均值不等式的巧用
均值不等式的巧用
均值不等式的巧用陵水中学李莎
在教学实践中,我们发现均值不等式是求解函数的最值问题和证明不等式问题的重要工具。现举例介绍如下：一、求函数的最值问题
运用均值不等式求函数最值问题时，应特别注意"一正、二定、三相等"。
例1 若a是1+2b与1-2b的等比中项，则的最大值为（）（A）（B）（C）（D）
分析由题意知，注意到若取最大值，a、b必同号，不妨设a、b均为正数，则将问题转化为
a>0，b>0，且，求的最大值。
由，知
而，当且仅当a=b，且即，时，取得最大值。
例2 求二元函数（x，y>0）的最大值。
解：∵4 = ，
∴
所以函数的最大值为5，当且仅当时取得。
例3 ΔABC的三边a、b、c依次成等比数列，求角B的取值范围。
分析在中，注意到分式的积，我们把化为" "即可求出最值。
解：∵
∴
又∵B ，∴
例4 用长为的铁丝围成直角三角形的三边，求直角三角形的最大面积。
分析设直角边长分别为x，y（x，y>0），面积为S，则
①
又S= ，注意到求积的最值，我们把①式中的和分别化为" "和" "即可巧妙求出最值。
解：∵
∴
所以S的最大值为，当且仅当即等腰直角三角形时取得。二、证明不等式的问题
运用均值不等式证明不等式时，常常需要根据不等式的结构特征，配以适当的技巧，方能如愿。
例5 设a、b、c各为不相等的正数，求证： >
分析所证不等式两边均为和的形式，且项数相同，则可考虑采用两两结合再叠加的方法。证明：∵ >
>
>
∴2（）>2（）
∴ >
例6 设a、b、c ，求证：（a+b)(b+c)(c+a) 8abc
分析所证不等式的两边都是积的形式，且项数相同，则可考虑采用两两结合再叠乘的方法。证明：∵a、b、c
∴
以上三个不等式两边分别相乘，便得
（a+b)(b+c)(c+a) 8abc
例7 已知a>2，求证： <1
分析所证的不等式是积小于一个常数，则可考虑逆用均值不等式。
证明：∵a>2
∴ >0， >0
∴ <
=
< =1
例8 设a、b 且a+b=1，求证：
分析所证不等式左边是和的形式，若顺用均值不等式，则不但不能利用已知条件配凑，而且不等号方向也与所证相反。平方后，由于能产生积的形式，给利用"和是定值"创造条件，且不等号方向也与所证相同。
证明：∴a、b 且a+b=1
∴（） =2（a+b)+2+2
=4+2
∴
从以上堵例可以看出，用均值不等式解决问题时，需仔细审题，认准特征，对症下药。
均值不等式技巧
题根 已知,,,a b c d 都是正数，求证()( )4a b c d a c b d a b c d ++≥ ［题根］已知,,,a b c d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥ ［思路］1) 平均值不等式 2 b a +≥a b （当且仅当,a b R +∈，a=b 时取“=”号） 2）需两次利用平均值不等式，要使得此不等式等号成立，需两次取等号的条 件一致或同时成立。即ab cd ac bd ==且同时成立.即a b c d ===时成立。 ［破解］：由,,,a b c d 都是正数，得： ()()()()0,0..224 4ab cd ac bd ab cd ac bd abcd ab cd ac bd abcd ++++≥>≥>∴ ≥++≥即有 ［收获］1）多次运用平均值不等式，要使得不等式等号成立，需这几次取等号的条件一致、相同或同时成立。 2）利用不等式的同向相乘性质时，需保证不等式两边同时为正。 第1变 变结构，创造基本不等式“一正、 二定、 三相等”的条件证不等式。 ［变题1］设x,y,z ∈R +且x+y+z=1求证: 1x + 4y + 9 z ≥36. ［思路］从左到右事实上是求和式1x + 4y + 9 z 的最小值，需变式出现积为定值的情况， 而条件中是和为定值x+y+z=1，所以对待证式的左边需变形出现积为定值的情况。 ［破解］证法一:巧用1代换 1x +4y +9z = x+y+z x +4(x+y+z)y +9(x+y+z)z =14+(y x +4x y )+(z x +9x z )+(4z y +9y z ) ≥14+4+6+12=36 当且仅当y x =4x y ,z x =9x z ,4z y =9y z ,x+y+z=1取等号. 证法二:分式代换法 令x= a 1 a 1+a 2+a 3 ,y= a 2 a 1+a 2+a 3 , z= a 3 a 1+a 2+a 3 则1x +4y +9z = a 1+a 2+a 3 a 1 + 4(a 1+a 2+a 3) a 2 + 9(a 1+a 2+a 3) a 3
均值不等式公式总结及解题技巧
均值不等式应用 【知识必备】 1．基本不等式 (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2．基本不等式变式 (1)若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3．若0x >，则1 2x x +≥(当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x + ≤-(当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”） 4．若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”） 5．若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 【题型分析】 题型一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x·1 x ＝2； 当x ＜0时，y ＝x ＋1x =－（－x －1 x ）≤－2 x·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑 项，
均值不等式的巧用
