大学物理学习指导 - 第11章 恒定电流与电动势

大学物理学习指导

第11章

恒定电流与电动势

华中农业大学理学院物理系

2019年12月

目录

第11章恒定电流与电动势 (1)

11.1 恒定电流 (2)

11.1.1 电流的形成 (2)

11.1.2 电流密度恒定电流 (2)

11.1.3 电流的连续性方程 (4)

11.1.4 欧姆定律的微分形式 (4)

11.2 电源电动势 (6)

11.2.1 带电电容器回路 (6)

11.2.2 电源 (6)

11.2.3 电动势 (7)

11.2.4 电动势分类 (7)

11.3 温差电动势 (8)

11.3.1 金属表面的逸出功 (8)

11.3.2 接触电势差 (9)

11.3.3 温差电动势 (10)

11.4 生物膜内、外的电势差 (12)

11.4.1 生物电势差的种类 (12)

11.4.2 能斯特电势差 (12)

11.4.3 细胞膜内、外的电势差 (13)

参考文献 (15)

第11章恒定电流与电动势

我们在前一章研究了静止电荷所激发的静电场，本章将讨论因电荷的定向运动而形成的电流，以及与之相应的电场。不随时间变化的电流称为恒定电流，要保持恒定电流，电路中必须存在电源。电源的内部具有非静电力，可用电动势来表示这种非静电力作功的能力。能产生电动势的装置都可以作为电源，如电磁感应线圈、化学电池和温差电偶等，这里着重介绍接触电势差、温差电动势以及与生物电现象有关的跨膜电势差。

11.1 恒定电流

本节以金属导体为例讨论导体中恒定电流的形成及其规律。

11.1.1 电流的形成

处于静电平衡的金属导体中，自由电子总是处于不停的无规则热运动中，它们沿各方向运动的概率相等，因此不能形成电流。当电子在外电场的作用下，产生定向运动，其平均速度不再为零，即存在漂移速度（drift velocity ），导体中就形成电流。

单位时间内通过导体截面的电量称为电流强度，或简称为电流（electric current ）： t

q I d d （11.1） 11.1.2 电流密度 恒定电流

接地电极附近的电流 电阻法勘探时大地中的电流 电流只能反映通过导体截面的整体电流特征，不能说明电流通过截面各点的情况。为了细致地描述导体内各点的电流分布，必须引入一个新的物理量——电流密度（current density ），电流密度是矢量，其方向与该处正电荷定向运动的速度方向一致，大小等于通过垂直于电流流向的单位面积的电流。

current ）或直流（direct current ）

设金属导体中的自由电子数密度为n ，自由电子的漂移速度为d v 。在导体内取一面元

S ?，S ?

的法线与电流密度同向。在时间间隔t d 内，以S ?为底，长为t d d v 的柱体内的自由电子都要通过S ?，即通过的电荷为：

t S en q d d d v ?=

则面元S ?处的电流密度大小为：

d d d 1v en t q S S I j =?=??= （11.3） 对于一般的导体，若载流子的带电量为q ，则：

d v qn =j （11.4）

通过任意曲面的电流：

??=?=S S S j I d cos d θS j （11.5）

I

?

的电流应等于单位时间内曲面内所减少的电量：

??-=-=?=内S S

V t t q I d d d d d d in out ρS j （11.6） 上式称为电流的连续性方程。当导体通过恒定电流时，导体中任意闭合曲面内的电荷不变，即：

0d =??S S j

（11.7）

导体通过恒定电流时，导体中的电荷分布也就不随时间变化，不随时间变化的电荷所产生的电场，称为恒定电场（steady electric field ）。恒定电场与静电场具有相同的性质，但处于恒定电场中的导体不是等势体，不会达到静电平衡，而是形成恒定电流。

11.1.4 欧姆定律的微分形式

在通电导线中取横截面积为S ?，长为l d 的一段导体，设导体材料的电阻率（resistivity ）为ρ，则这段导体的电阻（resistance ）为：

S

l R ?=d d ρ

设导体左端的电势为?，右端的电势为??d +，则通过这段导体的电流为：

I

?

