专题10(4.3 对数函数)(解析版)

专题10（4.3 对数函数）

一、单选题

1．（2020·上海）函数121log 1(1)1y x x x ??

=++>

?-?

?的最大值是（ ） A ．2- B ．2

C ．3-

D ．3

【答案】A 【分析】令11

11211

t x x x x =+

+=-++--，用双勾函数的性质求得其最小值，再利用12

log y t =单调性求解.

【详解】令11

11211

t x x x x =+

+=-++--， 由双勾函数知：t 在()1,2上递减，在()2,+∞上递增， 所以当2x =时，t 取得最小值，最小值为4， 又因为

12

log y t =，在[4,)+∞上递减，

所以其最小值为

min 12

log 42y ==-，

所以121log 1(1)1y x x x ??

=+

+> ?-?

?

的最小值为2-. 故选：A

【点睛】本题主要考查复合函数求最值以及对数函数和双勾函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

2．（2017·上海松江·高一期中）函数y=2lg 11x ??

-

?+??

的图象关于 ( )

A ．x 轴对称

B ．y 轴对称

C ．原点对称

D ．直线y=x 对称

【答案】C

【分析】先化简函数，然后求出()y x -进行判定

【详解】函数()()()21lg 11111x y x lg lg x lg x x x -????

=-==--+

? ?++????

()()()()1 111x y x lg lg x lg x y x x +??

-==+--=- ?-??

则()()y x y x =--

∴函数关于原点对称

故选C

【点睛】本题考查了函数图像的对称性，在判定时先化简函数解析式，然后得出关于原点对称，较为基础．

3．（2020·上海黄浦·格致中学高一期末）已知函数2(log )y x a b =++的图象不经过第四象限，则实数a b 、满足( ) A ．1,0a b ≥≥ B ．0,1a b >≥ C ． 2log 0b a +≥ D ．20b a +≥

【答案】C

【分析】因为函数2(log )y x a b =++的图象不经过第四象限，所以当0x =时，0y ≥，所以log 20a b +≥．

【详解】因为函数2(log )y x a b =++的图象不经过第四象限， 所以当0x =时，0y ≥，

log 20a b ∴+≥.

故选：C ．

【点睛】本题主要考查了指数函数的图象和性质，是基础题．

4．（2018·上海市敬业中学高一期末）以下关于函数()lg 1y x =-的说法正确的是（ ）

A ．定义域是()0+∞，

B ．值域是()0+∞，

C ．在定义域上单调递增

D ．在定义域上单调递减

【答案】D

【分析】根据定义域为{}

1x x <，值域为R ，排除A ，B ，再根据单调性得到答案. 【详解】函数()lg 1y x =-的定义域为：{}

1x x <故A 错误；值域为R ，B 错误； 易知：1y x =-单调递减，lg y x =单调递增 故()lg 1y x =-在定义域上单调递减，C 错误，D 正确 故选 D

【点睛】本题考查了函数的定义域，值域，单调性，意在考查对数函数的基本性质.

二、填空题

5．（2020·上海高一课时练习）不等式0.25log (1)1x ->的解集是________.

【答案】51,4?? ???

【分析】由()0.250.25log 11log 0.25x ->=，结合()0.25log f x x =在()0,∞+单调递减，即可求解集.

【详解】解：由()0.25log f x x =在()0,∞+单调递减，因为()0.250.25log 11log 0.25x ->=，

所以1010.25

x x ->??

-

???.

故答案为:51,4?? ???

【点睛】本题考查了对数不等式的求解，考查了对数函数的单调性，考查了对数函数的定义域.本题的易错点是忽略了真数需要大于零.

6．（2016·上海理工大学附属中学）已知()3log f x x =，若()()2f a f >，则a 的取值范围为______.

【答案】()10,2,2??+∞ ?

??

【分析】可先作出函数图像，结合图像求解即可

【详解】作出函数()f x 的图像，如图所示，由于()122f f ??= ???

，故结合图像可知1

02

a <<或2a >.

故答案为：()10,2,2??+∞ ?

??

【点睛】本题考查对数型函数不等式的解法，解题关键是能够正确作图，属于中档题 7．（2019·宝山·上海交大附中）已知log 21a ＜(其中0a ＞且1a ≠),则a 的取值范围是________. 【答案】(0,1)

(2,)+∞

【分析】将log 21a ＜变形为log 2log a a a ＜，对01a <<和1a >讨论，得出结果． 【详解】解：

log 21a ＜

log 2log a a a ∴＜，

当01a <<时，2a <； 当1a >时，2a >， 综合得：a 的取值范围是(0,1)(2,)+∞，

故答案为 (0,1)

(2,)+∞

【点睛】本题考查含参的对数不等式，注意对对数的底是否大于1要进行分类讨论，是基础题．

8．（2019·上海市建平中学高一期末）已知a R ∈且

1

1a

>，则关于x 的不等式()2log 570a x x -+>的解集为______.

