虚功原理的理解
材料力学虚功原理的理解：
整个体系运用虚位移原理：
::e i e i W W W W +=外力对体系虚位移所作的虚功内力对体系虚位移所作的虚功
e W 即为虚功原理方程左边式
i W 想通过积分获得：
取微段分析，内力转化为所谓的“外力”，对微段运用虚位移原理，微段虚位移可分为刚体虚位移和变形虚位移，“外力”对微段的虚位移所做的虚功仅有对变形虚位移所作的功（另一项可运用刚体的虚位移定理得为0），0e i W W +=，体系整段内力对体系虚位移所作的虚功为~i W blur =-?，注意微段对变形虚位移所作的功计算中忽略了高阶微量。 结构力学虚功原理的理解:
思想：虚功的两种不同计算方法，使得等式左右两边相等。
虚功定义：
2W =?力（状态一）与力同方向的位移（状态）
计算方法1：
同样取微段分析，通过积分或求和得到最后结果
状态1相邻两微段内力大小相等，方向相反，对应位移相同(位移连续)，做功正好抵消，第二项为0。
计算方法2：
同样取微段分析，通过积分或求和得到最后结果
比较两种不同方法的高阶约去量。
理论力学课后答案第五章周衍柏
第五章思考题 5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题,有何优点和缺点? 5.2 为什么在拉格朗日方程中，a θ不包含约束反作用力?又广义坐标与广义力的含义如 何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲? ５.３广义动量a p 和广义速度a q 是不是只相差一个乘数m ?为什么a p 比a q 更富有意义? 5.4既然a q T ??是广义动量,那么根据动量定理,??? ? ????αq T dt d 是否应等于广义力a θ?为什么在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了a q T ??项?你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗? 5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系?如为不完整系,能否由式()13.3.5得出式()14.3.5？ 5.6平衡位置附近的小振动的性质,由什么来决定？为什么22s 个常数只有２s 个是独立的？ 5.７什么叫简正坐标?怎样去找?它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动? 5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同?能否列出它们的微分方程? 5.9 dL 和L d 有何区别？a q L ??和a q L ??有何区别？ 5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗?为什么?能适用于非保守系吗？为什么? ５.１1哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量?试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？ 5.1２何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何? 5.１3哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到积分号外?又全变分符号?能否这样? ５.１4正则变换的目的及功用何在?又正则变换的关键何在？ 5．1５哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤. ５.16正则方程()15.5.5与()10.10.5及()11.10.5之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得出后者？ 5.17在研究机械运动的力学中，刘维定理能否发挥作用？何故? 5.1８分析力学学完后,请把本章中的方程和原理与牛顿运动定律相比较,并加以评价.
结构力学虚功原理最小势能原理解题示例
最小势能原理、虚功原理解题示例 最小势能原理：在给定外载荷的作用下，对于稳定平衡系统，在满足位移边界条件的所有各组位移中，实际位移使弹性系统的总势能最小。 例2.1如图2.1所示桁架结构，各杆的横截面积均为A ，弹性模量均为E ，在节点1处作用水平集中力P ，试用最小势能原理求各杆的内力。b5E2RGbCAP 图2.1 解：令在外力作用下，节点1在x 向的位移为x u ，在y 向的位移为 y u 。 则有： 杆应变能的表达式为： 2 2EA U L L = ?