S l

R I ?-=-=?d d d d ρ?? 定义电导率（conductivity ）： ρ

γ1= （11.8）

电势和场强的关系： l E d d ?-= 则：

S E I ?=?γ 电流密度大小为： E S I j γ=??= 写成矢量形式： E j γ= （11.9）

上式称为欧姆定律的微分形式。

例题 11.1 （1）铜的质量密度为33m kg 108.95-??=ρ， 铜的摩尔质量为13mol kg 1063.5--??=M ，设每个铜原子贡献一个自由电子，求铜导线中的自由电子数密度；

（2）在家用线路中，铜导线的半径为mm 0.81，容许电流最大值为A 15。假设铜导线中的电流密度是均匀的，求最大电流密度；

（3）接（2），求铜导线中自由电子的漂移速率。 解：（1）可以取mol 1铜来计算：

3

28333

23A A mol A m 108.48m 1063.5108.95106.02---?=????====M N M N V N n ρρ

（2）26224m A 107.28m A )

108.10(π15---??=???==S I j （3）由（11.3）得： 1

4128

196

d s m 105.36s m 108.48101.60107.28----??=?????==en j v

11.2 电源电动势

根据欧姆定律，导体中具有恒定电流时，导体两段必须有恒定的电势差，如何才能维持恒定的电势差呢？

11.2.1 带电电容器回路

开始时，正负极板带有电荷，并在导线中激发电场，在电场力的作用下，正电荷从正极板通过导线运动到负极板，并与负极板的电荷中和，导线中的电场和电流将逐渐减少，直至消失。因此，带电电容器回路不能维持恒定的电势差。

11.2.2 电源

要保持导线中的电场不变，必须保持正负极板的电荷不变，这就需要有一种非静电力能克服静电力，将正电荷从负极板拉回正极板，这种提供非静电力的装置称

为电源（power supply）。单位正电荷在电源中所受的非静电力称为非静电场（non-electrostatic field）

k

E。11.2.3 电动势

非静电力作功的过程，就是电源把其他形式的能量转变为电能的过程。电源把单位正电荷从负极经电源内部移至正极时非静电力所作的功，称为电源的电动势（electromotive force，emf）：

?+ -?

=l

E d

k

E（11.10）当

k

E遍布整个回路L（如感生电场），则有：

??=

L l

E d

k

E（11.11）

11.2.4 电动势分类

①化学电动势（chemical emf）：（干电池、钮扣电池、

蓄电池等）的非静电力是与离子的溶解和沉积过程相联系的化学作用。

②感应电动势（induction emf）：根据法拉第电磁感应

定律，只要穿过回路的磁通量发生了变化，在回路中就会有感应电动势产生。

③光生电动势（photoinduced emf）：（光电池）的非静

电力来源于内光电效应。

④压电电动势（piezoelectric emf）：（晶体压电点火、

晶体话筒等）来源于机械功造成的极化现象。

⑤温差电动势（thermo-electromotive force）：（温差电

源）的非静电力是一种与温度差和电子浓度差相联系的扩散作用。

11.3 温差电动势

实验表明，在导体内存在与热现象有关的非静电力和电动势，这种电动势称为温差电动势。

11.3.1 金属表面的逸出功

在金属导体内存在大量可以自由运动的自由电子，它们处于永不停息的无规则的热运动中，其中有一些动能较大的自由电子会从金属表面挣脱出来，本来呈电中性的导体因失去这些电子而带正电，离开导体表面的电子，由于受正电荷的作用而聚集在导体表面外侧，形成一层电子层。同样，由于静电感应，导体中的正电荷也聚集在导体表面内侧。这样，在导体表面就出现了电子-正电荷双层，称为电偶层（electrical double layer ）。电偶层的电场方向由导体指向体外且垂直表面，会阻碍电子逸出表面，所以电子要从金属表面逸出，必须克服该电场力作功，此功称为电子的逸出功或功函数（work function ）W 。由于金属表面两侧存在电偶层电场，也就存在电势差，若令电偶层外侧的电势为零，则内侧的电势值就称为逸出电势（escape electric potential ）e ?。电子克服电场力作功与电场力对电子的作功相反，则逸出功等于电子电势能的增量：

