高等结构动力学答案

一、 简答

1、 怎样从振动方程转化为状态方程？ 答：多自由度线性系统的振动方程

Q Kq q C q

M =++ （1） M ：质量矩阵，K ：刚度矩阵，C ：阻尼矩阵，Q ：广义力矢量

Q M Kq M q C M q

111---+--= （2） 令

BQ AX X

+= （3） （2）式即可用（3）式来表示：

Q M q q C M I

K

M q q ??

?

???+????????????--=??????---11100 （4）

I ：单位矩阵 即

??????=q q X ，??????=q q X ，??

????--=--C M I K M A 110，??????=-10M B 于是，二阶的振动方程就转化为一阶的状态方程了。 2、 流致结构振动的特点？

答：①流致结构是相互作用的两个系统，它们之间的相互作用是动态的，其实是一个流固耦合的反馈系统。

②流体力将两个系统联系在一起，流场使结构产生运动，而结构的运动也对流场产生影响。而作用在结构单位长度上的流体力可以分解成升力和阻力。

③涡激振动中当结构的固有频率和旋涡的发放频率接近时，会产生很严重的垂直于来流方向的横向振动，使涡旋增强，尾流沿跨长的相关性增大，阻力增加，频率锁定和失谐。

④跳跃振动是结构物在均匀流场下产生的一种与来流方向垂直的横向自激振动，是由某些非流线型剖面结构本身的运动使实际的来流方向发生变化而引起的。跳跃振动的频率与结构系统的固有频率相同。 3、 谱分析方法的含义？

答：谱分析法，即由已知的海浪谱推求出作用于结构物上的波力谱，从而确定不同累计概率的波浪力的方法。谱表征响应中各频率对整体响应能量的贡献。在频域内描述随机振动，谱分析能够描述振动的频率结构，查明振动中包含哪些频率分量，以及哪些频率分量是主要的，频谱的峰值附近代表能量相对比较大的成分波。谱函数以非随机函数的形式较全面地描述了随机载荷相对于频率的分布情况。

谱分析方法通过傅立叶变换可以把一个时域信号变换成频域信号，从而得到该信号两种等价的描述方式。借助于傅立叶变换所反映信号的谱特性，可以分析出信号的内在特征，以及对信号进行滤波，去噪，压缩等进一步的处理，获取相关所需信息。

自相关系数：)(τx R ，自功率谱密度：ττπ

ωωτ

d e

R S i x x -∞

∞

-?

=

)(21

)(，方差ωωσ

d S x )(2

?∞

∞

-=，

速度谱：)(2ωωx x S S ?=

，加速度谱：)()(4

2ωωωωx x x S S S ?=?=

4、 振动系统参数识别中时域和频域分析的特点？

答：①时域分析：结构系统受到自由振动后，测定相应点的位移或速度，或加速度，通过采样数据来识别多自由度系统的固有频率，阻尼比和模态。

优点：运算简便明了，适用范围广，尤其可以解决几个固有频率十分接近或阻尼比较大的问题；可以和其他识别法结合来识别随机环境下的结构系统模态参数，即“在线”参数识别。

缺点：计算机的计算时间与自由度数的平方成正比，故为降低噪声而进一步提高识别精度，自由度数取得越高，耗费机时越长；处理响应的非线性问题，以及解大型线性代数方程式可能出现舍入误差。

②频域分析：用实测的传递函数与它的数学模型对比来估算系统的固有频率、阻尼比和模态矢量（固有振型）等模态参数，或进一

步估算系统的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。

优点：利用正弦扫描的、脉冲的和随机的激励以及环境的随机激励等可激起结构系统各主要的模态的振动，通过图谱的形式进行观察比较，方法简单，效果直观，精度较高，结果有效；在识别某一模态动力参数时只要考虑与此模态的固有频率接近的少数几个模态，即估算参数的数学模型的自由度数目可大大小于系统的自由度数目。