则系统的总势能为： ()()()() 222220.60.80.4470.8942 2.52 2.2360.4470.8942 2.2360.1610.1920.486i x x y x y x y x x x y y x U Pu EA EA u u u u a a EA u u Pu a EA u u u u Pu a ∏=-=-+-??+---?=-+-∑ 由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有： 0;0x y u u ?∏?∏ ==?? 即： ()()0.3230.19200.1920.9720x y x y EA u u P a EA u u a --=-+= 解得： 3.510.694x y Pa u EA Pa u EA == 杆的内力可由公式： EA N L L = ?求得，故各杆的内力为： 1213140.620.4250.979N P N P N P ---===- 例2.2如图2.2所示的梁，其上作用有均布载荷q ，试用最小势能原理求其挠度曲线。
图2.2 解：令梁的挠度函数为()x ω，它必须满足以下几个条件： 1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件； 2、由于有均布载荷q 的作用，故()x ω应为x 的4次多项式。 故，考虑到梁左侧为固支，可设： ()() 22012x x a a x a x ω=-- 梁右侧需满足： ()|0 x L x ω== 且梁右侧没承受弯矩，有： () 220 x L d x dx ω==<力的边界条件） 代入边界条件，有： ()342 120.60.4x x L a L x L L ω??=-+ ? ?? 等截面梁的弯曲应变能表达式为： 2 220 1 2L z d U EJ dx dx ω??= ??? ? 【根据平面假设，梁在受弯曲变形后，其横截面仍保持为平面，它一方面有挠度()x ω，一方面横截面在梁变形过程中旋转了一个角 度d dx ω ，由于该转角的存在，使得距离中性轴为 y 处的x 方向的位移
从虚功原理推导平面三角单元刚度矩阵
平面问题的三角形单元 ——从能量原理推导刚度矩阵 一、虚功原理 1.1虚功 如果使力作功的位移不是由于该力本身所引起，即作功的力与相应于力的位移彼此独立，二者无因果关系，这时力所作的功称为虚功。这个位移称为虚位移。 1.2虚位移 虚位移指的是弹性体（或结构系）的附加的满足约束条件及连续条件的无限小可能位移。所谓虚位移的"虚"字表示它可以与真实的受力结构的变形而产生的真实位移无关，而可能由于其它原因（如温度变化，或其它外力系，或是其它干扰）造成的满足位移约束、连续条件的几何可能位移。对于虚位移要求是微小位移，即要求在产生虚位移过程中不改变原受力平衡体的力的作用方向与大小，亦即受力平衡体平衡状态不因产生虚位移而改变。 1.3虚功原理 处于平衡状态的变形体发生虚位移后，全体外力在对应虚位移所作的外力虚功的等于内力在对应的虚应变上所做的内力虚功。 对于一个单元的虚功原理的数学表达式为： {} {}{}{}**T T F d εσΩ?=Ω??? （1-1）
二、平面三角形单元相关矩阵 2.1平面三角形单元得几何和节点描述 3节点三角形单元如图5.1所示。3个节点得编号分别为i、j、m，各自得位置坐标为（）,（），（），各自节点在x方向和y方向的位移为（）,（）,（）。 图2-1 2.2三角形单元的位移矩阵 对于图5.1所示的平面3节点三角形单元，其位移矩阵为： (2-1)
2.3三角形单元的应变矩阵 把位移函数u,v代入几何方程，写成矩阵的形式，则单元上任一点的应变为： （2-2） 式（2-16）表示单元节点位移与单元应变的关系。 令 （2-3） 则 （2-4）矩阵称为应变矩阵。 将其分块可写成： （2-5）式（2-5）表示应变矩阵为常数矩阵，再次证明三节点三角形单元为常应变单元。 2.4 三角形单元的应力矩阵 由物理方程： 解得： 用矩阵表示： （2-6）令：
虚功原理(物理竞赛)教学内容
虚功原理(物理竞赛)
§2、虚功原理 上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概 念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：0=?∑i r i F ρ?δ。虚功 原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。 三、应用虚功原理解题： 例1、如图所示，有一质量为m ，长度为λ的刚性杆子，靠在墙上，在与地 面接触的B 端上受一水平向左的外力F ρ，杆子两 端的接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角 时，要使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B 端上的力F ρ有多大？求F ρ=？ 解：由题意可知它是一个静力学问题，而且 接触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解 这个问题。这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。②找主动力：作用在我们所选取的系统上的主动力有几个？有 两个。一个是水平作用力F ρ，还有一个是重力m g ρ作用在杆子的质心上。因为杆 子两端A 、B 处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚
