传递过程原理作业题解.doc

1. 对于在 r 平面内的不可压缩流体的流动， r 方向的速度分量为 u r A cos / r 2

。

试确定速度的

分量。

解：柱坐标系的连续性方程为

1 1

( u )

( u z ) 0

r r ( ru r )

r

z

对于不可压缩流体在

r 平面的二维流动，

常数， u z

0 ,

u z

0 ，故有

z

1 1 u

(ru r )

r r

r

即

u

( ru r )

( r A cos )

A cos

r

r r 2

r 2

将上式积分，可得

A cos

Asin

u

r

2

d

r 2

f (r )

式中， f ( r ) 为积分常数，在已知条件下，任意一个 f (r ) 都能满足连续性方程。令

f ( r ) 0 ，可得到 u 的最简单的表达式：

Asin

u

2

r 2 ．对于下述各种运动情况， 试采用适当坐标系的一般化连续性方程描述， 并结合下述具

体条件将一般化连续性方程加以简化，指出简化过程的依据。

（ 1）在矩形截面管道内，可压缩流体作稳态一维流动； （ 2）在平板壁面上不可压缩流体作稳态二维流动； （ 3）在平板壁面上可压缩流体作稳态二维流动； （ 4）不可压缩流体在圆管中作轴对称的轴向稳态流动；

（ 5）不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动。

解：

u0

（ 1） 在矩形截面管道内，可压缩流体作稳态一维流动

u x

u y u z u x

u y u z x

y

x

y

z

z

稳态：

0 ，一维流动： u x 0 ， u y 0

∴

u z u z

，

即

( u z ) 0

z z

z

（ 2）在平板壁面上不可压缩流体作稳态二维流动

( u x ) ( u y ) ( u z ) x

y

z

稳态：0 ，二维流动： u z0

∴

( u x ) ( u y )

0 ，又const ，从而

u x u y

0 x y x y

（ 3）在平板壁面上可压缩流体作稳态二维流动

在此情况下，（ 2）中const

( u x )( u y )

∴

x y

（4）不可压缩流体在圆管中作轴对称的轴向稳态流动

1

r u r 1

u u z 0 r

r r z

稳态：0 ，轴向流动： u r 0 ，轴对称：0

∴

u z

0 ，

u z

0 （不可压缩const ）

z z

（ 5）不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动

1 ( r 2u r ) 1 ( u sin ) 1 ( u ) 0

r 2 r r sin r sin

稳态0 ，沿球心对称0 ，0 ，不可压缩const

∴ 1

(r 2u r ) 0，即

d

(r 2u r ) 0

r 2 r dr

3．某粘性流体的速度场为

u = 5x2 yi 3xyzj 8 xz2k

已知流体的动力粘度0.144 Pa s ，在点（2，4，－6）处的法向应力yy

2 100N / m ，

试求该点处的压力和其它法向应力和剪应力。

解：由题设u x 5x2 y ， u y 3xyz ， u z8xz2

u 10xy 3xz 16xz

u x 10

u y

u z

16

， 3

，

x

xy y

xz z

xz

因

yy p 2

u y

2 ( u x

u y

u

z

)

y

y

3 x

z

故

p

2

u y 2 ( u x u y u z )

yy

y

y

3

x z

在点（ 2， 4，－ 6）处，有

p

(

100) 2

0.144 ( 36) 2

0.144 236 67N / m

2

3

所以

p 2

u x 2 u x u y

u z

)

xx

x

(

y

z

3

x

67 2 0.144 80

2 236

0.144

3

66.6N / m 2

zz

p

2

u z 2 (

u x u y u z )

z

3 x

y

z

34.4N / m 2

xy

yx

( u x

u y )

y

x

0.144

[5 22

3 4 ( 6)] 7.5N / m 2

yz zy

( u z u y )

y

z

0.144 3 2

4 3.5N / m 2

zx

xz

( u x u z )