缺点：在解决几个固有频率十分接近或阻尼比较大的问题时，频域分析会有很大的困难；在固有频率谱的分布比较密集时，高阶的频率识别非常困难。

5、防止和抑制涡激振动的方法？（简答题） 答： ①增加约化阻尼πζρδ2)(22?=D m r

。

可采用阻尼大的材料（如复合材料等），阻尼大的结构形式或加阻尼器等办法。 ②避免共振。通常采用稳索、斜撑等来增强结构的刚度，提高结构的固有频率。

③改变剖面形状。在尾流内加些附加物以扰乱规则的涡列的发放可使振动减小，但这会使阻力增大。 6、ITDM 法的基本原理。 答：N 自由度系统的振动微分方程

0=++Kq q C q

M （*）M ：质量矩阵，K ：刚度矩阵，C ：阻尼矩阵，Q ：广义力矢量 解为

st e X ?=，代入（*）式得 0)(2=++?K SC M S

由于?具有非零解的条件可得方程式为

0||2=++K SC M S

可解2n 个特征值j s 和特征矢量j ?（j =1，2，…，n ）：i d i i

i n s λ+-=，i d i i i n s λ--=

无阻尼自由振动频率为2

2

i

d i

n

i

+=λ

λ，阻尼比i

i

n λζ=

，系统的自由振动为

t s n

j j i e t X ∑==21

)(?，

令

ΦΛ=X ，][ij ?=Φ为复模态矩阵，][ij s

e =Λ为自由振动响应的采样矩阵。

同理，在上述各采样点延迟t ?时间间隔再作一次采样可得

][~)]([~)(i j i t t s i j i e t t X X ?++ΛΦ=?+，即ΦIΛ=X ~，式中I 为与复特征值S 和i t ?有关的对角阵，

令ΦI =Φ

~

，则ΛΦ=~~X ，因为X 1-Φ=Λ，所以AX X X =ΦΦ=-1~

~，

A 为2n ×2n 实数矩阵，可用测得的自由振动信息

X

和

X ~

来求得。

于是模态参数（质量矩阵，刚度矩阵和阻尼矩阵）均可以求得。 7、结构系统动力响应各自的解法以及各自的特点。

① 模态分析法：通过坐标变换的办法把系统矩阵A 对角化，即使状态方程组解耦分离成N 个独立的状态方程式，然后再求解。

特点：一般适用于线性时不变系统，求解过程复杂烦琐。

② 数值解法（直接积分法）：即对系统的运动微分方程式或状态方程式直接用数值方法积分求解。

特点：适用于非线性问题和时变系统问题，利用不同数值解法（中心差分法，Wilson-θ，Newmark-β等）进行计算则结果有精度，收敛性，稳定性以及费用的差异。

③ 频域解法：将运动微分方程式用Fourier （傅立叶）变换和Laplace （拉普拉斯）变换到频域或S 域内使常微分方程组转化成代

数方程组，在求得频域内的动力响应后再用相应的逆变换求得时域内的动力响应。 特点：适用于计算线性系统的稳态响应、随机响应和系统参数识别。 8、模态分析法的求解步骤。

答：设状态方程为BQ AX X

+= ，

由于A 具有非零解的条件可得方程式为

0]det[=-I A λ，求出特征值i λ，i =1,2,…，n ，

作坐标变换把状态矢量X 变换成新的状态矢量Y ，即

Y X ?=

代入得BQ Y A Y +=?? ，则BQ Y BQ Y A Y

111---+Λ=+=???? ， 其中?

?

???????

???=Λn λλλ

00

00

2

1

，则状态传递矩阵为??

?

?

????????

??=Φnt t t

e e e t λλλ

000

00)(21，

则状态方程式的解为t d t BQ t t Y t t Y t '''-Φ+Φ=-?)()()()(10

0?，

于是

t d t BQ t t X t t X t '''-Φ+Φ=--?)()()()(10

01????