功方程。列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。这种 方法既方便而又不容易搞错。在列方程时必须要注意这个问题。∵F ρ的方向与其 作用点的坐标X 的正方向相反，∴F 取负而δX B 取正，∴此力的虚功为负的，即： 0=--C B y mg x F δδ……①，由于虚功方程中的两个虚位移不是相互独立的，∴我们还需要将它们化成独立变量，然后才能令独立虚位移前的乘数等于零，从而求 出最后的结果。我们从图上很容易得出：αcos l x B =,αsin 2 l C y =。则αδαδsin l x -=，对C y 变分则有：αδαδcos 2 l C y =，将它们代入①式就可得到：0]cos sin [21 =-αδααδαmgl Fl →0)cos sin (21=-δ αααmgl Fl ，∵δα是独立的，可以使它不等于零。∴δα之前的乘数应该等零，故有： 0cos sin 21 =-ααmgl Fl 。于是就可解得题目所要求的结果为：αmgctg F 21=。对 于这个问题，如果按位移的实际方向与力的方向确定虚功正负的话，将会得出这 样的结果，设想杆子在F ρ的作用下向里有一虚位移，∵F ρ的方向与虚位移方向相 同，∴F ρ是作正功的，应该为正的。而重力m g ρ的方向与力的作用点的位移δy C 的方向相反，∴重力的功是负的，于是得到的结果：0=-C B y mg x F δδ是错的。对这个简单例子的求解主要是说明了应用虚功原理的解题步骤。由上面的求解过程可以看出，应用虚功原理解题的步骤一般是：第一步先找出所要考虑的质点组或者刚体，也就是1、找出所要研究的系统。2、找出系统所受的主动力。3、列出虚功方程。列出的虚功方程中的虚位移里的坐标不一定要独立，虚功的正负号很重要，要正确判断。我们还是以所选坐标的正方向为标准，也就是上面解题时所采用的方法。另外还得注意：计算虚功的参考系必须是静止的。4、虚功方程
虚功原理(物理竞赛)
§2、虚功原理 上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概 念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：0=?∑i r i F δ。虚功 原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。 三、应用虚功原理解题： 例1、如图所示，有一质量为m ，长度为 的刚性杆子，靠在墙上，在与地面 接触的B 端上受一水平向左的外力F ，杆子两端的 接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角时，要 使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B 端上的力F 有多大？求F =？ 解：由题意可知它是一个静力学问题，而且接触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解这个问题。这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚 地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。②找主动力：作用在我们所选取的系 统上的主动力有几个？有两个。一个是水平作用力F ，还有一个是重力m g 作用在杆子的质心上。因为杆子两端A 、B 处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚功方程。列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。这种方法既方便而又不容易搞错。在列方程时必须要注意这个问 题。∵F 的方向与其作用点的坐标X 的正方向相反，∴F 取负而δX B
3c 虚功原理推导单元刚度矩阵
§3-3 虚功原理推导梁单元的（单元）刚度矩阵 设在力P 的作用下，梁单元i-j 的两端点分别发生了线位移和角位移，用{}e δ来表示梁单元的端点位移（又称结点位移）： { }{}T e i i j j v v δθθ= 使梁单元发生结点位移{}e δ的单元结点力（杆端力）为： { }{}T e i i j j F F M F M = 根据材料力学，如果已知梁的两端点位移，则可求出等截面梁上任意一点的位移（挠度）。即梁上任意一点的位移v(x)可以用{}e δ表示出来，设二者的关系为： {}1234()()()()(){}{} i i T e j j v v x N x N x N x N x N v θδθ?? ???? ==???????? 又设由于某种其他原因，该梁发生了变形，引起梁单元○ e 两端点的位移为（用向量形式表示）： { } * * {}j e i i j v v δθθ= 梁中任意一点的位移为：
