” 1212() [(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x >+-<+- (※) 或 () 11221122()()()f t x t x t f x t f x >+<+ (※※) [其中1t 和2t 为正数且121=+t t ] 它的特别情形(取2 1 = t )是 ()()()121222f x f x x x f >++?? < ??? ()21x x ≠ (※※※) 在§2-7中曾把它作为下(上)凸函数的定义.。我们将证明，对于连续函数来说，不等式(※※※)与琴生不等式(※)是等价的。正因为这样，我们在教科书中就用简单的不等式(※※※)定义了下(上)凸函数（因为我们研究的函数都是连续函数）。下凸函数简称为凸函数，上凸函数简称为凹函数。请读者注意．．．．．，这些称呼同国内某些教科书中的称呼是不一致的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。但是，我们的上述称呼与新近出版的许多教科书或发表的论文中的称呼是一致的。因为函数的“上凸”与“下凸”是对偶的，所以，下面只讨论下凸函数的性质。相信读者一定能够把下面得出的结论，类比到上凸函数上。（一）琴生不等式的几何意义我们先解释一下琴生不等式的几何意义。如图一，设231x x x <<，则21 21 3112323x x x x x x x x x x x --+--=（根据解析几何中的定比分点公式（*））。根据琴生不等式(※※)， )(3x f )()(2121311232x f x x x x x f x x x x --+--< [注意1 213212321,x x x x t x x x x t --=--=] 图一

一元一次方程利用等式的性质解方程教案

一元一次方程利用等式的性质解方程一、目的要求使学生会用移项解方程。二、内容分析从本节课开始系统讲解一元一次方程的解法。解一元一次方程是一个有目的、有根据、有步骤的变形过程。其目的是将方程最终变为x=a的形式；其根据是等式的性质和移项法则，其一般步骤是去分母、去括号、移项、合并、系数化成1。 x=a的形式有如下特点：（1）没有分母；（2）没有括号；（3）未知项在方程的一边，已知项在方程的另一边；（4）没有同类项；（5）未知数的系数是1。在讲方程的解法时，要把所给方程与x=a的形式加以比较，针对它们的不同点，采取步骤加以变形。根据方程的特点，以x=a的形式为目标对原方程进行变形，是解一元一次方程的基本思想。解方程的第一节课告诉学生解方程就是根据等式的性质把原方程逐步变形为x=a的形式就可以了。重点在于引进移项这一变形并用它来解方程。

用等式性质1解方程与用移项解方程，效果是一样的。但移项用起来更方便一些。如解方程7x-2=6x-4 时，用移项可直接得到7x-6x=4+2。而用等式性质1，一般要用两次：（1）两边都减去6x；（2）两边都加上2。因为一下子确定两边都加上（-6x＋2）不太容易。因此要引进移项，用移项来解方程。移项实际上也是用等式的性质，在引进过程中，要结合教科书第192页及第193页的图强调移项要变号。移项解方程后的检验，可以验证移项解方程的正确性。三、教学过程复习提问：（1）叙述等式的性质。（2）什么叫做方程的解？什么叫做解方程？新课讲解： 1．利用等式性质1可以解一些方程。例如，方程x-7=5 的两边都加上7，就可以得到x=5+7， x＝12。又如方程7x＝6x-4 的两边都减去6x，就可以得到7x-6x=-4， x=-4。

凸函数判定方法的研究

凸函数判定方法的研究鸡冠山九年一贯制学校张岩 2013年12月15日

目录摘要 (ii) 关键词 (ii) Abstract (ii) Key words (ii) 前言 (iii) 一、凸函数的基本理论 (1) 1、预备知识 (1) 2、凸函数的概念及性质 (2) 二、凸函数的判定方法 (4) （一）一元函数凸性的判定方法 (4) 1、利用作图判断函数凸性 (4) 2、其它判定方法 (5) （二）多元函数凸性的判定方法 (8) 1、多元凸函数的有关概念 (8) 2、多元函数凸性的判定方法 (9) 三、凸函数几个其他判定方法 (12) 四、总结 (14) 参考文献 (14) 致谢 (15)

