全国二卷立体几何真题及模拟题(理科)

立体几何（理科）

立体几何解题中常用的判定定理及性质定理

1.直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平

行，那么这条直线和这个平面平行．（线线平行?线面平行）

若a?／α，b?α，a∥b，则a∥α．

2.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，过这条直线的任

一平面与此平面的交线与该直线平行．（线面平行?线线平行）

若a∥α，a?β，α?β＝b，则a∥b．

3.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，

则该直线与此平面垂直．

若m?α，n?α，m?n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α．

4.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．

若a⊥α，b⊥α，则a∥b．

5.平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个

平面，那么这两个平面平行．（线面平行?面面平行）

若a?α，b?α，a?b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β．

6.平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么

它们的交线平行．

若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b．

7.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这

两个平面互相垂直．

若l⊥α，l?β，则α⊥β．

8.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于

它们交线的直线垂直于另一个平面．

若α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l，则a⊥β．

空间角的计算

(1)两条异面直线所成角的求法

设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则

cosφ＝|cosθ|＝|a·b|

|a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．

(2)直线和平面所成角的求法

如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α

所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cosθ|＝|e·n| |e||n|.

(3)二面角的求法

①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所求二面角的平面角．

②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求．

如图所示，二面角α-l-β，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面有α-l-β的大小为θ或π—θ.

空间距离的计算

直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离．

点P 到平面α的距离，d ＝PM n

n

?

(其中n 为α的法向量，M 为α内任一点)．

空间角的范围

(1)异面直线所成的角(θ)：0＜θ≤π

2； (2)直线与平面所成的角(θ)：0≤θ≤π

2； (3)二面角(θ)：0≤θ≤π.

历年高考真题及解析

(2013课标全国Ⅱ，理18)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，，D E 分别是1，AB BB 的

中点，1＝＝＝

AA AC CB AB . (1)证明：1BC ∥平面1

ACD ； (2)求二面角1－－D AC E 的正弦值．

解：(1)连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ?平面A 1CD ，BC 1?平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .

(2)由AC ＝CB

AB 得，AC ⊥BC .

以C 为坐标原点，CA

的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .

设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，

CD

＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)，1CA

＝(2,0,2)．

设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，

则10,0,CD CA ??=???=?? n n 即11110,220.x y x z +=??+=? 可取n ＝(1，－1，－1)．

同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，

则10,0,

CE CA ??=???=?? m m 可取m ＝(2,1，－2)． 从而cos 〈n ，m

〉＝||||=

·n m n m ， 故sin 〈n ，m

〉＝

3

即二面角D －A 1C －E

的正弦值为

(2014课标全国Ⅱ，理18)如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；

（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，

求三棱锥E-ACD 的体积. 解：（Ⅰ）

设AC 的中点为G,连接EG .在三角形PBD 中，中位线EG//PB ,且EG 在平面AEC 上，所以PB //平面AEC .

（Ⅱ）设CD=m , 分别以,AB, AD,AP 为X,Y,Z

轴建立坐标系，则

x

y

。

的体积为所以，三棱锥的高即为三棱锥面且的中点，则为设解得解得一个则法向量为同理设平面解得一个则法向量为设平面83

-.

83

21323213131∴.-,

⊥,21

2,//.23

,21333|,cos |3πcos ).

3-,3-,(,0,0),,,().

0,1,0(,0,0),,,().

0,,3(),21

,0,23(),0,0,3(∴).0,,3(),21

,0,23(

),0,0,3(),0,0,0(Δ-2222222222222221111111ACD E EF S V ACD E ACD EF EF PA EF PA AD F m m

m n n m m n n n z y x n ACE n n n z y x n ADE m m C E D A ACD ACD E =????=??=====++=><============

(2015课标全国Ⅱ，理19)如图，长方体

1111D C B A A B C D -，,8,10,161===AA BC AB 点E ，F 分别在,11B A 11C D 上，411==F D E A . 过点E,F 的平面

α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

（I ）在图中画出这个正方形，不必说明画法和理由；

（II ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值. 解：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：

（Ⅱ）作E

M A B ⊥，垂足为M ，则14A

M A E ==，18EM AA ==，因为E H G F 为正方形，所以

10EH EF BC ===．

于是6MH ==，所以10AH =．以D 为坐标原点，DA

的方向为x

轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)

E ，(0,4,8)

F ，(10,0,0)FE =

，

(0,6,8)HE =- ．设(,,)n x y z = 是平面E H G F 的法向量，则0,

0,

n FE n HE ??=???=??