{}* ** 1234()()()()(){}{}i i T e j j v v x N x N x N x N x N v θδθ?????? ==???????? 相对于力P 引起的位移v(x),称v*(x)为虚位移 计算梁单元○ e 的外力虚功和内力虚功 对梁单元来说，两端点的力即是外力，则外力虚功为： **{}{}({}){}e T e e T e ex W F F δδ== 内力虚功 = 虚应变能 2*22* * 222in l l l d v dv dv d v W M d EI d EI dx dx dx dx dx θ??=== ??? ??? ∵ 2 22 2 2 312 422 222{''}{}{}[]{}T T e e e d N d N d N d N d v N B dx dx dx dx dx δδδ?? ===???? 22222** **312422 2 2 2 {''}{}{}[]{}T T e e e d N d N d N d N d v N B dx dx dx dx dx δδδ??===???? ∴ ****[]{}[]{}{}[][]{}{}[][]{}{}[]{} e e in l e T T e l e T T e l e T e e W EI B B dx B D B dx B D B dx k δδδδδδδδ====??? 式中： [][][]e T l k B D B dx =? 虚功原理：系统保持平衡状态的充要条件是外力虚功=内力虚功 即： ex in W W = **{}{}{}[]{}e T e e T e e F k δ δδ= 而虚位移为任意、不为零，所以上式等价于：
理论力学课后答案第五章
第五章思考题 5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？ 5.2 为什么在拉格朗日方程中，a θ不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲? 5.3广义动量a p 和广义速度a q &是不是只相差一个乘数m ？为什么a p 比a q &更富有意义？ 5.4既然 a q T &??是广义动量，那么根据动量定理，???? ????αq T dt d &是否应等于广义力a θ？为什么 在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了a q T ??项？你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗？ 5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式()13.3.5得出式 ()14.3.5？ 5.6平衡位置附近的小振动的性质，由什么来决定？为什么22s 个常数只有2s 个是独立的？ 5.7什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动？ 5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同？能否列出它们的微分方程？ 5.9 dL 和L d 有何区别？ a q L ??和a q L ??有何区别？ 5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系吗？为什么？ 5.11哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量？试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？ 5.12何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？ 5.13哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到积分号外？又全变分符号?能否这样？ 5.14正则变换的目的及功用何在？又正则变换的关键何在？ 5.15哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤. 5.16正则方程()15.5.5与()10.10.5及()11.10.5之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得出后者？ 5.17在研究机械运动的力学中，刘维定理能否发挥作用？何故？
理论力学第七章题解
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理论力学题解 第七章思考题 7.1. 建立适当的坐标系，单摆悬挂点A始终在轴上，摆锤为 B，摆长，则摆锤的约束方程为：， ，，。可见， 摆锤受完整、双侧、非稳定约束。是否受理想约束，要视悬挂点的约束情况而定。b5E2RGbCAP 7.2. 轮I、II、III的转角可唯一确定力学系统的位置， 被确定后，轮I及绳的位置被确定，确定后，轮II轮III 的位置随之确定。为系统的广义坐标。系统的自由度为 3。p1EanqFDPw 7.3. 由于约束方程可积，积分为：<为积分常 数），所以该约束属于完整约束。 7.4. 7.5. 7.6. <1）由于已知平板的运动规律，所以圆轮与平板的接触点的虚位移<相对固定平面）＝<相对平板）＋<平板牵连运动引起 的）中的。又因圆轮作无滑滚动，因此。于是圆轮所受 约束力的虚功之和，圆轮受理想约束。<2）由于平 板运动规律没有预先给定，，，圆轮 受到非理想约束。如果以圆轮和平板作为一个系统，约束力的虚功之和为零，系统受理想约束。DXDiTa9E3d
