软岩非线性蠕变模型研究

第29卷 第4期 岩 土 工 程 学 报 Vol.29 No.4 2007年 4月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering Apr., 2007

软岩非线性蠕变模型研究

范庆忠1，2，高延法3，崔希海1，付志亮1

（1. 山东科技大学资源与环境工程学院，山东 泰安 271019；2. 山东农业大学水利学院，山东 泰安 271018；3. 中国矿业大学（北京校区），北京 100083）

摘 要：以工程实际中广泛应用的元件组合模型为基础，通过引入损伤变量和硬化变量，建立了一个软岩非线性蠕变模型。分析认为，Maxwell体等价于一个线性损伤的虎克弹性体，Kelvin体相当于一个线性硬化的牛顿黏性体，Burgers 体则是一个能同时描述线性损伤、硬化的模型。软岩蠕变过程中，其微观结构会发生变化，并导致软岩形变行为产生相应的改变，引入非线性损伤、硬化变量代替Burgers模型中的线性损伤、硬化变量，可以反映这种改变对软岩蠕变的影响。所建立的非线性蠕变模型可以用一个统一的方程描述软岩蠕变过程三个阶段的变形特征。将该模型与试验曲线进行对比，两者吻合较好。

关键词：岩石力学；蠕变；软岩；非线性；损伤；硬化

中图分类号：TD313 文献标识码：A 文章编号：1000–4548(2007)04–0505–05

作者简介：范庆忠(1966–)，男，山东海阳人，副教授，博士研究生，主要研究方向为矿山岩体力学。E-mail：stnff@https://www.360docs.net/doc/f1762249.html,。

Study on nonlinear creep model of soft rock

FAN Qing-zhong1，2，GAO Yan-fa3，CUI Xi-hai1，FU Zhi-liang1

(1. College of Resources & Environmental Engineering , Shandong University of Science & Technology, Tai'an 271019, China; 2. College

of Hydraulic and Civil Engineering, Shandong Agricultural University, Tai’an 271018, China; 3. China University of Mining & Technology,

Beijing 100083, China)

Abstract: Based on the component model, the damage and hardening variables were introduced into the creep model to express the nonlinear creep behavior of soft rock. A new nonlinear creep equation was established for soft rock. The Maxwell chains was equivalent to a linear damage Hooker body, the Kelvin chain was equivalent to a linear hardening Newton body, and the Burgers chain was a model describing linear damage and hardening for creep of rock. With the development of the creep of soft rock, the variation of rock microstructure had influence upon mechanical behavior. These changes were explained by nonlinear damage and hardening variables. The nonlinear creep model was established, which could describe three phases of soft rock creep. The results of model agreed with those of test perfectly.

Key words:rock test; creep; modulus of elasticity; strain effect; experimental study

0 引 言

流变性质和时效特征是岩石材料的固有力学属性。随着岩体工程规模的扩大以及采矿工程向深部的推进，岩石的流变性质的研究与工程应用越来越得到重视，有关岩石材料流变形态的资料和成果也日渐丰富和完善[1-9]。特别是软岩，其流变性更加明显，许多工程问题都与其流变性密切相关。许多研究者相继从各个不同的方面进行了岩石流变特性的研究，建立了众多的流变模型。

迄今为止，这些模型中应用最广泛的仍然是元件组合模型，这主要是由于组合模型的概念直观、简单，又能反映流变介质的各种流变特性。然而，由于模型理论中的任何元件及其组合都只能描述流变的前两个阶段，无法描述加速蠕变阶段，限制了该类模型的应用。为此，许多研究者对组合模型进行了改进。文献[1]以Bingham模型为例研究了黏滞系数η的非线性，认为η是所施加的荷载及荷载持续时间的函数，但未考虑弹性模量的变化。文献[4]提出了两种非线性元件–蠕变体和裂隙塑性体，并将它们和描述衰减蠕变特性的开尔文体及描述瞬时弹性的虎克体相结合，得到了一种新的复合流变力学模型，可很好地描述软岩加───────