凸函数判定方法的研究摘要:凸函数是一类非常重要的函数，借助它的凸性可以科学准确地描述函数图像，而且可以用于不等式的证明。同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，研究的内容非常丰富，研究的结果已在许多领域得到广泛的应用，因此凸函数及其性质以及凸性判定的充要条件的研究就显得尤为重要。本文首先给出了凸函数的一些基本概念和结论，然后针对一元和多元函数，对凸函数的判定做了研究和讨论，本文最后也给出几种新的判定凸函数的方法。关键词：凸函数；梯度；Hesse 矩阵；泰勒定理 Abstract: Convex function is a kind of very important functions, with the help of its convexity we can accurately describe the graph of functions and it can also be used to prove the inequalities. As the significant object in optimization problems, the contents about convex functions we study are very abundant, the results obtained so far has been applied to many fields. Therefore, the topic we concern about is deserved to be discussed. In this paper, we firstly present some basic definitions and properties of convex functions, then aiming at the univariate function and multi-variable functions we give several criterions for determining the convexity of functions. Finally, some new principles are also given. Key words：Convex function; Gradient; Hesse matrix; Taylor Theorem

北师大版高中数学必修一4.1.1 利用函数性质判断方程解的存在说课稿

各位评委老师好，我是，今天我说课的题目是《利用函数性质判定方程解的存在》，下面，我将从说教材、说教学目标、说教学重难点、说教法、说学法和说教学过程六个方面来进行说课。一、说教材《利用函数性质判定方程解的存在》是北师大版数学必修一第四章第1节第1课时的内容。在此之前，学生已经学习了一次函数、二次函数等基本函数的图像和性质，也能够对一次方程、二次方程等常见的方程进行求解。这些基础为本节课的学习打下基础。在本节课中，学生将学习函数与方程的关系，以及用函数求解方程或判断方程解的个数的常用方法，这些知识会为以后学习二分法求方程的近似解打下基础，也能够培养学生利用函数与方程相结合的方法解决函数和方程问题的基本思想，为以后的学习打下基础。因此，本节课的学习在整个知识体系中起到了承上启下的作用；作为高考的必考内容，为学生成绩的提高有极大的裨益；还通过培养学生用相互联系的观点看待问题的思想，为学生后续的发展铺垫了坚固的基石。二、说教学目标根据本节课的内容和学生的认知结构及心理特征，我指定了以下的教学目标： 1.知识与技能：在本节课的学习中，需要先让学生了解到公式法解方程的不足，从而引起学生探索新知的兴趣，继而理解函数和方程的关系，并能够利用函数的图像和性质确定方程解的个数和有解区间。因此，本节课的知识与技能目标是了解公式法求方程解的局限性，理解函数零点的概念及零点与相应方程的解的关系，能通过作图判断函数零点的个数。 2.过程与方法：本节课的过程与方法目标是经历函数与方程关系的讨论过程，经历利用函数性质判定方程解的过程，经历函数值与零点之间关系的讨论过程，经历单个函数图像零点变化为两个函数交点的过程。体会数形结合、利用函数解决方程问题、转化与化归等数学思想和方法。通过这些过程，体会这些方法，可以让学生更加深入的了解函数与方程的关系，对函数图像有更深层次的认识，为以后的学习打下基础。 3.情感态度与价值观：体会函数在数学中和核心作用，感受数学知识之间的密切联系，提高数学学习的兴趣。三、说教学重难点在本节课的学习中，主要突破以下重难点：教学重点：体会函数与方程之间的关系，根据区间端点函数值确定解的存在。函数与方程思想在整个函数的学习生涯中都占据着重要地位，因此，通过本节课的学习，为学生认识函数与方程的关系打下基础。而根据区间端点函数值确定解的存在，则是判断区间内有解的一个重要方法，也与后续所学的二分法求方程的近似解做好了铺垫。这两个问题都要作为重点，让学生牢固掌握。教学难点：方程解的个数及所存在的区间。方程解的个数问题，是利用函数性质判定方程解的存在的一类特殊情况，有可能与函数图像、单调性等问题综合考察，因此，要作为难点突破。四、说教法在本节课中，重要结论将由师生讨论得出，因此用到讨论法；当重要知识点讲解完毕，为了学生更好的掌握，也应使用练习法；在知识的探索过程中，设计多个循序渐进的问题，然后在分别予以解决，体现了任务驱动法。总体来说，本