7.7. 7.8. 7.9. 因<是质点1相对质点2的相 对虚位移）。所以或，都会导致两约束力的虚功之和 为零。 7.10. 7.11. 第七章习题 7.1. 杆的自由度为1，以杆与水平方向的夹角作为广义坐标，根 据虚功原理， 匀质杆AB始终在平面内，A端靠在墙上，B端在一光滑曲面上，如图所示。若无论B在何处杆均受力平衡，求曲面方程。 如图所示，四根相同的长度为l的光滑轻杆由铰链连接成菱形，一轻绳系在两对角线之间，下部挂一重量为P的重物，系统放置于两根等高相距为2a（2a<2l）的杆上，求绳中的张力？（φ角已知） 如图所示，一竖立在竖直平面内的半圆空心管，管内刚好装有2n个光滑小珠子，已知每个珠子重力为W，求第i个珠子与第i+1个珠子的作用力Ni。 如图所示，一个外半径为R1，内半径为R2的圆柱形电容器，竖直地插进相对介电常数为εr 的密度为ρ的电解液中，若将电容器接上电压为U 的电源，求电解液中液面上升的高度 第一题，常规做法用受力分析，建立水平竖直方向平衡方程，暴力解之。（约束力合力沿法向） 能量方法，利用随遇平衡，势能V 恒不变，解得y=f(x)。（具体见高妙） 虚功原理：因为此题为理想约束，主动力为重力，虚位移中主动力做功为0，即 P δyc=0 yc=常量 由几何关系：yc=y+22 2 1x l - 故yc=y+ 22 2 1x l -=常量 因x=0时y=0，故常量=2 1 故y=21??? ?????? ?? ??--2x 11l 第二题，直接虚功原理…… 建立如图所示坐标系，把绳子忽略，于是两个拉力变为主动力T ，另一个主动力为P ，约束为理想约束，则有： x A =lsin ? ?δ? δc o s x l A =………………………………………..① ? δ? ?δ??δ?2 sin sin 2cot cos 2a l y a l y P P +-=-=……………….② 由虚功原理得：-2T P A P y x δδ+=0 将①②代入，得T=P ? ?? ? ?? -???tan cos sin 22l a 第三题 设任意珠子的球心到管的圆心为OO ’长度为R ，前面i 个球为系统质心为C ，设CO 长度为 L 。 由虚功原理：N ()θθθθαd W d L iW d d R cos i sin cos i == 其中α=n 4π 即N α θ cos cos i R iWL = 现在的目的就是求质心的位置函数L 和θ 由对称性已知角度θ= ααi i =22 1 求L 用旋转矢量，如图所示 I 个大小为mR 、方向一次相差角度2α的矢量和的大小应该为imL 有：()()α αααsin sin sin sin 22 imL i i R L i mR ==即 第五章 思考题 5．1 虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理解平衡问题，有何优缺点？ 答：“虚功”是指作用在质点上的力（包括约束反力），在任意虚位移过程中所做的功。因虚位移是假想的位移，所以虚功也是假想的功。不一定是质点在任何真实运动中力实际所完成的“真实功”。而虚功原理中的“虚功”只包括所有主动力的“虚功”，不包括约束反力的“虚功”，因为根据理想约束的条件： ∑==?n i i i 1 0r R δ， 即作用在一力学体系上的所有约束反力在任意虚位移中所做的虚功之和为零。 用虚功原理解平衡问题时，约束反力自动消去，这是它的优点。但因此就不能直接用它来求约束反力，这是它的缺点。 5．2 为什么在拉格朗日方程中，αQ 不包括约束反作用力？又广义坐标及广义力的含义为何？我们根据什么关系可以由一个量的量纲定出另一个量的量纲？ 答：决定力学体系的位置状态的独立参数叫广义坐标。广义坐标不一定是长度，也可以是角度、面积或体积等。与广义坐标对应的广义力定义为： ∑=??? =n i i i q Q 1 α αr F 它可以是力或力矩，也可以是其它物理量。我们根据关系：∑==s q Q W 1 αααδδ，可 由广义坐标的量纲定出广义力αQ 的量纲（功的量纲已知）。 根据广义力的定义，我们可以计算与约束反力相应的广义力： ∑=??? =n i i i R q Q 1 α αr R 但理想约束条件：0)(1 1111=???=???=?∑∑∑∑∑=====ααααααδδδq q q q n i i i s n i s i i n i i r R r R r R i ，由于 αδq 是独立的，所以有：),2,1(01 s q Q n i i i R ==??? =∑=αα αr R 。我们看到，只要 满足理想的约束条件，约束反力对广义力的贡献为零。因此，αQ 中不包含约束反力。 5．3 广义动量αp 和广义速度αq 是不是只相差一个乘数m ？为什么αp 比αq 周衍柏理论力学教学总结 篇一：理论力学总结 理论力学总结 姓名：黄亚敏班级0911物理学学号：20XX110102指导老师：夏清华前言：学习一门课程很重要的一个环节就是总结，这样才能知道自己学到了什么，还有那些不了解，还有哪些地方需要再进一步的学习，同时还可以总结出一些好的学习方法和学习习惯，这样皆可以运用到其他方面上。 初看周衍柏《理论力学》一书，只觉得满书全是数学公式，比如第一章质点力学中的极坐标系中的速度、加速度的分量表达式，对我来说就是一个大困难，怎么就弄不明白为什么 ?didt??did?d?dt ????j ， ? djdt ? ?djd?d?dt ?????i?，即曲线上的某点p的沿位矢方向的坐标i对 时间t求导之后为另一方向单位矢量，自己看的时候很不能理解，后 来经过推导之后发现确实是这样的，后来自己又推导一遍，发现是正确的，是数学上的微分运算 ?? 