一元二次方程的意义
第八讲：一元二次方程的意义
第一小节：花边有多宽（一）
一、教学目的:
1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
2、会识别一元二次方程及各部分名称。从数学课堂的远期目标来看，还应该培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。
3、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，激发学生求解的意识。
4、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力。
5、进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，在尝试的过程中体验到学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识，学会在合作学习中相互交流。
二、教学过程分析
第一环节：自主探究问题一
活动内容：
出示问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为
５m．地毯中央长方形图案的面积为１８m2。
让学生根据这一问题情境提出问题：根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？
你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？
教学中教师可以一次完成下列任务：
（1）罗列学生提的问题；
（2）引导学生分析所提问题满足的条件，提出解答的方式；
（3）引导学生列出相应的方程并整理。
从实际效果来看，学生提出的问题多样有：（1）花边的宽，（2）中央长方形的长、宽等；学生列方程问题不大，所列方程也多样，依据的等量关系不同，得到的方程也不同；但是，整理方程时显得困难，这与课前没有复习整式的运算有直接的关系。
第二环节：自主探究问题二
活动内容：
在学生的疑问处提出问题：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式
吗？
得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？
根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。
在难以找到的情况下，归结为方程去解决。
找到等式102+112+122=132+142之后的猜想不同。再找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和，部分学生有困难，寻找的方式也有不同。有的同学采取代入特殊值一个一个去试一试，有的同学直接归结为方程去解决。
首先，“我”巡视那些无从下手的学生，问：需要我的帮助吗？然后给予必要的指导。
然后巡视那些已经解决问题的同学，给予适当的鼓励。关注学生在探
索-发现-归纳的过程中的主动参与程度与合作交流意识，及时给予鼓励、
指导。
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第三环节：自主探究问题三
活动内容：
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？
先让学生理解题意，然后让一生结合图示分析题意，这样等量关系就会浮出水面。由于有了前两个环节作铺垫，学生自然地设梯子底端滑动Xm，从而列出方程，问题解决得很顺畅。第四环节：总结归纳
活动内容：
归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。
第五环节：学以致用
活动内容：
1、把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
2．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．
问题（1）中学生对于化成一元二次方程的一般形式感觉困难不大,但写出它的二次项系
数、一次项系数和常数项时，部分学生可能容易忽视符号，作为第一次学习，这是难免的。当然，教学中也可以在第4环节中设计一种反向的问题，如给出各项系数，请写出事故和条件的方程；也可以在第四环节中，直接和学生辨析到底各项系数是什么。
问题（2），实际问题，可能有部分学生不能理解题意，部分学生不能很快列出相应的方程，教师要鼓励学生自己找到等量关系，然后将直角三角形的各边表示出来。 第六环节：反思
活动内容：
让学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，学会了什么？还有哪些困惑？ 第七环节：布置作业
第二小节：花边有多宽（二）
第一环节：复习回顾
活动内容：在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：
()()18
2x 52x 8=--，即：0111322
=+-x x ；()222
1076x =++，即：
01512x x 2=-+。
发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中的x 吗？ 第二环节：情境引入
活动内容：1、有一根外带有塑料皮长为100m 的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只万用表（能测量是否通）进行检查，你怎样快速的找到这一处断裂处？与同伴进行交流。
2、在前一节课的问题中，我们若设地毯花边的宽为x(m)，得到方程：()()182x 52x 8=--，
即：0111322
=+-x x ；（1）x 可能小于0吗?说说你的理由．
（2）x 可能大于4吗?可能大于2．5吗?说说你的理由，并与同伴进行交流． （3）完成下表：
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流． 通过对问题1提出的方法进行讨论，学生能够比较自然的得到“夹逼”思想解决一元二
次方程的方法，并由学生概括得出用“夹逼”思想解一元二次方程的实质及步骤：①在未知数x 的取值范围内排除一部分取值，②根据题意所列的具体情况再次进行排除；③列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据。然后用这种方法解决接下来的问题2。
问题2，第（1）问，因为x 表示的是地毯的宽度，学生能意识到x 不可能小于0；第（2）问，学生大多数能够从实际情况出发，意识到当x 大于4和当x 大于2.5时，将分别使原地毯的长和宽小于0，不符合实际情况；第（3）问，学生在利用计算器对表格中的数据进行计算的过程中发现，当x=1时，代数式2x 2
-13x+11的值等于0；花边的宽度为1m 。
由于方程的解是整数解，学生都能通过列表计算直接找到方程的解，这就使学生从这种求解的方法中体验到了方便和巧妙，从而增强了学生学习的积极性，同时培养学生善于观察分析问题、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识。
当然，解决第（4）问时，有的学生发现在方程()()182x 52x 8=--中，等式的左边是一个乘积，右边等于18，而3?6=18，所以令8-2x=6,5-2x=3,凑出x=1，这些学生的想法很巧妙，要及时肯定。 第三环节：做一做
活动内容：上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程()222
1076x =++，把这个方程化为一般形式为01512x x 2=-+
（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
（2）小明认为底端也滑动了1 m ，他的说法正确吗?为什么? （3）底端滑动的距离可能是2 m 吗?可能是3 m 吗?为什么?