z

x

0.144 ( 8 36) 41.5N / m 2

4. 某不可压缩流体在一无限长的正方形截面的水平管道中作稳态层流流动，此正方形

截面的边界分别为 x

a 和 y

a ，有人推荐使用下式描述管道中的速度分布

a 2

x 2 y 2

u z

p

4

z

[1 ( )][1 ( ) ]

a a

试问上述速度分布是否正确，即能否满足相关的微分方程和边界条件。

解： 在壁面处，即 x

a 和 y

a 时， u z 0 ，故满足壁面不滑脱条件；在管道中

心， x

y

0 时，可得

u z

a 2 p u

max

（ 1）

4 z

将所给速度分布式代入不可压缩流体连续性方程（

2-20

），因

u x u y

0 可得

u z

z

2-45c ）化简，可得 将不可压缩流体的运动方程（

p (

2

u z

2

u z

)

（ 2）

z 2

y 2

x

将所给速度分布式分别对

x 和 y 求偏导数，得

u z a 2 p

y 2

2x

x

4

z [1 ( a

) ](

a 2

)

2

u z

1 p

( y 2

]

（ 3）

x 2

2 [1

)

z a

2

u z

1 p

( x 2 ]

（ 4）

y 2

2 [1

)

z

a

将式（ 3）和（ 4）代入式（ 2）可知，仅当 x

2

y 2 2a 2 时才满足运动方程。因此所

给速度分布式不能完全满足运动方程。

5．某一流场的速度向量可以下式表述

u( x, y) 5xi

5 yj

试写出该流场随体加速度向量

Du

的表达式。

D

解：

D u Du x i

Du y

D

D j

D

u x u x

u x u x u z

u x

u y

u y u y u z

u y

) j

(

x

u y

z )i (

u x

u y

z

y

x

y

25xi [( -5y) ( 5)] j

25xi

25 yj

第三章

1. 如本题附图所示，两平行的水平平板间有两层互不相溶的不可压缩流体，这两层流

体的密度、动力粘度和厚度分别为

1

、

1

、 h 1 和为

2

、

2

、 h 2 ，设两板静止，流体在常压

力梯度作用下发生层流运动，试求流体的速度分布。

解：将直角坐标下的连续性方程和运动方程化简，可得

d 2u x 1 p

dy 2

x

积分得

u x

1 p y

2 C 1 y C 2

2 x

因此，两层流体的速度分布可分别表示为

u

x1

1 p y

2 C 1 y C 2

2 1

x

u

x2

2

1 p y

2 D 1 y D 2

2

x

由下列边界条件确定积分常数：

（ 1） y h 1 , u x1 0 ;

（2） y

h 2 , u x 2 0 ;

（ 3） y 0 , u x1 u x 2 ;

（4） y 0 , 1

du x1 2

du x2 dy dy

将以上 4 个边界条件代入式（ 1）与（ 2），得

1 p h 1

2 C 1

h 1

C

2

0 ；

2 1 x

1 p h 22

D 1h D 2

0 ；

2 2 x

2

（ 1）

（ 2）

C 2

D 2 ；

1

C

1

2

C

2

1 h 2

2

1

h 1 p

2 h 12

解得

C 1

2

x

1

h

2

1

1

2h

1

2

2

1h 2

2

1

h

h

2

1

p

p 2

h

1

D 2

C 2

1 2 1

x 2 1 x 1

1

h

2

2

h 1

2h 1

2 D 1

h 2 p

1h 22

1 2 2

x

2

h

1

1

1

h

2

2 h 1

2

1

h 2

p h 2 p

1h 22

2

2

C 2

D 2

x

2

x

2 2

2

1

2 h

1

1

h 2

最后得速度分布方程为

y

2

1h 22

1

h 12

p

2h 12

y

1

( 1)] u

x1

[ 2 1

h

2

h 1 2

1

x h 1

1

2

h

1

1

2

h 2

y

2

1

h 22

p

1h 22

y

1

1)]

u x 2

[

2

(

h 2 2

2

x h 2

1

2

h

1

1

h

2

2. 粘性流体沿垂直圆柱体的外表面以稳态的层流液膜向下流动，如本题附图所示。试

求该流动的速度分布。该液体的密度和粘度分别为

和 。

解： 由题给条件，有 0 ， u r u

0 ， X z g

由柱坐标系连续性方程

1 ( ru r )