因为我开始的错误理解是:i与时间没有关系，因为在直角坐标系中，并没有对i求??? 导，但是不同的是，在直角坐标系中，单位矢量i，j，k是不变的，但在极坐标中，?? 单位矢量i，j的量值虽然为1，但方向一直随着位矢的方向的变化而变化，所以这????? ?里的单位矢量i，j是一个变量。求得的速度加速度表达式为v??ri??rj，??? 2??????)ja?(??r?r?)i?(r??2r ，还可以用自然坐标算出加速度，表达式简单一些，但前 ??ds? v?vi?i dt 提是要清楚曲线的曲率半径?，才会简化加速度表达式，为 ?? 2?2?dvdsdsdidv?v? a??i??i?j2 dtdtdtdtdt? ， 第十一章弹性力学的变分原理知识点 静力可能的应力 弹性体的功能关系 功的互等定理 弹性体的总势能 虚应力 应变余能函数 应力变分方程 最小余能原理的近似解法扭转问题最小余能近似解有限元原理与变分原理有限元原理的基本概念有限元整体分析几何可能的位移 虚位移 虚功原理 最小势能原理 瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz)法 伽辽金(Гапёркин）法 最小余能原理 平面问题最小余能近似解 基于最小势能原理的近似计算方法基于最小余能原理的近似计算方法有限元单元分析 一、内容介绍 由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题，只能采用半逆解方法得到个别问题解答。一般问题的求解是十分困难的，甚至是不可能的。因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。 变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基本方程的定解问题，转换为求解泛函的极值或者驻值问题，这样就将基本方程由偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。变分原理不仅是弹性力学近似解法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。 本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理，并且应用变分原理求解弹 性力学问题。最后，将介绍有限元方法的基本概念。 本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习附录3或者查阅参考资料。 二、重点 1、几何可能的位移和静力可能的应力； 2、弹性体的虚功原理； 3、 最小势能原理及其应用；4、最小余能原理及其应用；5、有限元原理 的基本概念。 §11.1 弹性变形体的功能原理 学习思路: 本节讨论弹性体的功能原理。能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。而功能关系是能量原理的基础。 首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力 和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。 建立弹性体的功能关系。功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。 学习要点： 1、静力可能的应力； 2、几何可能的位移； 3、弹性体的功能关系； 4、真实应力和位移分量表达的功能关系。 1、静力可能的应力 假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。表面积为S可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为S u；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ 。如图所示 Δ C Δ Cy Δ Cx iP 静定结构结构位移计算 §4.1 应用虚力原理求刚体体系位移 1、 结构的位移： 结构在荷载作用下，要产生内力和变形，结构的变形引起结构的位移，位移一般分为线位移和角位移两种，线位移是指结构上点的移动，角位移是指杆件横截面产生的转动。 2、 产生位移的主要原因 产生位移的主要原因主要由上述三种：①荷载作用、②温度改变和材料胀缩、③支座移动和制造误差。 (1)荷载使静定结构产生内力、变形、位移； （2）温度改变或材料胀缩使静定结构不产生内力、但能产生变形、位移； （3）支座移动或制造误差使静定结构不产生内力变形、但能产生位移； §4.2 结构位移计算的一般公式 如结构在荷载、温度改变、支座移动等因素作用下而发生了图1所示变形和位移，这是结构的实际的位移状态。要利用虚功方程求位移Δi2（状态②中i 方向的位移）。应先虚拟力状态：在欲求位移处沿着求位移的 方向，加上与所求位移相应的广义单位荷载（如图2）。求出虚拟力状态的内力和反力。由虚功方程，即得平面杆系结构位移计算的一般公式： 该式适用于：①静定结构和超静定结构； ②弹性体系和非弹性体系； ③各种因素产生的位移计算。 4.3 荷载作用下的位移计算 如果弹性体系由荷载产生了内力（M P ，N P ，Q P ）， 而内力产生的变形可由材料力学公式得到： (a ) M P M (b ) 注意：1．该式可用来求弹性体系由荷载产生的位移；2．