（4）x 的整数部分是几?十分位是几? 附学生对第（1）问的说理过程如下：
在此题中，我认为x 的取值范围是0＜x ＜4。首先，梯子滑动的距离x ＞0是显而易见的，在下图中，求得BC=6m,而BD ＜10m,因此CD ＜4m 。所以x 的取值范围是0＜x ＜4。
学生完成下面的表格：
同时发现：没能在这些整数取值中找到方程的解，但却通过表格分析发现，当x 的取值是1和2时，所对应代数式的值是-2和13，而且随着x 的取值越大，相应代数式的值也越
8m
10m
A
B C D
大。因此若想使代数式的值为0，那么x的取值应在1和2之间。从而确定x的整数部分是1。教师启发引导学生在1和2之间继续找方程的解。以下分了两种不同的做法：甲同学的做法：
所以1＜x＜1.5进一步计算：
所以1.1＜x＜1.2因此x的整数部分是1，十分位是1。乙同学的做法：
所以1.1＜x＜1.2因此x的整数部分是1，十分位是1。
第四环节：练习与提高
内容：五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方。您能求出这五个整数分别是多少吗？
第五环节：课堂小结
师生互相交流总结探索解一元二次方程的基本思路和关键，以及在求解（或近似解）时应注意的问题。
第六环节：布置作业课本47页习题2.2第1题、第2题
三、教学反思
第一章一元二次方程复习测试(含答案)
一元二次方程 复习测试 一、选择题（共20分） 1. 如果关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两根分别为12x =，21x =，那么p 、q 的 值分别是（ ） A ．-3，2 B. 3，-2 C. 2，-3 D. 2，3 2. 在一元二次方程20ax bx c ++=中，如果a 和c 异号，那么这个方程 （ ） A ．无实数根 B. 有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D. 不能确定 3. 若2x =-是关于x 的一元二次方程22502 x ax a -+=的一个根，则a 的值为 （ ） A ．1 或 4 B. -1 或-4 C. -1或4 D. 1或4 4.某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元.设每月的平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A. 248(1)36x -= B. 2 48(1)36x += B. C. 236(1)48x -= D. 236(1)48x += 5.已知关于x 的一元二次方程20x ax b ++=有一个非零根b -，则a b -的值为 （ ） A ． 1 B. -1 C. 0 D. -2 6. 已知关于x 的一元二次方程22(2)(21)10k x k x -+++=有两个不相等的实数根，则k 的 取值范围是（ ） A. 43k > 且2k ≠ B. 43 k ≥且2k ≠ B. C. 34k >且2k ≠ D. 34k ≥且2k ≠ 7. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A ．4x 2﹣5x +2=0 B ． x 2﹣6x +9=0 C ． 5x 2﹣4x ﹣1=0 D ．3x 2﹣4x +1=0 8. 某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百 分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是 （ ） 9. 设x 1，x 2是方程x 2+5x ﹣3=0的两个根，则x 12+x 22的值是（ ） A ． 19 B ． 25 C ． 31 D ． 30
一元二次方程及根的定义
一元二次方程及根的定 义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及 的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式 的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以.