1

( u )

( u z ) 0

r r r

z

简化得

u z 0

z

由柱坐标系 N-S 方程

(u r u z

u u z

u z

u

z

)

r r

z

g

p 1 (r u

z ) 1 2u z

2

u z

z

r r r

r 2 2 z 2

简化得

g

1 (r u z ) 0

r r

r

由于

u z 0 ， u z

0 （轴对称），故 u z

u z (r ) ，即

z

g

1 d (r du z ) 0

r dr dr

积分得

u z

g r 2 C 1 ln r C 2 （ 1）

4 边界条件为 （ 1）

r r 0 , u z 0

（ 2） r

R ,

du z

0 dr

将边界条件代入式（ 1），得

C 1

g R 2

2

C 2

g r 02

R ln r 0 )

2 (

2

故速度分布为

g 2

r 1

2 2 u z

2 [ R ln r 0 2 (r 0 r )]

3. 半径为 r 0 的无限长圆柱体以恒定角速度 在无限流体中绕自身轴作旋转运动。

设流

体不可压缩， 试从一般柱坐标系的运动方程出发， 导出本流动问题的运动方程， 并求速度分

布与压力分布的表达式。

解：柱坐标系的运动方程为

r 方向 :

u r

u r

u r u u r

u 2 u r

r

r

r u z z

X r 1 p

1

1 2

u r

2 u

2

u r

r

r r r ( ru r )2

2

2

2

r

r z

（ 2-47a ）

u

u u u

u r u u

方向： u r

r

u z

z

r

r

X

1 1 p

1 1

2

u

2 u r 2

u

）

r

r r r

(ru )

r 2

（ 2-47b

r 2

2

z 2

z 方向：

u z

u r

u z u u z

u z u z

r

r

z

u z )

2

2

X z 1

p 1 ( r 1 u z u z

（2-47c ）

z

r r r r 2 2

z 2

由于该流动具有稳态、对称及一维特性，故有

0 ，u r u z0

z

利用上述特点，运动方程（2-47 ）简化为

p u2

r r

2u 1 u u

r 2 r r r 2

由于流动为一维，上式可写成常微分方程

dp u2

（ 1）dr r

d 2u 1 du u

0 （ 2）

dr 2 r dr r 2

式（ 2）的通解为

u C1r C2r 1

利用边界条件

r r0 , u r0

r , u 0

可得C1 0,C2 r02

因此u r02 r

如果令r02

则u

2 r

压力分布为

p

2

C 8 2r 2

由r , p p0 可得 C p0

因此

p p0 2 1

8 2 r 2

4. 试求与速度势2x 5xy 3y 4 相对应的流函数，并求流场中点（－2，5）的

压力梯度（忽略质量力）。

解：（ 1）流函数

2x 5xy 3 y 4

u x

x 2 5 y

y

2 y 5 y2 g ( x)

2

u y 3 5x g

y x x

g 5 x2 3x C

2

∴ 2 y 5 y2 5 x2 3x C

2 2

（2）流场中点（－ 2，5）的压力梯度

忽略质量力，平面稳态流动的Euler方程为

u x u x 1 p

u x u y

x

x y

u y u y 1 p

u x u y

x y y

写成向量形式为

p [( u x u x

u y

u x

)i + (u x

u y

u y

u y) j] x y x y

[(3 5 5x)( 5)i

[(3 5x)i

(2

(2

5y)(

5 y) j ]

5) j ]