该式既用于静定结构也用于超静定结构；3．第一、二、三项分别表示弯曲变形、轴向变形、剪切变形产生的位移；4．结构不同简化为： 梁、刚架只考虑弯曲变形： 桁架只有轴向变形： 组合结构： 对于具有弹性支承和内部弹性联结的结构，在位移计算公式中应增加一项弹性力的虚功项：N i N P /k ，N i ，N P 分别为虚拟状态和实际状态中弹性支承和内部弹性联结的弹性力，两者方向一致时，乘积为正，否则取负，k 是弹性支承和内部弹性联结的为刚度系数。 虚拟力状态：在欲求位移处沿着求位移的方向，加上与所求位移相应的广义单位荷载。虚拟广义单位荷载必须与拟求的广义位移相对应。最常见的几种情形如 下图所示。 §4.4图乘法 1、 图乘公式： 在计算梁和刚架的位移时，可将积分式化成单位弯矩图和荷载弯矩图相乘。即： 几点注意： 1．ω--为一个弯矩图的面积；y 0--为另一个弯矩图中的竖标。 2．图乘法的适用条件：a ）EI=常数；b ）直杆；c ）单位弯矩图和M P 至少有一个是直线形 3．竖标y 0必须取在直线图形中，对应计算面积的图形的形心处； 4．当单位弯矩图和荷载弯矩图在基线同侧时，ωy 0>0；否则，取ωy 0<0； 5．当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a ）曲杆或EI=EI （x ）时，只能用积分法求位移；b ）当EI 分段为常数或单位弯矩图、荷载弯矩图均非直线时，应分段图乘再叠加； 6．几种常见图形的面积及形心位置公式： §5、2虚功原理（虚位移原理） 一、虚位移和实位移 实位移：由于运动而实际发生的位移 dt v r d = 对应时间间隔dt ，同时满足运动微分方 程 虚位移：t 时刻，质点在约束允许情况下可能发生的无限小位置变更 虚位移是可能位移，纯几何概念（非运动学概念），以i r δ表示 （1）特点（本质）：想象中可能发生的位移，它只取决于质点在t 时刻的位置和约束 方程，并不对应一段时间间隔（)0=t δ，它是一个抽象的等时变分概念 （2）直观意义（求法）： 对于非稳定约束，在t 时刻将约束“冻结”，然后考察在约束允许情况下的 可能位移，即视约束方程中的t 不变（)0=t δ，对约束方程进行等时变分运算（同微分运算，注意)0=t δ即可得虚位移； 对于稳定约束，由于约束方程中不显含t ，“冻结”已无实际意义，等时变 分运算与微分运算完全相同。 Example 质点被限制在以等速u 匀速上升的水平面内运动， 约束方程为 0=-ut z 0=z δ udt dz = （3）实位移是唯一的，虚位移可若干个； 对稳定约束，实位移为若干个虚位移中的某一个； 对非稳定约束，实位移与虚位移不一致。见273p 图5.2－1 二、理想约束 实功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在实位移r d 中所作的功 dW 虚功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在任意虚位移r δ中所作的功 W δ 其中 i R 为第i 个质点受的约束力 若 ∑ =?i i i r R 0 δ 体系所受诸约束反力在任意虚位移中所作元功之和等于零?理想约束 例如 光滑曲面、曲线约束，刚性杆，不可伸长的绳索等 刚性杆约束 022112 111='+'-=?+?r f r f r f r f δδδδ （21f f -= 21f f =； 2 1r r '='δδ 刚性杆约束所允许） 由于引入了虚位移，巧妙的消取了约束反力（优点 亦是缺点） 三、虚功原理（分析力学重要原理之一）（受约束力学体系的力学原理之一） 体系受k 个几何约束，在主动力和约束力的共同作用下处于平衡状态，则其中每个质点均处 于平衡状态，即 0=+i i R F （2,1=i ……)n 0=?+?i i i i r R r F δδ? 对系统求和? 1、关于虚功原理的理解中，错误的是（） 1.虚功原理是用动力学的概念和方法去解决力学体系静力学的平衡问题，其重要意义 当建立复杂的动力学系统的平衡条件时，不考虑约束反力，只考虑主动力。 2.用虚功原理求解学体系静力学的平衡问题可以使问题大简化。 3.虚功原理的缺点是不能求约束反力。 4.虚功是作用在质点上的力(包括约束反力)F在任意虚位移中做的功，对于理想约束， 束反力做的虚功为零。 2、一力学系统有两个质点组成，它们之间只有引力作用，若两质点所受外力的矢量和为零，则系统（） 1.动量、机械能守恒，但角动量是否守恒不能判定 2.动量和角动量守恒，但机械能是否守恒不能判定 3.动量、机械能以及对一轴的角动量守恒 4.动量守恒，但机械能和角动量是否守恒不能判定 3、处于转动参考系中的物体，可能会受到的惯性力有 1.以上三者都是 2.科里奥利力 3.离心惯性力 4.转动参考系变角速度转动引起的惯性力 4、某空间力系若各力作用线分别平行两固定点的连线，则其独立平衡方程式的最大数目分别为（）个 1. 5 2. 3 3. 2 4. 4 5、 1.机械能不守恒、角动量守恒 2.机械能、角动量都不守恒 3.机械能守恒、角动量不守恒 4.机械能、角动量都守恒 6、如图所示，质量为m的两个物体A, B, 用一根细绳和一根轻弹簧连接并悬于固定点O，开始时系统处于平衡 1. 2g, 0 2. g, 2g 3. g, 0 4. g, g 7、下列关于地球自转所产生的影响中，错误的是： 1.傅科摆的进动； 2.落体偏东； 3.右岸冲刷； 4.在南半球，低压区形成左旋的气旋，高压区形成右旋的气旋。 