9、结构离散化方法以及各自特点。

答：一般采用部分离散化在空间域中先行离散化，将偏微分方程式离散成一组常微分方程，然后再对此常微分方程组在时域内离散化，或者直接采用解析解。 ① 空间离散

A 、 加权残量法：一种将未知函数在其定义域内用基函数展开的求解微分方程式的近似方程。适用于几何形状规则的不太复杂的结

构系统，方便有效。基函数满足整个空间域。

B 、 变分法：基于能量守恒定律，取一族相互独立的满足约束条件的函数作为坐标线性交换的基底矢量来缩减自由度。

C 、 有限元法：将结构离散为规格的单元形状，基函数的选取应满足单元内的条件，直接应用变分原理，将无限自由度问题转化为

有限自由度问题。

D 、 边界元法：无需将整个空间域划分有限元，只是将空间域的边界积分离散化。 ② 时间离散

中心差分法、Wilson-θ、Newmark-β

适用于较复杂的非线性和多变系统问题，求解过程简便，与计算机编程程序较好结合，计算精度高。 10、如何从谱分析方法导出状态空间方法，再推出传递函数，最后得出响应？（简答题）

答： 将运动微分方程式用Fourier （傅立叶）变换和Laplace （拉普拉斯）变换到频率域或S 域内使常微分方程组转化成代数方

程组。在求得频域内的动力响应后再用相应的逆变换求得时域内的动力响应。

运动方程：)(t HF Kq q C q M =++ ，令T q

q Z ][ = 状态方程：)()()(t BF t AZ t Z

+=

即：)(00111t F M q

q C M K M I q q

???

???+????????????--=????

??--- 进行Laplace 变换（ωi s =）：)()()(s BF s AZ s SZ +=

则：)()()

(1s BF A SI s Z --=

传递函数：B )()(1Z --=A SI T F ω

位移谱：)()()

(2

ωωωF ZF Z S T S =

均方差：ωωσd S Z z

)(0

2

?∞

=

二、计算题

1、二元流动涡激振动方程，分析特点。

答：振动方程L 22

C M

L

U 21D D 2D ρω

λω

ζλω

=++ 特点：①流致结构是相互作用的两个系统，它们之间的相互作用是动态的，其实是一个流固耦合的反馈系统。

②流体力将两个系统联系在一起，流场使结构产生运动，而结构的运动也对流场产生影响。而作用在结构单位长度上的流体力可以分解成升力和阻力。

③涡激振动中当结构的固有频率和旋涡的发放频率接近时，会产生很严重的垂直于来流方向的横向振动，使涡旋增强，尾流沿跨长的相关性增大，阻力增加，频率锁定和失谐。

④跳跃振动是结构物在均匀流场下产生的一种与来流方向垂直的横向自激振动，是由某些非流线型剖面结构本身的运动使实际的来流方向发生变化而引起的。跳跃振动的频率与结构系统的固有频率相同。

2、列出海洋结构物振动方程（随机波浪），写出谱分析方法，求位移响应及均方差的步骤。

答：振动方程)(t F Kx x C x

M =++

随机波浪：P-M 谱 )11

.3exp(78

.0)

(2

45

s H S ωωωη-

=

任一高度z 处的波力谱)(4)(821)(2

222

ωωπρωωπσρωηηS shkd chkz D C S shkd chkz D C S M u D f ???

???+??????=

总波力谱 )(4)(821)(2

2

2

0ωπρωωπρωηηS thkd D g C S chkzdz shkd D C S M d D F ??????+??