均值不等式的巧用 均值不等式的巧用陵水中学李莎 在教学实践中,我们发现均值不等式是求解函数的最值问题和证明不等式问题的重要工具。现举例介绍如下：一、求函数的最值问题 运用均值不等式求函数最值问题时，应特别注意"一正、二定、三相等"。 例1 若a是1+2b与1-2b的等比中项，则的最大值为（）（A）（B）（C）（D） 分析由题意知，注意到若取最大值，a、b必同号，不妨设a、b均为正数，则将问题转化为 a>0，b>0，且，求的最大值。 由，知 而，当且仅当a=b，且即，时，取得最大值。 例2 求二元函数（x，y>0）的最大值。 解：∵4 = ， ∴ 所以函数的最大值为5，当且仅当时取得。 例3 ΔABC的三边a、b、c依次成等比数列，求角B的取值范围。 分析在中，注意到分式的积，我们把化为" "即可求出最值。 解：∵ ∴ 又∵B ，∴ 例4 用长为的铁丝围成直角三角形的三边，求直角三角形的最大面积。 分析设直角边长分别为x，y（x，y>0），面积为S，则 ① 又S= ，注意到求积的最值，我们把①式中的和分别化为" "和" "即可巧妙求出最值。 解：∵ ∴ 所以S的最大值为，当且仅当即等腰直角三角形时取得。二、证明不等式的问题 运用均值不等式证明不等式时，常常需要根据不等式的结构特征，配以适当的技巧，方能如愿。 例5 设a、b、c各为不相等的正数，求证： > 分析所证不等式两边均为和的形式，且项数相同，则可考虑采用两两结合再叠加的方法。证明：∵ > > > ∴2（）>2（） ∴ > 例6 设a、b、c ，求证：（a+b)(b+c)(c+a) 8abc 分析所证不等式的两边都是积的形式，且项数相同，则可考虑采用两两结合再叠乘的方法。证明：∵a、b、c ∴ 以上三个不等式两边分别相乘，便得
均值不等式在实际生活中的应用
均值不等式在实际生活中的应用 在日常生活中遇到的土地利用、机械制造、广告投资等问题可用均值不等式来解决．这节主要介绍均值不等式在以上三个方面中的应用． 例1 利用已有足够长的一面围墙和100米的篱笆围成一个矩形场地，问如何围才能使围成的场地面积最大？ 解 设围墙的邻边长为x 米，则围墙对边长为(1002)x -米，那么所围场地面积为 (1002)S x x =⋅-12(1002)2 x x =⋅- 2121002()125022 x x +-≤=， 当且仅当21002x x =-，即25x =米时，围成的面积最大，最大值为1250平方米． 机械制造业是各行业技术装备的主要提供者，为其它行业的发展提供必不可少的基础条件，市场需要工厂生产不同规格的零件去满足不同的需求，如果要利用同样的材料制造不同特点的产品，那么此时会用到均值不等式． 例2 用一块钢锭铸造一个厚度均匀，且全面积为2的正四棱锥形有盖容器，设容器高为h 米，盖子的边长为a 米，容器的容积为V ，问当a 为何值时，V 最大，并求最大值． 解 因为底面积为2a ，四个侧面积均为12 242S a =+=， 整理得a =(0)h <，而容积 213V ha =21131h h =⋅+111 3h h =⋅+， 由均值不等式，得 1 116 3()V h h =≤=+，
当且仅当1h h = 时，取等号，即1h =，2a =时，容器的容积最大，其最大值为16立方米． 近年来广告业一场突起，可以说为企业的生存和发展劈荆斩棘，在一定条件下，销售量是广告费的增函数，但销售应有极限，盲目加大投入，企业必将亏损，所以企业在策划这方面时，应该运用均值不等式检测是否合理． 例3 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系式为311 x Q x +=+ (0)x ≥，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之差，求年广告费投入多少时，企业年利润最大？ 解 设企业年利润为W 万元，由已知条件，知年成本为(323)Q +万元，年收入为 (323)150%50%Q x +-万元，则年利润 (323)150%50%(323)W Q x Q =+--+， 整理得 298352(1) x x W x -++=+ (0)x ≥． 由于 2(1)100(1)64 2(1)x x W x -+++-=+13250()21 x x +=-++5042≤-=， 因此当且仅当 13221x x +=+，即7x =时，W 有最大值，最大值为42万元．
均值不等式运用的技巧
均值不等式运用的技巧 均值不等式是解决最值问题的有效工具。运用均值不等式求最值要同时满足条件：一正、二定、三相等，缺一不可。多数求最值的问题具有隐蔽性，需要进行适当地变形才能用均值不等式求解。掌握一些常见的变形技巧，可以更好地使用均值不等式求最值。 该题组的设计实际上是根据“一正、二定、三相等”三个条件设计的三个题组，整个设计由浅入深，教师在教学的过程中通过有效的提问，采用小组讨论、生生合作、师生探究的方式组织教学工作。教师课堂驾驭能力强，关注每一位学生，多数学生均有不同程度的收获。但教学过程中，教师只为了获得问题的结论，而不关注学生的思考过程。如（3）的变式一 有学生认为最小值为，不知道为什么要拼凑为1(1)1 y x x =+++，其实这个问题解决了，（4）的变式二也就解决了。又如（5）教师只关注了答案为18的同学的思维 过程，有的学生错解为82()()16y x y x y =++≥=，所以最小值为16，学生认为等号成立的条件为x y =且82x y =，显然不能同时成立。而这部分学生恰好没有受到老师的特别关注。 1. 凑系数 例1 当4x 0<<时，求)x 28(x y -=的最大值。 利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，本题是积的形式，但其和不是定值。注意到8)x 28(x 2=-+为定值，故需将“x ”项凑上一个系数即可。 解：由4x 0<<，知82x 28x 221)]x 28(x 2[21)x 28(x y ,0x 282=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=>-， 当且仅当2x ,x 28x 2=-=时取等号。其最大值是8。 点评：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 2. 凑项 例2 求)1x (1x 1x y <-+=的最值。 分析：由题意知01x <-，首先要调整符号，而1x 1·x -不是定值，需对x 进行凑项才 能得到定值，然后用均值不等式。 解：∵1x <， ∴01x <-，即0x 1>-。 11x 11)x 1(21x 11x 11x 1x y -=+-⋅--≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=-+ =，当且仅当x 11x 1-=-，即0x =时等号成立。 ∴函数 )1x (1x 1x y <-+=有最大值1-。 3. 分离