. 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由， 得， ，
， 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以，
所以. (3)将原方程展开并整理得， 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或， 故 (2)直接提取公因式，得 所以或，(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得
浙教版八年级下数学第二章一元二次方程练习(A)含答案
浙教新版八年级下第二章一元二次方程练习A 卷 姓名：__________班级：__________考号：__________ 一 、选择题（本大题共12小题） 1.下列方程中，一元二次方程共有（ ）个 ①x 2﹣2x ﹣1=0；②ax 2+bx+c=0；③ +3x ﹣5=0；④﹣x 2=0；⑤（x ﹣1）2+y 2=2；⑥（x ﹣1）（x ﹣3）=x 2． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2.关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2 +x+a 2 ﹣1=0的一个根是0，则a 的值是（ ） A ． ﹣1 B ． 1 C ． 1或﹣1 D ． ﹣1或0 3.一元二次方程x 2﹣8x ﹣1=0配方后可变形为（ ） A ．（x+4）2=17 B ．（x+4）2=15 C ．（x ﹣4）2=17 D ．（x ﹣4）2=15 4.关于x 的一元二次方程kx 2 ﹣6x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ． k ≥9 B ． k ＜9 C ． k ≤9且k ≠0 D ． k ＜9且k ≠0 5.若关于x 的一元二次方程mx 2 ﹣2x+1=0无实数根，则一次函数y=（m ﹣1）x ﹣m 图象不经过（ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 6.已知关于x 的方程 ()0112 =--+x k kx ，下列说法正确的是（ ） A ．当0=k 时，方程无解 B ．当1=k 时，方程有一个实数解 C ．当1-=k 时，方程有两个相等的实数解 D ．当0≠k 时，方程总有两个不相等的实数解 7.已知关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2 ﹣ x+=0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ． k 为任意实数 B ． k ≠1 C ． k ≥0 D ． k ≥0且k ≠1 8.已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x 2 ﹣8x+12=0的根，则这个三角形的周长为 （ ） A ． 7 B ． 11 C ． 7或11 D ． 8或9
一元二次方程根的情况试题练习题
一元二次方程根的情况练习题（含答案） 一．选择题 1．一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 2．一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根 3．一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 4．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．无实数根D．无法确定 5．a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．无实数根D．有一根为0 6．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 7．一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（）
C．只有一个实数根D．没有实数根 8．y=x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根 9．一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（） A．有一个实数根B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根D．没有实数根 10．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 11．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 12．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根 13．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 14．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）
第一章一元二次方程竞赛拔尖题
8、解方程：(y 4)( y 3)(y 2)( y 1) 1 0 第一章《一元二次方程》竞赛拔尖题 2 1、若关于x 的方程x 2ax A. 2 x 2ax 3a 2 0 B. 2 x 2ax 5a 6 0 C. 2 x 2ax 10a 21 D. 2 x 2ax 2a 3 0 7a 10 0没有实根，那么必有实根的方程是 2、若关于x 的一元二次方程(b c)x 2 (a b)x c a 0有两个相等的实数根， 则a 、b 、 c 之间的关系是( ) b c , a c —— B. b —— 2 2 a b , ---- D. a b c 2 A. a C. c 3、若 2是关于x 的方程x 2 0的一个根，则a 的值为 4、已知 2 x 2 5x 2016 2)3 (x 1)2 1 的值为 x 2 5、满足 / 2 # \ n 2 (n n 1) 1的整数n 有 6、设整数a 使得关于x 的一元二次方程5x 2 5ax 26a 143 0的两个根都是整数，则 a 的值是 2 7、设a 、b 是整数，方程x ax b 0的一根是 7^2/3 ，求a+b 的值