e p p )()()(?????e e e e E E W =-=---=-=外内内外内外 则：

e W =e ? （11.12）

早在1794年，伏打（Alessandro V olta ，1745~1827）就发现了接触电现象。当A 、B 两种金属相互接触时，在接触面的两侧将出现等量异号电荷，即两接触的金属间会形成电势差，称之为接触电势差（contact potential ），由经典的电子论可导出接触电势差：

B

A eA e

B B A AB ln )(n n e kT U +-=-=???? （11.13） 式中AB U 为接触面两侧的电势差；eA ?，eB ?分别为金属A ，B 的逸出电势；k 为玻耳兹曼常量；T 为接触面处的热力学温度；e 为电子电荷的绝对值；A n ，B n 分别为金属A 、B 中的自由电子数密度。

如果在相同的温度下，将金属C 连接在A 、B 之间，不改变A 、B 之间的电势差，证明如下：

C

A eA eC C A AC ln )(n n e kT U +-=-=???? B

C eC eB B C CB ln )(n n e kT U +-=-=???? B

A eA e

B CB A

C B A AB ln )(n n e kT U U U +-=+=-=???? 同理，在相同的温度下，把几种金属连成闭合回路，回路中的总电动势将等于零，也不能形成电流。

1821年，塞贝克（T. J. Seebeck ，1770~1831）发现在两种金属联成的闭合回路中，如果将其中一个接头加热，电路中会产生电流，这种现象称为温差电现象（或塞贝克效应），回路中的电动势称为温差电动势，该装置称为温差电偶或热电偶（thermocouple ）。

温差电偶 21T T > 等效电路 21E E >

接触面1处： B

A 1eA e

B 1ln )(n n e kT +

-=??E 接触面2处： B A 2eA eB 2ln )(n n e kT +-=??E 则回路中的温差电动势为： B A 2121ln )(n n T T e k -=-=E E E （11.14）

以上接触电势差和温差电动势的公式，都是由经典的电子论导出的，该理论的主要缺点在于把宏观物体的牛顿运动定律用于电子的运动，并把能量视为连续的。近代物理指出，只有用量子理论来研究金属导电，才能得到与实验相符的结果。由大量实验数据总结出的温差电动势与温度差的半经验公式为： 22121)(21)(T T b T T a -+-=E （11.15） 式中a 和b 是与金属本身性质有关的常量。可见（11.14）

是（11.15）取其一级近似的结果，即：

)(21T T a -≈E

（11.16）

1T 2

E 2

热电偶通过定标后，可制成热电偶温度计。热电偶温度计的优点是测温范围广（铂－铂铑合金的热电偶可适用于200-℃~7001℃ 的环境）、热容量小、灵敏度高（可以准确到K 103-量级的程度），而且能测量仪器不易到达及测量区域极小处的温度，如植物叶片的温度、昆虫的体温及人体体表的温度分布等。

热电偶定标实验 为了提高灵敏度，可以把多个热电偶串联起来，组成热电堆（thermopile ），其中奇数接触点处于恒温环境，偶数接触点处于待测环境，那么热电堆两端的电动势为各热电偶电动势的总和。

热电堆 帕尔帖效应

塞贝克效应是利用热能转换为电能，它的逆效应是利用电能建立温度差，即帕尔帖（J. C. A. Peltier ，1785~1845）效应。半导体制冷器就是利用帕尔帖效应制成的，它具有寿命长、工作可靠、体积小以及无污染等优点。