【答案】()2,3

【分析】先由a R ∈且

1

1a

>，得到01a <<，利用对数函数的单调性，将不等式()2

log 570a x x -+> ，转化为22570

571x x x x ?-+>?-+

求解.

【详解】

因为a R ∈且

1

1a

>， 所以01a <<，log a y x =在 ()0,∞+上递减，

因为不等式()

2

log 570log 1a a x x -+>= ，

所以22570571x x x x ?-+>?-+?-+

，

解得 23x <<，

所以不等式的解集是()2,3， 故答案为：()2,3

【点睛】本题主要考查对数不等式的解法和一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

9．（2019·上海市建平中学高一期末）函数()f x =______. 【答案】(],ln 2-∞

【分析】求出函数定义域，然后先求得232x x --的取值范围，利用二次根式的性质，对数函数性质得函数值域．

【详解】由2032x x -->得31x -<<，定义域为(3,1)-

2232(1)4x x x --=-++，

∴当31x -<<时，20324x x <--≤，02<，

∴ln 2≤． 故答案为：(,ln 2]-∞．

【点睛】本题考查对数型复合函数的值域，解题方法是先求出函数定义域，在定义域内求出内层函数的取值范围，再由对数函数性质得结论．

10．（2020·上海高一课时练习）若5log 0a >，则a 的取值范围是___________；若

15

log 1a <，则a 的取值范围是__________．

【答案】1a > 15

a >

【分析】根据对数函数单调性和对数定义域，即可求得答案． 【详解】

5log y x =在定义域内是增函数

由5

log 0a >，可得55log log 1

0a a >??>?

解得：1a >

∴5log 0a >，则a 的取值范围是：1a >

15

log y x =在定义域内是减函数

由15

log 1a <，可得1

155

1log log 50a a ??

解得：15

a >

∴15

log 1a <，则a 的取值范围是：15

a >

故答案为：1a >；15

a >

． 【点睛】本题主要考查了解对数不等式，解题关键是掌握对数函数单调性，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．

11．（2020·上海）函数22

33log log 3y x x =-+的值域为_________，单调递减区间是

_____________．

【答案】[2,)+∞ (0,3]

【分析】先换元转化为二次函数，再根据二次函数性质求值域；根据二次函数单调性以及对数函数单调性确定减区间. 【详解

222

233333log log 30log 2log 323,(log )y x x x y x x t t t x R =-+∴>∴=-+=-+=∈

2223(1)22y t t t ∴=-+=-+≥，即值域为[2,)+∞；

因为3log t x =为(0,)+∞上单调增函数，所以当31log 1,03t x x ≤≤<≤，

时，函数2

233log log 3y x x =-+单调递减，即减区间为(0,3]；

故答案为：[2,)+∞，(0,3]

【点睛】本题考查对数型复合函数值域与单调区间问题，考查基本分析与求解能力，属基础题.

12．（2020·上海）函数()

2

2log 54y x x =+-的值域为_______，单调递增区间是

_____________．

【答案】(]2,log 9-∞ (1,2]-

【分析】先由题意求出函数的定义域，令254t x x =+-，确定其单调性与值域，根据复合函数的单调性判定原函数的单调性，从而可求出值域.

【详解】由2540x x +->解得：15x -<<，即函数()

2

2log 54y x x =+-的定义域为

()1,5-，

令254t x x =+-，则其图像关于直线2x =，且开口向下；

因此254t x x =+-在()1,2-上单调递增，在()2,5上单调递减；所以(]0,9t ∈ 又函数2log y t =是关于t 的增函数，

因此函数()

2

2log 54y x x =+-的单调递增区间为：(1,2]-；递减区间为()2,5；

所以max 2log 9y =，即函数()

2

2log 54y x x =+-的值域为(]2,log 9-∞.

故答案为：(]2,log 9-∞；(1,2]-.

【点睛】本题主要考查对数型复合函数的单调性与值域，属于常考题型.

三、解答题

13．（2020·上海奉贤·高一期中）已知2256x ≤且21

log 2

x ≥

，求函数

2

()log 2

2

x f x =?的最大值和最小值． 【答案】最小值为1

4

-

，最大值为2. 【分析】由已知条件化简得

21

log 32

x ≤≤，然后化简()f x 求出函数的最值 【详解】由2256x ≤得8x ≤，2log 3x ≤即

21

log 32

x ≤≤ ()()()2

22231log 1log 2log 24f x x x x ?