????=? 其中2u σ是高度Z 的函数，ωωω

σηd S shkd

chkz u )()(202

?∞= ， 对系统的运动微分方程式取Laplace 变换，则

[][])(~

)(~0

002

s Q Cq q Sq M s q

K SC M S +++=++ 式中)(~

s q 和)(~

s Q 是)(t q 和)(s Q 的Laplace 变换，0q ，0q

为初始位移矢量和初始速度矢量。则 )](~[)()(~0

001s Q Cq q M MSq s Z s q +++=- 位移传递函数121][)()(--++==K CS MS s Z s H

位移谱)(|)(|)

(2ωωF x S s H S =

均方差t

n

i ∑=-=

1

2

||计算值真值ρ

3、模态分析法求结构响应？四层楼的抗剪模型，其剪切刚度系数及楼板质量均表示在图中，在顶层受一水平的简谐激振力

)cos(100)cos(t t p Ω=Ω，仅考虑其稳态响应，求(1)系统的固有频率和模态矩阵；(2)系统的模态质量、模态刚度、 模态力；

(3)系统在激振频率15.0ω=Ω

下的位移响应。

答：选各层的水平位移1u ，2u ，3u ，4u 为广义坐标，根据达朗贝尔原理可列出振动方程为： 1m ：t P u u k u

m Ω=-+cos )(21111 ，2m ：0)()(21132222=---+u u k u u k u m

3m ：0)()(32243333=---+u u k u u k u

m ，4m ：0)(4334444=--+u u k u k u m 系统的运动方程为：[]{}[]{}{}F u K u

M =+ 其中：

{}{}T

u u u u u 4321

=，

{}{}T T

t t p F }000)cos(100{000)cos(Ω=Ω=

[]?????

????

???=30

00

02000020

0001M ，

[]?

?

???

???????------=????????????+--+--+--=5600240000240040001600001600240080000800

8000

000

0433

3322

2211

11K K K K K K K K K K K K K K

⑴求结构的固有频率、模态矩阵

0||2=-M K ω，解得3

21012279.368746.187970.017672.0???????????????=ω，则???

???????????=882.55079.41660.29294.13ω

振型由0)(2=-A M K ω求得：?????????

???=235.0496.0719.00.11?，????????????---=437.0539.0099.00.12?，????????????---=708.0158.00.1901.03?，????

??

??????--=6368.00.1448.0154.04? 则[]?

?

???

?

?

??

???--------=63688.070797.043761

.023506

.000000.115859.053989.049655.044817.000000.109963.077910

.015436.090145.000000.100000

.1φ

⑵模态质量、模态刚度、模态力

设y u

?=?

{}{}87288.223506.049655

.077910.000000.13000020000200001

23506.049655.077910.00000.1][111=?

????

?

??????????????????????

??

???

???==T

T M m ??

{}{}111][??K k T

=，或695.50787288.272.1761211=?==M k ω

同理，17732.22=m ，36658.43=m ，64239.34=m ，39.19152=，43.73683=k ，4.11374

4=

{})cos(000)cos(23506.049655.077910.000000.1][11t p t p F f T

T

Ω=???

????

???????Ω??????

?

???????==?

同理

)cos(2t p f Ω=，)cos(90145.03t p f Ω-=，)cos(15436.04t p f Ω=

⑶位移响应

i i i i i y y m =+ ，或*

2i i i

i y y =+ω 的解为

t A y i i i ωcos =，则i i i i y u ?=∑=4

1

?

故[][][]

)

46.1687(1)43.7368())

cos()(90145.0)(90145.0()70.879(1)39.1915())cos()(000.1()72.176(1)695.507())cos()(000.1(2

221

Ω-Ω--+Ω-Ω+Ω-Ω=

t p t p t p u

[]

)

79.3122(1)4.11374())

cos()(15436.0)(15436.0(2Ω-Ω+

t p

其中，15.0ω=Ω

，即6468.6=Ω，179.442=Ω

则{}??

??

?

???