即100,

680,

x y z =??

-+=?所以可取

(0,

4n =

．又

(10,AF =-

，

故

cos ,n AF n AF n AF ?<>==

? AF 与平面α

所成角的正弦值为

（2016课标全国Ⅱ，理19）（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，5

4

AE CF ==，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位

置OD '（I ）证明：DH

'⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.

（Ⅰ）证明：∵54

AE CF ==，

∴

AE CF

AD CD

=

，∴EF AC ∥． ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，

∴EF BD ⊥，∴EF D H ⊥，∴EF DH

'⊥． ∵6AC =，∴3AO =；

又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =， ∴1AE OH OD AO

=

?=，3DH D H '==，222

'OD OH D H '=+， ∴'D H OH ⊥．

又∵OH EF H =I ，∴'D H ⊥面ABCD ． （Ⅱ）建立如图坐标系H xyz -．

()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，

()430AB =u u u r ，，，()

'133AD =-u u u r ，，，()060AC =u u u r

，，， 设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r

，

由1

100n AB n AD ??=??'?=?? 得430330x y x y z +=??-++=?，取345x y z =??=-??=?

， ∴()1345n =-u r

，，．

同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r

，，，

∴1212cos n n n n θ?==

=u r u u r

u r u u r

∴sin θ=．

(2016课标全国Ⅲ，理19)

如图，四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB =AD =AC =3，P A =BC =4，M 为线段AD 上一点，AM =2MD ，N 为PC 的中点.

（Ⅰ）证明：MN ∥平面P AB ；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

解：（Ⅰ）由已知得23

2

==

AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，22

1

==

BC TN . 又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是

AT MN //.

因为?AT 平面PAB ，?MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .

（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥，且5)2

(

2

222=-=-=BC AB BE AB AE . 以A 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -,由题意知，

)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,2

5

(

N ，

(0,2,4)PM =-

，2)PN =-

，2)AN = . 设(,,)n x y z =

为平面PMN 的法向量，则00

n PM n PN ??=???=?? ，即?????=-+=-022

5042z y x z x ，

可取(0,2,1)n =

，

于是|||cos ,|||||n AN n AN n AN ?<>==

高考模拟题

AN PMN

1．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．

（1）证明：AE⊥PD；

（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．

2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．

（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；

（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．

3.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=1，点E在棱AB上移动．（1）探求AE等于何值时，直线D1E与平面AA1D1D成45°角；

（2）点E移动为棱AB中点时，求点E到平面A1DC1的距离．

高考模拟题答案

1.（1）证明：∵四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，

∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点，

∴△ABC是等边三角形，

∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，

∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，

∴AE⊥PA，

∵AE∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，

∵PD?平面PAD，∴AE⊥PD．

（2）解：由（1）知AE、AD、AP两两垂直，

∴以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

∵E，F分别为BC，PC的中点，PA=AB=2，

∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），∴，

设平面AEF的一个法向量为，

则

取z1=﹣1，得=（0，2，﹣1），

∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面AFC，

∴为平面AFC的一法向量．

又，

∴cos＜＞==．

∵二面角E﹣AF﹣C为锐角，

∴所求二面角的余弦值为．

2.解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．

∵点F为PD中点，

∴．

∵点E为AB的中点．

∴，

又AE∥FM，

∴四边形AEMF为平行四边形，

∴AF∥EM，

∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，

∴直线AF∥平面PEC．

（Ⅱ）已知∠DAB=60°，

进一步求得：DE⊥DC，

则：建立空间直角坐标系，

则P（0，0，1），C（0，1，0），E（，0，0），A（，﹣，0），B（，，0）．

所以：，．

设平面PAB的一个法向量为：，．∵，

则：，

解得：，

所以平面PAB的法向量为：

∵，

∴设向量和的夹角为θ，

∴cosθ=，

∴PC平面PAB所成角的正弦值为．

3.解：（1）解法一：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为点E在棱AB上移动，所以EA⊥平面AA1D1D，从而∠ED1A为直线D1E与平面AA1D1D所成的平面角，Rt△ED 1A中，∠ED1A=45°．

解法二：以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则点D1（0，0，1），平面AA1D1D的法向量为，设E（1，y，0），得，

由，得，

故

（2）以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则点E（1，1，0），A1（1，0，1），

C1（0，2，1），

从而，，

设平面DA1C1的法向量为，由

令，

所以点E到平面A1DC1的距离为=1．