函数凹凸性判别法与应用讲解

函数凹凸性判别法与应用作者：祝红丽指导老师：邢抱花摘要函数的凹凸性是函数的重要性质之一.它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，通过它可以较好地掌握函数对应曲线的性状.本文基于函数凹凸性概念的分析，着重探讨了函数凹凸性的判别方法以及在解题中的应用，如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并结合相关例题做了较详细的论述. 关键词凹凸性导数不等式应用 1 引言函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性揭示了函数的因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数的其它性质，可以使我们对函数的认识更加精确. 以函数()y f x 在某区间I 上单调增加为例说明.我们不难理解，随着自变量x 的稳定增加，当函数y 的增量越来越大时，函数图形是凹的，当函数y 的增量越来越小时，函数图形是凸的，当函数y 的增量保持不变时，函数图象是直线，对于减函数我们可以作类似的分析. 作为研究分析函数的工具和方法，它在许多学科里有着重要的应用.长期以来，很多学者致力于函数凹凸性的判别法及其应用的研究.近年来，关于函数凹凸性的判定与应用的研究取得了一些成果，使函数凹凸性的判别法与应用更加的广泛. 本文先从两个具体的函数图象为出发点，直观上观察函数图象的弯曲方向，从而引出函数凹凸性的概念和拐点的定义.并在此基础上介绍了凹凸函数的几何特征，接着介绍函数凹凸性的几种判别方法，如：用定义去判别函数的凹凸性，利用二阶导函数判别函数的凹凸性，及利用函数凹凸性的判定定理判别函数的凹凸性.其中利用函数凹凸性的概念是最基本的判别方法，利用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的判别方法.最后举例介绍了函数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用.虽然说并不是所有的不等式都能利用函数的凹凸性证明，但是利用函数的凹凸性去证明某些不等式，是其它方法不可替代的.利用函数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明方法，开阔了解题思路.利用导数分析函数的上升、下降，图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以帮助我们画出用公式表示的函数图形,了解函数的凹凸性能够使对函数图形的描绘更加精确化.

等式的性质和解方程

等式的性质和解方程教学内容：教科书第p4～ P5例5～例6、 P5“试一试”、“练一练”P6～P7练习一第6～8题教学目标要求： 1．使学生进一步理解并掌握等式的性质，即在等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，结果仍然是等式。 2．使学生掌握利用相应的性质解一步计算的方程。教学重点：使学生进一步理解并掌握等式的性质，即在等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，结果仍然是等式。教学难点：使学生掌握利用相应的性质解一步计算的方程。教学过程：一、复习等式的性质 1．前一节课我们学习了等式的性质，谁还记得？ 2．在一个等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。那同学们猜想一下，如果在一个等式两边同时乘或除以同一个数(除以一个数时0除外)，所得结果还会是等式吗？ 3．生自由猜想，指名说说自己的理由。 4．那么，下面我们就通过学习来验证一下我们的猜想。二、教学例5 1．引导学生仔细观察P4例5图，并看图填空。 2．集体核对 3．通过这些图和算式，你有什么发现？ X=20 2x=20×2 3x 3x÷3=60÷3 4．接下来，请大家在练习本上任意写一个等式。请你将这个等式两边同时乘同一个数，计算并观察一下，还是等式吗？再将这个等式两边同时除以同一个数，还是等式吗？能同时除以0吗？ 5．通过刚才的活动，你又有什么发现？

6．引导学生初步总结等式的性质(关于乘除的)乘或除以0行吗？ 7．等式性质二：等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。 8．P5“试一试” ⑴指名读题 ⑵你是根据什么来填写的？三、教学例6 1．出示P5例6教学挂图。指名读题，同时要求学生仔细观察例6图 2．长方形的面积怎样计算？ 3．根据题意怎样列出方程？你是怎么想的？板书：40X=960 4．在计算时，方程两边都要除以几？为什么？ 5．计算出X=24后，我们怎样才能确定这个数是否正确？请大家口算检验一下。最后将例6填写完整。 6．小结：在刚才计算例6的过程中，我们将方程的两边都同时除以40，这是为什么？为什么将等式两边都同时除以40，等式仍成立？ 7．P5练一练解方程：X÷0.2=0.8 师巡视并帮助有困难的学生。练习后指名让学生说一说:你是怎样解方程的？为什么可以这样做？四、巩固练习 1．要使下面每个方程的左边只剩下x,方程两边应同时乘或除以几？ 0.6x=7.2 方程两边应同时 x÷1.5=0.6 方程两边应同时 2．化简下列各式 8 X÷8 50+X-40 X÷9×9 X-1.4+1 3.P6第7题教师引导学生列方程 4.p7第8题解方程带“★”写出检验过程 X+0.7=14★ 0.9x=2.45★ 76+x=91