??????ΩΩΩΩ=??????????????Ω??Ω-??Ω?Ω?=??????????????=----)cos(0.0055)cos(0.0811-)cos(1757.0)cos(3291.0)cos(15436.010356.0))cos(90145.0(10900.0)cos(101.757)

cos(10291.333

334321t t t t t p t p t p t p u u u u u 4、 船舶和流体的流固耦合方程、边界处理（流体 - 结构边界、自由液面边界、流体和海底边界）、公式字母的含义？（计算题） 答：⑴流固系统的运动方程

①流体的运动方程：00=++++

q r

B P E P A HP ρ 式中：

???Ω

Ω??=d N N H T

，

r S T

dS NN C A r

??=

1，

F S T

T dS NN g d NN C E F

?????+Ω=

Ω

11

2

，

Λ=??)(I S T

S dS NN B I

，P 为流体动压力，ρ

为流体的密度，r 为结构位移矢量，0q 为输入激励矢量，N 为形状函

数矢量，S N 为结构系统的插入函数矢量，Ω为流体域体积，ρK C

=为流体的压缩波速度，K 为流体的压缩模

量，I S 、F S 、b S 、r S 分别为表示在流固交界处、自由表面处、固定边界处和无限远边界（足够远边界）处的表面积，

Λ为坐标变换矩阵。

②结构的运动方程：00=+-++f P B r K r C r

M T

s s s

式中：r 为位移矢量，S M 为结构的质量矩阵，S C 为结构的阻尼矩阵，S K 为结构的刚度矩阵，

p f 为流固交界

面上流体动力的节点矢量，

0f 为除了p f 以外的其他外界激励矢量。

由于上面两式的压力矢量P 和系数矩阵B 的定义是相同的，可见流体和结构是相互耦合的，此两方程式就是结构及其周围流体所组成的流固系统的运动方程式。 ⑵边界条件：

①在流固交界面上：n u

n P ρ-=??，式中：n 为交界面的法线方向，n u 为法向加速度。 ②在固定界面上：0=??n P

③在自由表面上：在0=z

处，0ωρg P =，式中：g 为重力加速度；0ω是在0=z 处水质点的垂向位移。由动力平衡

条件，在0=z

处z P ??-=ρω

10 ，将0ωρg P =代入上式，得P g

z P 1-=??，此为用压力表示的表面波微分方程式，如用速度势表示，则有φφ

g z 1-=??，对于正弦波，设其圆频率为ω，则有022=-??φωφg

B z ，式中：,2B z z =B

为某特征长度。不难看出：当0→ω时，0z =??φ；当∞→ω时，0=φ。同样地，对用压力表示的表面波，

可有：当0→ω

时，0z =??P ；当∞→ω时，0=P 。

④在无限远边界处：在离结构物足够远处可按无反射的条件，即Sommerfeld 放射条件建立边界条件，即t

P

C r P ??-=??1，此处r 为足够远处边界的法线方向。若用速度势表示，则有

t

C r ??-=??φ

φ1。对于不可压缩流体，则变为

0r =?P ，

0r =??φ。

⑶特点：

与流体相接触的结构物在受到水流、波浪和冲击波等流体动力激励或其他非流体的激励而发生振动时，其周围流场亦发生变化。这种流场的变化反过来使结构所受到的流体动力发生变化，形成反馈的流体 - 结构相互作用的流固耦合问题。

一般可把结构分成细小结构和大体积结构。前者通常与流体有较大的相对运动，要考虑流体的粘性、分离和旋转等因素，但可不计流体的可压缩性以及反射、绕射等对流场的影响。后者通常与流体的相对运动不大，可把流体视为无粘、无旋的理想流体，但要考虑结构的反射、绕射等对流场的影响。

当波浪激起结构物运动（振动）时流体的总压力),,,(t z y x P t 可视为由两部分所组成，即入射波压),,,(t z y x P in 和结构物的绕射和运动等引起的波压),,,(t z y x P 。

在用有限元进行分析的时候，对整个流体域，由于形状函数矢量很难取，特别是对复杂的流固交界面，一般将整个流体域划分成有限元，先将流体元离散化，然后再集总成整个流体域的离散的运动方程式，通常是用六面体的砖形元或四面体的锥元。

时域解法常用于计算结构的瞬态响应，若用直接积分法求解则要占很大的计算机内存且计算费时不稳定。采用交错迭代法可以大大提高计算效率，且结构方程式和流体方程式的时间步长可取得不同。