∴点（－ 2， 5）的压力梯度为

p ( 2,5) (65i 115 j )

5.粘性流体在两块无限大平板之间作稳态层流流动，上板移动速度为U1，下板移动速度为 U2，设两板距离为2h，试求流体速度分布式。提示：在建立坐标系时，将坐标原点取在

两平行板的中心。

解：流体作稳态流动，速度与时间无关。建立坐标系时，将坐标原点取在两平行板的中

心，并设两板距离为 2h。运动方程可化简为

x 方向0 1 p d 2u x

（ 1）x dy2

y 方向0

1 p

（ 2）g

y

将式（ 2）对y积分得

p gy f ( x) （ 3）

将式（ 3）对x求偏导数，得

p df (x)

x dx

由上式可知， p 对 x 的偏导数与y 无关。

x 方向的运动方程（1）可改为

d 2u x 1 p

（ 4）dy2 x

容易看出，上式右边仅与x 有关，左边仅与y 有关。因此上式两边应等于同一个常数，即

d 2u x 1 p dy2 const

x

积分上式得

1 p y2

u x C1 y C2（5）

x 2

边界条件为

（ 1）y h , u x U 1 ;

（ 2）y h , u x U 2

将边界条件代入式（5）得

C1 U 1 U 2

，C2

U 1 U 2 1 p 2 2h 2 2

h

x

于是速度分布式为

u x h2 p

[1 (

y

) 2 ] U 1 U 2( y) U1 U2

2 x h 2 h 2

第四章

1.某粘性流体以速度 u 0稳态流过平板壁面形成层流边界层，在边界层内流体的剪应力不随 y 方向变化。

（1）试从适当边界条件出发，确定边界层内速度分布的表达式u x u x ( y) ；

（2）试从卡门边界层积分动量方程

d

u x )dy du x

u x ( u0

dy y 0

dx 0

出发，确定x 的表达式。

解：（ 1）由于边界层内du x 不随 y 变化，du

x为常数，速度分布为直线。设

dy dy u x a by 。边界条件为

（ 1） y 0 , u x 0 ； （ 2） y

, u x

u 0

由此可得边界层内速度分布为

u x y

u 0

（ 2）将边界层积分动量方程写成

d u x (1 u x ) dy

u

ys

s

dx 0 u 0 u 0 u 0

2

u 0

则

d

u x (1

u x

) dy

d [

(1

) d ]

1 d

s 2

1

dx 0

u 0

u 0

dx

6 dx u 0

u x

y

)

u 0

s

y

u 0 (

y 0

y

y

故有

1 d

6 dx

u 0

即

d

6

dx u 0

边界条件为

x 0 ,0 ，积分上式得

x

-1/2

3.464 3.464xRe x

2. 不可压缩流体稳态流过平板壁面形成层流边界层，在边界层内速度分布为

u x 3 y1 y 3

( )

( )

u 0

2

2

式中， 为边界层厚度，

4.64xRe x 1/

2

。试求边界层内 y 方向速度分布的表达式 u y 。

解：

3u 0 x

1/ 2

3/ 2

3

u x

y

u 0 x y

3

2 4.64

2

4.64

u 0

u 0

二维稳态层流的连续性方程为

u x u y 0

（ 1）

x

y

u x 3u0 x 1 y 3u0 x 1 y3 3u0 y y 3

] （ 2）x 4 4 3 4 x [ ( )

将式（ 2）代入式（1）积分，得

u y u x dy 3 u

0[

1

(

y

)2 1 ( y)4]

x 4 x 2 4

1.74u0

[( y 2 1 y 4

1/ 2 ) ( ) ]

Re x 2

3. 20 ℃的水以0.1 m/s 的流速流过一长为3m、宽为 1m的平板壁面。试求（1）距平板前缘 0.1m 位置处沿法向距壁面2mm点的流速u x、u y；（ 2）局部曳力系数C Dx及平均曳力