8、力系合力在某坐标轴上的投影等于该力系中( )。 1.各分力在该坐标轴上投影的代数和 2.各分力的矢量和 3.合力在该坐标轴方向的分力 4.合力的大小 9、下列关于虚位移的说法，错误的是 1.稳定约束下，实位移是许多虚位移里面的一个 2.虚位移除受到约束的限制外，还要受到运动规律的限制 3.对不稳定约束来讲，实位移与虚位移并不一致 4.虚位移只能有一个 10、在气锤打桩过程中，要求系统动能损失（） 1.越小越好 2.越大越好 思考题 1.5、dt d r 和dt dr 有无不同？dt d v 与dt dv 有无不同？试就直线运动与曲线运动分别加以讨论。 答： dt d r 即反应位矢r 大小的改变又反映其方向的改变，是质点运动某时刻的速度矢量，而 dt dr 只表示r 大小的改变。如在极坐标系中，j i r θ r r dt d +=而r dt dr =。在直线运动中，规定了直线的正方向后， dt d dt dr r =。且dt dr 的正负可表示dt d r 的指向，二者都可表示质点的运动 速度；在曲线运动中 dt d dt dr r ≠，且dt dr 也表示不了dt d r 的指向，二者完全不同。 dt d v 表示质点运动速度的大小，方向的改变是加速度矢量，而dt dv 只是质点运动速度大小 的改变。在直线运动中规定了直线的正方向后，二者都可表示质点运动的加速度；在曲线运动中，二者不同， ττa dt dv a a dt d n =+=而,v 。 2.5、水面上浮着一只小船。船上一人如果向船尾走去，则船将向前运动。这是不是与质心运动定理相矛盾？试解释之。 .答：不矛盾。因人和船组成的系统在人行走前后受到的合外力为零（忽略水对船的阻力），且开船时系统质心的初速度也为零，故人行走前后系统质心相对地面的位置不变。当人向船尾移动时，系统的质量分布改变，质心位置后移，为抵消这种改变，船将向前移动，这是符合质心运动定理的。 2.9、秋千何以能越荡越高？这时能量的增长是从哪里来的？ 答：秋千受绳的拉力和重力的作用，在运动中绳的拉力提供圆弧运动的向心力，此力不做功，只有重力做功。重力是保守力，故重力势能与动能相互转化。当秋千荡到铅直位置向上去的过程中，人站起来提高系统重心的位置，人克服重力做功使系统的势能增加；当达到最高点向竖直位置折回过程中，人蹲下去，内力做功降低重心位置使系统的动能增大，这样循环往复，系统的总能不断增大，秋千就可以越荡越高。这时能量的增长是人体内力做功，消耗人体内能转换而来的。 2.10、在火箭里的燃料全部烧完后，2.7（2）节中的诸公式是否还能应用？为什么？ .答：火箭里的燃料全部烧完后，火箭的质量不再改变，然而质量不变是变质量物体运动问题的特例，故§ 2.7（2）中诸公式还能适用，但诸公式都已化为恒质量系统运动问题的公式。 3.4简化中心改变时，主矢和主矩是不是也随着改变？如果要改变，会不会影响刚体的运动？ 答 主矢F 是力系各力的矢量和，他完全取决于力系中各力的大小和方向，故主矢不随简化 理论力学基本教程（卢圣治著）课后答案下载 《理论力学基本教程》是北京师范大学出版社出版的图书，作者是卢圣治。以下是要与大家分享的理论力学基本教程（卢圣治著），供大家参考! 点击此处下载???理论力学基本教程（卢圣治著）课后答案?? 本书是“高等师范教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”项目中的一个成果，它反映了作者在物理系理论力学这门比较成熟的课程中，在教学内容和教学方法现代化方面取得的进展，作为理论物理的入门课程，本书系统地阐述了经典力学的基本理论，其中包括：1.以理论物理的方式阐述牛顿力学的理论、体系、方法及其应用，突出它在现代科学技术中和科学人才的素质、能力培养方面所起的基础作用。2.以现代的观点阐述经典力学中更为普遍、更为重要的理论，即以Lagrange和Hamilton为代表创建的理论体系，它是现代物理学发展的基础。3.反映具有划时代意义的经典力学的新发展。本书第四章以非线性振动为窗口介绍了非线性力学的基础内容和研究方法，并作为本书的重要内容.同时，以非线性内容教学需要为契机和从信息时代对人才的需求考虑，倡导把计算机和先进数学软件引进教学。这些做法与国外教材的发展是同步的。 本书包括了作者和北京师范大学物理系长期积累的教学经验，并吸收了国内外教材和著作中的优秀成果。本书阐述严谨、清晰，具有理论物理的特色;注重于三个基本(即基本概念、基本规律和基本方 法)，例题、思考题和习题深浅配置恰当，着眼于学生能力和素质的提高;在教材内容安排、处理等方面具有自己的特色。 本书可作为高等院校物理类专业的教材或参考书。 第一章质点运动学 §1—1质点运动的矢量描述与直角坐标描述 §1—2质点运动的平面极坐标描述 §1—3质点运动的柱坐标描述 §1—4质点运动的球坐标描述 §1—5质点运动的自然坐标描述 思考题 习题 第二章刚体运动学 §2—1刚体刚体的平动和转动 §2—2刚体的定轴转动角速度的概念 §2—3刚体的平面平行运动 §2—4刚体的定点运动 §2—5自由刚体的一般运动 §2—6证明无限小角位移是矢量 思考题 习题 第三章质点动力学 §3—1牛顿运动规律虚功原理应用例题
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(完整版)弹性力学第十一章弹性力学的变分原理
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