均值不等式八种技巧
运用均值不等式的八类拼凑技巧 一、 拼凑定和 通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。 例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。 解：()()()()()()2 2 2111111y x x x x x x x =-+++=+-=+- ()()3 11111322241422327 x x x x x x ++⎛⎫ ++- ⎪++=•••-≤= ⎪ ⎪⎝⎭ 。 当且仅当 112x x +=-，即13x =时，上式取“=” 。故max 32 27 y =。 评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系， 求“积”的最大值。 例2 求函数)01y x x =<<的最大值。 解： y ==。 因()()3 2222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭ ， 当且仅当()2 212 x x =-，即3x =时，上式取“= ”。故max 9y =。 评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。 例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。 解：()()()2 2 2 222236418244y x x x x x =-=⨯-- ()()3 2223 24418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦ 。 当且仅当( )2 2 24x x = -，即x ==” 。
故max 3 2 18827 y ⨯= ，又max 0,3y y >=。 二、 拼凑定积 通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为 出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件 例4 设1x >-，求函数()()521 x x y x ++= +的最小值。 解：()()) 141144 1515911 1 x x y x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦= =+++≥+=+++。 当且仅当1x =时，上式取“=”。故min 9y =。 评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑 定积”，往往是十分方便的。 例5 已知1x >-，求函数() () 2 2413x y x += +的最大值。 解： 1,10x x >-∴+>，() () ()()2 24124 24 34 224 1414 141 x y x x x x +∴= = ≤ =⨯+++++++ ++。 当且仅当1x =时，上式取“=”。故max 3y =。 评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设 法将分母“拼凑定积”。 例6 已知0x π<<，求函数2cos sin x y x -= 的最小值。 解：因为0x π<<，所以022x π<<，令tan 2 x t =，则0t >。 所以211cos 113133 sin sin 2222 x t t t y t x x t t t - += +=+=+≥=。 当且仅当 1322 t t =，即33t x π==时，上式取“=”。故min y = 评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式 的环境。 三、 拼凑常数降幂 例7 若332,,a b a b R ++=∈，求证：2a b +≤。
基本不等式(均值不等式)技巧
基本不等式习专题之基本不等式做题技巧 【基本知识】 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈， 则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） (4)，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； )(333 3 + ∈⎪⎭ ⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “=”号成立. 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时， 可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3) 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b +≤≤≤ 2 2 2b a +。
【技巧讲解】 技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于 构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造） 1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 3：设2 3 0<
巧用均值不等式及其条件求最值
