牛顿迭代法实验报告

用牛顿迭代法求方程的根

一、 实验目的

1. 用牛顿迭代法求解方程的根

2. 了解迭代法的原理

3. 改进和修缮迭代法

二、 实验原理

给定初始值0x ，ε为根的容许误差，η为()x f 的容许误差，N 为迭代次数的容许值。

1． 如果()0='x f 或迭带次数大于N ，则算法失败，结束；否则执行2.

2． 计算()()

0001x f x f x x '-=. 3． 若ε<-21x x 或()η<1x f ，则输出1x ，程序结束；否则执行4.

4． 令10x x =，转向1.

三、 实验题目

求方程()03323=--+=x x x x f 在5.1附近的根。

四、 程序代码

function Newtondiedai(f,a,b) %f 为a,b 是方程根的取值区间

[a ，b]

x1=a;% x1，x2为迭代中的Xn.Xn+1.

x2=0; %最后输出的方程的根

n=100;%迭代次数

eps=1.0e-6;%根的容许误差

ea=1.0e-8;%|f(x)|的容许误差

df=diff(sym(f));%求导

%求方程某点的值

f1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);

f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);

%当端点的函数值为0的时候，直接输出根

if(f1==0)

x2=a;

x2

end

if(f2==0)

x2=b;

x2

end

for(i=1:n)

f1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1);

dfx=subs(sym(df),findsym(sym(df)),x1);

x2=x1-f1/dfx;

%迭代方程

if(abs(x2-x1)

x2 %输出方程最后的根

i %输出迭代次数

return

end

x1=x2;

end

五、求解结果

在Mtalab中输入

Newtondiedai('x^3+x^2-3*x-3',1,2)

输出x2 =

1.73205080787106

i =

6

在Mtalab中输入

Newtondiedai('x^3+x^2-3*x-3',1.5,2)

输出x2 =

1.73205080756970

i =

4

六、实验分析

1.在求解在1.5处附近的根，不难发现在输入区间左端值为

1时需要迭代6次，而输入区间左端值为1.5时，却只要4次。初值更接近方程根时，迭代次数越少。

2.在实验中，都是选取的区间左端值作为初次迭代值，而没

有用到右端，应该设置左右端值作为迭代初值，比较它们的迭代次数，这样可以得到更少的迭代次数。

3.在编写代码过程中，有几点疑惑，左右两端的导数是否会

影响迭代次数，也就是选取哪个端点值迭代的问题。

4.怎么样求出方程所有的根，在根的附近，得到解后程序就

结束运行，如何将方程所有的根找出。

5.怎么进一步加速迭代将是牛顿法进一步需要改进的问题。

6.迭代过程中，导数值比较小，会导致误差比较大，如何规

避。