9、求方程x 2 12x 5 5j x 2 12x 9的实数根的和与积 个时，求实数a 的取值范围 11、设等腰三角形的一腰与底边长分别是方程 2 c x 6x a 0的量根，当这样的三角形只有 12、已知3个不同的实数 a 、 2 b 、c 满足a-b+c=3，方程x 2 ax 1 0 和 x bx c 0 有一 个相同的实根，方程 x 2 2 a 0和x cx b 0也有一个相同的实根.求a 、b 、c 的值 13、已知在关于x 的分式方程 k 一 1 --- 二2①和一元二次方程 (2 - k ) x 2 +3mx+ (3 - k ) n=0②中, X - 1 k 、m 、n 均为实数，方程①的根为非负数. (1 )求k 的取值范围; (2)当方程②有两个整数根 X 1、X 2, k 为整数，且k=m+2, n=1时，求方程②的整数根; (3)当方程②有两个实数根 X 1、X 2,满足 x 1 (x 1 - k ) +x 2 (x 2- k ) = (x 1 - k ) (x 2- k ),且 k 为负整数时，试判断 m| W 是否成立？请说明理由. 15支少一元，试求初三年级共有多少学生 ？并确 (2 )若按批发价每购 15支与按零售价每购 定m 的值 10、一个批发兼零售的文具店规定： 凡一次购买铅笔 301支以上(包括301支)可以按批发
一元二次方程根的分布情况归纳总结
一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 4 13=+x x 一元二次方程单元检测 姓名 ___ 一、精心选一选（每题3分，共30分）： 1、下列方程是一元二次方程的是（ ） A 、12=+y x B 、()32122 +=-x x x C 、 D 、022=-x 2、关于x 的一元二次方程02 =+k x 有实数根，则（ ） A 、k ＜0 B 、k ＞0 C 、k ≥0 D 、k ≤0 3、把方程2 830x x -+=化成()2 x m n +=的形式，则m 、n 的值是（ ） A 、4，13 B 、-4，19 C 、-4，13 D 、4，19 4、已知直角三角形的两条边长分别是方程2 14480x x -+=的两个根，则此三角形的第三边是（ ） 108 A B C D 、6或8 、 10或、 或、 5、若关于x 的一元二次方程 ()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（ ） A 、 1 B 、 -1 C 、 1或-1 D 、1 2 6．方程x 2 =3x 的根是（ ） A 、x = 3 B 、x = 0 C 、x 1 =-3, x 2 =0 D 、x 1 =3, x 2 = 0 7、若方程02 =++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ ） A 、1，0 B 、-1，0 C 、1，-1 D 、无法确定 8、已知0652 2=+-y xy x ，则x y :等于 （ ） A 、2131或 B 、32或 C 、16 1 或 D 、16或 9、方程x 2 -4│x │+3=0的解是（ ） A 、x=±1或x=±3 B 、x=1和x=3 C 、x=-1或x=-3 D 、无实数根 10、使用墙的一边，再用13m 的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m 2 的长方形，求这个长 一元二次方程根的分布教学设计 大庆一中高中部孙庆夺 一、教学分析 （一）教学内容分析 本节课所讲的内容是高中数学必修一第三章第一节《函数与方程》之后的一个专题内容，是中学数学的重要内容之一。这段内容与一元二次不等式，二次函数等内容有着紧密的联系。它是在前面学习了函数与方程，二次方程，二次不等式基础上对函数与方程内容的深化和拓展，通过根的分布的不同情况，充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。从而提升学生对数学知识的应用能力。通过学习一元二次方程根的分布，有助于学生进一步理解二次方程，二次函数，加深函数与方程思想，数形结合思想在数学学习中的应用的认识，同时也为以后数学的学习打下扎实的基础。 （二）教学对象分析 高中一年级的学生已经有了一定的观察识图能力及分析判断能力，有利用已有知识解决新问题的愿望。学生学习了函数与方程，二次方程，二次函数的知识， 已经具有用数学知识解决实际问题的能力。学生抽象逻辑思维很大程度上还属于经验型，需要感性经验的直接支持。通过学习，抽象逻辑思维逐步成熟，能够用理论作为指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。 （三）教学环境分析 由于本节课涉及到根的分布情况较多，对老师的的作图提出了很高的要求。采用传统的板式教学，根本就无法向学生演示动态过程，很难满足学生的求知欲，达不到教学的最佳效果。多媒体网络教学，是现代高中数学教学全新的教育技术， 使传统的教学方式得到补充。在计算机的帮助下，利用制作好的几何画板课件，操作演示，感受根的分布的不同情况，加深学生的认识和理解，同时也符合学生认识事物从感性认识到理想认识的认知过程。 （四）教学手段 采用多媒体网络教学。《普通高中数学课程标准》指出：“现代信息技术的广泛应用真正对数学教学、数学学习方面产生深刻的影响，数学课程的设计应重视运用现代信息技术，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，提倡实现信息技术与课程内容的有机结合。”本节课涉及到的图象信息较多，利用多媒体网络教学可以实现最大容量地向学生提供图象信息，并让学生整理归纳信息，增强学生的动手能力、思考能力和自主学习能力，也能实现数学课堂中学生的高参与度，从而实现资源、时间、效率的最优化。 （五）教学方式 自主式探究，学案式导学。自主探究，学案导学的教学方式，能够激发学生的学习兴趣、突出学生的主题地位，培养学生的数学应用意识、合作精神，这与《新课标》的要求是吻合的。 二、教学目标 １.知识与能力 加深对一元二次方程，二次函数图象与性质的认识；会利用函数知识，方法重新审视一元二次方程． ２.过程与方法 体验“观察-猜想-验证”探究问题的方法，领会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，加深对函数与方程，数形结合思想的理解。 1 一元二次方程 一、情境创设 1、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？ 