巧用均值不等式及其条件求最值 (南京师范大学数学与计算机科学学院 张逸洁) 均值不等式是高中阶段初等数学中最重要的基本不等式之一，在许多问题的解决中往往能发挥出它的独特功能，对于它及它各种变式的掌握和熟练运用也是求解很多与不等式有关的最值问题的重要方法。本文将归纳介绍均值不等式在最值问题中的一些巧妙运用，希望能够开拓学生的思维，对高中生不等式的学习有所帮助。 一、均值不等式 1．2 2,2,a b R a b ab ∈+≥、（当且仅当a=b 时取“=”）。 推论：,a b R a b + ∈+≥、，（当且仅当a=b 时取“=”）。 2．变形，对a b R ∈、积向平方和转化：22 2 a b a b +⋅≤。对a b R ∈、积向和转化： 2 ( )2 a b a b +⋅≤。 注：这里有“最值定理”： 若,,,x y R x y s xy p + ⋅∈+== 2 ( )2 x y xy +≥⇔≤则x+y 运用此定理求最值时必须具备“一正，二定，三相等”这三个条件。 3．333,3a b c R a b c abc + ∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”） 推论：,a b c R a b c + ∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”） 4．变形：对3 ,( )3 a b c a b c R abc + ++∈≤、、 方法小结：在运用均值不等式求正数和的最小值时，凑积为定值；求正数积的最大值时，凑和为定值。 二、巧用均值不等式求解最值问题 在求解函数最值问题的过程中，我们通常运用不等式，函数单调性，数形结合等方法分析解答。本文着重介绍均值不等式在求解此类问题中的妙用，旨在帮助读者系统归纳，拓展思维，灵活解题。 1． 连用 例1：已知3222 16 0,a b a b a b ab b -+>>-求的最小值。 解：3222222 222 2161616166416()2 a b a b a a a a b a b ab b ab b b a b a -+=+=+≥+=+≥+----（）
均值不等式公式总结及应用
均值不等式应用 1.(1)假设R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+(2)假设R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 〔当且仅当b a =时取 “=〞〕 2.(1)假设*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)假设* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+〔当且仅当b a =时取“=〞〕 (3)假设* ,R b a ∈，则2 2⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=〞〕 3.假设0x >，则1 2x x + ≥(当且仅当1x =时取“=〞〕 假设0x <，则1 2x x +≤-(当且仅当1x =-时取“=〞〕 假设0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=〞〕 4.假设0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=〞〕 假设0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=〞〕 5.假设R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +〔当且仅当b a =时取“=〞〕 (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的 最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大〞． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等〞 (3)均值定理在求最值、比拟大小、求变量的取值围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例1：求以下函数的值域 〔1〕y ＝3*2 ＋12* 2 〔2〕y ＝*＋1* 解：(1)y ＝3*2 ＋12* 2 ≥2 3* 2 ·12* 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞〕 (2)当*＞0时，y ＝*＋1 * ≥2 *·1 * ＝2； 当*＜0时，y ＝*＋1 * =－〔－*－〕≤－2 *·1 * =－2 ∴值域为〔－∞，－2]∪[2，+∞〕 解题技巧 技巧一：凑项 例5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整〞符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进展拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝ ⎭231≤-+=
均值不等式公式总结及应用
均值不等式应用 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=” ） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则 2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=” ） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所 谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』
应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1 x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知54 x < ，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝ ⎭231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由 知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但 其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时， (82)y x x = -的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2 3 <
均值不等式公式总结及应用
