桥梁结构振动与控制分析研究

结题报告

桥梁结构振动与控制分析研究

桥梁结构振动与控制分析研究

一、课题的研究意义及研究方法

1.1课题的研究意义

桥梁结构的振动是引起桥梁损坏(破坏)的一个重要因素，引起桥梁振动的因素主要有：地震引起的振动、荷载引起的振动及车 - 桥耦合作用引起的振动。传统的结构强度设计方法通过增强结构物自身抗力来抵御地震作用，即由结构本身储存和消耗地震能量。但由于人类测震技术的不成熟，尚不能准确估计振动的强度和特性。因此，可能会出现结构不满足安全性的要求而产生安全事故。

近年来发展起来的结构控制技术是建筑结构抗震领域内的一个新的研究热点, 它是通过采用结构振动控制的理论与方法改变结构系统的动力学性能或阻尼耗散性能来增加和改善结构的抗震能力，是一种积极主动的对策。因此，近年来桥梁结构的振动控制倍受学术界、工程界的广泛关注, 并获得了长足的进步。结构振动与控制的研究与应用有着广泛的前景，它的研究和发展将给结构工程抗震设计带来一张革命，其巨大的经济效益和社会效益已得到证明。

1.2 本文的研究思路和方法

本文以竖向弯曲振动时桥梁跨中挠度的振动幅度为控制目标，通过分析安装TMD前后桥梁跨中挠度的振动幅度变化量来讨论TMD对桥梁振动的控制效果，并探索TMD的参数优化。

对于TMD控制下的车桥耦合系统的振动，已被采用的数值研究方法有两类：一类在建立系统耦合方程组的基础上，借助编程语言或数值计算软件（如MATLAB 和VB等），利用数值积分方法编程求解耦合方程组；另一类，借助仿真分析软件（如有限元软件和Simulink等）实现对系统的仿真分析。本文将采取第一类方法，编程求解方程组。

针对简支梁桥在列车匀速通过时的竖向弯曲振动，本文先建立车桥耦合振动理论模型，利用数值计算方法结合MATLAB软件，编程求解车桥时变系统振动微分方程组，获得列车过桥时桥梁竖向振动位移响应；再建立车—桥-TMD耦合振动理论模型，求解获得单个以及多个TMD控制下的桥梁竖向位移响应，分析TMD

的控制效果，并讨论TMD参数优化对控制效果的影响。

一、理论模型及求解方法

2.1 车辆-简支梁桥竖向振动模型

2.1.1 模型简化

模型中，车体、转向架、车轮均被认为是刚体，相互间通过弹簧阻尼系统连接；不考虑车轮与钢轨表面粗糙，认为钢轨固结于桥梁上作为桥梁的一部分，不考虑钢轨及轨下结构局部变形造成的影响，于是轮轴的竖向位移等于轮轨接触点（即车轮与桥梁接触点）的竖向位移。

由于仅考虑系统的竖向振动，本文中车辆简化为二系弹簧悬挂系统，仅考虑车体沉浮、点头，前后转向架构架沉浮运动，每节车辆四个自由度。桥梁采用简支欧拉梁模型。系统简化模型及坐标系建立如图1所示。

图1 系统简化计算模型

图中各物理量意义如下：

v -行车速度； y

c

-车体中心竖向沉浮位移；

φi-第i节车体点头位移； J c-车体点头惯量；

m c -车体质量； c

s2

-二系悬挂阻尼；

k s2-二系悬挂刚度； m

t

-转向架构架与轮对质量之和；

y t -构架中心竖向沉浮位移； c s1-一系悬挂阻尼； k s1-一系悬挂刚度； a-同一节车转向架中心距离； EI-桥梁抗弯刚度； d-前后两节车相邻轮对间距； L-桥梁全长； w-桥梁挠度，以水平位置为坐标起点； m k -TMD 质量； k k -TMD 刚度； C k -TMD 阻尼； y z -TMD 竖向位移； l i -第i 个轮对与第一个轮对之间的距离； 2.1.2 车辆系统振动微分方程

第i 节车振动方程 车体沉浮运动：

)2()2()

2

()2(2222122122=--+--++-++-+?

???

-???-?

?i i t ci s i i t ci s i i t si s i i t ci s ci c a y y c a y y k a y y c a y y k y m φφφφ (2-1) 车体点头运动：

2)2(2)2(2

)

2(2)2(2222122122=------+-++-+????-???-?

?a

a y y c a a y y k a

a y y c a a y y k J i i t ci s i i t ci s i i t si s i i t ci s i C φφφφφ （2-2） 构架沉浮运动：

)2

()2()

()(12212221

1211

121121

21

2=+--+--++++?

-???--=?

-?-=--?

?--i i t ci s i i t i c s l vt x i t s l vt x i t s i t t a y y c a y y k w y c w y k y m i i φφ (2-3)

)2

()2()

()(22221

211

21221

2=------++++?

???-=?

?-=?

?-i i t ci s i i t ci s l vt x i t s l vt x i t s i t t a y y c a y y k w y c w y k y m i

i φφ (2-4)

对车厢整体可得

i c ci c i t t c t i a

J y m y m g m m P ?