Re x c 5 5

系数 C D；（3）流体对平板壁面施加的总曳力。设10 。

已知水的动力粘度为100.5 10 5 Pa s ，密度为998.2 kg/m 3。

解：距平板前缘0.1m处的雷诺数为：

Re x u0 x 0.1 0.1 998.2 9932.3 2 105

100.5 10 5

流动在层流边界层范围之内。

（ 1）求 y 方向上距壁面2mm处的u x, u y

已知x 0.1m ， y 0.002m , 由式（ 4-15 ）得

y u0

0.002

0.1 998.2

1.993

x 100.5 10 5 0.1

查表 4-1 ，当 1.993 时

f =, f =, f =

由式（ 4-25 ）得

u x u0 f 0.1 0.625 0.0625 m/s

由式（ 4-26 ）得

u y 1 u0 ( f ' f )

2 x

1 0.1 (100.5 10 5 / 998.2)

0.625 0.6457)

2 0.1

(1.993

3.01 10 4 m/s

（ 2）局部曳力系数 C Dx及平均曳力系数 C D

C Dx 0.664 Re x 1 2 0.664 (9932.3) 1/ 2 0.00666

C D 2C Dx 0.01332

（ 3）流体对平板壁面施加的总曳力

F d

C D u 02 A

0.0133 998.2 0.12

1 3 0.199 N

2

2

4. 某粘性流体以速度 u 0 稳态流过平板壁面时形成层流边界层，已知在边界层内流体的速度分布可用下式描述

u x a bsin cy

（1）采用适当边界条件，确定上式中的待定系数

a ,

b 和

c ，并求速度分布的表达式；

（2）试用边界层积分动量方程推导边界层厚度和平板阻力系数的计算式。

解： （ 1） 选择如下边界条件

（ 1） y 0 , u x 0 ；

（ 2） y

, u x

u 0 ；

（ 3） y

u x

,

y

代入得

0 a b sin(0)

u 0 a b sin(c )

u x

bc cos(c ) 0

y

求解得

a 0 ； b

u 0 ； c

2

故

u x

u 0 sin( y )

2

（ 2）

d ( u 0

u x )u x dy

du x

dx

dy y 0

先将速度分布代入，求积分号内的项

( u 0 u x )u x dy

u 02 (1 u x ) u

x dy

u 0 u 0

u 0

2

[1 sin(

y

)]sin(

y

) dy

2

2

2

1 u

[1 sin(

)]sin(

) d

2

2

代入得

u02 1 [ sin( ) sin2 ( )]d

0 2 2

u02 [ 2 cos( ) 2 ( 1 sin )]10

2 4 4

u2 [

2

(0 1)

1

0] u

2

(

2 1

)

0 2 0 2 du x

u

0 cos y u

dy y 0 2 2 y 0 2

d 2 2 1

)

u0

dx u0 ( 2 2

d

2 u0 (

2 1 dx

2

)