频域解法常用求结构系统的稳态的或随机的响应。

三、论述

1、目前结构动力学通用软件，特点是什么？

答：MSC.Nastran 是由MSC.Software 公司推出的一个大型结构有限元分析软件，目前最新版本Patran 2007。

结构动力学分析是MSC.Nastran的主要应用之一。结构动力分析常用来确定时变载荷对整个结构或部件的影响，同时还要考虑阻尼及惯性效应的作用。

全面的MSC.Nastran动力学分析功能包括正则模态及复特征值分析、频率及瞬态响应分析、（噪）声学分析、随机响应分析、响应及冲击波分析、动力灵敏度分析等。针对中小及超大型问题不同的解题规模，可选择MSC.Nastran不同的动力学方法加以求解。例如，在处理大型结构动力学问题时，可采用特征缩减技术使解题效率大为提高。

为求解动力学问题，MSC.Nastran提供了求解所需的动力和阻尼单元，如瞬态响应分析的非线性弹性单元、各类阻尼单元、（噪）声学阻滞单元及吸收单元等。阻尼类型包括：结构阻尼、材料阻尼、不同的模态阻尼、（噪）声阻滞阻尼和吸收阻尼、可变的模态阻尼（等效粘性阻尼、临界阻尼的分数、品质因数）、离散的粘性阻尼单元、随频率变化的非线性阻尼器以及动力传递函数，直接矩阵输入、动力传递函数定义等。MSC.Nastran可在时域或频域内定义各种动力学载荷，包括动态定义所有的静载荷、强迫位移、速度和加速度、初始速度和位移、延时、时间窗口、解析显示时间函数、实复相位和相角、作为结构响应函数的非线性载荷、基于位移和速度的非线性瞬态加载、随载荷或受迫运动不同而不同的时间历程等。模态凝聚法有Guyan凝聚（静凝聚）、广义动态凝聚、部分模态综合、精确分析的残余向量。

MSC.Nastran的高级动力学功能还可分析更深层、更复杂的工程问题，如控制系统、流-固耦合分析、传递函数计算、输入载荷的快速傅里叶变换、陀螺及进动效应分析（需DMAP模块）、模态综合分析（需Superelement模块）。所有动力计算数据可利用矩阵法、位移法或模态加速法快速地恢复，或直接输出到机构仿真或相关性测试分析系统中去。

MSC.Nastran的主要动力学分析功能，如：特征模态分析、直接瞬态响应分析、模态瞬态响应分析、响应谱分析、模态复特征值分析、直接频率响应分析、模态频率响应分析、非线性瞬态分析、模态综合、动力灵敏度分析等。

2、目前结构动力学研究内容，及其解决的主要问题。

答：①外载荷分析

确定性：周期性：机械设备干扰力

瞬时性：碰撞、冲击、爆炸

随机性：风、浪、地震、桥梁上过车活荷载

②结构系统的动力响应

研究重点：位移，速度，加速度

解析方法：位移解析的表达式

数值方法：有限元法，边界元法，有限样条法

耦合系统：流固耦合，固体土壤耦合，结构电磁场耦合

a)结构系统的辩识和参数估计

结构动力学的逆问题，假设结构系统的响应和激励是已知的用实验方法测得，而对结构系统本身完全不清楚，需要根据测得的输入和输出求出合适的数学模型或系统的物理参数。

损伤识别：有无损伤，损伤位置，损伤程度

④容许标准和可靠性分析

容许标准：保证结构在其使用期限内安全可靠不发生严重的破坏；保证不引起危及人体健康以及结构中各种仪表设备等正常营运的振动和噪声

在某种荷载激励下结构的可靠度（失效概率）

⑤结构系统的控制

与结构系统本身的物理特性有关的参数可定义为可控变量或设计变量。结构的状态变量和响应都是可控制的。

⑥结构动力优化设计

按照设计要求确定可控变量或设计变量使结构系统达到预期的状态，或者达到某最优的设计目标。