???-??-++++=φ2)2(1212 （2-5）

i c ci c i t t c t i a

J y m y m g m m P ?

?????-+++=φ2)2(22 （2-6）

其中p2i-1，p2i 分别为第i 节车厢前后两个车轮与桥梁之间的作用力。 2.1.3 简支梁桥振动方程

本为采用简支欧拉梁模型，不考虑桥梁阻尼时，振动方程为：

（2-7)

其中，ρA-桥梁单位长度的质量； F(x,t)-t 时刻x 处作用在梁上的外力，包括桥梁自重和轮轨相互作用力，即

Ag vt l x t P t x F i i i N

i i ρδδ+-+??=∑=)()(),(21 （2-8）

其中，N 表示车辆节数；

)(vt l x i i -+δ表示dirac 函数；

??

???=+≤≤v l L t v l i

i

i t 其他

10

)(δ

将式（2-8）代入式（2-7）得，

Ag vt l x t P t w A x w EI i i i N

i i ρδδρ+-+??=??+??∑=)()(212244 （2-9） 为求解方程（2-9），利用分离变量法设

)()(),(1t T x X t x w j n

j j ∑== （2-10）

其中L

x

j x X j πsin

)(=为简支梁的振型函数，n 为模态截断数，T j (t)形态振幅函数。将式（2-10）代入式（2-9），各项自0到L 积分，利用振型函数的正交性

与dirac 函数的性质，并令A m ρ=,A

EI

L j j ρπω42)(

=,得 []∑

=?

?-+

-=?+N

i i i i j j

j j j g

L l vt j t mL P t T t T 21

2)cos(12)(sin )(2)()(ππ

πδωj=1,2,...,n

(2-11)

将式（2-5）与式（2-6）代入式(2-11),消去变量P i ，得

),(2

2

44

t x F t w

A x w EI

=??+??ρ

)

()()2()(sin )(2

)

2()(sin )(2

21

1212t T t T a J y m y m L l vt j t mL a J y m y m L l vt j t mL j j j N

i i c c c t t i i N

i i c c c t t i i i i i i ?++-+?--++?--?

?=??????=??????∑∑-ωφπδφπδ

[]∑

=-+

-?+=N

i i i c t j j g L l vt j t g m m mL 1)cos(12)(sin )()2(2

ππ

πδ j=1,2,...,n (2-12) 为简化表达，令)()

(sin

)(t h L

l vt j t ij i i =-πδ，整理得， []∑∑∑∑=?

?=?

???=????--=??--+

?+

=?++-?-+?-??+-N

i ij c t j j

j N i i c i t t j i N i i c i t t j i N

i c ci j i j i j j mgL

t h g m m t T t T a J y m t h a J y m t h y m t h t h i 1

2

1

2,2112,121,2,12)cos(1)()2()()()

()()()(2)]()([ππ

ωφφ j=1,2,...,n (2-13)

这样，式（2-1）~式（2-4）与式(2-13)一起组成车桥时变系统耦合振动微分方程组，方程组共有（4N+n)个方程，以y ci ,y t2i-1,y t2i ,Φi ,T j (t)共（4N+n ）个未知量为求解变量，结合初值条件，可利用动力学连续数值积分方法联合求解。

2.2 车—桥—TMD 耦合模型（以跨中悬挂单个TMD 为例）

设TMD 质量为m k ，弹簧刚度为k k ，阻尼为c k ，悬挂位置为跨中，以静平衡位置为坐标起点，振动位移为y z ，则TMD 的运动方程为

0)()(2

2

=-+-+?

?

=?

?l z k l x z k z k w y c w y k y m （2-14）

简支梁跨中悬挂TMD 时，车辆系统振动方程不受影响，简支梁所受外力应考虑梁与TMD 之间的相互作用，即通过TMD 弹簧与阻尼器传递的力，于是，式（2-8）变为

)2()()()(),(2

2

21

L

x w

c w k Ag vt l x t P t x F l x k l x k i i i N

i i -??+?++-+??==

?

==∑δρδδ （2-15）

其中，)2

(L

x -δ为dirac 函数。

此时，式（2-13）变为

[]2

sin )cos(1)()2(2sin

)()()()()

()()]()([1

,2,122

1

2,21

12,121,2,12ππππωφφj g m j j mgL

h h g m m j y m t T t T a J y m t h a J y m t h y m t h t h k N

i j i j i c t z k j j j N

i i c i t t j i N

i i c i t t j i N i c ci j i j i i ?+-+

+?+

=?+?++-?-+?-??+-∑∑∑∑=-????=???

?=?

??

?--=?

?-

j=1,2,...,n （2-16）

这样，式（2-1）~式（2-4）与式(2-14)、式（2-16）一起组成车—桥—TMD 时变系统耦合振动微分方程组，方程组共有（4m+n+1）方程，以y ci ,y t2i-1,y t2i ,φi ,T j (t),y z 共（4m+n+1）个未知量为求解变量，结合初值条件，可利用动力学连续数值积分方法联合求解。

2.3 求解步骤与方法（以单个TMD 控制系统为例）

车—桥—TMD 系统耦合方程组写成矩阵形式为：

f kx x C x M =++?