2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率？ 3、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？ 4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。 二、探索活动 上述问题可用方程解决： 问题1中可设宽为x 米，则可列方程： x （x +10）= 900 问题2中可设这两年的平均增长率为x ，则可列方程： 5（1＋x ）2 = 7.2 问题3中可设这个正方形的连长为x ，则可列方程： 2x 2 = 15 问题4中可设较小的一个数为x ，则可列方程： x （x ＋3）= 10 观察上面列出的4个方程，它们有哪些相同点？（从方程的概念看） 归纳：像上述方程这样，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 注：符合一元二次方程即符合三个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程 任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成下面的形式：ax 2＋bx ＋c = 0（a 、b 、c 是常数，且a ≠0） 这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax 2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数项，a 、b 分别叫二次项系数和一次项系数。 三、例题教学 例 1 根据题意，列出方程： （1）某学校图书馆去年年底有图书1万册，预计到明年年底增加到1.44万册。求这两年图书的年平均增长率。 （2）一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。求这个正方形的连长。 例 2 判断下列关于x 的方程是否为一元二次方程： ⑴ 2（x 2－1）= 3y ⑵ 32 12=-x x ⑶（x －3）2= （x ＋5）2 ⑷ mx 2＋3x －2 = 0 ⑸ （a 2＋1）x 2 ＋（2a －1）x ＋5―a = 0 例 3 把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： ⑴ 2（x 2－1）= 3 x ⑵ 3（x －3）2=（x ＋2）2＋7 四、课时作业： 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）． （A ）x 2－1 x =1 （B ）x 2+y=2 （C x 2=2 （D ）x+5=（－7）2 2．方程3x 2=－4x 的一次项系数是（ ）． （A ）3 （B ）－4 （C ）0 （D ）4 3．把一元二次方程（x+2）（x －3）=4化成一般形式，得（ ）． （A ）x 2+x －10=0 （B ）x 2－x －6=4 （C ）x 2－x －10=0 （D ）x 2－x －6=0 4．一元二次方程3x 2x －2=0的一次项系数是________，常数项是_________． 5．x=a 是方程x 2－6x+5=0的一个根，那么a 2－6a=_________． 6．根据题意列出方程： （1）已知两个数的和为8，积为12，求这两个数．如果设一个数为x ，那么另一个数为________， 北师大版九年级数学-第二章-一元二次方程知识点 知识点一：认识一元一次方程 （一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元）并且未知数的次数是2（二次）的整式方程；这样的方程叫一元二次方程. （注意：一元二次方程必须满足以下三个条件：是整式方程；一元；二次） （二） 一元二次方程的一般形式：把20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数；a ≠0）称为一元二次方程的一般形式.其中a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项. 【例题】 1、一元二次方程3x 2＝5x －1的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 . 2、一元二次方程（x+1）(3x －2)=10的一般形式是 . 3、当m= 时；关于x 的方程5)3(7 2 =---x x m m 是一元二次方程. 4、下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 23 2057 x +-= 知识点二：求解一元一次方程 （一）一元二次方程的根定义：使得方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解；一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 【例题】 例1、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0；则a 值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、1 2 （二）解一元二次方程的方法： 1.配方法 <即将其变为2()0x m +=的形式> 配方法解一元二次方程的基本步骤： ①把方程化成一元二次方程的一般形式； ②将二次项系数化成1； ③把常数项移到方程的右边； ④两边加上一次项系数的一半的平方； ⑤把方程转化成2()0x m +=的形式； ⑥两边开方求其根. 【例题】 例2 一元二次方程x 2-8x-1=0配方后可变形为（ ） A ．（x+4）2=17 B ．（x+4）2=15 C ．（x-4）2=17 D ．（x-4）2=15 例3 用配方法解一元二次方程x 2-6x-4=0；下列变形正确的是（ ） A ．（x-6）2=-4+36 B ．（x-6）2=4+36 C ．（x-3）2=-4+9 D ．（x-3）2=4+9 例4 x 2-6x-4=0； x 2-4x=1； x 2-2x-2=0 2. 公式法x = （注意在找abc 时须先把方程化为一般形式） 【例题】 例5若一元二次方程x 2+2x+a=0的有实数解；则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1 B ．