1 2 11.46 x 11.46x2

2 u0 u0 x

4.79xRe x 1/ 2

s

C

Dx

u02u0

移项得

2 2

C

Dx

4.79 u0 xRe x1/ 2

0.656Re x1/ 2

u0

5.已知不可压缩流体在一很长的平板壁面上形成的层流边界层中，壁面上的速度梯度

u x

。设流动为稳态，试从普兰德边界层方程出发，证明壁面附近的速度分布可用为 k

y y 0

下式表示

u x 1 p y2 ky

2 x

式中， p / x 为沿板长方向的压力梯度，y 为由壁面算起的距离坐标。

证：对于二维平板边界层，普兰德边界层方程为

u x u x u x 1 p 2 u x

（ 1）x

u y

x y 2

y

由于板很长，可以认为

u x

x

由连续性方程

u x u y x

y

得

u y

y

在平板壁面上， u y

0 ，因此由上式可知，在边界层内 u y 0 。由此可将式（ 1）简

y 0

化为

2

u x 1 p

y 2

x

上式左端是 y 的函数，右端是

x 的函数，二者要相等，必须使得

2

u x

1 p

y 2

＝常数

x

上式积分求解，得

u x

1 p

C 1

y

y

x

u x

1 p 2

C 1 y C 2

2 y

x

由题意，当 y

0 时，

u x k ，故

y

C 1 k

又当 y

0 时，由壁面不滑脱条件，

u x 0 ，故

C 2 0

因此，速度分布为

u x

1 p y

2 ky

2 x

证毕。

6. 不可压缩流体以 u 0 的速度流入宽为 b 、高为 2 h 的矩形通道（ b ? a ），从进口开始

形成速度边界层。 已知边界层的厚度可近似按 5.48 x / u 0 估算，式中 x 为沿流动方向

的距离。试根据上述条件，导出计算流动进口段长度

L e 的表达式。

解：当

h （矩形高度的一半）时，边界层在通道的中心汇合，此时的流动距离

x 即

为流动进口段长度

L e ，故

L e h 5.48

u 0

解得

L e

u

(

h )2 0.033 u 0h 2

5.48

或

L e

0.033

h

Re

式中

Re

u 0

h

第五章

1. 20 ℃的水在内径为 2m 的直管内作湍流流动。测得其速度分布为u x

在离管内壁 1/3 m 处的剪应力为 103Pa ，试求该处的涡流运动粘度及混合长。

已知 20℃水的密度为 kg/m 3

，动力粘度为× 10 -3 Pa s 。

解：（ 1）涡流运动粘度

t ( )

du x yx

dy

du x d (10 0.8ln y) 0.8 0.8 2.4 s -1

dy dy

y

0.333

式（ 2）代入式（ 1）并整理得

t 103 1.005 10 3

yx

du x

998.2 2.4

998.2

dy y 0.333

4.30

10 2 m 2 /s

已知

/

1.005 10 3 / 998.2 1.007 10 6 m 2 /s 。可见，离管内壁

扩散系数与涡流扩散系数相比，可以忽略不计。

（ 2）混合长

忽略粘性应力，则

r t l 2

du x 2

yx

yx

( dy )

t

1/ 2

103

l

(du x yx

2

(

2 )1/2 0.1338m

/ dy)

998.2 2.4

其值约为管半径的％。

2.

温度为 20℃的水流过内径为

50mm 的圆管。测得每米管长流体的压降为

10 0.8ln y ，

（ 1）

（ 2）

1/3 处的粘性

1500N/m 2，试

证明此情况下流体的流动为湍流，并求

（ 1）层流底层外缘处水的流速、该处的y 向距离及涡流粘度；

（ 2）过渡区与湍流主体交界处流体的流速、该处的y 向距离及涡流粘度。

解：由物性表查得20 ℃水的物性：＝ 998.2kg/m 3，100.5 10 3 Pa s

s

p

r i 1500 0.05/ 2 18.75 N/ m 2 2L 2

u s 18.75

0.137 m/s 998.2

u b u (2.5 ln ru

i 1.75)

0.137 2.5 ln 0.025 0.137 998.2 1.75 3.02 m/s

100.5 10 5

Re d du b 0.25 3.02 998.2 1.5 105 1 104，故为湍流。

100.5 10 5

（ 1）层流内层外缘处

∵u y 5

∴u u y 5u 5 0.137 0.685 m/s

u y

y

y b 5 5 5 100.5 10 5 3.67 10 5 m

u u 998.2 0.137

0（层流内层只有粘性力）

（2）过渡区与湍流主体交界

处u 5.0lny 3.05

5.0 ln30 3.05

＝

u 13.956 u 13.965 0.137 1.912 m/s

y ＝ 30 ＝6

b 2.2 10 4 m

m u

s (1 y

) 18.75 (1

22 10 4 2 r i

) ＝ m

0.025

∵

du

dy

∴

( du )