基金项目：国家自然科学基金重大资助项目（50490274）

收稿日期：2006–03–14

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速蠕变阶段的特性。文献[7]将黏滞性体模型中的黏滞系数修正为非线性，改进了西原正夫模型，能较好地反映岩石的非衰减蠕变特性。文献[8]提出了一种非牛顿流体黏滞阻尼元件，建立了新的综合流变力学模型，可同时描述三种蠕变变形。文献[9]以改进的西原模型为基础，利用岩石全过程应力–应变曲线与蠕变方程中参数的对应关系，建立了参数非线性蠕变模型，能较好地反映岩石试件的3阶段蠕变过程。

通过对线性模型理论的改进而得到的非线性模型，能够描述岩石的加速蠕变过程，为研究岩石尤其是软岩的非线性流变提供了新的思路。然而，由于模型中只考虑了单个参数η的非线性，因此，流变方程不得不分段使用，来描述不同阶段的蠕变。本文在上述研究的基础上，尝试通过引入非线性损伤、硬化变量，对线性模型进行改进，来建立一个统一的非线性蠕变方程。

1 线性模型分析

模型理论由3个基本流变元件组成，再由这3个基本流变元件形成一些流变模型。基本流变元件包括虎克体、牛顿体和圣维南体。虎克体用来描述材料的纯弹性行为；牛顿体用来模拟物体的黏滞性，黏壶中的液体符合牛顿定律；圣维南体模拟物体的理想塑性。从流变模型的数学表达式上看，如Bingham 模型和西原模型，可以认为圣维南体仅仅起到一个开关函数的作用，其作用只是将连续的蠕变过程进行分段处理。

基本的线性模型大致包括以下几个：Maxwell 模型、Kelvin 模型、Kelvin-V olgt 模型或标准线性体模型、Burgers 模型、Bingham 及广义Bingham 模型、西原模型。这些模型当中，能够描述衰减蠕变的都含有一个Kelvin 体。

Kelvin 体由一个弹簧和一个黏壶并联而成。外加应力由两个元件分担。加载之初，虽然应变率不为零，但由于没有时间的累积，应变为零，此时所有的力由黏壶承担，弹簧受力为零。经过短时间后应变率在时间上的累积使模型有了变形，弹簧分担了一部分荷载，黏壶上的作用力减少，应变率降低。随着变形的增大弹簧承担的力越来越大，黏壶上的作用力越来越小，应变率随时间的推移而降低，从模型的总体效应看，就好象黏壶发生了硬化一样。Kelvin 体在常应力下的蠕变方程为

(1exp())E

t E

σεη

=

??

， (1)

则

0exp()E

t σε

ηη

=? ， (2) 与牛顿体的本构方程ε

ησ =0比较，则式（2）的等效黏滞系数为

exp()E

t η

ηη

= ， (3) 由此可见，Kelvin 体等价于一个线性硬化的黏壶。

基于同样的道理，Maxwell 模型就相当于一个有线性软化效应的弹簧。Maxwell 模型在常应力下的蠕变方程为

01(

)t

E εση

=+ ， (4) 与虎克体的本构方程比较，则式（4）的等效模量为

E

E Et

ηη=?+ ， (5)

等效模量?随时间的增大而减少，发生了软化。

由Maxwell 体和Kelvin 体串联而成的Burgers 模型则同时反映了流变材料的软化、硬化特征，从这个观点看，用Burgers 模型来模拟岩石特别是软岩的蠕变特性比其它模型具有相当的合理性，这可能也是该模型被广泛地用来描述软岩蠕变的原因。但是，由于这些模型仅是线性元件的组合，不能描述蠕变的非线性，也无法描述加速蠕变阶段，并且不得不分别采用不同的模型，分段地描述蠕变的衰减阶段和等速阶段。

2 非线性模型的建立

如果用非线性软化的弹簧代替Burgers 模型中线性软化的Maxwell 体，用非线性硬化的黏壶代替Burgers 模型中线性硬化的Kelvin 体，就可以得到一个由软化弹簧和硬化黏壶串联而成的非线性Maxwell 模型。软化机制用损伤描述，硬化机制通过引入一个硬化函数来描述。