a≤4 C ．a≤1 D ．a≥1 例6 已知一元二次方程2x 2-5x+3=0；则该方程根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．两个根都是自然数 D ．无实数根 例7 已知关于x 的方程x 2+2x+a-2=0． （1）若该方程有两个不相等的实数根；求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时；求a 的值及方程的另一根． 3.分解因式法 把方程的一边变成0；另一边变成两个一次因式的乘积来求解.（主要包括“提公因式”和“十字相乘”） 【例题】 例8 一元二次方程x 2-2x=0的解是（ ） A ．0 B ．2 C ．0；-2 D ．0；2 例9 方程3（x-5）2=2（x-5）的根是 例10 x 2-3x+2=0； x 2+2x=3； （x-1）2+2x （x-1）=0 知识点三：一元二次方程的根与系数的关系 1.根与系数的关系：如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为x1、x2；则有：1212,b c x x x x a a +=-?= . 2.一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根；求另一根； （2）不解方程；求二次方程的根x1、x2的对称式的值. （3）对比记忆以下公式： 2016年九年级质量检测 数 学 试 题 （时间 100分钟 满分150分） 温馨提示： 1．本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间100分钟。考生答题全部答在答题纸上，在草稿纸、试卷上答题无效。 2．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。 3．答题卡上作答内容不得使用胶带纸和涂改液，答错的用黑笔涂掉并在上（下）方空白处添上。 4．保持答题纸清洁，不要折叠、不要弄破。 一、选择题（每小题4分，共32分） 1．一元二次方程32x =5x 的二次项系数和一次项系数分别是（ ）． A 3，5 B 3，－5 C 3，0 D 5，0 ２．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）． A ()()2 3121x x +=+ B 211 x x +－2=0 C 20ax bx c ++= D 2221x x x -=+ 3. 关于x 一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，p =（ ） A ．4 B ．0或2 C ．1 D ．1- 4．方程()()1132=-+x x 的解的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有一个实数根 5．若关于x 的一元二次方程的两个根为11x =，22x =，则这个方程是（ ） A 2320x x +-= B.2320x x -+= C.2230x x -+= D.2320x x ++= 6．根据下列表格对应值： 判断关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个解x 的范围是（ ） A.x ＜3.24 B.3.24＜x ＜3.25 C.3.25＜x ＜3.26 D.3.26＜x ＜3.28 7．.以3、4为两边长的三角形的第三边长是方程040132=+-x x 的根，则这个三角形的周长为（ ） A.15或12 B.12 C.15 D.以上都不对 8．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，可列出的方程是（ ） A.340.515x x +-=）（ （ ） B.340.515x x ++=（）（） C.430.515x x +-=（）（） D.140.515x x +-=（）（） 二．填空题（每小题4分，共32分） 9. 方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 10．x 的一元二次方程1 (1)(2)30n n x n x n +++-+=中，一次项系数 是 . 11．一元二次方程2 230x x --=的根是 . 12．若关于x 的一元二次方程()()2 2111x m x x x -++=+化成一般形式后 二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m 的值为 。 一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式 法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算， 九上第二章一元二次方程培优讲义一．填空题（共15小题） 1．已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根，求a2﹣2012a+的值为．2．附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为． 3．若m为实数，方程x2﹣3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3=0的一个根，则x2﹣3x+m=0的根是． 4．已知x=﹣1是方程ax2+bx+c=0根，那么的值是． 5．已知a，b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a2+b2+29=10a+4b，则这个等腰三角形的周长为． 6．若实数a、b、c满足a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，则200a+9b+c=． 7．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．8．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足．9．已知：a2+b2=1，a+b=，且b＜0，那么a：b=． 10．方程（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2的解是．11．