1

dy

将 u

5.0lny 3.05 写成

u

y u 3.05

u

5.0ln

或

yu

u

5.0

u ln

3.05

u

du 5.0u

dy

y

(5.0u

) 1

y

y

5.0u

18.58

22 10 4

998.2 5.0 0.137

6.0

6

2

10 m /s

3. 试应用习题 7 中的己知数据，求 r

r i / 2 处流体的流速、涡流粘度和混合长的值。

解： y

y u

r i u

0.025 0.137

998.2

2 2 100.5 10 6

1.7 104 30 为湍流主体区

u

2.5ln y 5.5 2.5 ln 1.7 4

10 5.5

29.85

u u u

29.85 0.137 4.09 m/s

s (1

y s (1

r i / 2 1

)

)

s

r i

r i 2

1 18.75 9.375 N/ m

2 2

同上题方法推导

du 2.5u

dy ，故

y

( du ) 19.375 y 9.375 0.025/ 2 3.43 10 4 m 2 /s dy 998.2 2.5u 998.2 2.5 0.137

l 2 du

dy

l( du

)y

dy25u

3.43 10 4 0.025/ 2 3.54 10 3 m

2.5 0.137

4.利用流体阻力实验可估测某种流体的粘度，其方法是根据实验测得稳态湍流下的平

均速度 u b及管长为 L 时的压降 ( p) 而求得。试导出以管内径d、流体密度、平均流速 u b 和单位管长压降p / L 表示的流体粘度的计算式。

解：设流体在管内湍流且流动充分发展，则

f 0.046Re 0.2

而p 4 f L u b2 40.046 ( du

b)0.2

L

u b2

d 2 d 2

0.0920.2 d 1.2 u1b.80.8 L

移项并整理得

d1.2 5

( p / L)

0.8 1.8

0.092u b

5.假定平板湍流边界层内的速度分布可用两层模型描述，即在层流底层中，速度为线

性分布；在湍流核心，速度按1/7 规律分布，试求层流底层厚度的表达式。解：

层流底层很薄，故有

du x u x

（ 1）s

dy y

平板湍流壁面剪应力又可由式（5-56 ）表示，即

u0 1/ 4

s 0.023 （ 2）

u02

以上两式联立得到

u x 0.023 u02 ( u

0 ) 1/ 4 y （ 3）

令层流底层厚度为b，其外缘与湍流核心接壤处的速度为u l，则上式可写成

2

u l

0.023

u0

( u 0

) 1/ 4

b

（ 4）

或写为

b

1 u l

)( )

3/ 4

(

u 0 （ 5）

0.023

u 0

另一方面，湍流核心的速度可用

1/7 次方定律描述，即

u x ( y )

1/ 7

u 0

在两层交界处，有

u l ( b ) 1/ 7

u 0

或写成

b

( u l

)7

（6）

u 0

式（ 5）与式（ 6）联立得

u l

1.875() 1/ 8

1.875Re b 1/ 8

u 0

u 0

将

0.376( xu 0

)

1/5

代入上式，可得

x

u l 2.12( )1/10 2.12Re x 1/10 （ 7）

u 0

u 0 x

将式（ 7）代入式（ 6）中，得

b

192.5Re x 7 /10

再将

0.376( xu 0

) 1/ 5 代入上式，可得

x

b

(

b

)( ) (192.5Re x 7 /10 ) (0.376Re x 1/ 5 ) 72.4Re x 9/10

x

x

6. 20 ℃的水在内径为 2m 的直管内作湍流流动。测得其速度分布为u x

在离管内壁 1/3 m 处的剪应力为 103Pa ，试求该处的涡流运动粘度及混合长。

已知 20℃水的密度为 kg/m 3，动力粘度为× 10 -3 Pa s 。 解：（ 1）涡流运动粘度

t ( du x

yx

)

10 0.8ln y ，

（ 1）

dy