吸热放热

11.4 生物膜内、外的电势差

当生物的生理机能发生变化时，生物体内也会发生相应的电量变化，这就是生物电现象。一般理论认为，离子过程是产生生物电现象的根本原因。

11.4.1 生物电势差的种类

生物电势差的类型有很多，按其产生的机理可分为： ① 由正负离子的迁移率不同而产生的扩散电势差也称

为扩散电位（diffusion potential ）；

② 由氧化还原反应过程产生的氧化还原电势差也称为

氧化还原电位（oxidation-reduction potential ）；

③ 由同一体系中不同相离子分布不匀而产生的相界电

势差也称相界电位（phase boundary potential ）；

④ 由固体及液体间的相对运动而产生的流动电势差也

称流动电位（streaming potential ）。

以下我们仅讨论扩散电势差中的跨膜电势差。

11.4.2 能斯特电势差

在一容器中，两种不同浓度的KCl 溶液，被半透膜分开，区域1内溶液的浓度为1n ，区域2内溶液浓度为2n ，且21n n >。如果半透膜只让+K 通过，两区域内的+K 将通过膜进行扩散，因为21n n >，即存在密度梯度，不久以后在2区中就有了过剩的+K ，而1区中则有了过剩的-Cl 。由于异性电荷相互吸引，两种过剩的

离子都沿着膜聚集起来，在膜两侧形成电偶层，电偶层的电场对+K 的作用与扩散作用相反，当达到动态平衡时，膜两侧的电势差达到一稳定值，该电势差称为跨膜电势差（membrane potential ），对于上述的单离子体系，跨膜电势差可表示为： 2

12112ln n n ze kT U =-=?? （11.17） （11.17）可由扩散电位的能斯特（W. H. Nernst ，1864~1941）方程导出[5]，所以称此电势差为能斯特电势差（nernst potential ）。当膜对正离子有渗透作用时等式右边取负号，反之取正号，z 为离子的化合价。 11.4.3 细胞膜内、外的电势差

大多数的细胞膜内、外之间存在着电势差，尤其在动物的神经和肌肉细胞最为显著。为简单起见，可以认为这种跨膜电势差的形成，主要是由于细胞膜内、外的溶液中离子（+Na 、+K 和-Cl 等）的浓度不同，以及膜对不同离子的渗透性差异引起的。当细胞的生理状态变化时，跨膜电势差也相应地发生变化：

1 神经细胞的静息状态

若神经细胞内外溶液中+K 离子的浓度分别为：

mol/l 141.0=内n ；mol/l 005.0=外n

体温为37 ℃，当细胞只渗透+K 时，则细胞内外的跨膜电势差为：

V 103.89V 005

.0141.0ln 1060.13101038.1ln 31923---?-=???-=-=-=外内

外内n n e kT U ?? 2 神经细胞膜的受激状态

当神经、肌肉细胞受导电的、化学的或机械的刺激时，细胞膜能改变对+K 、+Na 等的渗透能力，此时，细胞膜会突然让+Na 通过，且渗透性比+K 的渗透性大的多，若+Na 在细胞内、外的浓度分别为：

mol/l 010.0=内n ；mol/l 142.0=外n

体温仍为37 ℃

V 109.70V 142

.0010.0ln 1060.13101038.1ln 31923---?=???-=-

=-=外

内外内n n e kT U ?? 一般情况下，细胞膜内外的几种离子对跨膜

电势差都有贡献。细胞处

于静息状态时，细胞外的

电势高于细胞内的电势，

称为极化态。当刺激所产

生的电势超过阈值，细胞

膜改变对各离子的渗透

性，细胞内的电势迅速上

升到平衡电位。此后，细胞又回落到静息状态。这种跨膜电势差的突然升降称为动作电势（action potential ）。

V o l t a g e (m V )Time (ms)

参考文献

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