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n，则++…+=．12．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是． 13．α，β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0的两个根，则代数式2α2+β2+β﹣3的值为． 14．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有人被感染． 15．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数字等于其数字之和的3倍，如果这个两位数的十位数字为x，则方程可列为． 第1讲一元二次方程 新知新讲 题一：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由． (1)3x+2=5x3；(2)x2 = 4；(3)x2 4=(x+2)2． 题二：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)6y2 = y；(2)(x2)(x+3)=8；(3)(x+3)(3x4)=(x+2)2． 金题精讲 题一：关于x的方程mx m+1+3x=6是一元二次方程，求m的值． 题二：已知关于x的方程(a+8)x2 +2x+3+a=0是一元二次方程，则a_______． 题三：关于x的方程(m3)x2 +nx+m=0，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？ 第2讲一元二次方程的根 新知新讲 题一：下面哪些数是方程2x2 +10x+12=0的根？ -4，3，2，1，0，1，2，3，4． 金题精讲 题一：已知方程5x2 +mx6=0的一个根是x=3，则m的值为________． 题二：如果x=2是方程x2-m=0的一个根，求m的值和方程的另一个根． 题三：你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ (1)x264=0；(2)3-27x2 =0；(3)4(1-x)2-9=0． 题四：若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根，求代数式xx(a+b+c)的值． 第3讲 解一元二次方程——直接开方法 新知新讲 题一：用直接开方法解下列方程． (1)x 2-16=0；(2)4x 2-25=0． 题二：解下列方程． (1)(2x 3)2 = 49；(2)3(x 1)2 6=0． 金题精讲 题一：解下列方程． (1)(x +2)(x 2)=5；(2)x 2 +6x +9=2；(3)x 2 +2x +1=0；(4)4x 2 12x +9=0． 第4讲 解一元二次方程——配方法 新知新讲 配方法： 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法称为配方法． 题一：(1)x 2+8x +_____=(x +_____)2 (2)x 2-10x +_____=(x -_____)2 (3)x 232-x +_____=(x -_____)2 配方法的步骤： (1)化二次项系数为 (2)移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项 (3)方程两边各加上 的平方，使方程变形为2()(0)x m n n +=≥的形式 (4)用直接开方法求方程的解 题二：解下列方程． (1)x 2 2x 2=0；(2)3x 2 6x +4=0． 典型例题一 例 求证：如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根，那么，关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根. 分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之. 证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1?，方程 0522=+-+m my y 的根的判别式为2?，则 . 36)4( 208)25(4. 440)9(42222221-+=-+=--=?+=++=?m m m m m m m ∵方程922+=+m x x 无实数根， 01+∴m ，即036)4(2>-+m . 故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根. 说明：上述证明中，判定02>?用到了01 分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“?”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“?”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键. 解：（1）),1(4,2,1-=-==k c k b a )1(414)2(422-??--=-=?∴k k ac b )2(4)44(416 16422 2≥-=+-=+-=k k k k k ∴方程有两个实数根. （2）0≠a ， ∴方程02=+bx ax 是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零. ∴2204b a b =?-=?. ∴不论b 取任何实数，2b 均为非负数， 02≥=?b 恒成立. ∴方程有两个实数根. （3）0≠a ， ∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数0=b . ac a 40402-=?-=?， ∴需要讨论a 、c 的符号，才能确定?的符号. 当0=c 时，0=?，方程有两个相等的实数根； 当a 、c 异号时，0>?，方程有两个不相等的实数根； 当a 、c 同号时，0 第二章一元二次方程复习卷1 姓名学号一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列方程属于一元二次方程的是（）． （A）（x2-2）·x=x2（B）ax2+bx+c=0 （C）x+1 x =5 （D）x2=0 2．方程x（x-1）=5（x-1）的解是（）． （A）1 （B）5 （C）1或5 （D）无解 3．