?

? （2-17）

其中，x-以y ci ,y t2i-1,y t2i ,Φi ,T j (t),y z 构成的未知向量，即

{}{}T T x z n 21N,t2N 1-t2N cN 2t4t3c21t2t1c1y (t),T (t),...,T (t),T ,y ,y ,y ,...,,y ,y ,y ,,y ,y ,y φφφ=

分块表示为：{}{}T

z T c T

x x x x ,,=；

M,C,K-总体等效质量,阻尼,刚度矩阵; f -等效载荷向量； 2.3.1 系数矩阵

a)质量矩阵分块表示??

??

?

?????=z zT zc Tz T Tc cz cT c m m m m m m m m m M 其中, ),,,...,,,(,111,1tN tN cN cN t t c c c m m J m m m J m diag m =； n n T I m ?=,I 表示单位矩阵； m z =m k ;

n N cT m ?=40,140?=N cz m ,N zc m 410?=,n zT m ?=10;

T

cN n N n N cN N N c t t c c t t c n n c Tc a J h h a J h h a J h h m h m h m h h a J h h m h m h m h h m h h m ???

??

?

?????

????

????????????????????????

??-?-?-???+?-???+?+-=--)(...)(..........)(..

...)(..)(....)(...)(,2,121,21,122

413144133124131121

11221111n 2112111 T

k Tz j m m }2

sin

,...,sin ,2

{sin

πππ

?=; 其中，限于篇幅，h ij (t)简写为h ij .

b)阻尼矩阵分块表示为??

??

?

?????=z zT zc Tz T Tc cz cT c c c c c c c c c c C ),...,,...,,(21cN ci c c c c c c c diag c =,?

??

?

???

?

????

???

???

?

?+--+----=i s i s i s i

s i s i s i s i s i s i s i

s i

s i

s i s ci c a

c c c c a

c c c c a c a c

a c c c c 22122212222222220202

22

00

2; n n T c ?=0; k z c c =; 140?=N cz c ;N n Tc c 40?=;10?=n Tz c ;N zc c 410?=;

}2

sin ,...,2sin

,...,0,1{π

πn j c c k zT ?-=; T cTN cTi cT cT c c c c },...,,...,{1=，

??

????

??

??????????-?-?-?-?-?-?=---0)(sin ...)(sin

...)(sin )(sin ...)(sin ...)(sin 0212121121121121i i s i i s i i s i i s i i s i i s cTi

l vt L n c l vt L j c l vt L c l vt L n c l vt L j c l vt L c c π

πππππ c)刚度矩阵分块表示为??

??

?

?????=z zT zc Tz T Tc cz cT c k k k k k k k k k K ),...,,...,,(21cN ci c c c k k k k diag k =,?

??

?

???

?

????

???

???

?

?+--+----=i s i s i s i

s i s i s i s i s i s i s i

s i

s i

s i s ci k a

k k k k a

k k k k a k a k

a k k k k 22122212222222220202

22

00

2; n n T k ?=0; k z k k =; 140?=N cz k ;N n Tc k 40?=;10?=n Tz k ;N zc k 410?=;

}2

sin ,...,2sin

,...,0,1{π

πn j k k k zT ?-=; T cTN cTi cT cT k k k k },...,,...,{1=，

??

????

??

?

?????????-?-?-?-?-?-?=---0)(sin ...)(sin

...)(sin )(sin ...)(sin ...)(sin 0212121121121121i i s i i s i i s i i s i i s i i s cTi

l vt L n k l vt L j k l vt L k l vt L n k l vt L j k l vt L k k π

πππππ

d)载荷向量分块表示为T z T c f f f f },,{=

N c f 410?=;110?=z f ;321T T T T f f f f ++=;

T

N N cN tN c t T h h m

m h h m m g f )}()2

(...)()2{(1,21,122111111+?++++?+

?=-, T

T n

n mgL f })cos(1,...,32,0,2{2ππ-?=,

T

k T n g m f }2

sin ,...,1,0,1{3π-?=.

2.3.2求解方法

本文采用Newmark-β法，利用MATLAB 软件编程求解矩阵方程组（2-17），获得系统的位移响应。

三、实际算例

根据（二）中建立的计算模型与求解方法，本文给出以下实际算例。

实例研究一辆10节编组的列车通过一座简支梁桥时，引起的桥梁振动，并利用TMD 控制桥梁振动。列车采用德国ICE 动车和拖车，前后2节动车中间8节拖车编组，桥梁为一全长32m 简支梁桥。具体车辆与桥梁参数见附录。 3.1 桥梁静挠度

根据材料力学中简支梁在均布压力下跨中挠度的计算公式，本文算例中的桥梁在自重下跨中挠度为：

mm m w 9.270279.010

18.53843281.91008.1510

440==??????=

3.2 实施控制前，列车过桥时引起的跨中振动响应

如图2，给出了列车以100km/h 车速匀速通过时，简支梁跨中挠度的时程曲线。t=0s 时，列车开始上桥，约9s 时，列车刚好完全离开桥梁。

图2 100km/h 车速下跨中振动响应