根据组合模型的约定，串联的两个元件所受应力相等，模型的总应变等于两个元件的应变之和，所以有

对弹簧 1(,)E t εσσ= ， (6) 对黏壶 2(,)t ε

σησ= ， (7) 模型的总应变 12εεε=+ 。 (8) 2.1 损伤变量及其演化方程

对式（6），定义损伤变量为

1D E E =? ， (9) 式中，0

E 为初始弹性模量，0

(1)(,)E

E D E t σ=?= 为有效模量。

第4期 范庆忠，等. 软岩非线性蠕变模型研究

507

对于单轴压缩应力状态，Kachanov 采用Norton 幂律公式得到Kachanov 蠕变损伤律[1]

(1)v v D

A D σ?=? ， (10) 式中 A ，v 依赖于温度的材料常数，由常应力蠕变试验确定。由于定义的损伤变量D 是在0（对应于材料的无损状态）和1（对应于材料的损伤破坏）之间变化，将上式积分得到蠕变损伤临界破坏时间

1[(1)]v t A v σ?=+R ， (11) 由以上两式可得D 的演化规律为

1(1)

R 1(1)v D t t +=?? ， (12)

由式（11），蠕变破坏时间t R 与σv 成反比，这与试验结果是吻合的。但是，该式没有反映出岩石的瞬时强度σc 对损伤的影响。事实上，当应力到达其单轴抗压强度σc 时为瞬时破坏，此时t R =0。因此，需构造满足上述条件的函数

11()()(1)c f ?σσσσσ????==?=? ， (13)

式中 c ?σσ=称为应力比。将式(13)替换式（11）中σ，则满足当应力到达其单轴抗压强度σc 时为瞬时破坏，t R =0。损伤演化方程为

(1)v k D A D ?

σ?=? ， (14) 上式中若取

,k v ?σσ== ，

即为符合Norton 幂律公式的Kachanov 蠕变损伤律。 D 的演化规律为

11)

R 1(1)

k D t t +=?? 。 (15) 2.2 硬化函数

对式（7），引入硬化函数[10]

1r H C t ασ?= ， (16) 式中，C ，r ，α为材料常数，01α<<。则有

20(,)t H

σσ

ε

ηση== ， (17)

对上式积分，得

1120r r t B t C α

ασεσηα

??=

= ， (18) 式中，10()B C ηα?=，为材料常数。 2.3 蠕变方程及其试验验证

将式（15）带入（9），再代入式（6），并结合式（18）和式（8），即得常应力下的蠕变方程

1(1)

0R 1

[](1)

r k B t E t t αεσσ?+=+? 。 (19) 对蠕变方程式（19）进行试验验证。试验材料为山东龙口煤业公司北皂煤矿的泥岩和含油泥岩。用

MTS 伺服刚性机测得岩样的单轴抗压强度为7～15 MPa ，作为蠕变试验加载的依据。蠕变试验在重力加载式流变仪上进行。试验采用单体分级加载方式，将

拟施加的最大荷载按单轴抗压强度分为若干级，然后在同一试件上由小到大逐级施加荷载。试验共做9块试件，图1为3号试件的蠕变曲线。

进行曲线拟合时，选取3个典型的应力水平。第一个应力水平为8.5 MPa ，此时岩石试件的蠕变只有衰减蠕变阶段；第二个应力水平为9.7 MPa ，岩石已进入蠕变的第二阶段；第三个应力水平为12.1 MPa ，该级荷载下试件经过约6 h 的蠕变变形发生破坏。

图1 泥岩3号试件的蠕变曲线 Fig. 1 Creep curves of mudstone sample #3

通过设计的基于MATLAB 的优化程序对试验结果进行分析，得出方程（19）的模型参数，进而得到拟合曲线。图2为试件C-3在3个应力水平下的试验曲线和拟合曲线，表1为模型的参数值。