已知x=2是关于x的方程3 2 x2-2a=0的一个根，则2a-1的值是（）． （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 4．把方程x2-4x-6=0配方，化为（x+m）2=n的形式应为（）． （A）（x-4）2=6 （B）（x-2）2=4 （C）（x-2）2=0 （D）（x-2）2=10 5．下列方程中，无实数根的是（）． （A）x2+2x+5=0 （B）x2-x-2=0（C）2x2+x-10=0 （D）2x2-x-1=0 6．当代数式x2+3x+5的值为7时，代数式3x2+9x-2的值是（）． （A）4 （B）0 （C）-2 （D）-4 7．方程（x+1）（x+2）=6的解是（）． （A）x1=-1，x2=-2 （B）x1=1，x2=-4 （C）x1=-1，x2=4 （D）x1=2，x2=3 8．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，?那么这个一元二次方程是（）． （A）x2+3x+4=0 （B）x2-4x+3=0 （C）x2+4x-3=0 （D）x2+3x-4=0 9．某市计划经过两年时间，绿地面积增加44%，?这两年平均每年绿地面积的增长率是（）． （A）19% （B）20% （C）21% （D）22% 10．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶 一条金色纸边，?制成一幅矩形挂图，如图所示．如 果要使整个挂图的面积是5 400cm2，设金色纸边的 宽为xcm，?那么x满足的方程是（）． （A）x2+130x-1 400=0 （B）x2+65x-350=0 （C）x2-130x-1 400=0 （D）x2-65x-350=0 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．方程2x2-x-2=0的二次项系数是________，一次项 系数是________，?常数项是________． 12．若方程ax2+bx+c=0的一个根为-1，则a-b+c=_______． 13．已知x2-2x-3与x+7的值相等，则x的值是________． 14．请写出两根分别为-2，3的一个一元二次方程_________． 15．如果（2a+2b+1）（2a+2b-1）=63，那么a+b的值是________． 一元二次方程的根的判别式 1、方程2x 2+3x －k=0根的判别式是 ；当k 时，方程有实根。 2、关于x 的方程kx 2+(2k+1)x －k+1=0的实根的情况是 。 3、方程x 2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。 4、关于x 的方程(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0的根的情况是 。 5、当m 时，关于x 的方程3x 2－2(3m+1)x+3m 2－1=0有两个不相等的实数根。 6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值是 。 7、关于x 的一元二次方程mx 2+(2m －1)x －2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。 8、设方程(x －a)(x －b)－cx=0的两根是α、β，试求方程(x －α)(x －β)+cx=0的根。 9、不解方程，判断下列关于x 的方程根的情况： (1)(a+1)x 2－2a 2x+a 3=0(a>0) (2)(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0 10、m 、n 为何值时，方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2+2=0有实根? 11、求证：关于x 的方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。 12、已知关于x 的方程(m 2－1)x 2+2(m+1)x+1=0，试问：m 为何实数值时，方程有实数根? 13、 已知关于x 的方程x 2－2x －m=0无实根(m 为实数)，证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2－1)(x 2+1)=0 也无实根。 14、已知：a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况。 15、m 为何值时，方程2(m+1)x 2+4mx+2m －1=0。 (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个实数根； (3)有两个相等的实数根； (4)无实数根。 16、当一元二次方程(2k －1)x 2－4x －6=0无实根时，k 应取何值? 17、已知：关于x 的方程x 2+bx+4b=0有两个相等实根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2－b)y+4=0的两实根，求以1y 、2y 为根的一元二次方程。 18、若x 1、x 2是方程x 2+ p x+q=0的两个实根，且23x x x x 222121=++，25x 1x 12221=+求p 和q 的值。 19、设x 1、x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0(q ≠0)的两个根，且x 2 1+3x 1x 2+x 2 2=1， 0)x 1(x )x 1(x 2211=+++，求p 和q 的值。 20、已知x 1、x 2是关于x 的方程4x 2－(3m －5)x －6m 2=0的两个实数根，且23x x 21=，求常数m 的值。 21、已知α、β是关于x 的方程x 2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α3－α2β－αβ2+ β3=0，求证：p=0,q<0 22、已知方程(x －1)(x －2)=m 2(m 为已知实数，且m ≠0)，不解方程证明： (1)这个方程有两个不相等的实数根；第二章 一元二次方程单元测试题及答案
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