均值不等式应用 1.(1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2.(1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥(当且仅当1x =时取“=” ） 若0x <，则1 2x x +≤-(当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=” ） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的 最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：(1)y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时，y ＝x ＋1x =－（－x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭ 231≤-+=
均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析)
均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析） 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当 且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈， 则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取 “=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的 和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定 积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5 ,540 4 x x <∴->，
基本不等式(均值不等式)技巧
基本不等式(均值不等式)技巧 基本知识】 1.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq 2ab$。（2）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”） 2.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。（2）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”） 3.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”） 4.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”） 5.若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $\frac{a^2+b^2}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”） 技巧讲解】 技巧一：凑项（增减项）与凑系数
做题时，条件不满足时关键在于构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造。 1.已知 $x<5$，求函数 $y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}$ 的最大值。 解：因为 $x<5$，所以首先要“调整”符号，又 $4x-5<0$，要进行拆、凑项，得到： y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}=-\frac{1}{4}\left(5- 4x+\frac{1}{4x-5}\right)+\frac{11}{4} 由于 $\frac{1}{4x-5}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)$（当且仅当 $x=2$ 时取“=”），所以： y\leq -\frac{1}{4}\left(5- 4x+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)\right)+\frac{1 1}{4}=-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9- \frac{1}{x}\right)+\frac{11}{4}
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)
(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝ ⎭231≤-+= 当且仅当1 5454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2 30<
基本不等式(均值不等式)技巧
基本不等式习专题之基本不等式做题技巧之巴公井开 创作 【基本知识】 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当 且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当 且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） (4)， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当 a =b =c 时,“=”号成立； )(333 3+ ∈⎪⎭ ⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当 a = b = c 时,“=”号成立. 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当 两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2+2 a b ab +≤≤≤2 2 2b a +。 【技巧讲解】 技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造） 1：已知54 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。