图2 试件C-3的试验和拟合曲线 Fig.2 Test and fitting curves of sample C-3

表1 模型参数取值表

Table1 Parameters of constitutive model

应力

/MPa

E 0/GPa

t R /h k B γ α 8.5 4.85 1.6×107 9 0.091 0.120.39.7 4.85 5566 9 0.054 0.120.312.1

4.85 7 9 0.014 0.12

0.3

从上面的图形可以看出，3个应力水平下的拟合曲线均与试验曲线吻合的较好，从而证明了本文所建立的本构模型可以用一个统一的方程描述3个阶段的蠕变。

对其它泥岩试件的试验结果进行同样的拟合，结果与上述情况一致。同时，还应用该模型对红砂岩的

508 岩土工程学报 2007年

蠕变试验结果（试验详细结果参见文献[11]）进行了

拟合，结果表明：该模型对软岩蠕变的适用性很好。

从表1中可以看出，对不同的应力水平指数k、γ、α取值相同，这说明对某种岩石而言，这3个指数为常量，与应力水平及应变大小无关从而也证明了本文献所建立的非线性蠕变方程的一般性。但是在不同的应力水平下，系数B即黏滞系数却不是常数，而是随应力的增大而减小，即黏滞系数

η随应力增大，这与文[11]的试验结果相符，也符合本文提出的硬化机制。在分级加载条件下，岩石轴向的蠕变硬化是连续的，即前一级荷载所引起的硬化效应会遗传到后续各级荷载下的蠕变。在对每一级荷载的常应力蠕变单独拟合

时，时间从加载后算起，而实际的黏滞系数

η应从前

级荷载末算起。因此，

η随应力增大是合理的。

图3是应力为12.1 MPa时的硬化函数曲线，图中的时间按试验时间计算。由式（16），当t为0时，硬化值H=0，这会造成瞬时应变率无穷大。实际上，在加载过程中，硬化已经发生，因此蠕变时间不能从零算起，图中的起始时间按试验记录取为1 min。

图3 硬化曲线

Fig. 3 Creep hardening curve

图4是应力为12.1 MPa时的损伤曲线，图中的时间也是按试验时间计算。由于蠕变试验时间较长，试验数据采集采用手工记录方式，记录的时间间隔不易严格控制。尤其在临近破坏时，由于事先并不能预测试件的准确破坏时刻，因此很难记录到试件破坏瞬时的应变详细数据。图中的最大损伤值为0.451，是由所测的最大应变对应的时间计算出的。为了便于比较，图5给出了损伤与分数寿命的理论关系曲线，其余参数均与图4的计算参数前同。从图4，5中可以看出，在蠕变的大部分时间内损伤的发展都是平稳的，几乎与时间呈线性关系。只有在接近破坏时，损伤才快速发展。从蠕变曲线上看，该级应力下蠕变经历了蠕变的3个阶段，因此可以认为损伤并非起始于第三蠕变阶段，在蠕变的第一、二阶段也存在损伤，只是损伤值较小，将其忽略掉是不合理的。

图4 蠕变损伤曲线

Fig. 4 Creep damage curve

图5 理论蠕变损伤曲线

Fig. 5 Theoretical creep damage curve

3 结 论

（1）基于对线性组合流变模型的分析，将损伤变量及硬化函数引入到组合模型中，建立了软岩的非线性蠕变方程，可以统一地描述软岩蠕变的3个阶段，勿需进行分段处理或者引入各种阀值。

（2）通过试验验证，证明了在岩石蠕变过程中不仅存在损伤机制，同时也存在硬化现象。对蠕变的描述应同时考虑这两种机制。

（3）损伤在蠕变的第一、二阶段也存在，并非起始于第三蠕变阶段。

需要指出的是，本文的模型虽然能较好的地描述常应力下的蠕变规律，但在拟合分级加载蠕变试验时，材料常数

η在不同的应力水平下并不一致。本文所建立的模型仅考虑了某一常应力下的硬化软化，而未考虑分级加载所引起的硬化因素。这说明了本文模型存在的局限性，需要进一步的研究。

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