?=-?-=-- ??

?.

当23log ,2x =

()min 1

4

f x =-，当2lo

g 3,x = ()max 2f x =． 【点睛】熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础．

14．（2018·上海市宝山区海滨中学高一期末）已知函数2

2()log (23)f x x x =-++

（1）求()f x 的单调递减区间； （2）求()f x 的最值，并求此时x 的值.

【答案】（1）()1,3；（2）当1x =时()f x 有最大值2.

【分析】（1）先由题意得到2230x x -++>，求解，即可得出定义域；再令

223t x x =-++，根据二次函数与对数函数单调性，即可得出结果；

（2）由（1）可直接得出结果.

【详解】（1）由题意可得：2230x x -++>，即2230x x --<，解得：13x ；

即函数()f x 的定义域为()1,3-；

令223t x x =-++，则其为开口向下的二次函数，且对称轴为1x =，

当()1,1x ∈-时，函数223t x x =-++单调递增，()1,3x ∈时，函数223t x x =-++单调递减；

又2log y t =为增函数；

所以2

2()log (23)f x x x =-++在()1,1x ∈-上单调递增，在()1,3x ∈上单调递减；

即函数()f x 的单调递减区间为()1,3； （2）由（1）得：

当1x =时，2

2()log (23)f x x x =-++有最大值2(1)log (123)2=-++=f .

【点睛】本题主要考查求对数型复合函数单调性，以及由函数单调性求最值，熟记二次函数与对数函数单调性即可，属于常考题型.

15．（2016·上海格致中学高一期末）已知函数()21x

f x =-的反函数为

()()()14,log 31f x g x x -=+

（1）若()1

f x

g x -≤，求x 的取值范围D ；

（2）设函数()()()1

12

h x g x f x -=-

，当x 属于（1）中的D 时，求()h x 的值域. 【答案】（1）[0,1]（2）[0,

１２

] 【分析】（1）先求出反函数的解析式及定义域，把解析式代入不等式，利用对数函数的单调性和定义域解此不等式；

（2）先利用对数的运算性质化简H （x ）的解析式，再结合对数函数的图象与性质，从而解决问题．

【详解】解：由y ＝2x ﹣1得2x ＝y +1，∴x ＝log 2（y +1） ∴f ﹣1（x ）＝log 2（x +1）（x ＞﹣1）

（1）由f ﹣1（x ）≤g （x ）得log 2（x +1）≤log 4（3x +1） ∴log 4（x +1）2≤log 4（3x +1）

∴210310

01(1)31x x x x x +??

+≤≤??+≤+?

＞＞得 ∴D ＝[0，1] （2）()()()()()142441131231132211

x H x g x f x log x log x log log x x -+=-

=+-+==-++ ∵0≤x ≤1∴1≤x +1≤2 ∴2

121x ≤

≤+ ∴2

1321

x ≤-

≤+ ∴4213012log x ????-

∈ ???+?

???

， ∴()102H x ??∈????

，．

【点睛】本题考查反函数的求法和函数的值域，属于对数函数的综合题，要会求一些简单函数的反函数，掌握有关对数函数的值域的求法，属中档题．

16．（2018·上海普陀·曹杨二中高一期末）已知函数()()()2log 424,x x

f x b

g x x =+?+=.

（1）当5b =-时，求()f x 的定义域；

（2）若()()f x g x >恒成立，求实数b 的取值范围.

【答案】（1）（-∞，-0）∪（2,+∞）；（2）(3,)-+∞

【分析】（1）把5b =-代入解析式并化简()()2log 4524x x

f x =-?+，从而可得

45240x x -?+>，从而求出定义域．

（2）由()()f x g x >得4242x x x b +?+>，从而可得4

1(2)2

x

x b >-+

， 令4

()1(2)2

x

x h x =-+

从而化为最值问题． 【详解】（1）当5b =-时，()()2log 4524x x

f x =-?+，则45240x x -?+>，故0x <或2x >，

所以函数的定义域为{

0x x <或}2x >． （2）

()()2log 424x x f x b =+?+，()g x x =，

∴由()()f x g x >得4242x x x b +?+>，即41(2)2x x b >-+

，令4()1(2)2

x x h x =-+， 则()3h x ≤-，当3b >-时，()()f x g x >恒成立， 故实数b 的取值范围为(3,)-+∞

【点睛】本题考查了函数的定义域的求法以及恒成立问题，注意“分离参数法”求参数的取值范围．